Đề thi học sinh giỏi môn toán 6 quận 1 thành phố hồ chí minh năm học 2016 2107(có đáp án)

ỦY BAN NHÂN DÂN QUẬN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC VÒNG THI KIẾN THỨC NGÀY HỘI HỌC SINH CẤP TRUNG HỌC CƠ SỞ Năm học : 2016 – 2017 Môn thi: Toán - Lớp Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian giao đề Ngày thi: 23 tháng năm 2017 (Đề thi gồm có 01 trang) Câu 1: (6,5 điểm) Giải phương trình sau: a) ( x99−1 + x − 99) + ( x97− + x93− ) + ( x95− + x −595) = b) (4x − 5)2 (2x − 3)(x −1) = c) 23 +1 = − x −8 x − 5x − 24 x + Câu 2: (5,0 điểm) y 2y2 4y4 8y8 a) Giả sử x ≠ ± y thỏa mãn điều kiện: x + y + x + y2 + x + y4 + x8 − y8 = Chứng minh rằng: 5y = 4x b) Cho hai số dương a, b thỏa mãn a – b = a3 + b3 Chứng minh rằng: a2 + b2 < c) Cho a, b, c, d∈¢ thỏa mãn a3 + b3 = 2(c3 – 8d3) Chứng minh rằng: a + b + c + d chia hết cho Câu 3: (1,0 điểm) Khối lớp trường THCS có bốn lớp 81, 82, 83 84 Trung bình cộng số học sinh bốn lớp 39,5 Nếu chuyển em từ lớp 81 sang lớp 82 số học sinh hai lớp Số học sinh 83 trung bình cộng số học sinh hai lớp 81 82 Số học sinh 84 trung bình cộng số học sinh hai lớp 82 83 Tìm số học sinh ban đầu lớp Câu 4: (4,0 điểm) Cho tam giác ABC, điểm M nằm tam giác ABC Vẽ MD vuông góc với BC D, ME vuông góc với AC E, MF vuông góc với AB F Đặt MD = x, ME = y, MF = z a) Chứng minh x + y + z không phụ thuộc vào vị trí điểm M b) Xác định vị trí điểm M để x2 + y2 + z2 đạt giá trị nhỏ Câu 5: (3,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC, BD CE hai đường cao cắt H a) Chứng minh rằng: ∆HED ~ ∆HBC b) Gọi M trung điểm cạnh BC, N điểm tia đối tia HA Đường thẳng qua N vuông góc với MH cắt AB, AC I, K Chứng minh rằng: N trung điểm IK HẾT GIẢI TÓM TẮT Câu 1: x −1 x − x − + x − x − 95 = + x − 99 + + + a) 99 97 93 95 )( ( )( )  +1+ + + +  x −1 x −3 x −7 x −5 x − 95 −1+ x − 99 −1+ −1+ − 1+ −1 + −1= ⇔ (x −100)  =0 97 93 4 95 435 ÷  994 4 ÷ 99 97 93 95   >0 ⇔ x −100 = ⇔ x =100 ⇔ b) (4x − 5)2 (2x − 3)(x −1) = ⇔ (16x − 40x + 25)(2x − 5x + 3) = ⇔ (16x − 40x + 25)(16x − 40x + 24) = 72(1) t =9 Đặt 16x − 40x + 25 = (4x − 5)2 = t ≥ (1) trở thành: t(t −1) = 72 ⇔ t − t − 72 = ⇔ t = −8 < ⇔ t =  x = 2 2 • 16x − 40x + 25 = ⇔ 16x − 40x +16 = ⇔ 2x − 5x + = ⇔  x =  c) 23 +1 = − x −8 x − 5x − 24 x + Câu 2: y 2y2 4y4 8y8 y 2y2 4y (x − y ) + 8y8 a) Với x ≠ ± y , ta có x + y + x + y2 + x + y4 + x8 − y8 = ⇔ x + y + x + y2 + (x − y4 )(x + y4 ) = ⇔ y 2y2 4y4 (x + y4 ) y 2y 4y4 y 2y (x − y ) + 4y + 2 + 4 4 =4⇔ + 2 + 4 =4⇔ + 2 2 =4 x + y x + y (x − y )(x + y ) x+y x +y x −y x + y (x − y )(x + y ) ⇔ y 2y2 (x + y2 ) y 2y y(x − y) + 2y2 y(x + y) y + 2 2 =4⇔ + 2 =4⇔ =4⇔ =4⇔ =4 x + y (x − y )(x + y ) x+y x −y (x − y)(x + y) (x − y)(x + y) x−y ⇔ y = 4x − 4y ⇔ 5y = 4x b) Với a, b > a – b = a3 + b3, ta có a − b = a + b3 > a − b3 = (a − b)(a + b + ab) ⇔ (a − b)(a + b2 + ab −1) < mà a – b = a3 + b3 > nên a + b2 + ab −1 < ⇔ a + b 0) c) Với a, b, c, d∈¢ ta có a3 + b3 = 2(c3 – 8d3) ⇒ a3 + b3 + c3 + d3 = 3c3 – 15d3 chia hết cho ⇒ a3 + b3 + c3 + d3 ≡ 0(mod 3) a ≡ (mod 3) –1 a3 ≡ (mod 3) –1 Suy a ≡ a3(mod 3) Tương tự b ≡ b3(mod 3); c ≡ c3(mod 3); d ≡ d3(mod 3) nên a + b + c + d ≡ a3 + b3 + c3 + d3 ≡ 0(mod 3) hay a + b + c + d chia hết cho Câu 3: Gọi số học sinh ban đầu lớp 81, 82, 83 , 84 x1, x2, x3 , x4 ∈¥ ∗ ⇒ x1+ x2 + x3 + x4 = 39,5.4 = 158 (học sinh)(1) • Ta có x1 – = x2 + ⇒ x1 = x2 + • x3 = x1 + x x +8 + x2 ⇒ x3 = = x + 2 x2 + x3 x +x +4 ⇒ x4 = 2 = x + Thế vào (1), tính x2 = 36 ; x1 = 44 ; x3 = 40 ; x4 = 38 2 Câu 4: a) Gọi cạnh tam giác ABC a chiều cao h Ta có : 1 1 1 SBMC + SCMA + SAMB = SABC ⇔ ax + ay + az = ah ⇔ a(x + y + z) = ah ⇔ x + y + z = h 2 2 2 A không phụ thuộc vào vị trí điểm M 2 2 2 2 b)• x + y ≥ 2xy; y + z ≥ 2yz; z + x ≥ 2zx ⇒ 2(x + y + z ) ≥ 2xy + 2yz + 2zx (x + y + z)2 h ⇒ 3(x + y2 + z ) ≥ x + y2 + z + 2xy + 2yz + 2zx ⇒ x + y + z ≥ = 3 F h a a không đổi y E z M Dấu ‘’=’’ xảy ⇔ x = y = z ⇔ M giao điểm đường phân giác ∆ABC(M tâm tam giác ABC) x x4 = a B D Câu 5: A a) • Ta có: ∆HEB ~ ∆HDC(g.g) ⇒ ∆HED ~ ∆HBC(c.g.c) b)Vẽ đường thẳng qua H vuông góc với MH cắt AB, AC F, G ⇒ FG // IK • Vẽ CV // MH(V ∈ BD) mà FG ⊥ MH ⇒ CV ⊥ FG, cho HG cắt CV T ⇒ HT ⊥ CV E • ∆HCV có hai đường cao CD HT cắt G ⇒ G trực tâm F · · ⇒ VG ⊥ CH mà BF ⊥ CH ⇒ BF // VG ⇒ FBH (so le trong) = GVH H M • ∆BVC có M trung điểm BCvà MH // CV ⇒ H trung điểm B BV ⇒ HB = HV N • ∆FHB = ∆GHV(g.c.g) ⇒ HF = HG I HF = AH = HG ⇒ NI = NK • HF // NI HG // NK nên (hệ định lý Ta-let) NI AN NK Có sai sót, kính mong Thầy Cô bạn thông cảm C V D T G C K ... x 10 0 = ⇔ x =10 0 ⇔ b) (4x − 5)2 (2x − 3)(x 1) = ⇔ (16 x − 40x + 25)(2x − 5x + 3) = ⇔ (16 x − 40x + 25) (16 x − 40x + 24) = 72 (1) t =9 Đặt 16 x − 40x + 25 = (4x − 5)2 = t ≥ (1) trở thành: t(t 1) ... hết cho Câu 3: Gọi số học sinh ban đầu lớp 81, 82, 83 , 84 x1, x2, x3 , x4 ∈¥ ∗ ⇒ x1+ x2 + x3 + x4 = 39,5.4 = 15 8 (học sinh) (1) • Ta có x1 – = x2 + ⇒ x1 = x2 + • x3 = x1 + x x +8 + x2 ⇒ x3 =...GIẢI TÓM TẮT Câu 1: x 1 x − x − + x − x − 95 = + x − 99 + + + a) 99 97 93 95 )( ( )( )  +1+ + + +  x 1 x −3 x −7 x −5 x − 95 1+ x − 99 1+ 1+ − 1+ 1 + 1= ⇔ (x 10 0)  =0 97 93 4 95