Đề thi học sinh giỏi toán 9 quận gò vấp thành phố hồ chí minh năm học 2015 2016(có đáp án)

Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Thăng Tiến Thăng Long 2015 -2016 ĐỀ THI HSG LỚP QUẬN GÒ VẤP – Vòng (2015-2016) Thời gian: 150 phút (NGÀY THI: 7/11/2015) Bài 1: (3 điểm) Cho a  b  ab  Chứng minh rằng:  ab   a b   b3  a3  a2 b2  Bài 2: (6 điểm) Giải phương trình sau: a) x  9x   20x      2x   9x x Bài 3: (3 điểm) Cho a, b số dương thỏa mãn điều kiện: a  b  Tìm GTNN biểu thức: P  a b  a b Bài 4: (3 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với Một đường cắt cạnh AD K, đường cắt bên cạnh CD L Gọi F giao điểm KL AC Chứng minh: BF  KL   300 Về phía ABC dựng tam giác ACD Chứng Bài 5: (3 điểm) Cho ABC có ABC b) minh: AB2  BC2  BD2 Bài 6: (2 điểm) Trên bảng số Hai bạn Nhân Chia chơi trò chơi sau: Bạn Nhân, đến lượt đem số bảng nhân với đem kết thay cho số bảng; Bạn Chia, đến lượt đem số bảng cộng chia cho đem kết thay cho số cũ Ai kết 2015 người thắng Nhân trước, Chia sau sau 2016 lượt chơi (mỗi bạn chơi 2016 lần) Chia thắng a) Hỏi số bảng lúc đầu bao nhiêu? b) Nếu Chia trước thắng   HẾT   Trang Học Sinh Giỏi Lớp – – Quận gò vấp 15-16 2015 -2016 Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Thăng Tiến Thăng Long ĐỀ THI HSG LỚP QUẬN GÒ VẤP – Vòng (2015-2016) HƯỚNG DẪN Bài 1: (3 điểm) Cho a  b  ab  Chứng minh rằng: a   ab   a b   2 b 1 a 1 a b  3  2a2 b2  1  2ab   2a2 b2  a b a a b b   3   Ta có: b  a  a b  a  b3  a3 b3   a  b  a2  ab  b2  a3 b3  1  3ab   4  b2 4ab  2a2 b2 2ab   ab    3  2   ab   a b  3ab a b  a2 b    Bài 2: (6 điểm) Giải phương trình sau: a) x  9x   20x          x  3 x  3 3x  1 3x  1  20x   3x  10x  3x  10x   20x          3x   100x  20x   3x   10x  1   3x  10x  3x  10x   2  13 2 x         13   19 3   x      x         3   3 9  19   x   3   13 19    ;  Vậy S     3     b)  2x   9x x  2x  9x  (Điều kiện: x  ) x 2  2x    9x  5  81x3  90x  27x     3x   27x  12x   x   x   nhận   2    3x   3x  1 9x  1    x   loại   x  Vậy S    3 3   x   loại     Trang Học Sinh Giỏi Lớp – –  Quận gò vấp 15-16 Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Thăng Tiến Thăng Long 2015 -2016 Bài 3: (3 điểm) Cho a, b số dương thỏa mãn điều kiện: a  b  Tìm GTNN biểu thức: P  a b  a b Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương, ta được:  16a  a   16b   24  b Mà 15  a  b   15 Nên a  b    17  P  17 a b  a  Dấu “=” xảy  b   1 3 Vậy Pmin  17  x; y    ;  4 4 Bài 4: (3 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với Một đường cắt cạnh AD K, đường cắt bên cạnh CD L Gọi F giao điểm KL AC Chứng minh: BF  KL B A K F D Cách 1: L C     CBK; A  C   900  AB  BK  AB  BC Chứng minh được: ABK ∽ CBL ABK BC BL BK BL Xét BKL ABC , ta có:   ABC   90 KBL    BCF   BKL ∽ BAC  c  g  c   BLF  AB BC    cmt   BK BL   BCL   900  BF  KL  Tứ giác BFCL nội tiếp  BFL   Cách 2:   BAC  Ta có: ABK ∽ CBL  KBL ∽ ABC  BKL HK HA  HKF ∽ HAB    AHK ∽ BHF HF HB   HFB   HFK   HKA   HBA   900  BF  KL  BFK Trang Học Sinh Giỏi Lớp – – Quận gò vấp 15-16 Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Thăng Tiến Thăng Long 2015 -2016   300 Về phía ABC dựng tam giác ACD Chứng Bài 5: (3 điểm) Cho ABC có ABC minh: AB2  BC2  BD2 D A B C L   600  ABL   300  600  900 Về phía ABC dựng tam giác BCL  CBL  AL2  AB2  BL2  Đònh lý Pytago ABL vuông B  AL2  AB2  BC2  Vì BL = BC  (1)     ACL    BCL   600  ACD   ACB   BCL   ACB   BCD Ta có: ACD Ta có: BCD  LCA  c  g  c   BD  AL   Từ (1) (2) suy ra: AB2  BC2  BD2 Bài 6: (2 điểm) Trên bảng số Hai bạn Nhân Chia chơi trò chơi sau: Bạn Nhân, đến lượt đem số bảng nhân với đem kết thay cho số bảng; Bạn Chia, đến lượt đem số bảng cộng chia cho đem kết thay cho số cũ Ai kết 2015 người thắng Nhân trước, Chia sau sau 2016 lượt chơi (mỗi bạn chơi 2016 lần) Chia thắng a) Hỏi số bảng lúc đầu bao nhiêu? Gọi x số bảng Sau bước Nhân, số là: 2x 2x   x  0,5 Sau bước Chia, số là: Như sau lượt chơi số bảng tăng lên 0,5 Do sau 2016 lượt chơi số bảng là: x  0,5.2016  x  1008 Vậy x  1007 b) Nếu Chia trước thắng x 1  0,5x  0,5 Sau bước chảu Nhân, số là:  0,5x  0,5  x  Sau bước Chia, số là: Như sau lượt chơi số bảng tăng lên Do sau 1008 lượt chơi số bảng là: 1007  1008  2015 Vậy Nhân người thắng   HẾT   Trang Học Sinh Giỏi Lớp – – Quận gò vấp 15-16 .. .2015 -2016 Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Thăng Tiến Thăng Long ĐỀ THI HSG LỚP QUẬN GÒ VẤP – Vòng (2015- 2016) HƯỚNG DẪN Bài 1: (3 điểm) Cho a  b  ab  Chứng minh rằng: a   ab... BFK Trang Học Sinh Giỏi Lớp – – Quận gò vấp 15-16 Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Thăng Tiến Thăng Long 2015 -2016   300 Về phía ABC dựng tam giác ACD Chứng Bài 5: (3 điểm) Cho ABC có ABC minh: AB2...   19 3   x      x         3   3 9  19   x   3   13 19    ;  Vậy S     3     b)  2x   9x x  2x  9x  (Điều kiện: x  ) x 2  2x    9x 