Hình thành phương pháp học cho học sinh tiểu học

Lời nói đầu Trong Giải tích hàm, từ khái niệm hội tụ, liên tục hàm số không gian X, dựa vào Tôpô yếu X, ngời ta xây dựng khái niệm tơng ứng: hội tụ yếu, liên tục yếu Một khái niệm đợc xây dựng theo cách khái niệm hàm hầu tuần hoàn yếu Xuất phát từ định nghĩa tính chất hàm hầu tuần hoàn mà luận văn Nguyễn Thị Hoài Quyên nghiên cứu, khoá luận nhằm nghiên cứu định nghĩa tính chất hàm hầu tuần hoàn yếu, xét xem tính chất hàm hầu tuần hoàn có hàm hầu tuần hoàn yếu không? Từ khoá luận nhằm tìm liên hệ hàm hầu tuần hoàn hàm hầu tuần hoàn yếu, tiêu chuẩn hàm hầu tuần hoàn Nội dung khoá luận gồm hai chơng: Chơng I: Tóm tắt khái niệm tính chất hàm hầu tuần hoàn đợc nghiên cứu luận văn Nguyễn Thị Hoài Quyên Chơng II: Gồm ba phần: Đ1 Khoá luận đa định nghĩa số tính chất đơn giản hàm hầu tuần hoàn yếu Đ2 Khoá luận chứng minh số tính chất hàm hầu tuần hoàn yếu liên quan đến giải tích điều hoà hàm Đ3 Tìm tiêu chuẩn hàm hầu tuần hoàn, xét mối liên hệ hàm hầu tuần hoàn hàm hầu tuần hoàn yếu Đặc biệt khoá luận nêu ví dụ hàm hầu tuần hoàn yếu nhng hàm hầu tuần hoàn mục 2.3.4 Khoá luận đợc hoàn thành khoa Toán Trờng Đại Học Vinh dới giúp đỡ thầy, cô giáo, gia đình bè bạn Đặc biệt hớng dẫn nhiệt tình chu đáo thầy giáo PGS - TS Tạ Quang Hải Qua xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy giáo hớng dẫn thầy cô khoa Toán trờng Đại Học Vinh toàn thể bạn bè gia đình Tôi mong nhận đợc góp ý bảo thầy cô giáo bạn Vinh, tháng 5/2003 Tác giả Chơng I Khái niệm hàm hầu tuần hoàn Đ1 Định nghĩa số tính chất đơn giản I Định nghĩa hầu chu kỳ, hầu tuần hoàn theo nghĩa Borơ 1.1.1 Định nghĩa Tập số E = {} đợc gọi trù mật tơng đối - < x < + tồn số l > cho [a, a + l ] E , a R Ví dụ: Tập 0, 1, tập trù mật tơng đối R với l = Tập 0, 12, 22 không trù mật tơng đối R sup [(k + 1)2 - k2] = k Xét hàm giá trị phức: f(x) = (x) + i (x) (x) = Re f(x) (x) = Im f(x) 1.1.2 Định nghĩa Số T = T(x) đợc gọi hầu chu kỳ hàm f với độ xác (hay gọi - hầu chu kỳ) với x R có bất đẳng thức: | f(x + T) - f(x)| < 1.1.3 Định nghĩa Hàm phức liên tục f(x) đợc gọi hầu tuần hoàn theo nghĩa Borơ với > tồn tập trù mật tơng đối hầu chu kỳ T f(x) với độ xác , nghĩa tồn l = l() cho đoạn [a, a +l ] chứa điểm T cho: | f(x + T) - f(x) | < với x Nhận xét Mỗi hàm tuần hoàn liên tục hầu tuần hoàn Điều ngợc lại không Ví dụ Hàm f(x) = sinx + sin x hàm hầu tuần hoàn nhng hàm tuần hoàn Chú ý - Hai điểm x x' = x + T với T - hầu chu kỳ hàm f(x), đợc gọi điểm - tơng đẳng - Nếu f(x) hàm hầu tuần hoàn với x (-, +) đoạn [a, a +l ] tìm đợc x' - tơng đẳng với Thật vậy, theo định nghĩa hàm hầu tuần hoàn hàm f(x), đoạn [-x + a, -x + a + l ] tồn - hầu chu kỳ T: -x + a T -x + a + l Đặt x' = x + T ta có a x a + l x' [a, a + l] Vậy đoạn [ a, a + l ] có x' - tơng đẳng với x 1.1.4 Các tính chất đơn giản Nếu f(x) hàm hầu tuần hoàn f(x) + (, C ); f(ax + b) (a,b R) hàm hầu tuần hoàn Nếu f(x) hàm hầu tuần hoàn Ref(x), Imf(x), | f(x)|; f(x) hàm hầu tuần hoàn 1.1.5: Định lý Nếu E tập giá trị hàm hầu tuần hoàn f(x) F(y) hàm liên tục E F(f(x)) hàm hầu tuần hoàn II - Các tính chất hàm hầu tuần hoàn: 1.1.6: Định lý Hàm hầu tuần hoàn bị chặn R 1.1.7: Định lý Hàm hầu tuần hoàn liên tục R 1.1.8: Hệ Với > 0, tập - hầu chu kỳ hàm hầu tuần hoàn f(x) chứa tập trù mật tơng đối đoạn thẳng với độ dài = (), nghĩa tồn L = L() cho đoạn [a, a + L] có đoạn [, + ] mà điểm [, + ] - hầu chu kỳ 1.1.9 Hệ Với hàm hầu tuần hoàn f(x) với > tồn tập trù mật tơng đối - hầu chu kỳ T số bội nguyên =() 1.1.10 Bổ đề Với hai hàm hầu tuần hoàn với > bất kỳ, tồn tập trù mật tơng đối - hầu chu kỳ chung chúng III - Các phép toán hàm hầu tuần hoàn 1.1.11 Định lý Tổng hai hàm hầu tuần hoàn hàm hầu tuần hoàn 1.1.12 Hệ Tổng hữu hạn hàm hầu tuần hoàn hàm hầu tuần hoàn n 1.1.13 Hệ Nếu fi(x) hàm hầu tuần hoàn( i = n) i =1 i fi(x) hàm hầu tuần hoàn (i R) 1.1.14 Định lý Tích hai hàm hầu tuần hoàn hàm hầu tuần hoàn 1.1.15 Hệ Tích số hữu hạn hàm hầu tuần hoàn hàm hầu tuần hoàn 1.1.16 Hệ Luỹ thừa (nguyên dơng) hàm hầu tuần hoàn hàm hầu tuần hoàn 1.1.17 Bổ đề Nếu f(x) hàm hầu tuần hoàn inf |f(x) | = h > hàm hầu tuần hoàn f ( x) 1.1.18: Định lý Nếu f(x), g(x) hàm hầu tuần hoàn với f ( x) inf | g(x)| > g ( x) hàm hầu tuần hoàn IV - Định nghĩa hàm hầu tuần hoàn theo nghĩa bôcnerơ 1.1.19 Định nghĩa Hàm f(x) C (-, +) đợc gọi chuẩn tắc họ hàm {f(x + h)} - < h < + compact theo nghĩa hội tụ đều, tức từ dãy {f(x + hn)}, hn (-, +) trích dãy hội tụ trục thực Dễ thấy hàm chuẩn tắc bị chặn 1.1.20 Định nghĩa (theo Bôcnerơ) Hàm liên tục f(x) đợc gọi hàm hầu tuần hoàn f(x) chuẩn tắc 1.1.21 Định lý (Sự tơng đơng hai định nghĩa) Hàm hầu tuần hoàn theo nghĩa Bônerơ tơng đơng Đ2 Đạo hàm vi phân hàm hầu tuần hoàn I - Sự hội tụ dãy hàm hầu tuần hoàn 1.2.1 Mệnh đề Nếu dãy hàm hầu tuần hoàn f1 (x), f2(x), , fn(x) hội tụ f(x) - < x < + nlim fn(x) = f(x) hàm hầu tuần hoàn 1.2.2 Hệ Mỗi hàm f(x) = nlim Pn(x) hàm hầu tuần hoàn, Pn(x) xấp xỉ đa thức lợng giác: Pn(x) = Nn Ck( n) ei (n) k x k =1 với n = 1, Chú ý: Mệnh đề ngợc lại đúng, nghĩa hàm hầu tuần hoàn giới hạn dãy đa thức lợng giác 1.2.3 Hệ Tổng chuỗi hội tụ hàm hầu tuần hoàn hàm hầu tuần hoàn II - đạo hàm hàm hầu tuần hoàn 1.2.4 Mệnh đề Nếu hàm hầu tuần hoàn f(x) có đạo hàm f(x) liên tục R f(x) hàm hầu tuần hoàn III - tích phân hàm hầu tuần hoàn 1.2.5 Mệnh đề Nếu hàm f(t) hàm hầu tuần hoàn tích phân x F(x) = f(t) dt hàm hầu tuần hoàn F(x) bị chặn, nghĩa x0 sup | F(x)| < x x 1.2.6 Hệ Nếu f(x) hàm hầu tuần hoàn x0 a = const, (x) hàm hầu tuần hoàn f(t) dt = ax + (x) Đ3: Định lý giá trị trung bình 1.3.1 Định lý Với hàm hầu tuần hoàn f(x) tồn giá trị giới hạn hữu hạn: M {f(x)} = T T lim a +T f ( x)dx} a đợc gọi giá trị trung bình f(x) 1.3.2 Định lý Với hàm hầu tuần hoàn f(x) với số a (-, +) ta có: T T lim a +T f ( x)dx} = M {f(x + a)} = M {f(x)} a 1.3.3 Hệ Với a = a(T) ta có: Tlim T a ( T ) +T f ( x)dx = M {f(x)} a (T ) 1.3.4 Hệ Đặt a(T) = -T, ta có : M {f(x)} = Tlim 1 f ( x)dx = lim T T t 2T T f ( x)dx t 1.3.5 Các tính chất giá trị trung bình Nếu f(x) = c = const M {c} = c Nếu f(x) M {f(x)} 3.M { f (x ) } = M { f (x )} M {f(x+a)} = M {f(x)}, M {f(ax + b)} = M {f(x)}, a, b R, a M { f(x) + g(x)} = M {f(x)} + M {g(x)} Đặc biệt M {f(x)} = M {f(x)} Trong f(x), g(x) hàm hầu tuần hoàn, , C |M {f(x)}| M {|f(x)|} Sup |f(x)| 7 Nếu fn(x) (n = 1,2 ) hàm hầu tuần hoàn f n(x) (-, +) thì: f(x) Lim M {fn(x)} = M {f(x)} n 1.3.6 Định lý Nếu hàm hầu tuần hoàn f(x) M {f(x)} > Nhận xét: Từ định lý 2.1.6 tính chất ta suy ra: M {f(x)} = f(x) 1.3.7 Hệ Đối với hàm hầu tuần hoàn f(x) ta có bất đẳng thức: M{|f(x)|2} > Chú ý: Nếu fn(x) hàm hầu tuần hoàn (n = 1,2 ) fn(x) f(x) n lim M {f(x)2} = M {|f(x) |2} n Nếu f(x) g(x) hàm hầu tuần hoàn ta có bất đẳng thức Côsi - Bunhiacốpxki: |M {f(x) g(x)}| M {|f(x)|2} M {|g(x)|2} 1.3.8 Bất đẳng thức Betxen Giả sử f(x) ( không gian hàm hầu tuần hoàn) tập hợp {eix} R Khi f(x) e ix Nh hàm hầu tuần hoàn f(x) tồn tại: a() = (f(x) eix) = M{f(x), eix } a() đợc gọi hàm phổ Chú ý: Nếu f(x) hàm hầu tuần hoàn hữu hạn, 1, n số thực khác ta có bất đẳng thức Betxen N a ( n ) n =1 M {|f(x)|2} 1.3.9 Hệ Bất đẳng thức Betxen tập đếm đợc số thực 1, n nghĩa là: a(n) n =1 M {|f(x)|2} Đ4 Chuỗi Fourier hàm hầu tuần hoàn 1.4.1 Bổ đề Với hàm hầu tuần hoàn f(x), hàm phổ a() = M {f(x) eix } khác tập hữu hạn đếm đợc giá trị 1.4.2 Định nghĩa Các giá trị a() 0, mà giá trị biểu diễn đợc dới dạng dãy hữu hạn đếm đợc đợc gọi số mũ Fourier hàm hầu tuần hoàn f(x) Ta có: An = M {f(x) eix} Tập hợp tất số mũ Fourier hàm hầu tuần hoàn đợc gọi phổ 1.4.3 Định nghĩa Chuỗi lợng giác f(x) ~ An e i x hữu hạn vô n n hạn, đợc gọi chuỗi Fourier hàm hầu tuần hoàn f(x), {An} phổ hàm hầu tuần hoàn, A n = M {f(x) eix} đợc gọi hệ số chuỗi Fourier Bậc số hạng chuỗi Fourier hàm hầu tuần hoàn nói chung lấy cách tùy ý phụ thuộc vào việc xếp phổ { n } Chú ý: Đối với hàm hầu tuần hoàn f(x) = phổ tập chuỗi Fourier trờng hợp không xác định 1.4.4 Định lý Đối với hàm hầu tuần hoàn f(x) tổng bình phơng môđun hệ số Fourier lập nên chuỗi hội tụ có bất đẳng thức Betxen: An n M {|f(x) |2} 10 1.4.5 Hệ Các hệ số An chuỗi Fourier hàm hầu tuần hoàn f(x) dần tới n nghĩa là: lim An = lim M {f(x) eix} = n n 1.4.6 Định lý Chuỗi lợng giác f(x) = Cn e i x n n =1 hội tụ (-, +) chuỗi Fourier hàm f(x) Cn 1.4.7 Hệ Nếu n =1 < chuỗi lợng giác Cn e i x n n =1 chuỗi Fourier tổng 1.4.8 Hệ Tồn hàm hầu tuần hoàn với phổ đếm đợc tuỳ ý 1.4.9 Định lý (xấp xỉ) Nếu f(x) hàm hầu tuần hoàn > tồn đa thức lợng giác giới nội: P (x) = thoả mãn n() Cn ().e i x n n =1 Sup f ( x ) P ( x ) x Trong n lấy nh số mũ Fourier hàm f(x) 19 2.2.2 f(t) hàm hầu tuần hoàn yếu () = trừ số lớn dãy n Chứng minh Theo tính chất 2.1.5, ta có: R f Xo X X0 không gian tách đợc không gian X Khi () X Vì X0 không gian tách đợc nên tồn dãy xác định (đối với X0) { } * phiếm hàm x r* X * ta có: () = Sup (x r , () r (8) Với r cố định, x r* (f(t)) hàm hầu tuần hoàn, với r cố định x r* (()) = , trừ dãy { k } kn đpcm Từ (8) () = trừ số lớn dãy { n } = U k,r Ta đặt an = () : f(t) ~ an e i t n Giả sử = () sở hữu tỉ dãy { n } Đối với hàm hầu tuần hoàn yếu ta mở rộng đa vào tổng Bôcnephayơrơ: Nm Giả sử Pm (t) = mk e i t k =1 mk Gọi đa thức Bôcnephâyơrơ hàm f(t) * Pm (t) = f(t) 2.2.3 f(t) hàm hầu tuần hoàn yếu Khi mlim J Chứng minh Trớc tiên ta thấy sở số mũ Fourier hàm x * (()) x * X * 20 Thật vậy, từ (7) ta có { } (; x * (f(t)) = M x * (f(t)) e it = x * (()) Biểu thức { n } Mặt khác: (x , P (t)) = Nm m k =1 m k (x * , ( k )) e i k t Nghĩa ( x * , Pm (t )) đa thức Bôcnephâyơrơ đợc xây dựng theo sở * * hàm (x * , (f(t)) Do lim (x , Pm (t) = x (f(t)) J, x * X * m lim * Pm (t) = f(t) 2.2.4 f(t) hàm hầu tuần hoàn yếu, () f(t) = Chứng minh Nếu ( ) Pm (t) m Do (x * , f(t)) x * X f(t) 2.2.5 Các tiêu chuẩn Bôcnephâyơrơ Giả sử f(t) hàm liên tục yếu, cần đủ để f(t) hàm hầu tuần hoàn yếu từ dãy { sn } trích đợc dãy s'n cho dãy {f(t + s n' )} hội tụ { } yếu J Chứng minh Điều kiện đủ: Giả sử f(t) hàm hầu tuần hoàn yếu, x * (f(t)) hàm hầu tuần hoàn Theo định nghĩa hàm hầu tuần hoàn Bôcnerơ Từ dãy x * (f(t + sn )) trích đợc dãy hội tụ x * (f(t + s'n )) Từ dãy { sn } lấy dãy {s' n } cho dãy f(t + s'n ) hội tụ yếu J Điều kiện cần: Khi chứng minh tính chất 2.1.7 ta biết x * X * số mũ Fourier cuả hàm hầu tuần hoàn x * (f(t) chứa tập đếm đợc cố định { n } Do ta cần trích dãy s'n thoả mãn điều kiện: Với k = 1,2 { } e tồn giới hạn: nlim ' iS n k = k Khi ta có điều cần chứng minh 21 22 Đ3 Các tiêu chuẩn hàm hầu tuần hoàn 2.3.1 Định lý Để hàm giới nội f : J X hàm hầu tuần hoàn, điều kiện cần đủ là: i, Với x * D , D tập trù mật khắp nơi X* hàm vô hớng (x * , f(t)) hàm hầu tuần hoàn ii, Hàm f(t) compact theo nghĩa R f tập compact Đặc biệt, để hàm hầu tuần hoàn yếu hầu tuần hoàn cần đủ compact Chứng minh Điều kiện cần: f(t) hàm hầu tuần hoàn f(t) hàm hầu tuần hoàn yếu x * X * hàm vô hớng (x * , f(t)) hàm hầu tuần hoàn f(t) hàm hầu tuần hoàn f(t) hàm chuẩn tắc (định nghĩa hàm hầu tuần hoàn Bôcnerơ) từ dãy { f(t + hn } R f trích đợc dãy hội tụ, R f đóng, bị chặn R f compact Điều kiện đủ: Do D trù mật khắp nơi X* nên với x * X * , tồn * * dãy { x n } D cho x n* x * hay x x n Khi x * X * ta có: (x * , f(t)) (x n* , f(t)) x * x n* Sup f(t) tJ (x *n , f(t)) (x * , f(t)) theo t (x * , f(t)) hàm hầu tuần hoàn f(t) hàm hầu tuần hoàn yếu 23 Ta có Rf giới nội tách đợc Không tính tổng quát, ta giả sử không gian X tách đợc, đẳng cấu với không gian không gian hàm liên tục [0,1] ( không gian C[0,1] khả li), ta gọi không gian Y Giả sử { y , y , y n .} sở không gian Y Với y Y ta có: y = y + + n y n Xét dãy toán tử tuyến tính hữu hạn chiều: Em : Y Y y Em y = y1 + + m y m Khi ta có Em y y m với y Y (11) Hàm f m (t) = Em f(t) (m = 1,2 ) nhận đợc giá trị từ không gian hữu hạn chiều Trong không gian hữu hạn chiều, hội tụ mạnh trùng với hội tụ yếu, tính tuần hoàn hàm f m (t) tơng đơng với tính hầu tuần hoàn yếu Ta có: (y * , f m (t)) = (y, Em f(t)) = (Em* y, f(t)) E m* toán tử liên hợp với E m Theo tính chất (11) dãy toán tử hữu hạn chiều E m , ta có f m (t) f(t) m Sự hội tụ theo t J có bổ đề sau: Bổ đề Tính hội tụ mạnh toán tử tuyến tính giới nội tập compact K Y Chứng minh Giả sử Am : Y Y dãy toán tử tuyến tính giới nội thoả mãn Am y Ay với y Y 24 Theo định lý Banach - Steinhauss ta có dãy { Am } giới nội đều, nghĩa tồn l cho Am < l m = 1,2 - lới hữu hạn tập compact K, nghĩa 4l Giả sử { yi } , (i = 1,2, p) là y K , tồn y j { yi } , (i = 1,2, p) cho y y j 4l (12) Do An y j Ay j nên với , tồn N j () cho n > N j An y j Ay j N = max{ N j } Chọn j =1, p An y j Ay j j = 1,2, p ta có n > n , j = 1,2, p (13) Từ (12) (13) y k ta có: Ay An y = (A An )(y y j ) + Ay j An y j (A An )(y y j ) + Ay j An y j A An y y j + Ay j An y j l + = 4l Vì số N chọn không phụ thuộc vào y nên hội tụ An y Ay đpcm Do hàm f m (t) hầu tuần hoàn nên f(t) hàm hầu tuần hoàn Định lý đợc chứng minh Sử dụng tiêu chuẩn tổng quát hàm hầu tuần hoàn chứng minh ta xét vài tiêu chuẩn khác Bổ đề Giả sử f(t) hàm hầu tuần hoàn yếu giả sử dãy { sn } cho ta có: lim * f(t + sn ) = g(t) n (14) 25 Khi đó, chuẩn f(t) g(t) hàm hầu tuần hoàn ' tồn dãy { s n'' } { s n' } cho lim f(t + sn ) = g(t) n (15) Chứng minh { } Theo giả thiết f(t) hàm hầu tuần hoàn nên tồn dãy s'n { sn } lim f(t + s'n ) = (t) cho n (16) (t) hàm hầu tuần hoàn ' f(t + s'n ) = (t) Từ (14) (16) ta có: g(t) = lim f(t + sn ) nlim (17) * g(t + sn ) = (t) Mặt khác, từ (14) ta có nlim (18) n { } { } Vì g(t) hàm hầu tuần hoàn nên tồn dãy s'n' s'n cho lim g(t + s'n' ) = (t) (19) n (t) hàm hầu tuần hoàn Từ (18) (19) ta có: f(t) (t) (20) '' '' Từ (20) suy f(t + sn ) (t + sn ) Do từ (17 (19) ta lại có: (t) = lim f(t + s'n' ) lim (t + s'n' ) = g(t) n n f (t + s'n' ) = g(t) Từ (16), (17) (21) ta có nlim (21) Bổ đề đợc chứng minh * Xét tập hợp Sf tất dãy s = { sn } thoả mãn f(t + sn ) f s (t) 2.3.2 Định lý Giả sử thoả mãn diều kiện a X hoàn toàn yếu * b từ x n x , xn x xn x 26 c, f s (t) hàm hầu tuần hoàn, s S f Khi f hàm hầu tuần hoàn 27 Chứng minh Do f(t) hàm hầu tuần hoàn yếu nên để chứng minh f(t) hàm hầu tuần hoàn ta cần chứng minh R f tập compact Giả sử ngợc lại, Rf tập compact Khi p > dãy = { n} J cho f( j ) f( k ) p (j k) (22) Theo tiêu chuẩn Bôcnerơ từ trích s = { sn } cho { f(t + sn )} hội * g(t + sn ) = f s (t) tụ yếu J, s S f nlim (23) Do f s (t) hàm hầu tuần hoàn Theo giả thiết f(t) hàm hầu tuần hoàn Do theo dãy S chọn { } ' dãy s' = s'n cho f(t + sn ) hội tụ áp dụng bổ đề ta có: lim f(t + s'n ) = f s (t) n (24) ' * Do f(t + s'n ) f s (t) ( f(t + sn ) f s (t) , sử dụng giả thiết b ta có f(t + s'n ) f s (t) hay lim f(t + s'n ) f s (t) = với t J n f( s'n ) f s (0) = Với t = ta có: nlim f( s' ) f (0) = hay dãy f( s' ) hội tụ n s n Điều mâu thuẫn với (22) Vậy R f tập compact f hàm hầu tuần hoàn 28 Nhận xét Tồn lớp quan trọng không gian Banach mà với chúng giả thiết a,b định lý đợc thoả mãn Định nghĩa Không gian Banach X đợc gọi lồi với < , hàm ( ) , < ( ) cho x , x X thoả mãn: x1 , x 1, x1 x (26) x1 + x () ta có bất đẳng thức: (27) Điều kiện phát biểu nh sau: Với x , x X thoả mãn x x max ( x , x ) ta có: x1 + x (1 ()) max( x , x ) (28) Ví dụ Mọi không gian Hinbe lồi Chứng minh Giả sử x không gian Hinbe Với : < ta xét hàm () = ( ) 2 < () với x , x X thoả mãn x x max ( x , x ) áp dụng đẳng thức bình hành ta có: x1 + x 2 x x + 2 = x1 + x2 2 x1 + x2 2 = x1 + x2 2 x x 2 2 2 2 max ( x , x ) ( ) max ( x , x ) (1 ( ) max ( x , x ) 2 [ ()] max ( x , x ) 2 29 x1 + x (1 ()) max ( x , x ) X không gian lồi Nhận xét - Các không gian lồi không gian phản xạ, không gian hoàn toàn yếu, giả thiết b định lý đợc thoả mãn Thật vậy, giả sử * x x n x nhng x n x tồn dãy ngợc lại, nghĩa từ x n {x } { x } cho ni x x ni > n i * Do x n x nên từ x + xn i (1 ()) max ( x , x n ) i Lấy giới hạn hai vế ta có: x lim n x + xn i = lim n x (1 ()) x x+ xn i lim (1 ()) max( x , x n ) i n với < () , vô lý Vậy x n x Nh ta chứng minh đợc rằng: "Trong không gian Banach tách đợc đa vào chuẩn tơng đơng có tính chất b" 2.3.3 Ta tiêu chuẩn đơn giản hàm hầu tuần hoàn trờng hợp không gian Hinbe Giả sử X không gian Hinbe tách đợc { en } sở trực giao X f(t) = ek k (t) ; k (t) = f(t) , ek k =1 f(t) = k (t) k =1 (29) Định lý Để hàm giới nội f : J X hàm hầu tuần hoàn, điều kiện cần đủ là: 30 i) Các hàm vô hớng k (t) hàm hầu tuần hoàn ii) Dãy (29) hội tụ 31 Chứng minh: Điều kiện cần: Giả sử f(t) hàm hầu tuần hoàn Do X không gian Hinbe f(t), ek = x k* (f(t)) phiếm hàm tuyến tính X nên x k* (f(t)) = k (t) hàm hầu tuần hoàn m k =1 k =1 Xét ánh xạ E m : X X Em x = Ck ek với x = C k ek Do f(t) hàm hầu tuần hoàn nên R f compact, theo bổ đề dãy m ek k (t) k =1 hội tụ theo t J , nghĩa với > tồn N = N( ) cho t J ta ek k (t) có: = k=N k=N k (t) Do dãy (29) hội tụ Điều kiện đủ: Giả sử k(t) hàm hầu tuần hoàn dãy (29) hội tụ dều Khi m dãy ek k (t) hội tụ k =1 f(t) = ek k (t) hàm hầu tuần hoàn k =1 2.3.4 Để kết luận đa ví dụ hàm hầu tuần hoàn yếu nhng hàm hầu tuần hoàn mạnh không gian Hinbe tách đợc Ví dụ Giả sử { k (t)} dãy hàm số hầu tuần hoàn xác định J có tính chất sau: k(t) giới nội đều, xác k (t) Đồ thị hàm i(t) ; j(t) ; (i j) không giao Khi hàm: f(t) = ek k (t) hàm hầu tuần hoàn yếu nhng k =1 hàm hầu tuần hoàn mạnh 32 Chứng minh Với x * X * ta có: (x * , f(t)) = (x * , ek k (t)) = k =1 (x * , ek k (t)) = k =1 k (t) (x * , ek ) (30) k =1 Mặt khác từ tính chất (1) (2) ta có: Sup k (t) = t J k =1 f(t) giới nội dãy (30) hội tụ (x * , f(t)) hàm hầu tuần hoàn f(t) hàm hầu tuần hoàn yếu Nhng Sup k (t) = nên với số tự nhiên N > tuỳ ý ta có t J k =1 Sup k (t) = t J k = N Do dãy k =1 k (t) hội tụ Theo định lý f(t) hàm hầu tuần hoàn 33 Kết luận Qua trình nghiên cứu khoá luận nghiên thu đợc kết sau: Chứng minh đợc tính chất hàm hầu tuần hoàn yếu Tìm mối liên hệ hàm hầu tuần hoàn hàm hầu tuần hoàn yếu không gian hàm toàn yếu Từ đa tiêu chuẩn hàm hầu tuần hoàn Đa ví dụ hàm hầu tuần hoàn yếu nhng hàm hầu tuần hoàn Trong trình nghiên cứu khoá luận, vấn đề khác đợc đặt tính giải tích hàm hầu tuần hoàn yếu không gian Banach không hoàn toàn yếu hay rộng không gian Banach Vấn đề mở hớng nghiên cứu mà hy vọng sau có dịp đợc nghiên cứu tiếp [...]... Y 24 Theo định lý Banach - Steinhauss ta có dãy { Am } giới nội đều, nghĩa là tồn tại l sao cho Am < l m = 1,2 - lới hữu hạn của tập compact K, nghĩa 4l Giả sử { yi } , (i = 1,2, p) là là y K , tồn tại y j { yi } , (i = 1,2, p) sao cho y y j 4l (12) Do An y j Ay j nên với , tồn tại N j () sao cho n > N j An y j Ay j 2 N = max{ N j } Chọn j =1, p An y j Ay j j = 1,2, p ta có n... hầu tuần hoàn yếu và giả sử đối với dãy { sn } đã cho ta có: lim * f(t + sn ) = g(t) đều n (14) 25 Khi đó, nếu các chuẩn f(t) và g(t) là các hàm hầu tuần hoàn thì ' tồn tại dãy { s n'' } { s n' } sao cho lim f(t + sn ) = g(t) n đều (15) Chứng minh { } Theo giả thiết f(t) là hàm hầu tuần hoàn nên tồn tại dãy s'n { sn } lim f(t + s'n ) = (t) sao cho n (16) là đều (t) là hàm hầu tuần hoàn ' f(t... compact Khi đó p > 0 và dãy = { n} J sao cho f( j ) f( k ) p (j k) (22) Theo tiêu chuẩn Bôcnerơ từ có thể trích s = { sn } sao cho { f(t + sn )} hội * g(t + sn ) = f s (t) đều tụ yếu đều trên J, khi đó s S f và nlim (23) Do đó f s (t) là hàm hầu tuần hoàn Theo giả thiết f(t) là hàm hầu tuần hoàn Do đó theo dãy S có thể chọn { } ' dãy s' = s'n sao cho f(t + sn ) hội tụ đều áp dụng bổ đề 2 ta... Giả sử = ( ) là số dơng nói trong định nghĩa hàm liên tục đều x * (f(t)) 5 Trên đoạn [0, L] ta xây dựng lới hữu hạn t1 , t 2 , t m sao cho 0 < ti t i < , t1 < , L < t m vì dãy x * (f(ti + sn )) hội tụ tại t i nên với mỗi i = 1, m với > 0 , N i = N i ( ) sao cho p : q > N ta có: 5 x * (f(t i + s p ) x * (f(t i + s p )) < 5 N i ta có: > 0 , p, q > N thì: Đặt N = max i=1, m x * (f(ti + s p... thể trích ra đợc dãy s'n sao cho dãy {f(t + s n' )} là hội tụ { } yếu đều trên J Chứng minh Điều kiện đủ: Giả sử f(t) là hàm hầu tuần hoàn yếu, khi đó x * (f(t)) là hàm hầu tuần hoàn Theo định nghĩa hàm hầu tuần hoàn của Bôcnerơ Từ một dãy x * (f(t + sn )) đều có thể trích ra đợc một dãy con hội tụ đều x * (f(t + s'n )) Từ mỗi dãy { sn } có thể lấy ra dãy con {s' n } sao cho dãy f(t + s'n ) hội tụ yếu... dãy hội tụ yếu trong X {x*(xn)} là dãy hội tụ với x* X* Với mỗi xn X ta đặt tơng ứng Fxn X ** sao cho x * X * { } Khi đó dãy Fxn (x * ) là dãy hội tụ với mọi x * X * * * Theo định lý Banach - Steinhauss, tồn tại lim n Fxn (x ) = Fx (x ) x * X * trong đó Fx X ** Do X = X** nên x X sao cho Fx(x*) = x*(x) x* X* * lim x * ( x n ) = x * ( x ) , x * X x n x n Vậy X là không gian hoàn... nội lý Banach - Steinhauss ta có: Sup f tJ - Rf tách đợc Với mỗi t0 J luôn tồn tại dãy các số hữu tỷ r1, r2, , rn sao cho rk t0 khi k x * f(rk ) = f(t 0 ) Do f(t) liên tục yếu nên klim Nn Khi đó tồn tại dãy các tổ hợp tuyến tính: y n = kn x k trong đó k =1 kn C, x k = f(rk ) sao cho y n f(t 0 ) khi n Do dãy { x k } là đếm đợc nên dãy {yn} là đếm đợc trong Rf tồn tại tập đếm đợc và trù mật... n ) = g(t) t J cho klim Khi đó: i) Sự hội tụ này là đều theo t J (1) ii) Nếu f là bao lồi của Rf thì f = g (2) f(t) = Sup g(t) iii) Sup t J t J (3) Chứng minh i) x * X * , x * (f(t)) là hàm hầu tuần hoàn Do đó nếu x * (f(t + sn )) hội tụ với mọi t J thì sự hội tụ này là đều theo t Thật vậy: Giả sử > 0 bé tuỳ ý Theo định nghĩa hàm hầu tuần hoàn, sẽ tồn tại L = L( ) sao cho trên mỗi đoạn... từ mỗi dãy { f(t + hn } R f đều có thể trích ra đợc dãy con hội tụ, R f đóng, bị chặn R f compact Điều kiện đủ: Do D trù mật khắp nơi trong X* nên với mọi x * X * , tồn tại * * dãy { x n } D sao cho x n* x * hay x x n 0 Khi đó x * X * ta có: (x * , f(t)) (x n* , f(t)) x * x n* Sup f(t) tJ (x *n , f(t)) (x * , f(t)) đều theo t (x * , f(t)) là hàm hầu tuần hoàn f(t) là hàm hầu tuần... k =1 j =1 ( 2.1.1 Định nghĩa 1 Giả sử { x n } n =1 ) X Dãy { x n } n =1 đợc gọi là hội tụ yếu (cơ bản yếu) nếu với mọi x* X*, dãy số x*(xn) hội tụ (cơ bản) Ngoài ra nếu tồn tại phần tử x X sao cho mọi x* X* ta có lim x*(xn) = x*(x) thì ta nói dãy { x } hội tụ yếu về x, còn x gọi là giới hạn n n n =1 yếu của dãy { x n } n=1 * * Kí hiệu: lim x n xn = x hoặc xn Nhận xét: Giới hạn yếu của ... với > tồn tập trù mật tơng đối hầu chu kỳ T f(x) với độ xác , nghĩa tồn l = l() cho đoạn [a, a +l ] chứa điểm T cho: | f(x + T) - f(x) | < với x Nhận xét Mỗi hàm tuần hoàn liên tục hầu tuần hoàn... Fxn X ** cho x * X * { } Khi dãy Fxn (x * ) dãy hội tụ với x * X * * * Theo định lý Banach - Steinhauss, tồn lim n Fxn (x ) = Fx (x ) x * X * Fx X ** Do X = X** nên x X cho Fx(x*)... dãy số hữu tỷ r1, r2, , rn cho rk t0 k x * f(rk ) = f(t ) Do f(t) liên tục yếu nên klim Nn Khi tồn dãy tổ hợp tuyến tính: y n = kn x k k =1 kn C, x k = f(rk ) cho y n f(t ) n Do dãy