. TRƢỜNG MỤC TIÊU FRENET TRONG
3. MỘT SỐ BÀI TẬP LIÊN QUAN
Ở phần trƣớc của chƣơng, chúng ta đã đi tìm hiểu nhứng kiến thức cơ bản về trƣờng mục tiêu Frenet trong và . Để củng cố cho phần kiến thức này, chúng ta cùng đi xem xét một số bài tập dƣới đây.
2.3.1. Bài tập 1
Cho cung đinh ốc tròn xác định bởi
trong hệ tọa độ Descartes vuông góc của . Hãy viết phƣơng trình tiếp tuyến, pháp tuyến chính, trùng pháp tuyến của nó tại mọi điểm.
Lời giải Ta viết dƣới dạng (với ) Suy ra ;
42 Vậy
Tiếp tuyến của cung tại là
Pháp tuyến chính của cung à tại là
Trùng pháp tuyến của cung à tại là
2.3.2. Bài tập 2
Chứng minh rằng một cung song chính quy trong mà các mặt phẳng mật tiếp tại mỗi điểm của nó đều thẳng góc với một phƣơng cố định là một cung phẳng.
Lời giải
Trong chọn hệ trục tọa độ . Giả sử cung là cung song chính quy định hƣớng trong , có tham số hóa tự nhiên .
Gọi là trƣờng mục tiêu Frenet dọc . Khi đó , Suy ra , .
Vậy là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng mật tiếp (vì là cặp véctơ chỉ phƣơng của mặt phẳng mật tiếp).
43
Theo giả thiết thì mặt phẳng mật tiếp tại mỗi điểm của nó đều thẳng góc với một phƣơng cố định.
Nhƣ vậy , .
Vậy suy ra (vì ).
Khi đó .
Mà Nhƣ vậy ta có thể kết luận à là cung phẳng. Để có điều cần chứng minh trên, ta đi xem xét bổ đề sau
Bổ đề. Một cung song chính quy là cung phẳng khi và chỉ khi độ xoắn của cung đó bằng 0 tại mọi điểm.
Chứng minh Điều kiện cần
Giả sử là cung song chính quy và là cung phẳng đƣợc xác định bởi tham số hóa bất kỳ , .
Ta có
Vì là cung phẳng nên tồn tại mặt phẳng sao cho , .
Khi đó nên
44
Điều kiện đủ
Giả sử tại mọi điểm. Khi đó theo công thức Frenet thì
,
Mà (đạo hàm hai vế).
Trong chọn hệ trục toạ độ sao cho . Giả sử có tham
số hóa tự nhiên là , .
Từ , với � là hằng số.
45
2.3.3. Bài tập 3
Gọi là trƣờng mục tiêu Frenet dọc cung song chính quy định hƣớng trong (có hƣớng). Chứng minh rằng trƣờng véctơ duy nhất dọc
thỏa mãn điều kiện
là ( là độ cong, độ xoắn của ) ( gọi là trƣờng véctơ Darboux dọc tại mỗi điểm đó là véctơ quay tức thời của “tam diện” Frenet).
Lời giải
Gọi là cung song chính quy định hƣớng trong . là trƣờng mục tiêu Frenet dọc .
Giả sử , , .
là trƣờng véctơ dọc , viết dƣới dạng hay , trong đó
là các hàm số dọc . Khi đó
46
Với , , (do là trƣờng mục tiêu Frenet dọc ).
Tƣơng tự nhƣ vậy, ta dễ dàng tìm đƣợc
Áp dụng công thức Frenet ta có
(Trong đó là hàm độ cong, là hàm độ xoắn của cung ) Từ đó suy ra . Vậy ta xác định đƣợc trƣờng véctơ
2.3.4. Bài tập 4
Hãy xác định tham số hóa tự nhiên của cung song chính quy trong sao cho
47
a) Trƣờng véctơ tiếp xúc đơn vị của nó thỏa mãn
(với là những hằng số khác 0, ), trong đó , là cơ sở trực chuẩn của .
b) Trƣờng véctơ trùng pháp tuyến đơn vị của nó thỏa mãn ( nhƣ nói ở trên).
c) Trƣờng véctơ pháp tuyến chính đơn vị của nó thỏa mãn .
Lời giải
a) Theo giả thiết , trong đó .
Suy ra . Mà với Vậy . b) Ta có Do Vậy Trường hợp 1: Mà Do đó .
48
Trường hợp 2:
Mà
Do vậy .
c) Ta có nên và
Từ đó suy ra . Thay vào ta đƣợc hay
Suy ra
Từ đó ta có . Vì là trƣờng mục tiêu Frenet nên ta suy ra .
. Vậy là những hàm hằng. Ta có Do và chọn thì . 2.3.5. Bài tập 5
49
Cho cung có tham số hóa . Hãy xác định trƣờng mục tiêu Frenet dọc và tìm công thức Frenet của .
Lời giải
Ta giả sử có tham số hóa tự nhiên là .
Theo giả thiết thì là tham số hóa của . Theo công thức tính độ cong, độ xoắn (xem 2.2.5) ta dễ dàng tìm đƣợc
, .
Vậy đều là những hàm hằng với mọi . Từ đó suy ra
cũng là những hằng số và
Theo công thức Frenet ta có:
Ta đi giải phƣơng trình (3)
50 Ta dễ dàng suy ra nghiệm
Vậy phƣơng trình (3) có hệ nghiệm cơ bản là:
Phƣơng trình (3) có nghiệm tổng quát là
Thế vào phƣơng trình (1), (2) ta đƣợc
Từ đó suy ra
Vậy trƣờng mục tiêu Frenet đƣợc xác định nhƣ trên.
Trên đây là một số bài tập đƣợc đƣa ra nhằm củng cố, khắc sâu các định nghĩa, tính chất… cơ bản, liên quan đến trƣờng mục tiêu Frenet trong không gian và . Đó là nội dung chính của chƣơng 2.
51