. TRƢỜNG MỤC TIÊU FRENET TRONG
2.2.2. xoắn của cung song chính quy định hƣớng Định nghĩa (xem [1])
Cho là một cung song chính quy định hƣớng trong có trƣờng véctơ tiếp xúc đơn vị (xác định hƣớng) và trƣờng véctơ pháp tuyến chính đơn vị dọc . Gọi là trƣờng véctơ trùng pháp tuyến dơn vị dọc . Vậy cung song chính quy định hƣớng trong , có trƣờng mục tiêu trực chuẩn thuận dọc gọi là trƣờng mục tiêu Frenet dọc .
2.2.2. Độ xoắn của cung song chính quy định hƣớng Định nghĩa (xem [1]) Định nghĩa (xem [1])
Cho là một cung song chính quy định hƣớng trong . Trƣờng mục tiêu Frenet dọc Ã. Ta có
37
Nên . Ta đi tính . Ta có vì
Nên ta suy ra . Vậy
Khi nhân 2 vế của phƣơng trình trên với ta đƣợc
Vì là trƣờng mục tiêu trực chuẩn thuận dọc à nên ta có và . Vậy . Từ đó suy ra
Lại có . Đạo hàm 2 vế ta đƣợc . Thay và vào ta đƣợc . Từ đó ta suy ra .
Do vậy .
Giả sử thì đƣợc goi là độ xoắn của cung tại .
Khi thay đổi ta có hàm độ xoắn của cung Ã.
2.2.3. Công thức Frenet
là trƣờng mục tiêu Frenet dọc cung song chính quy định hƣớng à trong (có hƣớng). Ta đã có
38
Trong đó theo thứ tự là độ cong, độ xoắn của . Ta đi tính .
Từ suy ra nên khai triển đƣợc theo và .
Từ suy ra
Từ suy ra
Vậy
Tóm lại ta có công thức
và dạng ma trận
39
Nhận xét. Khi đổi hƣớng của một cung định hƣớng trong (có hƣớng) thì đổi hƣớng, đổi hƣớng, đổi hƣớng. Vì vậy độ cong và độ xoắn không đổi dấu ( vì = ).
2.2.4. Chú ý
Lấy một tham số hóa tự nhiên của . Giả sử rằng trong một lân cận mở của ảnh của trong , có trƣờng mục tiêu trực chuẩn
mà , , . Khi đó từ các phƣơng trình
(với )
Suy ra
với
So sánh với công thức Frenet ta đƣợc
. . .