. TRƢỜNG MỤC TIÊU FRENET TRONG
1.1.2. Công thức Frenet
31
Cho à là cung chính quy định hƣớng trong . là trƣờng mục tiêu Frenet dọc cung Ã. Khi đó các công thức Frenet:
gọi là công thức Frenet của Ã, trong đó là (hàm) độ cong của (xem 2.1.4).
Bây giờ ta đi chứng minh sự tồn tại của công thức trên.
Giả sử cung có tham số hóa tự nhiên: . Trƣờng véctơ không phụ thuộc tham số hóa đó. Mặt khác, do là trƣờng mục tiêu trực chuẩn thuận dọc nên , nên ta có , với là một hàm số dọc là (hàm) độ cong của .
Từ ta suy ra hay . Nhƣ vậy ta có công thức
32
Vì có hƣớng, ta có thể nói đến độ cong của trong , nó có thể mang giá trị dƣơng hoặc âm. Vì vậy còn đƣợc gọi là độ cong đại số của , khi đổi hƣớng của thì độ cong (đại số) đổi dấu.
1.1.4. Độ cong của cung chính quy định
hƣớng trong
a.Công thức
Giả sử là cung chính quy định hƣớng trong (có hƣớng) và đƣợc xác định bởi tham số hóa .
Lấy một tham số hóa tự nhiên , của thì có phép đổi tham số để , . Gọi là trƣờng mục tiêu dọc cung tham số và coi độ cong của là hàm số dọc (tức là hàm số trên )
thì công thức Frenet cho ,
Ta có nên (nhƣ vậy ).
Lại có .
Từ đó
Giả sử trong tọa độ Descartes vuông góc thuận của , . Khi đó
33
và nên suy ra
Tức là
Công thức trên gọi là công thức tính độ cong của cung chính quy định hƣớng trong .
b. Ví dụ
Ví dụ 1. Tính độ cong cung tròn có tham số hóa
Lời giải
Ta có , , ;
, , .
34
Ví dụ 2. Xét tọa độ cực trong và cung chính quy định hƣớng xác định bởi (trong đó là một hàm số cho trƣớc, với mọi ). Hãy tính độ cong của cung đó.
Lời giải
Ta có đối với tọa độ cực trong , chuyển sang tọa độ trực chuẩn ta có: , trong đó , Nhƣ vậy ; ; ; . Nên ta có và .
35 Thay vào công thức tính độ cong ta có
36
2. TRƢỜNG MỤC TIÊU FRENET TRONG