. TRƢỜNG MỤC TIÊU FRENET TRONG
2. CÔNG THỨC TÍNH ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN CỦA CUNG SONG CHÍNH QUY ĐỊNH HƢỚNG
SONG CHÍNH QUY ĐỊNH HƢỚNG
3.2.1. Thiết lập công thức
Cho cung song chính quy định hƣớng trong (có hƣớng) xác định bởi một tham số hóa , . Lấy một tham số hóa tự nhiên
, của thì có phép đổi tham số để .
Gọi là trƣờng mục tiêu Frenet dọc ; coi nó là trƣờng mục tiêu dọc cung tham số và coi độ cong, độ xoắn của là tham số dọc (tức hàm số trên ) thì công thức Frenet cho
, , ,
Ta có: (nên rõ ràng )
57
(Đẳng thức này mang một ý nghĩa rõ rệt: coi là quỹ đạo chuyển động (chẳng hạn xe hơi đang chạy, ở đây là thời gian), lực tác động vào nó tỉ lệ với (định luật Newton nên khi độ cong càng lớn, lực tác động vào vật ra khỏi hƣớng đang chuyển động (chú ý rằng và trực giao) càng lớn (do đó xe hơi phải giảm tốc độ khi rẽ ngoặt)).
Từ đó
nên , tức là mà ta viết tắt là
Để tính độ xoắn , ta hãy tính . Do cùng phƣơng với nên để tính ta chỉ cần xét thành phần chứa trong khai
triển theo , cụ thể là từ
, do công thức Frenet nêu trên suy ra thành phần chứa của là .
Vậy , do đó
58 tức là mà ta viết tắt
3.2.2. Bài tập
Bài tập 1. Xét cung đinh ốc tròn trong xác định bởi
(a, b là những hằng số, , và là một cơ sở trực chuẩn thuận của ). Tính độ cong, độ xoắn của cung đinh ốc trên.
Lời giải Ta có nên ; ; . Vậy , và Từ đó
59
Ta nhận thấy ở đây và là những hàm hằng (và dễ thấy khi cho trƣớc các hằng số , co thể chọn để có đẳng thức đó). Khi
suy ra độ cong của cung tròn bán kính là hàm hằng .
Bài tập 2. Tính độ cong và độ xoắn của các cung sau đây
a. ; b. ; c. . Lời giải a. Ta có Suy ra , , Từ đó ta có Vậy và
60
61