Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Thăng Tiến Thăng Long 2015 -2016 ĐỀ THI HSG LỚP QUẬN GÒ VẤP – Vòng (2015-2016) Thời gian: 150 phút (NGÀY THI: 7/11/2015) Bài 1: (3 điểm) Cho a b ab Chứng minh rằng: ab a b b3 a3 a2 b2 Bài 2: (6 điểm) Giải phương trình sau: a) x 9x 20x 2x 9x x Bài 3: (3 điểm) Cho a, b số dương thỏa mãn điều kiện: a b Tìm GTNN biểu thức: P a b a b Bài 4: (3 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với Một đường cắt cạnh AD K, đường cắt bên cạnh CD L Gọi F giao điểm KL AC Chứng minh: BF KL 300 Về phía ABC dựng tam giác ACD Chứng Bài 5: (3 điểm) Cho ABC có ABC b) minh: AB2 BC2 BD2 Bài 6: (2 điểm) Trên bảng số Hai bạn Nhân Chia chơi trò chơi sau: Bạn Nhân, đến lượt đem số bảng nhân với đem kết thay cho số bảng; Bạn Chia, đến lượt đem số bảng cộng chia cho đem kết thay cho số cũ Ai kết 2015 người thắng Nhân trước, Chia sau sau 2016 lượt chơi (mỗi bạn chơi 2016 lần) Chia thắng a) Hỏi số bảng lúc đầu bao nhiêu? b) Nếu Chia trước thắng HẾT Trang Học Sinh Giỏi Lớp – – Quận gò vấp 15-16 2015 -2016 Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Thăng Tiến Thăng Long ĐỀ THI HSG LỚP QUẬN GÒ VẤP – Vòng (2015-2016) HƯỚNG DẪN Bài 1: (3 điểm) Cho a b ab Chứng minh rằng: a ab a b 2 b 1 a 1 a b 3 2a2 b2 1 2ab 2a2 b2 a b a a b b 3 Ta có: b a a b a b3 a3 b3 a b a2 ab b2 a3 b3 1 3ab 4 b2 4ab 2a2 b2 2ab ab 3 2 ab a b 3ab a b a2 b Bài 2: (6 điểm) Giải phương trình sau: a) x 9x 20x x 3 x 3 3x 1 3x 1 20x 3x 10x 3x 10x 20x 3x 100x 20x 3x 10x 1 3x 10x 3x 10x 2 13 2 x 13 19 3 x x 3 3 9 19 x 3 13 19 ; Vậy S 3 b) 2x 9x x 2x 9x (Điều kiện: x ) x 2 2x 9x 5 81x3 90x 27x 3x 27x 12x x x nhận 2 3x 3x 1 9x 1 x loại x Vậy S 3 3 x loại Trang Học Sinh Giỏi Lớp – – Quận gò vấp 15-16 Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Thăng Tiến Thăng Long 2015 -2016 Bài 3: (3 điểm) Cho a, b số dương thỏa mãn điều kiện: a b Tìm GTNN biểu thức: P a b a b Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương, ta được: 16a a 16b 24 b Mà 15 a b 15 Nên a b 17 P 17 a b a Dấu “=” xảy b 1 3 Vậy Pmin 17 x; y ; 4 4 Bài 4: (3 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với Một đường cắt cạnh AD K, đường cắt bên cạnh CD L Gọi F giao điểm KL AC Chứng minh: BF KL B A K F D Cách 1: L C CBK; A C 900 AB BK AB BC Chứng minh được: ABK ∽ CBL ABK BC BL BK BL Xét BKL ABC , ta có: ABC 90 KBL BCF BKL ∽ BAC c g c BLF AB BC cmt BK BL BCL 900 BF KL Tứ giác BFCL nội tiếp BFL Cách 2: BAC Ta có: ABK ∽ CBL KBL ∽ ABC BKL HK HA HKF ∽ HAB AHK ∽ BHF HF HB HFB HFK HKA HBA 900 BF KL BFK Trang Học Sinh Giỏi Lớp – – Quận gò vấp 15-16 Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Thăng Tiến Thăng Long 2015 -2016 300 Về phía ABC dựng tam giác ACD Chứng Bài 5: (3 điểm) Cho ABC có ABC minh: AB2 BC2 BD2 D A B C L 600 ABL 300 600 900 Về phía ABC dựng tam giác BCL CBL AL2 AB2 BL2 Đònh lý Pytago ABL vuông B AL2 AB2 BC2 Vì BL = BC (1) ACL BCL 600 ACD ACB BCL ACB BCD Ta có: ACD Ta có: BCD LCA c g c BD AL Từ (1) (2) suy ra: AB2 BC2 BD2 Bài 6: (2 điểm) Trên bảng số Hai bạn Nhân Chia chơi trò chơi sau: Bạn Nhân, đến lượt đem số bảng nhân với đem kết thay cho số bảng; Bạn Chia, đến lượt đem số bảng cộng chia cho đem kết thay cho số cũ Ai kết 2015 người thắng Nhân trước, Chia sau sau 2016 lượt chơi (mỗi bạn chơi 2016 lần) Chia thắng a) Hỏi số bảng lúc đầu bao nhiêu? Gọi x số bảng Sau bước Nhân, số là: 2x 2x x 0,5 Sau bước Chia, số là: Như sau lượt chơi số bảng tăng lên 0,5 Do sau 2016 lượt chơi số bảng là: x 0,5.2016 x 1008 Vậy x 1007 b) Nếu Chia trước thắng x 1 0,5x 0,5 Sau bước chảu Nhân, số là: 0,5x 0,5 x Sau bước Chia, số là: Như sau lượt chơi số bảng tăng lên Do sau 1008 lượt chơi số bảng là: 1007 1008 2015 Vậy Nhân người thắng HẾT Trang Học Sinh Giỏi Lớp – – Quận gò vấp 15-16 .. .2015 -2016 Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Thăng Tiến Thăng Long ĐỀ THI HSG LỚP QUẬN GÒ VẤP – Vòng (2015- 2016) HƯỚNG DẪN Bài 1: (3 điểm) Cho a b ab Chứng minh rằng: a ab... BFK Trang Học Sinh Giỏi Lớp – – Quận gò vấp 15-16 Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Thăng Tiến Thăng Long 2015 -2016 300 Về phía ABC dựng tam giác ACD Chứng Bài 5: (3 điểm) Cho ABC có ABC minh: AB2... 19 3 x x 3 3 9 19 x 3 13 19 ; Vậy S 3 b) 2x 9x x 2x 9x (Điều kiện: x ) x 2 2x 9x