Trên phần kéo dài của BC lấy điểm M bất kì.. Qua M kẻ các đường thẳng song song với AB, AC lần lượt cắt AC, AB tại N, P.. a Chứng minh rằng ∆BMP cân đỉnh P b Chứng minh hiệu hai cạnh liê
Trang 1Năm học 1997 − 1998
Bài 1 (2 điểm): 1) Cho phương trình x2 − 10x − m 2 = 0 (1)
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m
b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm trái dấu
HD: a) Δ’ = 25 + m 2 > 0 ∀ m nên pt liôn có 2 nghiệm fân biệt
b) PT (1) có hai nghiệm trái dấu x1 x 2 <O –m 2 < 0 điều này luôn đúng với∀ m, vậy pt trên luôn có 2 nghiệm trái dấu với ∀ m
2) Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại I Gọi M, N, P, Q lần lượt là hình chiếu của I trên AB, BC, CD, DA Chứng minh MNPQ là một tứ giác nội tiếp
HD:
Các tứ giác AMIQ, BNIM, CPIN và DQIP là các tứ
giác nội tiếp được trong đường tròn nên ta có các cặp
góc bằng nhau là: ¶ µ
M = A , µ ¶
P =D , ¶ µ
M =B ,
P =C cộng 4 đẳng thức trên ta được kết quả
M +M + + = +P P A D + +B C = + =
Vậy tứ giác MNPQ nội tiếp được trong đường tròn.
2 1
2 1
1 1
1 1
I
Q
P
N
M
D
C B
A
Bài 2 (4 điểm): 1) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình x2 − 2(m − 1)x + m − 3 = 0
a) Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức P = (x1) 2 + (x2) 2 theo m
b) Tìm m để P nhỏ nhất
HD: a) P = (x 1 + x 2 ) 2 − 2x 1 x 2 = 4(m − 1) 2 − 2(m − 3) = 4m 2 − 10m + 10
c) P =
2
2m
− + ≥
Dấu "=" xảy ra ⇔ m 5
4
=
2) Một canô xuôi dòng 45 km rồi lại ngược dòng 18 km Biết rằng thời gian xuôi lâu hơn thời gian ngược là 1 giờ và vận tốc xuôi lớn hơn vận tốc ngược là 6 km/h Tính vận tốc canô lúc ngược dòng.
HD: Gọi vận tốc ca nô lúc ngược dòng là x (x > 0)
Vận tốc ca nô khi xuôi dòng là x + 6
Ta có phương trình: 45 18 1
+ ⇔ 45x – 18x – 108 = x 2 + 6x ⇔ x 2 – 21x + 108 = 0
Bài 3 (4 điểm): Cho ∆ABC (AB = AB) Trên phần kéo dài của BC lấy điểm M bất kì Qua M kẻ các đường thẳng song song với AB, AC lần lượt cắt AC, AB tại N, P.
a) Chứng minh rằng ∆BMP cân đỉnh P
b) Chứng minh hiệu hai cạnh liên tiếp của tứ giác ANMP không phụ thuộc vào vị trí của M c) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Chứng minh rằng OP = ON
d) Chứng minh rằng tứ giác OAPN nội tiếp được trong đường tròn.
HD: a) Ta có: µM1 =Cµ (đồng vị) ⇒ ΔBMP cân đỉnh P
b) Ta có: PM – AP = BP – AP = AB = Const
c) Hai tam giác AON và BOP có:
OA = OB (bán kính đường tròn)
AN = BP (cùng bằng PM)
A =B (cùng bằng µ A )1 Suy ra: ΔAON = ΔBOP (c.g.c) ⇒ OP = ON
d) Từ ΔAON = ΔBOP (theo c) suy ra: ·APO ANO=·
Suy ra: Tứ giác OAPN nội tiếp
………
1 1
2 1
O
N
P
B
C
M A