Bài giảng bài cấp số nhân đại số 11 (6)

Bài toán: Một ngân hàng quy định sau việc gửi tiền tiết kiệm theo thể Như ta dãy (ungười x/đ nhưsố sau: n) thức có kì hạn: Khi kết thúc kì hạn gửicó tiền mà gửi không đến Tính tiềnrút rúttiền toàn số tiền ( gồm vốn lãi ) chuyển gửi tiếp với kì hạn ( gồm kì  u  10 1, 004 hạn mà người gửi gửi vốn lãi ) sau   u kì 1,hạn 004,một ntháng  21,2,3 Giả sử có người gửi 10 triệu u đồngvới vàotháng? ngân hàng nói  n n 1 giả sử lãi suất loại kì hạn 0,4% có ngày nhận gửi xét ,gìngười hạng (un)hàng kể để rút a) Hỏi sau tháng ,Em kể từ đósốmới đến ngân từ số thứ hainhiêu? trở ? tiền số tiền rút ( gồm vốn vàhạng lãi ) bao b) Cũng câu hỏi , với giả thiết thời điểm rút tiền năm sau , kể từ ngày gửi ? Giải Gọi số tiền rút ( gồm vốn lãi) sau n tháng un với n nguyên, dương Vậy số tiền rút ( gồm vốn lãi) Sau tháng là: u1= 107 + 107 0,004 = 107 1,004 = 107 1,0042 Sau tháng là: u2= u1 + u1 0,004 = u1 1,004 = 107 1,0043 Sau tháng là: u3= u2 + u2 0,004 = u2 1,004 … Sau tháng là: u6 = u5 + u5 0,004 = u5 1,004 = 107 1,0046 Sau 12 tháng là: u12= u11 + u11 0,004 = u11 1,004 …… Sau n tháng là: un= un-1 + un-1 0,004 = un-1 1,004 = 107 1,00412 n  1.Định nghĩa : *) Định nghĩa : (un) cấp số nhân  n  2, un  un 1.q q số không đổi gọi công bội *) Nhận xét : - Một cấp số nhân hoàn toàn x/đ biết u1 q -Để c/m dãy số (un) CSN ta c/m Hoặc un 1  q, un  0, n  un *) Ví dụ: a H1? un  un 1.q, n  b Chứng tỏ (un) với un= 3n cấp số nhân un 1 3n 1  n  3, n  Giải : un >0 với n nguyên dương nên ta có un Vậy (un) cấp số nhân với q = c Cho (un) với  u1    un  3.un 1  1, n  C/m (vn) với = un – 1/2 n  cấp số nhân Giải: Ta có = 3un-1 - – 1/2 = ( un-1 – 1/2 ) = vn-1 n  Vậy (vn) CSN có v1 = u1 – 1/2 = 5/2 – 1/2 = q = *) Chú ý : - Cấp số nhân (un) có q = có dạng khai triển : u1 , u1 , u1 , … - Cấp số nhân (un) có q = có dạng khai triển : u1 , , , … - Cấp số nhân (un) có u1= có dạng khai triển : , , , … Tính chất: Cho cấp số nhân: a.Định ,lý:6 , 12 , 24 , 48 *) b 2(u, )- cấp , ,nhân - 16 , 32 , - 64 , … số n  uk2  uk 1.uk 1 , k  Em có nhận xét mối quan hệ số hạng với hai số hạng đứng kề dãy? *) Ví dụ: + ) H2: Có hay không cấp số nhân (un) mà u99 = - 99 u101 = 101 ? Giải : Nếu (un) cấp số nhân u100  u99 u100  99.100  Vậy cấp số nhân thoả mãn y/c toán +) Cho cấp số nhân (un) có q nên u3 =  u2 u4  5 Từ ta có : u42 100 u5    10 u3 5 Vô lí Số hạng tổng quát: *) Định lí : Nếu (un) cấp số nhân có số hạng đầu u1 q  Thì un = u1.qn-1 n  Ta có *) ví dụ : 1/ Ta thấy (un) với u1  107.1, 004  un  un 1.1, 004, n  u2 = u1 q u3 = u2 q = u1.q2 u4 = u3 q = u1.q3 ………………… un = un-1 q = u1.qn-1 Là cấp số nhân có q = 1,004 Vậy u6 = u1 q5 = 107.(1,004)6 = 10 242 413 (đ) u12 = u1 q11 = 107 (1,004)12 = 10 490 702 (đ) 2/ H3: Kí hiệu un ( người ) dân số thành phố A sau n năm Ta thấy (un) x/đ sau u1  3.106  3.106.0, 02  3.106.1, 02  un  un 1.1, 02, n  Là cấp số nhân có q = 1,02 Vậy dân số TP A sau hai năm u2 = u1.q = 3.106 (1,02)2 = 121 200 ( người) Tổng n số hạng cấp số nhân: *) Cho cấp số nhân (un) có công bội q Gọi Sn= n u i 1 i - Nếu q = Sn = n.u1 - Nếu q  (1  q n ) S n  u1 1 q *) Ví dụ: Cho CSN (un) có u4 = 48 , u5 = 96 Tính tổng số hạng CSN Giải: Có q = 96 2 48 Mà u4 = u1 q3 u4 48  u1   6 q (1  q ) 6.(1  26 ) S6  u1   378 1 q 1 Đố vui: (tr- 120) - Trong 30 ngày nhà tỉ phú mua 300 000 000 đ - Gọi un (đồng ) số tiền mà nhà tỉ phú phải trả cho nhà toán học ngày thứ n Dễ thấy (un) cấp số nhân có u1 =1 , q = Vậy số tiền mà nhà tỉ phú phải trả cho nhà toán học 30 ngày 30 30 1 q 1 S30  u1   230  1 q 1 = 073 741 823 đ - Vậy sau mua bán nhà tỉ phú “ lãi “được là: 300 000 000 – 073 741 823 = - 773 741 823 đ Các kiến thức trọng tâm cần nhớ: - Khái niệm cấp số nhân -Tính chất đơn giản ba số hạng liên tiếp cấp số nhân - Công thức số hạng tổng quát , tính tổng n số hạng cấp số nhân Nắm kĩ năng: - C/m dãy số CSN - Biết tìm số hạng , tìm công bội , tính tổng n số hạng CSN - Biết áp dụng giải số toán thực tế đơn giản liên quan đến CSN ... Khái niệm cấp số nhân -Tính chất đơn giản ba số hạng liên tiếp cấp số nhân - Công thức số hạng tổng quát , tính tổng n số hạng cấp số nhân Nắm kĩ năng: - C/m dãy số CSN - Biết tìm số hạng , tìm... + ) H2: Có hay không cấp số nhân (un) mà u99 = - 99 u101 = 101 ? Giải : Nếu (un) cấp số nhân u100  u99 u100  99.100  Vậy cấp số nhân thoả mãn y/c toán +) Cho cấp số nhân (un) có q