. TRƢỜNG MỤC TIÊU FRENET TRONG
Chƣơng 3 ỨNG DỤNG CỦA TRƢỜNG MỤC TIÊU FRENET
FRENET
Ở chƣơng trƣớc, chúng ta đã tìm hiểu những nét chính về trƣờng mục tiêu Frenet trong , và giải quyết một số bài tập liên quan. Vậy ở chƣơng này, chúng ta sẽ đi làm rõ một số ứng dụng của trƣờng mục tiêu Frenet.
1. ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT ĐƢỜNG TRONG
Nội dung định lý (xem [1], tr. 111)
Cho hai hàm số và (khả vi lớp , ) trên khoảng và có giá trị dƣơng. Khi đó
1) Có tham số hóa tự nhiên (khả vi lớp ) của một cung song chính quy định hƣớng trong (có hƣớng) nhận và làm hàm độ cong và độ xoắn.
2) Nếu có hai tham số hóa và của hai cung nhƣ thế thì có đẳng cấu afin trực giao bảo tồn hƣớng, tức một phép dời hình của mà .
52
1) Trong chứng minh, ta sẽ dùng định lý sau đây trong lý thuyết của phƣơng trình vi phân gọi là định lý về tồn tại và duy nhất của nghiệm của một hệ phƣơng trình vi phân tuyến tính
Cho các hàm số , ( ) khả vi lớp , trên một khoảng
và cho , cho số tùy ý thì có một và chỉ một họ hàm số khả vi lớp trên sao cho
( ) và
. Các hàm số đó gọi là các nghiệm của hệ phƣơng trình vi phân tuyến tính với giá trị ban đầu là
a. Hệ phƣơng trình (*) sau đây
(*)
là viết tắt của hệ phƣơng trình vi phân tuyến tính của 9 ẩn, đó là 9 hàm tọa độ của 3 hàm véctơ trong xác định trên J. Lấy một cơ sở trực chuẩn thuận tùy ý của và lấy số tùy ý thuộc J thì theo a. hệ đó có
53
nghiệm, cũng ký hiệu với giá trị ban đầu .
b. Xét hệ phƣơng trình vi phân tuyến tính của 6 ẩn, mà ta ký hiệu là sau ; ; ; ; ; .
Các hàm số trong đó là các nghiệm của hệ (*), thỏa mãn hệ phƣơng trình vi phân đó với giá trị ban đầu (tức giá trị ) là 1, 1, 1, 0, 0, 0 (do là một hệ trực chuẩn) vì chính hệ phƣơng trình vi phân này có đƣợc do lấy đạo hàm của tức là xét trong đó thay bằng biểu thức trong (*).
Nhƣng hệ phƣơng trình vi phân đó còn có nghiệm sau đây: cùng với giá trị ban đầu nhƣ
54
trên nên do tính chất duy nhất của nghiệm của hệ đó với giá trị ban đầu cho trƣớc là một cơ sở trực chuẩn của với mọi .
Hơn thế, hàm số là một hàm số liên tục mà tập giá trị là vì luôn trực chuẩn, giá trị của nó tại là 1 (vì là cơ sở trực chuẩn thuận) nên hàm số đó luôn lấy giá trị 1, tức là với mọi , cơ sở là thuận.
c. Lấy một điểm O tùy ý trong rồi xét cung tham số . Vì khả vi lớp nên khả vi lớp . Do với mọi nên là tham số hóa tự nhiên của một cung chính quy định hƣớng và do nên xác định trƣờng véctơ tiếp xúc đơn vị dọc xác định hƣớng đó.
Ta có , (do (*)) nên là một cung song chính quy và xác định trƣờng véctơ pháp tuyến chính đơn vị dọc và xác định độ cong của .
Vì với mọi (do là cơ sở trực
chuẩn thuận) nên xác định trƣờng véctơ trùng pháp tuyến đơn vị dọc . Từ đó, do (xem (*)) suy ra xác định độ xoắn của .
55
2) Xét hai tham số hóa tự nhiên của hai cung song chính quy định hƣớng trong có hƣớng nhận làm hàm độ cong và độ xoắn thì các trƣờng mục tiêu Frenet của và của phải xác định các hàm véctơ trên J cũng thỏa mãn hệ phƣơng trình vi phân (*).
a. Nếu thì
. Thêm vào đó, nếu thì suy ra
với mọi .
b. Vậy, tổng quát, xét phép dời hình của biến “tam diện thuận” thành “tam diện thuận” thì rõ ràng và thỏa mãn các điều kiện vừa nói ở a. nên .
Định lý đã đƣợc chứng minh.
Vậy ta có thể phân lọai dời hình (đẳng cấu afin trực giao thuận) của tập các cung song chính quy định hƣớng trong (có hƣớng) bởi hai hàm số
56