Đề thi học sinh giỏi toán 9 quận tân phú thành phố hồ chí minh năm học 2014 2015(có đáp án)

CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG ĐỀ THI HSG LỚP VÒNG – Năm Học: 2014-2015 QUẬN TÂN PHÚ Thời gian: 120 phút (NGÀY THI: 23/08/2014) Bài 1: (2 điểm) Cho a3  b3  c3  3abc a  b  c  Tính: N  Bài 2: (4 điểm) 1) Giải phương trình:  a2  b2  c2  a  b  c  4x   3x   x  2) Trường THCS A có 1050 học sinh Hiệu trưởng muốn phấn đấu để xây dựng trường đạt chuẩn quốc gia nên trường xây thêm phòng học Kết só số trung bình lớp giảm xuống học sinh Tuy nhiên, để trở thành trường đạt chuẩn quốc gia só số trung bình lớp học phải giảm thêm học sinh Để đạt đó, trường cần phải xây thêm phòng học Em cho biết để thực xây dựng trường đạt chuẩn quốc gia trường cần phải có tất phòng học lớp có học sinh? Bài 3: (4 điểm) Giải hệ phương trình: 1) Cho a, b, c số đo cạnh ABC Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương, chứng minh:  b  c  a c  a  b a  b  c  abc 2) Cho a, b, c số thực dương cho a  b  c  Tìm GTNN của: 2015 P  2 a  b  c ab  bc  ca Bài 4: (8 điểm) Cho ABC nội tiếp (O) đường kính BC, AB < AC Vẽ đường cao AH ABC , BC  25cm , AH  12cm 1) Tính AB, AC 2) Vẽ  O1  nội tiếp ABC Gọi I, J, K tiếp điểm  O1  lean BC, AC, AB KI cắt AH N Trên AB lấy L cho AL = AN Chứng minh: BL = AK từ suy LO1 qua trung điểm AC 3) Vẽ đường kính AD (O) Vẽ đường thẳng song song với AD qua B, C cắt (O) E, F Gọi H1;H2 trực tâm ABF, ACE Chứng minh trung điểm H1H2 điểm cố đònh Bài 5: (2 điểm) 1) Tìm n  N để A  n4  n  số phương xy yz xz 2) Tìm x,y,z  Z biết   3 z x y   HẾT   HSG L9 – Vòng - Q.TP (2014-2015) CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG ĐỀ THI HSG LỚP VÒNG – Năm Học: 2014-2015 QUẬN TÂN PHÚ Thời gian: 120 phút (NGÀY THI: 23/08/2014) Bài 1: (2 điểm) Cho a3  b3  c3  3abc a  b  c  Tính: N  a2  b2  c2  a  b  c Ta có: a3  b3  c3  3abc  a3  b3  c3  3abc    a  b  3ab  a  b  c3  3abc    a  b  c   a  b c  a  b  c  3ab  a  b  c  3    a  b  c  a    a  b  c a2  b2  c2  2ab  2bc  2ca  3ab  3bc  3ca    b2  c2  ab  bc  ca   a2  b2  c2  ab  bc  ca   a +b  c     a  b    b  c    c  a   a  b  c Khi đó: N  2 a2  b2  c2  a  b  c Bài 2: (4 điểm) 1) Giải phương trình:   a2  a2  a2  a  a  a  3a2 3a   4x   3x   x  4x   3x   x    4x   3x  1   x   Điều kiện: x       x  4  x  4     4x   3x    4x   3x     x    4x   3x      4x   3x    x +  x       4x   3x    4x  53x  1  81  12x2  19x   75  7x   75 75 x  x    7 48x  76x  20  49x  1050x  5625 x  1126x  5605     75 x      x  1121 loại Vậy S  5      x   nhận  2) Trường THCS A có 1050 học sinh Hiệu trưởng muốn phấn đấu để xây dựng trường đạt chuẩn quốc gia nên trường xây thêm phòng học Kết só số trung bình lớp giảm xuống học sinh Tuy nhiên, để trở thành trường đạt chuẩn quốc gia só số trung bình lớp học phải giảm thêm học sinh Để đạt đó, trường cần phải xây thêm phòng học Em cho biết để thực xây dựng trường đạt chuẩn quốc gia trường cần phải có tất phòng học lớp có học sinh? HSG L9 – Vòng - Q.TP (2014-2015) CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG  Gọi x (học sinh) số học sinh trung bình lớp x  N* ;x  1050 Số phòng học trường là:  1050  phòng  x 1050   phòng  x Số học sinh trung bình lớp sau xây thêm phòng là:  x  8 học sinh Số phòng học sau xây thêm phòng là: Số học sinh trung bình lớp để trường đạt chuẩn quốc gia là: x    x  15  học sinh Số phòng học trường để trường đạt chuẩn quốc gia là: 1050 1050 45   phòng  x x Ta có phương trình:  1050   1050     x  8      x  15   1050x  8400  4x2  32x  1050x  15750  9x2  135   x   x   x  50  nhận   5x  103x  7350    x  50  5x  147     147 x    loại   Vậy số học sinh trung bình lớp là: 50(học sinh) 1050 Số phòng học trường là:  21 phòng  50 Bài 3: (4 điểm) Giải hệ phương trình: 1) Cho a, b, c số đo cạnh ABC Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương, chứng minh:  b  c  a c  a  b a  b  c  abc Do a, b, c độ dài cạnh tam giác nên áp dụng BĐT tam giác, ta được: a  b  c a  b  c    b  c  a  b  c  a  c  a  b c  a  b    Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương, ta được:   b  c  a   c  a  b    b  c  a c  a  b  c   b  c  a c  a  b      c  a  b   a  b  c    c  a  b a  b  c  a   c  a  b a  b  c     b   b  c  a a  b  c   b  c  a   a  b  c     b  c  a a  b  c   Nhân vế theo vế, ta được:  b  c  a c  a  b a  b  c  abc Vậy BĐT chứng minh 2) Cho a, b, c số thực dương cho a  b  c  Tìm GTNN của: 2015 P  2 a  b  c ab  bc  ca P 2015 1 2013      2 2 a  b  c ab  bc  ca a  b  c ab  bc  ca ab  bc  ca ab  bc  ca HSG L9 – Vòng - Q.TP (2014-2015) CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG Áp dụng BĐT: 1    , x,y,z  ; dấu “=” xảy x = y = z, ta được: x y z xyz 1     1 a + b  c   (1) 2 a  b  c ab  bc  ca ab  bc  ca  a  b  c2 Áp dụng BĐT  xy  yz  zx    x  y  z  ; dấu “=” xảy x  y  z , ta được:  ab  bc  ca   a  b  c   a + b + c  3  ab  bc  ca  1 2013 2013 (2)    ab  bc  ca ab  bc  ca Từ (1) (2) cộng vế theo vế, ta được: P  672 Dấu “=” xảy x = y = z = Vậy Pmin  672 x  y  z   Bài 4: (8 điểm) Cho ABC nội tiếp (O) đường kính BC, AB < AC Vẽ đường cao AH ABC , BC  25cm , AH  12cm A AL = AN J K O1 L N B H I O C 1) Tính AB, AC Đặt BH = x, x > suy HC = 25 – x 25  x   nhận Ta có: AH2  BH.HC  252  x  25  x     BH   cm  x  16  loại  Ta có: AB2  BH.BC  AB2  9.25  AB  15  cm Do AB < AC nên BH < HC  x  25  x  x  AC2  CH.BC  AC2  16.25  AC  20  cm 2) Vẽ  O1  nội tiếp ABC Gọi I, J, K tiếp điểm  O1  lean BC, AC, AB KI cắt AH N Trên AB lấy L cho AL = AN Chứng minh: BL = AK từ suy LO1 qua trung điểm AC Từ A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt IK S HSG L9 – Vòng - Q.TP (2014-2015) CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG ASK  KIB     Ta có: AKS  IKB    ASK  AKS  SAK cân A  AS  AK  KIB  IKB    Mà AK = AJ nên AS = AJ Do đó: ANS  ALJ c  g  c  ANS  ALJ mà ANS  ASK  900 nên ALJ  ASK  900 Mặt khác: ASK  AKS  LKN nên ALJ  LKN  900  LJ  KI mà BO1  KI nên LJ // BO1  LJ // BO1  cmt Xét tứ giác BLJO1 , ta có:   BL // JO1   AC  tứ giác BLJO1 hình bình hành (…)  BL  O1J  AK Cách (tính toán) AB  AC  BC 15  20  25 Ta có: AK     O1I   cm 2 Ta chứng minh được: HIN ∽ IO1B g  g   NH  BI.HI 1.10    cm  AN  AH  NH  12   10  cm O1I mà AL = AN (gt) nên AL = 10 (cm)  BL  AB  AL  15  10   cm Do đó: BL = AK Gọi Q giao điểm LO1 AC Ta chứng minh AK = KL (=5cm)  K trung điểm AL nên dễ chứng minh O1AL vuông cân O1   ALQ vuông cân A  AQ  AL  10  cm  CQ  AC  AQ  20  10  10  cm Do AQ = CQ (=10 cm)  Q trung điểm AC  LO1 qua trung điểm AC 3) Vẽ đường kính AD (O) Vẽ đường thẳng song song với AD qua B, C cắt (O) E, F Gọi H1;H2 trực tâm ABF, ACE Chứng minh: A trung điểm H1H2 HSG L9 – Vòng - Q.TP (2014-2015) CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG H2 A F J K O1 H1 B C O H I E D Ta có: CF // AD CF  CE  AD  CE Ta chứng minh tứ giác BFCE hình chữ nhật…  O trung điểm dây EF  EF đường kính (O)  AEF vuông A  AE  FA mà FA  BH2   nên AE // BH2 Ta có: CF // AD CF  CE  AD  CE mà AH1  CE nên AD  AH1  H1  AD Cmtt, ta có: H2  AD , H1 ,A,H2 thẳng hàng  AH1  BE tứ giác ABEH1là hình bình hành Ta có:   AH2  BE tứ giác AEBH2 hình bình hành  AH1  AH2 mà H1 ,A,H2 thẳng hàng nên A trung điểm H1H2 Bài 5: (2 điểm) 1) Tìm n  N để A  n4  n  số phương Đặt A  n4  n   k2 (không tính tổng quát, giả sử k  N ) * Xét n = A = (loại) * Xét n = A = (loại)   * Xét n    n   n4  n   n4  n2   2 Ta chứng minh: n2   n4  n   n4  2n2   n4  n   2n2  n      1   n        16    Vậy n2   n4  n   n2      n2   k2  n2  k2  n4 HSG L9 – Vòng - Q.TP (2014-2015) CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG  n4  n   n4  n  Thử lại A = 16 số phương Vậy n = A số phương 2) Tìm x,y,z  Z biết xy yz xz   3 z x y Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:  xy yz xy yz 2   2y   x z x z  yz xz yz xz 2   2z   y x y x  xy xz xy xz   2   2x y z y  z  xy yz xz xy yz xz    x  y  z mà    nên x  y  z  z x y z x y Mặt khác x, y, z  Z nên x = y = z = Cách 2: Do vai trò x, y, z nên không tính tổng quát ta giả sử: x  y  z  Ta có: y x xy yz zx z y x     z     z  2z  3z   3z  z   z  z  Z z x y z x y x y  Với z = VT 1  xy    x  y  x,y  Z   y x y x   xy   xy    xy   xy   xy  x,y  Z x y x y  Thử lại ta thấy x  y  z  thỏa đề Vậy nguyên dương phương trình là:  x;y;z    x;y;z    HẾT   HSG L9 – Vòng - Q.TP (2014-2015)  CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 ĐỀ THI HSG LỚP VÒNG 2, QUẬN TÂN PHÚ (2014-2015) (NGÀY THI: 29/11/2014) Bài 1: Cho a, b, c khác a + b+ c = Hãy chứng minh: a4 b4 c4    2 a4  b2  c2 b4  c2  a2 c4  a2  b2    Bài 2: Giải phương trình:       x   x  2x  x2  x    a b  2a b  2b a 2x  Bài 4: Tìm giá trò lớn nhỏ A  x 2 Bài 5: Cho hình chữ nhật ABCD Lấy M N trung điểm AD BC Trên tia đối tia DC lấy P, PM cắt AC Q Chứng minh: MP.NQ = MQ.NP Bài 3: Cho a, b dương Hãy chứng minh:  a  b  Bài 6: Tìm cặp số nguyên cho tích lần tổng   HẾT   Trang Học Sinh Giỏi Lớp (Vòng 2) – Quận TÂN PHÚ (14-15) CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 ĐỀ THI HSG LỚP (Vòng 2) Quận TÂN PHÚ – (2014-2015) HƯỚNG DẪN Bài 1: Cho a, b, c khác a + b + c = Hãy chứng minh: a4 b4 c4    2 a4  b2  c2 b4  c2  a2 c4  a2  b2       Ta có: a + b + c =  a  b  c   a  b   c  a3  b3  3ab  a  b  c3 3  a3  b3  c3  3ab  a  b  a3  b3  c3  3abc  a + b =  c Ta có: a + b + c = a2  b2  c2 a  b  c a2  b2  2ab  c2      b  c  a   b2  c2  2bc  a2   b2  c2  a2 c  a   b c2  a2  2ca  b2 c2  a2  b2    4 a b Ta có : VT    2 2 2 a  b c b  c a c4   = a    a4   b2  c2 a2  b2  c2   b  2ab  2bc  2ca c4 a  b2  b4   c2  a2 b2  c2  a2   c c4   a2  b2 c2  a2  b2  a4 b4 c4 =    2ca 2ab  2ab 2bc  2bc 2ca  a2 b2 c2        bc ca ab  Vậy a4  a4  b2  c2   b4  b4  c2  a2 Bài 2: Giải phương trình:   a3  b3  c3    4 abc      3abc      VP  abc  c4  c4  a2  b2    x   x  2x  x2  x    x   x  1  x2 Điều kiện:  x   x  Ta có:      x   x  2x  x2  x     x 1  x  x 1 Trang  x  1 x    x    Học Sinh Giỏi Lớp (Vòng 2) – Quận TÂN PHÚ (14-15) CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG   x 1  x 2  x 1  x 2  8   x 1  x 2  2014 -2015  23  x 1  x 2   x  1 x    x    x  1 x    2x   x 1 2 2x    4  x   x    4x  20x  25  x   x  33 (nhận so với điều kiện x  2)  16 x  33  16  33  Vậy S    16  Bài 3: Cho a, b dương Hãy chứng minh:  a  b  a b  2a b  2b a  1   a  b  a  b    ab a  b 2  a b  2a b  2b a Ta có:  a  b    Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:  1 a   a   a 1  4  a  b  a  b  a b  a  b  4 1  b   b   b  4 2 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: a  b  ab  1 Từ (1) (2), ta suy  a  b  a  b    ab 2  a b  2a b  2b a Vậy  a  b  Bài 4: Tìm giá trò lớn nhỏ A  1  a b  2x  x2  2 2x  2x   x  x  2x    x  1 1      A 1 Ta có : A   x 2 x2  x2  x2  Vậy Amax  Dấu ''='' xảy x    x  Ta có : A  2 2x  1  2x  1  x  x  4x   x        0A 2 2 x 2 2 x 2 x 2 x 2       Vậy Amin   Dấu ''='' xảy x    x  2 Trang Học Sinh Giỏi Lớp (Vòng 2) – Quận TÂN PHÚ (14-15) CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 Bài 5: Cho hình chữ nhật ABCD Lấy M N trung điểm AD BC Trên tia đối tia DC lấy P, PM cắt AC Q Chứng minh: MP.NQ = MQ.NP A B Q N M P O C D T ` Gọi T giao điểm QN DC Gọi O giao điểm AC MN Ta dễ chứng minh tứ giác ANCM hình bình hành Do đó, O trung điểm MN  OM QO    OM ON   PC QC Ta có:    mà OM  ON   nên PC = CT PC CT  ON  QO    CT QC Do đó, NPT cân N  NTP  NPT MNP  NPT  góc so le MN // PT  Mà   QNP  NTP  góc đồng vò MN // PT nên MNP  QNP  MN đường phân giác NPQ  MP NP   tính chất đường phân giác NPQ MQ NQ  MP.NQ = MQ.NP Bài 6: Tìm cặp số nguyên cho tích lần tổng Gọi a, b số cần tìm ( a, b  Z ) Theo đề bài, ta có: ab = 7(a+b)   a   b    49 Do a, b số nguyên nên ta có bảng sau: a–7 -1 49 -49 -7 b – 49 -49 -1 -7 A 56 -42 14 B 56 -42 14 Vậy cặp số nguyên cần tìm là: (8;56), (56;8), (6;-42), (-42;6), (14;14), (0;0)   HẾT   Trang Học Sinh Giỏi Lớp (Vòng 2) – Quận TÂN PHÚ (14-15) [...]... Gọi a, b là 2 số cần tìm ( a, b  Z ) Theo đề bài, ta có: ab = 7(a+b)   a  7  b  7   49 Do a, b là 2 số nguyên nên ta có bảng sau: a–7 1 -1 49 - 49 7 -7 b – 7 49 - 49 1 -1 7 -7 A 8 6 56 -42 14 0 B 56 -42 8 6 14 0 Vậy các cặp số nguyên cần tìm là: (8;56), (56;8), (6;-42), (-42;6), (14;14), (0;0)   HẾT   Trang 4 Học Sinh Giỏi Lớp 9 (Vòng 2) – Quận TÂN PHÚ (14-15) ...CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 Bài 5: Cho hình chữ nhật ABCD Lấy M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC Trên tia đối của tia DC lấy P, PM cắt AC tại Q Chứng minh: MP.NQ = MQ.NP A B Q N M P O C D T ` Gọi T là giao điểm của QN và DC Gọi O là giao điểm của AC và MN Ta dễ chứng minh được tứ giác ANCM là hình bình hành Do đó, O là trung điểm của MN ...CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG ĐỀ THI HSG LỚP VÒNG – Năm Học: 2014- 2015 QUẬN TÂN PHÚ Thời gian: 120 phút (NGÀY THI: 23/08 /2014) Bài 1: (2 điểm) Cho a3  b3  c3  3abc a ... lớp học phải giảm thêm học sinh Để đạt đó, trường cần phải xây thêm phòng học Em cho biết để thực xây dựng trường đạt chuẩn quốc gia trường cần phải có tất phòng học lớp có học sinh? HSG L9 –... (2014- 2015) CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG  Gọi x (học sinh) số học sinh trung bình lớp x  N* ;x  1050 Số phòng học trường là:  1050  phòng  x 1050   phòng  x Số học sinh