Đề thi học sinh giỏi toán 9 quận 1 thành phố hồ chí minh năm học 2015 2016(có đáp án)

CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2015 -2016 ĐỀ THI HSG LỚP QUẬN – Vòng (2015-2016) Thời gian: 120 phút Bài 1: (6 điểm) x y z x  y  z x  y  z x  y  z a) Cho    Tính giá trò A    yz zx xy yz zx xy b) Rút gọn biểu thức sau: M    21  80 10  Bài 2: (3 điểm) a) Tìm giá trò lớn biểu thức: P  x  x    x  x  1,với  x  b) Cho a, b, c, d số nguyên thỏa mãn: a2  b2  c2  d2 Chứng minh rằng: (abcd  2015) viết dạng hiệu hai số phương Bài 3: (4 điểm) Giải phương trình sau: a) x    x  x2  6x  x  56 x  x 8  16 Bài 4: (6 điểm) Cho điểm A nằm đường (O;R) Vẽ AB, AC tiếp tuyến (O) (B, C tiếp điểm) Gọi H giao điểm OA BC, M điểm di động đoạn thẳng BH, đường thẳng AM cắt đường tròn (O) D, E (D nằm A M) Vẽ ON vuông góc với DE N a) Chứng minh: AB2  AM.AN b) Xác đònh vò trí điểm M để tổng AD  3AN  AE đạt giá trò nhỏ c) Chứng minh rằng: bốn điểm D, E, O, H thuộc đường tròn Bài 5: (1 điểm) “Mắt thần dành cho người khiếm thò – Sống cho đâu nhận riêng mình” Thủ tướng Chính phủ Nguyễn Tấn Dũng dành trọn buổi sáng (11-9-2015) trụ sở Bộ Khoa học Công nghệ để gặp gỡ, lắng nghe nhà khoa học trẻ tiêu biểu năm 2015 Trước chia sẻ thẳng thắn nhà khoa học trẻ phát minh, sáng chế chông gai đường nghiên cứu khoa học – công nghệ Cả nước có 1,2 triệu người khiếm thò, 300.000 người mù hoàn toàn Mắt thần dành cho người khiếm thò Tiến só Nguyễn Bá Hải (ĐHSP Kỹ Thuật TP Hồ Chí Minh) nghiên cứu, chế tạo tặng hoàn toàn cho người có hoàn cảnh khó khăn, trẻ em nghèo, người mù bán vé số… Đáng ý, sản phẩm đối tác Mỹ quan tâm, muốn đặt hàng Thủ tướng Chính phủ trực tiếp đặt hàng 300.000 Trong hội nghò có 70 thành viên nam số thành viên nữ Tất nhà khoa học trẻ nhà lảnh đạo Chính phủ, phóng viên truyền thông Biết số thành viên nữ nhà khoa học trẻ số thành viên nam nhà lảnh đạo, phóng viên truyền thông Hỏi hội nghò có nam nữ nhà khoa học trẻ? b) Trang Học Sinh Giỏi Lớp (Vòng 1) – Quận (2015-2016) CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2015 -2016  HẾT  Hướng Dẫn: ĐỀ THI HSG LỚP QUẬN – Vòng (2015-2016) Thời gian: 120 phút Bài 1: (6 điểm) x y z x  y  z x  y  z x  y  z a) Cho (2 Đ)    Tính giá trò A    yz zx xy yz zx xy  x y z  Ta có:     x  y  z  x  y  z  yz zx xy  x y z  x  y  z  x  y  z  x  y  z   xyz yz zx xy x2 y2 z2 x2 y2 z2  x y z  xyz    0 yz zx zx yz zx xy x2 y2 z2 Do đó: A  yz zx xy  yz zx xy Vậy A  x  y  z x  y  z x  y  z   yz zx xy b) Rút gọn biểu thức sau: M  M   4 5   1 10   1   21  80 10  2  4 62 10   (4 Điểm) 4    1  1  3 5 1 1 Vậy M   1 1 1 Bài 2: (3 điểm) a) Tìm giá trò lớn biểu thức: P  x  x    x  x  1,với  x  Xét  x  P >   Xét: P2  x2   x   25  10x  x2  x  1  2x   x  (1,5 điểm)   x  x  1 Áp dụng BĐT Cô – si với hai số không âm:  x;x  , ta có:   x  x  1   x  x   Trang Học Sinh Giỏi Lớp (Vòng 1) – Quận (2015-2016) CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2015 -2016  25  125 Do đó: P2  3x2  15x  25  7x   x   10  x2  5x     25   2   175 175  14  14  10  x        P   2 2    Dấu “=” xảy  x   thỏa điều kiện 5 14 Vậy Pmax  x  2 b) Cho a, b, c, d số nguyên thỏa mãn: a2  b2  c2  d2 Chứng minh rằng: (abcd  2015) viết dạng hiệu hai số phương (1,5 điểm) Ta có:  2m  1  4m  m  1  Do với m  Z  2m  1 chia dư Nên với a, b, c, d lẻ a2 ,b2 ,c2 ,d2 chia dư Suy ra: không xảy a2  b2  c2  d2 (vì vế trái chia dư 1, vế phải chia dư 3) Vậy số a, b, c, d có số chẵn Ta có: a.b.c.d  2015 số lẻ Đặt a.b.c.d  2015  2n  1 n  Z  2n    n   n n   n   n  1  n2 Vậy ta có điều phải chứng minh Bài 3: (4 điểm) Giải phương trình sau: a) x    x  x2  6x  (2 điểm) Điều kiện: 2  x  Ta có: x    x  x2  6x    x      3  x       x      x  x  6x    1  x  2     x   1 x   1  x  x   1  x  Do 2  x    x  nên biểu thức dấu ngoặc thứ hai dương Do đó: x    x  Vậy S  2  b)  x   x    x  56 x  x 8  (2 điểm) 16 Điều kiện: x  Phương trình cho trở thành: x  56  16 x   x  x   16 x   64  x  x  x 8 8  x  x  16  x   x  16    4  x    x  32x  256 x  16 x  16      x  24  nhận x  36x  288   x  24  x  12     Vậy S  24 Trang Học Sinh Giỏi Lớp (Vòng 1) – Quận (2015-2016) CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2015 -2016 Bài 4: (6 điểm) Cho điểm A nằm đường (O;R) Vẽ AB, AC tiếp tuyến (O) (B, C tiếp điểm) Gọi H giao điểm OA BC, M điểm di động đoạn thẳng BH, đường thẳng AM cắt đường tròn (O) D, E (D nằm A M) Vẽ ON vuông góc với DE N K B E N M O D H A C a) Chứng minh: AB2  AM.AN (3 Điểm) Chứng minh được: OA đường trung trực BC  OA  BC H Ta có: AB2  AH.AO  AM.AN b) Xác đònh vò trí điểm M để tổng AD  3AN  AE đạt giá trò nhỏ (2 Điểm) Ta có: AN  AO (quan hệ đường vuông góc – đường xiên) ON  DE  N trung điểm DE  NE  ND Ta có: AD  3AN  AE  AN  DN  3AN  AN  EN  AN  AO : không đổi Dấu “=” xảy  N  O  M  H Vậy M giao điểm AO BC AD  3AN  AE đạt GTNN c) Chứng minh rằng: bốn điểm D, E, O, H thuộc đường tròn (1 Điểm) Gọi K giao điểm đường ON BC ON OA ONA ∽ OHK  g  g     ON.OK  OH.OA OH OK  ON.OK  OE2 OEK ∽ ONE c  g  c  OEK  ONE  900 Do đó: ODK  OEK  OHK  900  D,H,E thuộc đường tròn đường kính OK  D,H,E,O,K thuộc đường tròn  D, E, O, H Trang Học Sinh Giỏi Lớp (Vòng 1) – Quận (2015-2016) CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2015 -2016 Bài 5: (1 điểm) “Mắt thần dành cho người khiếm thò – Sống cho đâu nhận riêng mình” Thủ tướng Chính phủ Nguyễn Tấn Dũng dành trọn buổi sáng (11-9-2015) trụ sở Bộ Khoa học Công nghệ để gặp gỡ, lắng nghe nhà khoa học trẻ tiêu biểu năm 2015 Trước chia sẻ thẳng thắn nhà khoa học trẻ phát minh, sáng chế chông gai đường nghiên cứu khoa học – công nghệ Cả nước có 1,2 triệu người khiếm thò, 300.000 người mù hoàn toàn Mắt thần dành cho người khiếm thò Tiến só Nguyễn Bá Hải (ĐHSP Kỹ Thuật TP Hồ Chí Minh) nghiên cứu, chế tạo tặng hoàn toàn cho người có hoàn cảnh khó khăn, trẻ em nghèo, người mù bán vé số… Đáng ý, sản phẩm đối tác Mỹ quan tâm, muốn đặt hàng Thủ tướng Chính phủ trực tiếp đặt hàng 300.000 Trong hội nghò có 70 thành viên nam số thành viên nữ Tất nhà khoa học trẻ nhà lảnh đạo Chính phủ, phóng viên truyền thông Biết số thành viên nữ nhà khoa học trẻ số thành viên nam nhà lảnh đạo, phóng viên truyền thông Hỏi hội nghò có nam nữ nhà khoa học trẻ? Gọi số nữ nhà khoa học trẻ x(người) (x số nguyên dương) Số thành viên nam nhà lảnh đạo, phóng viên truyền thông x(người) Số thành viên nam nhà khoa học trẻ: 70  x  người  Số nam số nữ nhà khoa học trẻ là: x   70  x   70 (người)  HẾT  Trang Học Sinh Giỏi Lớp (Vòng 1) – Quận (2015-2016) ... 5   1 10   1   21  80 10  2  4 62 10   (4 Điểm) 4    1  1  3 5 1 1 Vậy M   1 1 1 Bài 2: (3 điểm) a) Tìm giá trò lớn biểu thức: P  x  x    x  x  1, với ...  10 x  x2  x  1  2x   x  (1, 5 điểm)   x  x  1 Áp dụng BĐT Cô – si với hai số không âm:  x;x  , ta có:   x  x  1   x  x   Trang Học Sinh Giỏi Lớp (Vòng 1) – Quận (2 015 -2 016 )... Quận (2 015 -2 016 ) CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2 015 -2 016  25  12 5 Do đó: P2  3x2  15 x  25  7x   x   10  x2  5x     25   2   17 5 17 5  14  14  10  x  