Trường mục tiêu frenet và ứng dụng

Ngoài ra, ta còn định nghĩa được hàm số trên như sau Trường mục tiêu khả vi trên tập mở trong là hệ n trường véctơ khả một cơ sở của.. là một cung chính quy định hướng xác định bởi , thì

2

LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian thực hiện, khóa luận của em đã hoàn thành Đầu tiên em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn Năng Tâm, người đã trực tiếp hướng dẫn, tận tình chỉ bảo và động viên em trong suốt thời gian em thực hiện khóa luận này

Em cũng xin gửi lời cảm ơn của mình tới các thầy cô khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là các thầy cô trong tổ Hình học đã tạo điều kiện giúp đỡ và đã đóng góp những ý kiến quý báu để khóa luận của em được hoàn thành

Vì thời gian thực hiện còn hạn chế, và đây cũng là lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nên khóa luận này có thể còn những thiếu sót Em rất mong được nhận thêm những ý kiến đóng góp của thầy cô và các bạn sinh viên

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2011

Sinh viên

Nguyễn Phương Thảo

3

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này em thực hiện với sự nỗ lực của bản thân và sự chỉ bảo nhiệt tình của các thầy cô giáo trong khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của thầy Nguyễn Năng Tâm

Khóa luận có sự tham khảo kết quả nghiên cứu của các nhà khoa học với

sự trân trọng và biết ơn Nội dung của khóa luận này không có sự sao chép, trùng lặp với kết quả các nghiên cứu khoa học khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

4

ĐỀ TÀI:

TRƯỜNG MỤC TIÊU FRENET VÀ ỨNG DỤNG

SVTH: NGUYỄN PHƯƠNG THẢO

NHDKH: PGS.TS NGUYỄN NĂNG TÂM

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

Không gian Véctơ Euclid

Véctơ tiếp xúc Trường véctơ Trường mục tiêu

3 Cung tham số Trường véctơ

4 Cung trong

5 Ánh xạ Weingarten

Chương 2 Trường mục tiêu Frenet

Trường mục tiêu Frenet trong

2 Trường mục tiêu Frenet trong

3 Một số bài tập liên quan

Chương 3 Ứng dụng của trường mục tiêu Frenet

1 Định lý cơ bản của lý thuyết đường trong

2 Công thức tính độ cong và độ xoắn của cung song chính quy định hướng

3 Ứng dụng trường mục tiêu Frenet vào nghiên cứu đường trên mặt

Hà Nội 2, với chuyên ngành Toán, môn học Hình học vi phân đã đem lại cho

em nhiều hứng thú học tập Song, vì thời gian học bộ môn này không nhiều nên em chưa thể chuyên sâu tìm hiểu nội dung nào trong đó Vì vậy, khi được lựa chọn đề tài khóa luận tốt nghiệp, em đã chọn một nội dung trong Hình học vi phân làm đề tài khóa luận

“Trường mục tiêu Frenet và ứng dụng” là phần kiến thức cơ bản liên quan đến lý thuyết đường trong và Xung quanh nó là những bài tập củng cố hết sức quan trọng đối với bộ môn Hình học vi phân này Với mong muốn tìm hiểu và làm rõ phần nội dung trên, em đã thực hiện khóa luận này

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu về trường mục tiêu Frenet trong và , ứng dụng của nó trong hình học Bên cạnh đó, giải quyết một số bài tập làm rõ nội dung nghiên cứu

3 Nội dung nghiên cứu

Tên đề tài là “Trường mục tiêu Frenet và ứng dụng” nên phần nội dung nghiên cứu phải đảm bảo những vấn đề xung quanh trường mục tiêu Frenet

và ứng dụng của nó Theo đó, nội dung chính của nghiên cứu chia làm ba chương:

6

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

Chương 2 Trường mục tiêu Frenet

Chương 3 Ứng dụng của trường mục tiêu Frenet

7

4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp của Hình học vi phân

8

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

“Trường mục tiêu Frenet” là một nội dung có liên quan khá nhiều đến các kiến thức trong hình học vi phân Vì vậy, để tiện cho việc theo dõi phần nội dung chính, dưới đây em xin trình bày một số kiến thức mang tính chất chuẩn

là một không gian véctơ Euclid

1.1.2 Hai véctơ vuông góc (xem [3], tr 141)

Hai véctơ thuộc không gian véctơ Euclid đƣợc gọi là vuông góc (hay trực giao) với nhau, ký hiệu , nếu

1.1.3 Hệ véctơ trực giao (xem [3], tr 141)

Hệ véctơ của không gian véctơ Euclid đƣợc gọi một hệ trực giao nếu các véctơ của hệ đôi một vuông góc với nhau, nghĩa là , với

1.1.4 Hệ véctơ trực chuẩn (xem [3], tr 142)

Hệ véctơ của không gian véctơ Euclid đƣợc gọi là một hệ trực chuẩn nếu nó là một hệ véctơ trực giao gồm toàn véctơ đơn vị, nghĩa là

10

VÉCTƠ TIẾP XÚC TRƯỜNG VÉCTƠ

TRƯỜNG MỤC TIÊU

1.2.1 Véctơ tiếp xúc (xem [1], tr 11)

Nhắc lại rằng không gian Euclid là một không gian afin liên kết với

không gian véctơ Euclid Hai điểm của xác định một véctơ

Ta gọi mỗi phần tử là một véctơ tiếp xúc của tại được gọi là tập các véctơ tiếp xúc của

Từ đó đưa được cấu trúc không gian véctơ Euclid từ lên và gọi

là không gian véctơ tiếp xúc của tại

Ta định nghĩa với mọi

Chú ý Giả sử là tập mở trong Ta có được gọi là tập

;

;

12

;

(trong đó 1 là phần tử đơn vị của )

Ngoài ra, ta còn định nghĩa được hàm số trên như sau

Trường mục tiêu (khả vi) trên tập mở trong là hệ n trường véctơ (khả

một cơ sở của

Khi đó mọi viết được một và chỉ một cách dưới dạng

13

của ) còn viết thì trường mục tiêu gọi là trường mục tiêu trực chuẩn

Ví dụ Trường mục tiêu tọa độ cực trong mặt phẳng Euclid có hướng

Xét điểm và tập mở Tại mỗi điểm , xác định véctơ

và véctơ có được do quay một góc

Như vậy ta được trường mục tiêu trực chuẩn trên tập mở

Cho điểm O cố định trong , cung tham số : , hoàn

là bán kính véctơ của đối với gốc O

Khi khả vi ta cũng có khả vi

b Ví dụ

với là véctơ hằng thì là một phần của đường thẳng

1.3.2 Trường véctơ dọc cung tham số (xem [1], tr 18)

a Định nghĩa 1

16

c Trường mục tiêu dọc cung tham số

Định nghĩa (xem [1], tr 56)

Trường mục tiêu dọc cung tham số , là hệ n trường

17

4 CUNG TRONG

1.4.1 Cung trong

a Hai cung tham số tương đương

Hàm số được gọi là một vi phôi nếu là một song ánh, khả vi và

18

Mỗi lớp tương đương của quan hệ trên gọi là một cung trong ; mỗi cung tham số của lớp tương đương đó còn gọi là tham số hóa của cung, vi phôi gọi là phép đổi tham số của cung

Ta gọi điểm của cung xác định bởi tại là điểm hay

Cho cung xác định bởi tham số hóa ,

Điểm t được gọi là điểm chính quy nếu

Cung mà mọi điểm đều là điểm chính quy được gọi là cung chính quy

b Tiếp tuyến, pháp diện

Tiếp tuyến

1.4.3 Cung định hướng và trường véctơ tiếp xúc đơn vị

a Cung định hướng

Định nghĩa (xem [1], tr 74)

Nếu có một vi phôi bảo toàn hướng (nghĩa là )

là một cung chính quy định hướng xác định bởi , thì

rõ ràng xác định một trường véctơ đơn vị dọc cung gọi là trường véctơ tiếp xúc đơn vị dọc (xác định hướng của )

1.4.4 Tham số hóa tự nhiên của cung chính quy

22

1.4.5 Một số định nghĩa (xem [1])

a Điểm song chính quy

Cho cung có tham số hóa , Điểm thỏa mãn

độc lập tuyến tính được gọi là điểm song chính quy của

b Mặt phẳng mật tiếp

Mặt phẳng đi qua và có không gian véctơ chỉ phương là

được gọi là mặt phẳng mật tiếp với tại điểm song chính quy đó

c Cung song chính quy

Cung trong gọi là song chính quy nếu mọi điểm của đều là điểm song chính quy

Nếu là một tham số hóa của thì là cung song chính quy khi và chỉ khi các trường véctơ dọc là một hệ độc lập tuyến tính

Ví dụ Trong với hệ tọa độ trực chuẩn , cung có tham số hóa

chính quy

Thật vậy, ta có

23

Nên

Như vậy, với mọi và là hai véctơ độc lập tuyến tính trong nên là một cung song chính quy

Trường véctơ pháp tuyến chính đơn vị

Giả sử là trường véctơ pháp tiếp xúc đơn vị dọc Xét trường véctơ dọc cung song chính quy trong , đặt thì được trường véctơ dọc gọi là trường véctơ pháp tuyến chính đơn vị dọc Còn có thể viết đẳng thức xác định đó dưới dạng , là (hàm) độ cong của

Trường véctơ trùng pháp tuyến đơn vị

là một cung song chính quy định hướng trong thì đã có trường véctơ tiếp xúc đơn vị (xác định hướng) và trường véctơ pháp tuyến chính đơn vị dọc Khi , khi đó đã có hướng thì xác định được trường véctơ đơn vị dọc gọi là trường véctơ trùng pháp tuyến đơn vị dọc (rõ ràng phương của tại mỗi điểm là phương của trùng pháp tuyến của tại điểm đó)

24

5 ÁNH XẠ WEINGARTEN

1.5.1 Ánh xạ Weingarten

a Định nghĩa (xem [1], tr 181)

Cho mặt S trong , là trường véctơ pháp tuyến đơn vị tại ,

, với

Ký hiệu được gọi là đạo hàm của theo phương

xạ

được gọi là ánh xạ Weingarten tại

b Tính chất

là một tự đồng cấu (tuyến tính) của

là một tự đồng cấu đối xứng tức là với mọi ta có

1.5.2 Các định nghĩa (xem [1])

25

Các giá trị riêng của được gọi là độ cong chính của S tại

Các véctơ riêng của được gọi là phương chính của S tại

Định thức của được gọi là độ cong Gauss của S tại

Ký hiệu:

Nửa vết của được gọi là độ cong trung bình của S tại

Ký hiệu:

Ta xét hai trường hợp sau:

Trường hợp 1 có hai giá trị riêng phân biệt (ký hiệu )

Khi đó có hai phương chính là các véctơ riêng ứng với

Gọi là cơ sở trực chuẩn của bao gồm các véctơ riêng lần lượt ứng với các giá trị riêng

Định thức của là

Trường hợp 2 có một giá trị riêng

là độ cong chính của S tại

Ma trận đối với cơ sở là

27

là những dạng song tuyến tính đối xứng trên và thứ tự được gọi là dạng

cơ bản thứ nhất, thứ hai của mặt S tại p

dạng của tại theo phương Tức là

b Công thức Meusnier

Xét cung tham số

29

Như vậy, Công thức Euler là nội dung khép lại chương 1 Toàn bộ chương này là những kiến thức cơ sở phục vụ cho phần nội dung của những chương tiếp theo

30

Chương 2 TRƯỜNG MỤC TIÊU FRENET

Lý thuyết về đường và mặt trong không gian Euclid hai, ba chiều là phần

lý thuyết cơ bản trong chương trình hình học vi phân Theo đó, trong chương này, ta sẽ đi tìm hiểu những nét cơ bản nhất về trường mục tiêu Frenet trong

Nhận xét: Phương của tại mỗi điểm là phương của pháp tuyến của

tại điểm đó

1.1.2 Công thức Frenet

Bây giờ ta đi chứng minh sự tồn tại của công thức trên

Giả sử cung có tham số hóa tự nhiên: Trường véctơ không phụ thuộc tham số hóa đó Mặt khác, do là trường mục tiêu trực chuẩn thuận dọc nên , nên ta có , với là một hàm số dọc là (hàm) độ cong của

công thức

32

Vì có hướng, ta có thể nói đến độ cong của trong , nó có thể mang giá trị dương hoặc âm Vì vậy còn được gọi là độ cong đại số của , khi đổi hướng của thì độ cong (đại số) đổi dấu

hướng trong

a Công thức

Giả sử là cung chính quy định hướng trong (có hướng) và được xác

Lấy một tham số hóa tự nhiên , của thì có phép đổi

cung tham số và coi độ cong của là hàm số dọc (tức là hàm số trên ) thì công thức Frenet cho ,

35 Thay vào công thức tính độ cong ta có

2.2.2 Độ xoắn của cung song chính quy định hướng

Định nghĩa (xem [1])

Cho là một cung song chính quy định hướng trong Trường mục tiêu Frenet dọc à Ta có

37

Nên Ta đi tính

Ta có vì

Nên ta suy ra Vậy

Khi nhân 2 vế của phương trình trên với ta được

Vì là trường mục tiêu trực chuẩn thuận dọc à nên ta có

Giả sử thì được goi là độ xoắn của cung tại

Khi thay đổi ta có hàm độ xoắn của cung Ã

2.2.3 Công thức Frenet

là trường mục tiêu Frenet dọc cung song chính quy định hướng à trong (có hướng) Ta đã có

38

Trong đó theo thứ tự là độ cong, độ xoắn của Ta đi tính

Từ suy ra nên khai triển đƣợc theo và

39

Nhận xét Khi đổi hướng của một cung định hướng trong (có hướng) thì đổi hướng, đổi hướng, đổi hướng Vì vậy độ cong và độ xoắn không đổi dấu ( vì = )

2.2.5 Công thức tính độ cong, độ xoắn

Cung có tham số hóa

40

Độ cong của cung là

Độ xoắn của cung là

41

3 MỘT SỐ BÀI TẬP LIÊN QUAN

Ở phần trước của chương, chúng ta đã đi tìm hiểu nhứng kiến thức cơ bản

về trường mục tiêu Frenet trong và Để củng cố cho phần kiến thức này, chúng ta cùng đi xem xét một số bài tập dưới đây

2.3.1 Bài tập 1

Cho cung đinh ốc tròn xác định bởi

trong hệ tọa độ Descartes vuông góc của Hãy viết phương trình tiếp tuyến, pháp tuyến chính, trùng pháp tuyến của nó tại mọi điểm

42

Vậy

Tiếp tuyến của cung tại là

Pháp tuyến chính của cung à tại là

Trùng pháp tuyến của cung à tại là

2.3.2 Bài tập 2

Chứng minh rằng một cung song chính quy trong mà các mặt phẳng mật tiếp tại mỗi điểm của nó đều thẳng góc với một phương cố định là một cung phẳng

Mà Nhƣ vậy ta có thể kết luận à là cung phẳng

Để có điều cần chứng minh trên, ta đi xem xét bổ đề sau

Bổ đề Một cung song chính quy là cung phẳng khi và chỉ khi độ xoắn của

cung đó bằng 0 tại mọi điểm

45

2.3.3 Bài tập 3

Gọi là trường mục tiêu Frenet dọc cung song chính quy định hướng trong (có hướng) Chứng minh rằng trường véctơ duy nhất dọc thỏa mãn điều kiện

là ( là độ cong, độ xoắn của ) ( gọi là trường véctơ Darboux dọc tại mỗi điểm đó là véctơ quay tức thời của “tam diện” Frenet)

(Trong đó là hàm độ cong, là hàm độ xoắn của cung )

Từ đó suy ra Vậy ta xác định được trường véctơ

2.3.4 Bài tập 4

Hãy xác định tham số hóa tự nhiên của cung song chính quy trong sao cho

Vậy là những hàm hằng

Ta có

2.3.5 Bài tập 5

49

mục tiêu Frenet dọc và tìm công thức Frenet của

Lời giải

Ta giả sử có tham số hóa tự nhiên là

Theo công thức tính độ cong, độ xoắn (xem 2.2.5) ta dễ dàng tìm được

Vậy đều là những hàm hằng với mọi Từ đó suy ra

cũng là những hằng số và

Theo công thức Frenet ta có:

Ta đi giải phương trình (3)

Bằng việc xét phương trình đặc trưng

50

Ta dễ dàng suy ra nghiệm

Vậy phương trình (3) có hệ nghiệm cơ bản là:

Phương trình (3) có nghiệm tổng quát là

Thế vào phương trình (1), (2) ta được

Từ đó suy ra

Vậy trường mục tiêu Frenet được xác định như trên

Trên đây là một số bài tập được đưa ra nhằm củng cố, khắc sâu các định nghĩa, tính chất… cơ bản, liên quan đến trường mục tiêu Frenet trong không gian và Đó là nội dung chính của chương 2

1 ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT ĐƯỜNG TRONG

Nội dung định lý (xem [1], tr 111)

Cho hai hàm số và (khả vi lớp , ) trên khoảng và có giá

trị dương Khi đó

1) Có tham số hóa tự nhiên (khả vi lớp ) của một cung song chính quy định hướng trong (có hướng) nhận và làm hàm độ cong và độ xoắn

2) Nếu có hai tham số hóa và của hai cung như thế thì có đẳng cấu afin trực giao bảo tồn hướng, tức một phép dời hình của mà

Chứng minh

và cho , cho số tùy ý thì có một và chỉ một họ hàm số khả vi lớp trên sao cho

là viết tắt của hệ phương trình vi phân tuyến tính của 9 ẩn, đó là 9 hàm tọa

độ của 3 hàm véctơ trong xác định trên J Lấy một cơ sở trực chuẩn thuận tùy ý của và lấy số tùy ý thuộc J thì theo a hệ đó có

hệ (*), thỏa mãn hệ phương trình vi phân đó với giá trị ban đầu (tức giá trị )

là 1, 1, 1, 0, 0, 0 (do là một hệ trực chuẩn) vì chính hệ phương trình

trong đó thay bằng biểu thức trong (*)

Nhưng hệ phương trình vi phân đó còn có nghiệm sau đây:

cùng với giá trị ban đầu như