TRƯỜNG DAI HQC SU PHAM HA NOI 2 KHOA TOAN
eae ae sự fe ae ae ae
NGUYEN PHUONG THAO
TRUONG MUC TIEU FRENET VA UNG DUNG KHOA LUAN TOT NGHIEP DAI HOC
Chuyén nganh: Hinh hoc
Trang 2LOI CAM ON
Sau một thời gian thực hiện, khóa luận của em đã hoàn thành Đầu tiên em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn Năng Tâm, người đã trực tiếp hướng dẫn, tận tình chỉ bảo và động viên em trong suốt thời gian em thực hiện khóa luận này
Em cũng xin gửi lời cảm ơn của mình tới các thầy cô khoa Toán trường
Đại học sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là các thầy cô trong tô Hình học đã tạo
điều kiện giúp đỡ và đã đóng góp những ý kiến quý báu để khóa luận của em
được hoàn thành
Trang 3LOI CAM DOAN
Khóa luận này em thực hiện với sự nỗ lực của bản thân và sự chỉ bảo nhiệt
tình của các thầy cô giáo trong khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội 2,
đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của thầy Nguyễn Năng Tâm
Khóa luận có sự tham khảo kết quả nghiên cứu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn Nội dung của khóa luận này không có sự sao chép, trùng lặp với kết quả các nghiên cứu khoa học khác Nếu sai em xin hoàn toàn
Trang 4DE TAI:
TRUONG MUC TIEU FRENET VA UNG DUNG
SVTH: NGUYEN PHUONG THAO
NHDKH: PGS.TS NGUYEN NANG TAM
Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị
§1 Khơng gian Véctơ Euclid
§2 Vécto tiếp xúc Trường véctơ Trường mục tiêu §3 Cung tham số Trường véctơ
§4 Cung trong E° §5 Anh xa Weingarten
Chương 2 Trường mục tiêu Frenet
§1 Trường mục tiêu Frenet trong IEZ
§2 Trường mục tiêu Frenet trong E?
§3 Một số bài tập liên quan
Chương 3 Ứng dụng của trường mục tiêu Frenet §I Định lý cơ bản của lý thuyết đường trong E?
§2 Cơng thức tính độ cong và độ xoắn của cung song chính quy định hướng
Trang 5MO DAU
1 Ly do chon dé tai
Trong mọi bậc học, hình học là một môn học tương đối khó Nó yêu cầu ở người học mức độ tập trung cao và muốn chuyên sâu thì vốn thời gian đành
cho môn học phải nhiều Trong quá trình học tập tại trường Đại học sư phạm
Hà Nội 2, với chuyên ngành Toán, môn học Hình học vi phân đã đem lại cho em nhiều hứng thú học tập Song, vì thời gian học bộ môn này không nhiều nên em chưa thể chuyên sâu tìm hiểu nội dung nảo trong đó Vì vậy, khi
được lựa chọn đề tài khóa luận tốt nghiệp, em đã chọn một nội dung trong
Hình học vi phân làm đề tài khóa luận
“Trường mục tiêu Frenet và ứng dụng” là phần kiến thức cơ bản liên quan đến lý thuyết đường trong và _ Xung quanh nó là những bài tập củng cố hết sức quan trọng đối với bộ môn Hình học vi phân này Với mong muốn tìm hiểu và làm rõ phần nội dung trên, em đã thực hiện khóa luận này
2 Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu về trường mục tiêu Frenettrong và „ ứng dụng của nó trong
hình học Bên cạnh đó, giải quyết một số bài tập làm rõ nội dung nghiên cứu
3 Nội dung nghiên cứu
Trang 6Chuong 1 Mot số kiến thức chuẩn bị
Chương 2 Trường mục tiêu Frenet
Trang 74 Phương pháp nghiên cứu
Trang 8Chuong 1 MOT SO KIEN THUC CHUAN BI
“Trường mục tiêu Frenet” là một nội dung có liên quan kha nhiều đến các
kiến thức trong hình học vi phân Vì vậy, dé tiện cho việc theo đõi phần nội dung chính, đưới đây em xin trình bày một số kiến thức mang tính chất chuẩn bị KHONG GIAN VECTO EUCLID 1.1.1 Dinh nghia Cho là một không gian véctơ trên trường số thực Khi dé tich vo hướng trên làánhxạ (.,.):VxW Œ,ÿ) @&, thỏa mãn 4 tiên đề sau: i) @&y)=Ớ, vÿe ii) @®ÿ+2)=@,ÿ)+@, VERZE
iii) (aX, ¥) = ax, V&V EV; Vae
iv) @&xX)= VEE,
Trang 9Trong đó ta ký hiệu là tích vô hướng của và Ngoài ra ta cũng có
thểêkýhiệu 3
Ví dụ Không gian véctơ thực n-chiều Ï với tích vô hướng cho bởi X=(¡, ,X;: V=V¡, ,ythì
X.ÿ =X:y¡ + ÐXaYn
là một không gian véctơ Euclid
1.1.2 Hai véctơ vuông góc (xem [3] tr 141)
Hai vécơ thudc khong gian véctơ Euclid được gọi là vuông góc (hay trực giao) với nhau, ký hiệu ®# L nếu đ.B=
1.1.3 Hệ véctơ trực giao (xem [3], tr 141)
Hệ véctơ Íể:, ,€ của không gian véctơ Euclid được gọi một hệ trực giao
nếu các véctơ của hệ đôi một vuông góc với nhau, nghĩa là €¡.€¡ =, với is,
1.1.4 Hệ véctơ trực chuẩn (xem [3], tr 142)
Hệ véctơ Íế;, ,€ của khơng gian véctơ Euclid được gọi là một hệ trực
chuẩn nếu nó là một hệ véctơ trực giao gồm toàn véctơ đơn vị, nghĩa là 0 Vi#j
Trang 10€ VECTO TIEP XUC TRUONG VECTO TRUONG MUC TIEU
1.2.1 Véctơ tiếp xúc (xem [1], tr 11)
Nhắc lại rằng khơng gian Euclid Ì là một không gian afin liên kết với
khong gian vécto Euclid LHaiđiểm pcủa lxác địnhmộtvécơ đ€Ï mà tavii PG=hay qQ=p+.Taxéttaptich TE? =E" x1
Ta gọi mỗi phần tử a, = (p,@) € TÌ là một véctơ tiếp xúc của I tai TÌ được gọi là tập các véctơ tiếp xúc của Ì
Với p€,kýhiệu T,E" ={Íq, = (p,8): 8€ E là tập các véctơ tiếp
xúcvới Itai thì có song ánh ES Th] Ga, = (p,
Ti đó đưa được cấu trúc không gian véctơ Euclid từ liên T; và gọi
T;_ là không gian véctơ tiếp xúc của _ ltại
Ta định nghĩa với mọi @, = (p,@), By = (p,B) €T,!
ay By = &
Trang 11các véctơ tiếp xúc của Với P€, ta ký hiệu T,U=T, và gọi nó là
không gian véctơ tiếp xúc của tại 1.2.2 Trường véctơ
a Dinh nghia (xem [1], tr 12)
Cho 1a tap md trong Ì Ta gọi mỗiánhxạ X:U>%, p'>X( sao cho với mọi p€, X(p)€T, là một trường véctơ trên
Một trường véctơ hoàn toàn xác định nếu có một hàm véctơ X: Us] pr X( mà X(p) = (p,X(p b Phép toán Giá sử FC là tập hợp các hàm số khả vi trên _„ nó làm thành một vành
giao hoán có đơn vị (đơn vị là hàm hằng có giá trị là 1) Ký hiệu Vec( là tập các trường véctơ khả vi trên
Khi đó,vớimọi X,Y€ Vec( mọi (,t€ F( ta có các phép toán:
(X+ Y)(p) = X(p) + YG
(9X) ®) = @(p)X(
Trang 12(WX) = (oy;
1.X = (trong đó 1 là phần tử đơn vị của F(
Ngoài ra, ta còn định nghĩa được hàmsố Xtrên như sau
(X.Y)(p) = Xœ).Y(
Khi n=, đã có hướng thì ta xây dựng được tích véctơ trong XAYCEVec(„ (XAY)(p)= X(p)AY(
1.2.3 Trường mục tiêu
Dinh nghia (xem [1], tr 13)
Trường mục tiêu (khả vi) trên tậpmở trong ÏÌlà hện trường véctơ (khả
Trang 13Néu voi moi p € U, U;(p).U;(p) = (tte U;( 1a một cơ sở trực chuẩn của T,() còn viết U;.U; = thi truong muc tiéu {L gọi là trường mục tiêu trực chuẩn
Ví dụ Trường mục tiêu tọa độ cuc trong mat phang Euclid có hướng
Xétđiểm O€lvàtpmở U=EFE7\{ Tại mỗi đểm p €, xác định véctơ
= O = =
Trang 143 CUNG THAM SO TRUONG VECTO
DỌC MOT CUNG THAM SO
1.3.1 Cung tham sé
a Dinh nghia (xem [1], tr 16)
Cho mét khoangmoé JC,anhxa : J >] t+>p(được gọi là cung
tham số (quỹ đạo) trong Ì
Cho điểm O cố định trong |, cungthamsé6 : J]>l tt>pthoàn toàn xác định bởi hàm vécto Bp: Jol t>jŒ@=O0L Ta gọi
A(t) = Opt ia ban kinh vécto cia _ ptđối với gốc O
Khi khả vita cũngcó kha vi b Ví dụ
Ánhxg p: J>] tO+tể=pl
với @Œ€llàvéctơhằngthì p!là một phần của đườngthắng (O,(€
1.3.2 Trường véctơ dọc cung tham số (xem [1], tr 18)
a Định nghĩa I
Trang 15Trường véctơ X: Jol te (o(d,X@ Ves, VX(O € Tel
được gọi là trường véctơ dọc cung tham số b Định nghĩa 2
Anhxa p:J—l, t+ ella mét cung tham sé (khả vi) trong | thi t+ p'(t) = (p(t), 9" (11a một trung vécto doc va ky hiéu 1a
1.3.3 Đạo hàm của trường véctơ dọc cung tham số a Định nghĩa (xem [1], tr 55) Cho cung thamsố p: J>Ì t+ pl vacho trudng vécto doc , xác định hàm véedơ X: Jl, XŒ) = (p(t),Ä( thì có thể xét trường vécơdọc là tt>X(Q)= (p(t), X'Ct goiladaohamcta dọc trong |, Ky hiéu: = hay t ; b Các phép toán
Với X là trường véctơ dọc cungthamsố pi: Jol tt>ptvà là
các hàm số trên „ ta định nghĩa bởi ảnh tại từng điểm các trường véctơ
X+, cdọc ,hàmsố Xtrên Khi n=, ' đã có hướng ta định nghĩa
được trường vécơ X “dọc, ta có: „+ Y)= DX DY
Trang 169 z@ x) = 2x ae! Tứ Y= DX PY dt dt’ D (XAY) = DX yy xA dt ~ dt dt
c Trường mục tiêu dọc cung tham số Dinh nghia (xem [1], tr 56)
Trường mục tiêu dọc cung tham số p:]>l t>p(là hện trường
Trang 174 CUNG TRONG
1.4.1 Cung trong |!
a Hai cung tham số tương đương
Trang 18Mỗi lớp tương đương của quan hệ trên gọi là một cung trong Ì; mỗi cung tham số của lớp tương đương đó còn gọi là tham số hóa của cung, vi phôi gọi là phép đổi tham số của cung
Vi du Cung tham sé cho boi ep: R-], p(t) = (x(t) =acost, y(t)=asint, z(t)=t ( a là hằng số, a > 0,b #) trong toa d6 Descartes vuông góc (X,y, xác định cung đinh ốc tròn trong 1.4.2 Cung chính quy a Điểm chính quy
Nhận xét 0Œ) =(rs2A)!' =r(A(Q) =r! (do làsong ánh)
Tagọi p(J) = r!là ảnh của cung xác định bởi tham sốhóa hoặc Dinh nghia (xem [1], tr 70)
Ta goi diém ctia cung xac dinh boi p(ttại làđiểm hay p(t,
Chocung xacdinh boithamséhéa p:J—>l, trol
Điểm t được gọi là điểm chính quynếu p'(Ð #
Cung mà mọi điểm đều là điểm chính quy được gọi là cung chính quy b Tiếp tuyến, pháp diện
Trang 19Tiếp tuyến của cung tại điểm chính quy là đường thẳng đi qua pl va có véctơ chỉ phương ƒØ'( Giả sử cung à xác địnhbởi p: J]>- the (x?(),x? (Đ, ,x°( Khi đó Ø({©) = ((!)'(Ð,(x?)'(, ,(x?)'( Phương trình tiếp tuyến của A tai diém ptlà: Xi¬x!(@ _ X? — x?(t) — X?—-x"(Ð) SYM (@œ?® (@œ*( Pháp diện Pháp diện của cung tại từng điểm chính quy là mặt phẳng qua p(và 1 „2
cắt vuông góc với tiếp tuyến của à tại Nếu x,x?, , là tọa độ Descartes vuông góc thì phương trình pháp diện đó là
(x? — x!(@)@)' + (x? —x? (t))(x?)’ tet (x" — x™(t))(x")’ =0
1.4.3 Cung định hướng và trường véctơ tiếp xúc đơn vị a Cung định hướng
Định nghĩa (xem [1], tr 74)
Cho hai cungthamsố p: l>„ t>ptvà r: I>l] uE=r(C Nếu có một vi phơi bảo tồn hướng (nghĩalà A'(t) > 0 Vte)
Trang 20tru=Al sao cho p=re thì hai cung tham số trên được gọi là tương đương định hướng Mỗi lớp tương đương theo hệ quả tương đương trên được gọi là một cung định hướng b Ví dụ Hai cung tham số pi Jol trO+costi+sin, voi J = (0,2 r: lo
urO + cos““T+ sin=, với I=(mn,3
là tương đương định hướng
Trang 21= costi+ sin
=p(t) VteE (0,2
Như vậy từ định nghĩa trên ta có thé suy ra_-va ở là hai cung tương đương định hướng
c Véctơ tiếp xúc đơn vị Dinh nghia (xem [1], tr 75)
là một cung chính quy định hướng xác đnhbởi pp! J> 1], tpl thi Tự, C ^ ` z of C xác định một trường véctơ đơn vị dọc cung rõ ràng tr T(t)
gọi là trường véctơ tiếp xúc đơn vị dọc (xác định hướng của ) 1.4.4 Tham số hóa tự nhiên của cung chính quy
a Định nghia (xem [1], tr 84)
Tham s6 hoa r : I>l s+>r( của cung chính quy được gọi là
tham số hóa tự nhiên của cung nếu ÏlÌr'(s)lÌ= 1 Vs€ b Ví dụ
Xét đường đinh ốc tròn (đã nhắc tới ở ví dụ phía trước) Khi lẫy ty =, ta có
s=^() = ƒ Ilp'(lldt=vaf+ nên t=A-*(s)
Trang 22s b > s> r(s) =O +ae (==) +———sk Va? +b? va? +b? 1.4.5 Một số định nghĩa (xem [1])
a Điểm song chính quy
Cho cung có tham số hóa op: Jo] tpl Diém thỏa mãn {Ø' @©,ð”( độc lập tuyến tính được gọi là điểm song chính quy của
b Mặt phẳng mật tiếp
Mặt phẳng đi qua p( và có không gian véctơ chỉ phương là (p’(t), eC được gọi là mặt phăng mật tiếp với tại điểm song chính quy đó
c Cung song chính quy
Cung trong Ì gọi là song chính quy nếu mọi điểm của đều là điểm song chính quy
Nếu t+>p(là một tham số hóa của thì là cung song chính quy khi và chỉ khi các trường véctơ ø', dọc là một hệ độc lập tuyến tính
Ví dụ Trong ' với hệ tọa độ trực chuân Ox, cung có tham số hóa
p:ïR© xác định bởi p(t) =(e!,e †,V2t), t€ là một cung song
chính quy
Trang 23Nên ÿŒ)AB(y)= (—v2e!,v2e!,2)# 0 Vt€
Như vậy, với mọi t€Ï4, đlvà ÿ”! là hai véctơ độc lập tuyến tính
trong nên 1a một cung song chính quy Trường véctơ pháp tuyến chính đơn vị
]
Giả sử là trường véctơ pháp tiêp xúc đơn vị dọc Xét trường véctơ
doc cung song chính quy trong |, dat N= a / LỆ thì được trường vécto dọc gọi là trường véctơ pháp tuyến chính đơn vị đọc Còn có thé
viết đẳng thức xác định đó dưới dạng ¬ =1, 14 (ham) d6 cong cia
Trường véctơ trùng pháp tuyến đơn vị
là một cung song chính quy định hướng trong Ì thì đã có trường véctơ tiếp xúc đơn vị (xác định hướng) và trường véctơ pháp tuyến chính đơn vị
dọc Khi n=,khiđó đã có hướng thì xác định được trường véctơ
đơnvị B=TAdọc gọi là trường véctơ trùng pháp tuyến đơn vị dọc (rõ
ràng phương của tại mỗi điểm là phương của trùng pháp tuyến của tại
Trang 245 ANH XA WEINGARTEN
1.5.1 Anh xa Weingarten a Dinh nghia (xem [1], tr 181)
Cho mặt S trong „, là trường véctơ pháp tuyến đơn vị tạ p €,
œ€T Xét cung tham số ep: Ja tpl thoa man p(t) =,
P'(to) =, voi ty &
Kýhiệu D„n= (ne/ được gọi là đạo hàm của theo phương
Vìivớimọoi œ€T, D¿nn=(do n°=)nên D¿n€ T, Do do co anh xạ hp! T5 +T
ar hp (œ)= —D duoc goi la anh xa Weingarten tai
b Tinh chat
° là một tự đồng cấu (tuyến tính) của T
° là một tự đồng cấu đối xứng tức là với mọi œ, €T ta có
Trang 25Các giá trị riêng của được gọi là độ cong chính cua S tai Các véctơ riêng của được gọi là phương chính của S tại Định thức của được gọi là độ cong Gauss của S tại
Ky higu: KQq
Nửa vếtcủa được gọi là độ cong trung bình của S tại Kýhiệu H(
Ta xét hai trường hợp sau:
Truong hop 1 có hai giá trị riêng phân biệt (kýhiệu K,,)
Khi đó có hai phương chính là các véctơ riêng ứng với k;,
Gọi Í{e;,€ là cơ sở trực chuẩn của T bao gồm các véctơ riêng lần lượt
Trang 26Gọi {e;,€là cơ sở trực chuẩn của T gồm các véctơ riêng ứng với giá trị riêng VaeT,S! a=ae,+be,, abe h, (a) = h, (ae, + be =ah,(e,)+bh,(e = ake, + bk = k(ae, + be =] là độ cong chính của S tại k | Ma tran đối vớicơsở Í{e;,clà ( Tacó K(p)=, H(p)=nên K(p) = [HŒ
1.5.3 Công thức tính độ cong Gauss và độ cong trung bình (xem [1]) Định nghĩa Với mỗi p €(S là mặt có hướng trong =) Anh xa
I;: TSxT,S >
(œ, 8) > I, (œ,B) = œ
Trang 27(a, B) + I, (@,B) = h, (a)
là những dạng song tuyến tính đối xứng trên T và thứ tự được gọi là đạng
cơ bản thứ nhất, thứ hai của mặt S tại p
Taky hiéu: I(a,a) = I(
I(œ, œ) = I(
Dinh nghia.Goi r: U
(u,v) ríu, là tham số hóa địa phương của
Trang 28trol thỏamãn p(tp)=va p’(ty)=vdi to & II,(e') _ hy (p")p’ Ke") = l(p) — php' = hẹ(p)p' = —(ner)p' Mà ta có _ (nep)p' = 0 = (nep)/p' + (nep)p” =, Do đó _ k(ø') = (nsp)p” = (nep)T' = (nsp)l, Tóm lại (p') = kN(ne Công thức trên gọi là công thức MeusnIer c Công thức Euler Cho Í©;,€ là cơ sở trực chuẩn của T gồm các véctơ riêng ứng với các giá trịriênglà k;, œ€T, llœl|=
Giảsử œ=cos@e; +sin@e;, @C,
Có k(œ)= aes = h, (cose, + sin ge,)(cosge, + sin ge = [cos@ h,(e,) + sin gh, (e,)|(cosp e, +singe
= (cospk,e, + sing k,e,)(cospe, + singe = k,cos*@ + k, sin‘
Trang 29Như vậy, Công thức Euler la nội dung khép lại chương 1 Toàn bộ chương
này là những kiến thức cơ sở phục vụ cho phần nội dung của những chương
Trang 30Chuong 2 TRUONG MUC TIEU FRENET
Lý thuyết về đường và mặt trong không gian Euclid hai, ba chiều là phần lý thuyết cơ bản trong chương trình hình học vi phân Theo đó, trong chương này, ta sẽ đi tìm hiểu những nét cơ bản nhất về trường mục tiêu Frenet trong
.và
„ TRƯỜNG MỤC TIÊU FRENET TRONG
1.1.1 Dinh nghia (xem [1], tr 115)
Gọi là cung chính quy định hướng trong Có là trường véctơ tiếp xúc đơn vị dọc cung Giả sử _ đã có hướng thì xác định được trường véctơ
dọc sao cho ÍT, là trường mục tiêu trực chuẩn thuận dọc gọi là trường
mục tiêu Frenetdọc ; với là trường véctơ pháp tuyến đơn vị đọc
Nhận xét: Phương của tại mỗi điểm là phương của pháp tuyến của
tại điểm đó
Trang 31Cho à là cung chính quy định hướng trong ÍT, là trường mục tiêu
Frenet dọc cung à Khi đó các công thức Frenet: ] - =+l gọi là công thức Frenet của Ã, trong đó là (hàm) độ cong của (xem 2.1.4) Bây giờ ta đi chứng minh sự tồn tại của công thức trên l 1
Giả sử cung có tham sô hóa tự nhiên: s'> rỆ Trường véctơ - không
Trang 32Vì có hướng, ta có thể nói đến độ cong của trong „ nó có thé mang
giá trị dương hoặc âm Vì vậy còn được gọi là độ cong đại số của „ khi đổi
hướng của thì độ cong (đại số) đối dấu
1.1.4 Độ cong của cung chính quy định
hướng trong Ì
a Công thức
Giả sử là cung chính quy định hướng trong - (có hướng) và được xác
định bởi thamsốhóa p: J>E trot
Lấy một tham số hóa tựnhiên =r: I>) st>r(của thì có phép đối thamsố À:J-để p=rs (A>.Gọi ÍT, là trường mục tiêu dọc cung thamsố và coi độcong của là hàm số dọc (tức là hàm số trên )
SA „ DT Dr
thi cong thirc Frenet cho T=, —-=— ds ds k
Tacó p=rsnên p'=A(ŒrsÀA)=A(Ts (nhưvậy llp'|| =)
Lại có p" =A'(TsA)+A2(ks2)(Ns
Từ đó
"(NoA
koa = Ped lle’ Ik
Trang 33TA) =T = : 5 (x'(,y'@) 1 Ña@)=Ñ@=-———— 00) = NÓ = ng (—y'(,x'@) THANH, xy —X y va p(t) = (x"(0), y”(tnên Suy ra keÀ=———— (x'2@+y!2@)) Tức là k(t) = 3/ (x2@+y^2@) ? Công thức trên gọi là công thức tính độ cong của cung chính quy định hướng trong b Vi du
Ví dụ 1 Tính độ cong cung tròn có tham số hóa
t> p(Ð) = Re(Ð = (Rcost,Rsint) = (x(Œ),y@) Lời giải
Tacó xŒ)=Rco x(Œ)=-Rsi, x/()Q=-—Rco; yŒ=Rsi, y (ŒQ=Rco, y“ŒQ=-Rasi Thay vào công thức tính độ cong, ta có
Trang 34R?(sint)* + R?(cost)? 1
3 —_
(VR? (sint)? + R?(cost ?) R
Ví dụ 2 Xét tọa độ cực (T,' trong E?\{ và cung chính quy định
hướng xác địnhbởi t>pŒ) =(r =r(Ð,@ = (trong đó t>r! là một
hàm số cho trước, r(t) > với mọi ) Hãy tính độ cong của cung đó Lời giải Tacó tt>p(t)= (r@,œq đối với tọa độ cực trong , chuyến sang tọa độ trực chuẩn ta có: p(Ð = (x(),y(t trong đó x(Œ) = r() cos@\, y(t) = r(t)sin o( Nhu vay x'(t) = r'() cos@() — r(t) sing; x(t) = r(t) cos p(t) — 2r’(t) sin p(t) — r(t) cos @I; y'@M=r'Osin ge +r cos pr;
y(t) =r" (sin o(t) + 2r’(t) cos o(t) — r(t) sin @1,
Trang 35Thay vào công thức tính độ cong ta có
r?(+2r2(Œ)-r(Ðr'(
k(t) = 37
Trang 362 TRƯỜNG MỤC TIÊU FRENET TRONG Ì
2.2.1 Định nghĩa (xem [1], tr 95)
Cho là một cung song chính quy định hướng trong có trường véctơ
tiếp xúc đơn vị _ (xác định hướng) và trường véctơ pháp tuyến chính đơn vị
dọc Gọi B= TA là trường véctơ trùng pháp tuyến dơn vị dọc Vậy cung song chính quy định hướng trong ,„ có trường mục tiêu trực chuẩn thuận ÍT,N, dọc gọi là trường mục tiêu Frenet dọc
Trang 37«= [ell ~ Ids
Nén T’ =k Ta di tinh
Tacé l|B||= vì - lIBIl= |[T^ NI| = |[TII |IN|I.sinCT,N) = 1.141 = Nên BZ=tasuyra B.B’= Vay B=xT+y
Khi nhân 2 về của phương trình trên với tađược B'.T=xT.T+y.N
Vì {T,N, là trường mục tiêu trực chuẩn thuận dọc à nêntacó T.T= và N.T=Vậy B.T=xl+y.Tùđósuyra x=B
Lạicó B.T= ĐÐạohàm2vếtađược B/.T+B.T'= Thay x=B/
và Tỉ =lvàotađược Xx+B.kN= Từđótasuyra X=
Dovậy BÍ =)
Giảsửủ BÍ=-— thì được gol là độ xoắn của cung tai
Trang 39Nhận xét Khi đổi hướng của một cung định hướng trong | (có hướng)
thì đổihướng đổihướng đối hướng Vì vậy độcong và độ xoắn
1
không đối dấu (vì -= —°)
2.2.4 Chú ý
Lấy một tham số hóa tự nhiên s '> r( của Giả sử rằng trong một lân cậnmở củaảnhcủa trong „ có trường mục tiêu trực chuân {U;,U;,U