Trường mục tiêu frenet và ứng dụng

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN *********** NGUYỄN PHƢƠNG THẢO TRƢỜNG MỤC TIÊU FRENET VÀ ỨNG DỤNG KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học HÀ NỘI – 2011 LỜI CẢM ƠN Sau thời gian thực hiện, khóa luận em hoàn thành Đầu tiên em xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn Năng Tâm, ngƣời trực tiếp hƣớng dẫn, tận tình bảo động viên em suốt thời gian em thực khóa luận Em xin gửi lời cảm ơn tới thầy cô khoa Toán trƣờng Đại học sƣ phạm Hà Nội 2, đặc biệt thầy cô tổ Hình học tạo điều kiện giúp đỡ đóng góp ý kiến quý báu để khóa luận em đƣợc hoàn thành Vì thời gian thực hạn chế, lần làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nên khóa luận thiếu sót Em mong đƣợc nhận thêm ý kiến đóng góp thầy cô bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2011 Sinh viên Nguyễn Phƣơng Thảo LỜI CAM ĐOAN Khóa luận em thực với nỗ lực thân bảo nhiệt tình thầy cô giáo khoa Toán trƣờng Đại học sƣ phạm Hà Nội 2, đặc biệt hƣớng dẫn tận tình thầy Nguyễn Năng Tâm Khóa luận có tham khảo kết nghiên cứu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Nội dung khóa luận chép, trùng lặp với kết nghiên cứu khoa học khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm ĐỀ TÀI: TRƢỜNG MỤC TIÊU FRENET VÀ ỨNG DỤNG SVTH: NGUYỄN PHƢƠNG THẢO NHDKH: PGS.TS NGUYỄN NĂNG TÂM Chƣơng Một số kiến thức chuẩn bị Không gian Véctơ Euclid Véctơ tiếp xúc Trƣờng véctơ Trƣờng mục tiêu Cung tham số Trƣờng véctơ Cung Ánh xạ Weingarten Chƣơng Trƣờng mục tiêu Frenet Trƣờng mục tiêu Frenet Trƣờng mục tiêu Frenet Một số tập liên quan Chƣơng Ứng dụng trƣờng mục tiêu Frenet Định lý lý thuyết đƣờng Công thức tính độ cong độ xoắn cung song quy định hƣớng Ứng dụng trƣờng mục tiêu Frenet vào nghiên cứu đƣờng mặt MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong bậc học, hình học môn học tƣơng đối khó Nó yêu cầu ngƣời học mức độ tập trung cao muốn chuyên sâu vốn thời gian dành cho môn học phải nhiều Trong trình học tập trƣờng Đại học sƣ phạm Hà Nội 2, với chuyên ngành Toán, môn học Hình học vi phân đem lại cho em nhiều hứng thú học tập Song, thời gian học môn không nhiều nên em chƣa thể chuyên sâu tìm hiểu nội dung Vì vậy, đƣợc lựa chọn đề tài khóa luận tốt nghiệp, em chọn nội dung Hình học vi phân làm đề tài khóa luận “Trƣờng mục tiêu Frenet ứng dụng” phần kiến thức liên quan đến lý thuyết đƣờng Xung quanh tập củng cố quan trọng môn Hình học vi phân Với mong muốn tìm hiểu làm rõ phần nội dung trên, em thực khóa luận Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu trƣờng mục tiêu Frenet , ứng dụng hình học Bên cạnh đó, giải số tập làm rõ nội dung nghiên cứu Nội dung nghiên cứu Tên đề tài “Trƣờng mục tiêu Frenet ứng dụng” nên phần nội dung nghiên cứu phải đảm bảo vấn đề xung quanh trƣờng mục tiêu Frenet ứng dụng Theo đó, nội dung nghiên cứu chia làm ba chƣơng: Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương Trường mục tiêu Frenet Chương Ứng dụng trường mục tiêu Frenet Phƣơng pháp nghiên cứu Phƣơng pháp Hình học vi phân Chƣơng MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ “Trƣờng mục tiêu Frenet” nội dung có liên quan nhiều đến kiến thức hình học vi phân Vì vậy, để tiện cho việc theo dõi phần nội dung chính, dƣới em xin trình bày số kiến thức mang tính chất chuẩn bị KHÔNG GIAN VÉCTƠ EUCLID 1.1.1 Định nghĩa Cho hƣớng không gian véctơ trƣờng số thực ánh xạ , thỏa mãn tiên đề sau: i) ii) iii) iv) Khi tích vô Trong ta ký hiệu tích vô hƣớng Ngoài ta ký hiệu Ví dụ Không gian véctơ thực n-chiều ; với tích vô hƣớng cho không gian véctơ Euclid Hai véctơ vuông góc (xem [3], tr 141) 1.1.2 Hai véctơ thuộc không gian véctơ Euclid trực giao) với nhau, ký hiệu 1.1.3 Hệ véctơ , đƣợc gọi vuông góc (hay Hệ véctơ trực giao (xem [3], tr 141) không gian véctơ Euclid đƣợc gọi hệ trực giao véctơ hệ đôi vuông góc với nhau, nghĩa , với 1.1.4 Hệ véctơ Hệ véctơ trực chuẩn (xem [3], tr 142) không gian véctơ Euclid đƣợc gọi hệ trực chuẩn hệ véctơ trực giao gồm toàn véctơ đơn vị, nghĩa VÉCTƠ TIẾP XÚC TRƢỜNG VÉCTƠ TRƢỜNG MỤC TIÊU 1.2.1 Véctơ tiếp xúc (xem [1], tr 11) Nhắc lại không gian Euclid không gian véctơ Euclid mà ta viết không gian afin liên kết với Hai điểm hay Ta xét tập tích Ta gọi phần tử xúc với , ký hiệu véctơ tiếp xúc đƣợc gọi tập véctơ tiếp xúc Với xác định véctơ tập véctơ tiếp có song ánh , Từ đƣa đƣợc cấu trúc không gian véctơ Euclid từ không gian véctơ tiếp xúc lên gọi Ta định nghĩa với Chú ý Giả sử tập mở Ta có 10 đƣợc gọi tập tức mà ta viết tắt 3.2.2 Bài tập Bài tập Xét cung đinh ốc tròn (a, b số, trực chuẩn thuận , xác định sở ) Tính độ cong, độ xoắn cung đinh ốc Lời giải Ta có nên ; Vậy ; , Từ 58 Ta nhận thấy số hàm (và dễ thấy cho trƣớc , co thể chọn để có đẳng thức đó) Khi suy độ cong cung tròn bán kính hàm Bài tập Tính độ cong độ xoắn cung sau a ; b ; c Lời giải a Ta có Suy , , Từ ta có Vậy Vậy ta có độ cong độ xoắn cung lần lƣợt xác định nhƣ sau 59 Các ý b, c đƣợc làm tƣơng tự 60 ỨNG DỤNG TRƢỜNG MỤC TIÊU FRENET VÀO NGHIÊN CỨU ĐƢỜNG TRÊN MẶT Ngoài hai ứng dụng trên, trƣờng mục tiêu Frenet có ứng dụng việc nghiên cứu, tính chất quan trọng số đƣờng mặt Ứng dụng đƣợc thể thông qua số tập cụ thể Song, trƣớc tiên, ta cần nhắc lại số đƣờng đáng ý mặt 3.3.1 Một số đƣờng đáng ý mặt S (xem [1]) a Đƣờng tiệm cận Định nghĩa Phƣơng pháp dạng theo phƣơng Đƣờng mặt đƣợc gọi phƣơng tiệm cận độ cong đƣợc gọi đƣờng tiệm cận phƣơng tiếp xúc điểm phƣơng tiệm cận Tính chất i) Cho tham số hóa tự nhiên Theo công thức Meusnier: Khi cung thẳng 61 ii) Cho cung song quy đƣờng tiệm cận (mà Điều tƣơng đƣơng mặt phẳng mật tiếp ) trùng với tiếp diện iii) Giả sử có tham số hóa địa phƣơng: Có Đƣờng tọa độ đƣờng tiệm cận Tƣơng tự, đƣờng tọa độ iv) Cho cung , với đƣờng tiệm cận sở trực chuẩn Từ công thức Euler: Nếu đƣờng tiệm cận Phƣơng trình vi phân đƣờng tiệm cận tham số hóa địa phƣơng Đƣờng tiệm cận tham số hóa địa phƣơng có phƣơng trình: b Cung trắc địa Đƣờng tiền trắc địa Độ cong trắc địa 62 Cho cung quy có tham số hóa Xét hàm số Ta gọi độ cong trắc địa cung quy Trƣờng mục tiêu Darboux dọc Cung quy có tham số hóa tự nhiên Bộ ba Ta đặt đƣợc gọi trƣờng mục tiêu Darboux dọc Khi Cung trắc địa Đƣờng tiền trắc địa Định nghĩa Cung quy đƣợc gọi đƣờng tiền trắc địa độ cong trắc địa cung điểm Cung tham số song với đƣợc gọi cung trắc địa 63 song Tính chất i) Cung quy mặt S gọi đƣờng tiền trắc địa S độ cong trắc địa đồng triệt tiêu Từ suy cung thẳng S đƣờng tiền trắc địa S cung song quy S đƣờng tiền trắc địa S trƣờng véctơ pháp tuyến đơn vị (vì , tức N phƣơng) ii) Nếu cung trắc địa hàm hằng, lúc Cung cung trắc địa (tầm thƣờng) ; ảnh điểm thuộc iii) Cung trắc địa không tầm thƣờng tham số hóa vận tốc đƣờng tiền trắc địa Ngƣợc lại, tham số hóa vận tốc đƣờng tiền trắc thế, cung trắc địa nên tham số hóa , từ phƣơng.Vậy, nói đƣờng tiền trắc địa thừa nhận tham số hóa cung trắc địa 64 kéo theo nhƣ cung quy 3.3.2 Bài tập Dƣới số ví dụ minh họa ứng dụng trƣờng mục tiêu Frenet việc nghiên cứu đƣờng mặt Bài tập đƣờng song quy dọc Giả sử Frenet với trƣờng mục tiêu đƣờng tiệm cận mặt Chứng minh a) ( độ xoắn ); b) Tại , độ cong Gauss Lời giải a) Vì đƣờng tiệm cận , với tham số hóa tự nhiên Từ suy Nhƣ nên từ định nghĩa ta suy Do trực giao với Mặt khác, (1) Điều tƣơng đƣơng Từ suy Vậy trực giao với (2) 65 , Từ (1) (2) suy Do Với độ xoắn đƣờng tiệm cận b) Vì Vậy nên theo ta có trƣờng mục tiêu tiếp xúc với dọc Do ta viết Nhân vế phƣơng trình với T ta đƣợc trƣờng mục tiêu Frenet nên , ta suy Ta lại có Vì ánh xạ đối xứng nên Vậy nên ta có , Suy ma trận trƣờng mục tiêu Vậy (điều phải chứng minh) 66 Bài tập Hai mặt tiếp xúc dọc đƣờng Chứng minh đƣờng tiền trắc địa đƣờng tiền trắc địa Lời giải Giả sử đƣờng tiền trắc địa đƣờng tiền trắc địa vị nên có tham số hóa Vì song song với trƣờng véctơ pháp tuyến đơn dọc Mà theo giả thiết tuyến đơn vị dọc tiếp xúc dọc nên trƣờng véctơ pháp song song với Suy song song với Vậy đƣờng tiền trắc địa Bài tập Hai mặt đƣờng tiệm cận trực giao dọc đƣờng Chứng minh đƣờng tiền trắc địa Lời giải Giả sử có tham số hóa tự nhiên Frenet , và , trƣờng mục tiêu theo thứ tự trƣờng véctơ đơn vị pháp tuyến lần lƣợt pháp véctơ mặt phẳng tiếp xúc 67 , Vì cắt trực giao dọc đƣờng mà nên suy nên (1) véctơ vuông góc với (Vì Nếu ) đƣờng tiệm cận với Mà nên suy Vậy ta có Vậy Mặt khác nên (2) Từ (1) (2) suy Vậy hay đƣờng tiền trắc địa Bài tập Cho định hƣớng , đa tạp hai chiều tham số hóa tự nhiên cung có hƣớng xác định trƣờng véctơ pháp tuyến đơn vị Xét trƣờng mục tiêu trực chuẩn sau: trƣờng véctơ tiếp xúc đơn vị dọc , mục tiêu đƣợc gọi trƣờng mục tiêu Darboux) 68 , dọc nhƣ (Trƣờng Chứng minh Lời giải Vì trƣờng mục tiêu trực chuẩn dọc nên đạo hàm trƣờng véctơ đƣợc biểu diễn nhƣ sau Nhân vô hƣớng hệ thức thứ ba với Gọi ta đƣợc trƣờng mục tiêu Frenet dọc ; nhân vô hƣớng hệ thức thứ hệ phƣơng trình với , áp dụng công thức Frenet công thức Meusnier, ta đƣợc Và thay , ta đƣợc hệ thức cần chứng minh 69 Trên số ứng dụng trƣờng mục tiêu Frenet phạm vi Đó nội dung cuối ngiên cứu KẾT LUẬN Trên nội dung nghiên cứu em đề tài “Trƣờng mục tiêu Frenet ứng dụng” Khóa luận trình bày nội dung trƣờng mục tiêu Frenet, nét trƣờng mục tiêu không gian Euclid 2- chiều, 3- chiều, đồng thời thông qua ứng dụng nó, ta có đƣợc nhìn khái quát vai trò trƣờng mục tiêu Frenet việc nghiên cứu đƣờng mặt Tuy nhiên, khuôn khổ khóa luận tốt nghiệp, số vấn đề chƣa đƣợc khai thác cách cụ thể sâu sắc Cũng bƣớc đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nên khóa luận khó tránh khỏi thiếu sót, em mong đề tài nhận thêm lời góp ý thầy cô bạn sinh viên nhƣ hƣớng phát triển để nội dung thêm phần hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! 70 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đoàn Quỳnh, Hình học vi phân, Nxb Đại học sƣ phạm, 2003 [2] Đoàn Quỳnh (chủ biên), Bài tập hình học vi phân, Nxb Giáo dục, 1993 [3] Phan Hồng Trƣờng, Đại số tuyến tính, Nxb Đại học sƣ phạm 2, 2001 71 72 [...]... chƣơng này, ta sẽ đi tìm hiểu những nét cơ bản nhất về trƣờng mục tiêu Frenet trong và TRƢỜNG MỤC TIÊU FRENET TRONG 1.1.1 Định nghĩa (xem [1], tr 115) Gọi là cung chính quy định hƣớng trong xúc đơn vị dọc cung Giả sử dọc sao cho Có là trƣờng véctơ tiếp đã có hƣớng thì xác định đƣợc trƣờng véctơ là trƣờng mục tiêu trực chuẩn thuận dọc mục tiêu Frenet dọc ; với Nhận xét: Phƣơng của gọi là trƣờng là trƣờng... véctơ trong , , 1.2.3 Trƣờng mục tiêu Định nghĩa (xem [1], tr 13) Trƣờng mục tiêu (khả vi) trên tập mở vi) sao cho với mỗi trên một cơ sở của Nếu là hệ n trƣờng véctơ (khả , là Khi đó mọi với trong viết đƣợc một và chỉ một cách dƣới dạng thì ; 12 Nếu với mọi của (tức ) còn viết là một cơ sở trực chuẩn thì trƣờng mục tiêu gọi là trƣờng mục tiêu trực chuẩn Ví dụ Trƣờng mục tiêu tọa độ cực trong mặt phẳng... 1.1.2 Công thức Frenet 30 Cho à là cung chính quy định hƣớng trong là trƣờng mục tiêu Frenet dọc cung à Khi đó các công thức Frenet: gọi là công thức Frenet của Ã, trong đó là (hàm) độ cong của (xem 2.1.4) Bây giờ ta đi chứng minh sự tồn tại của công thức trên Giả sử cung có tham số hóa tự nhiên: Trƣờng véctơ phụ thuộc tham số hóa đó Mặt khác, do thuận dọc dọc nên , không là trƣờng mục tiêu trực chuẩn... tuyến dơn vị dọc Vậy cung song chính quy định hƣớng thuận có trƣờng véctơ dọc trong , có trƣờng mục tiêu trực chuẩn gọi là trƣờng mục tiêu Frenet dọc 2.2.2 Độ xoắn của cung song chính quy định hƣớng Định nghĩa (xem [1]) Cho Frenet là một cung song chính quy định hƣớng trong dọc à Ta có 36 Trƣờng mục tiêu ... trƣớc, và cung chính quy định (trong đó là một với mọi ) Hãy tính độ cong của cung đó Lời giải đối với tọa độ cực trong Ta có tọa độ trực chuẩn ta có: , trong đó , Nhƣ vậy ; ; ; Nên ta có và 34 , chuyển sang Thay vào công thức tính độ cong ta có 35 2 TRƢỜNG MỤC TIÊU FRENET TRONG 2.2.1 Định nghĩa (xem [1], tr 95) Cho là một cung song chính quy định hƣớng trong tiếp xúc đơn vị (xác định hƣớng) và trƣờng... trƣờng mục tiêu dọc là hàm số dọc (tức là hàm số trên ) , (nhƣ vậy nên Lại có của , , và coi độ cong thì công thức Frenet cho (có hƣớng) và đƣợc xác ) Từ đó Giả sử trong tọa độ Descartes vuông góc thuận Khi đó 32 của , và nên suy ra Tức là Công thức trên gọi là công thức tính độ cong của cung chính quy định hƣớng trong b Ví dụ Ví dụ 1 Tính độ cong cung tròn có tham số hóa Lời giải Ta có , , , , Thay vào... nghĩa c Trƣờng mục tiêu dọc cung tham số Định nghĩa (xem [1], tr 56) Trƣờng mục tiêu dọc cung tham số véctơ dọc một cơ sở của , sao cho với mọi Khi đó, mọi trƣờng véctơ dọc là viết đƣợc một và chỉ một cách dƣới dạng trong đó , là hệ n trƣờng là hàm số trên , rõ ràng rằng 16 4 CUNG TRONG 1.4.1 Cung trong a Hai cung tham số tƣơng đƣơng Hàm số đƣợc gọi là một vi phôi nếu là một song ánh, khả vi và là hàm... Cho giá trị riêng là là cơ sở trực chuẩn của , , gồm các véctơ riêng ứng với các Giả sử Có Vậy đƣợc gọi là công thức Euler 28 Nhƣ vậy, Công thức Euler là nội dung khép lại chƣơng 1 Toàn bộ chƣơng này là những kiến thức cơ sở phục vụ cho phần nội dung của những chƣơng tiếp theo 29 Chƣơng 2 TRƢỜNG MỤC TIÊU FRENET Lý thuyết về đƣờng và mặt trong không gian Euclid hai, ba chiều là phần lý thuyết cơ bản... có hai phƣơng chính là các véctơ riêng ứng với Gọi là cơ sở trực chuẩn của ứng với các giá trị riêng Định thức của Trường hợp 2 ) bao gồm các véctơ riêng lần lƣợt là có một giá trị riêng 25 Gọi là cơ sở trực chuẩn của gồm các véctơ riêng ứng với giá trị riêng là độ cong chính của S tại Ma trận Ta có đối với cơ sở , là nên 1.5.3 Công thức tính độ cong Gauss và độ cong trung bình (xem [1]) Định nghĩa... ) còn viết là một cơ sở trực chuẩn thì trƣờng mục tiêu gọi là trƣờng mục tiêu trực chuẩn Ví dụ Trƣờng mục tiêu tọa độ cực trong mặt phẳng Euclid có hƣớng Xét điểm và tập mở và véctơ Tại mỗi điểm có đƣợc do quay Nhƣ vậy ta đƣợc trƣờng mục tiêu trực chuẩn 13 , xác định véctơ một góc trên tập mở 3 CUNG THAM SỐ TRƢỜNG VÉCTƠ DỌC MỘT CUNG THAM SỐ 1.3.1 Cung tham số a Định nghĩa (xem [1], tr 16) Cho một ... quanh trƣờng mục tiêu Frenet ứng dụng Theo đó, nội dung nghiên cứu chia làm ba chƣơng: Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương Trường mục tiêu Frenet Chương Ứng dụng trường mục tiêu Frenet Phƣơng... Cung Ánh xạ Weingarten Chƣơng Trƣờng mục tiêu Frenet Trƣờng mục tiêu Frenet Trƣờng mục tiêu Frenet Một số tập liên quan Chƣơng Ứng dụng trƣờng mục tiêu Frenet Định lý lý thuyết đƣờng Công thức... luận Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu trƣờng mục tiêu Frenet , ứng dụng hình học Bên cạnh đó, giải số tập làm rõ nội dung nghiên cứu Nội dung nghiên cứu Tên đề tài “Trƣờng mục tiêu Frenet ứng dụng