Định lí ta let, định lí pi ta go và áp dụng

Trường đại học sư phạm hà nội Khoa toán - Lª ngäc hải định lí Ta-let, định lí pi-ta-go áp dụng Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: hình học Người hướng dẫn khoa học PGS.TS nguyễn tâm Hà nội, 2012 Bảng kí hiệu // Song song Tơng đơng Suy Thuộc Tam giác Tứ giác < Nhỏ > Lớn Lớn Giao A Góc A Đồng dạng Trïng  Vu«ng gãc Max Lín nhÊt S  ABC Diện tích tam giác ABC (gt) Giả thiết (đpcm) Điều phải chứng minh Điều kiện cần Điều kiện đủ (c.g.c) Cạnh-góc-cạnh (c.c.c) Cạnh-cạnh-cạnh CMR Chứng minh Lời cảm ơn Do chưa có nhiều kinh nghiệm việc tiến hành nghiên cứu khoa học nên em không tránh khỏi bỡ ngỡ nhiều lúng túng Được bảo giúp đỡ tận tình thầy Nguyễn Năng Tâm, thầy cô khoa toán, thầy cô trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, em đà nỗ lực hoàn thành khoá luận tốt nghiệp Qua đề tài nghiên cứu em đà lĩnh hội thêm nhiều kiến thức giúp em tự tin đứng mục giảng Do điều kiện thời gian tính chất đề tài chắn không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp thầy cô bạn sinh viên để khoá luận hoàn thiện Qua em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô tổ hình, thầy cô khoa, trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt thầy Nguyễn Năng Tâm đà tận tình hướng dẫn em hoàn thiện khoá luận Em xin chân thành cảm ơn! Lời cam đoan Tôi xin cam đoan khoá luận hoàn thành cố gắng nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu thân, với tận tình giúp đỡ thầy Nguyễn Năng Tâm Bản khoá luận không trùng với kết tác giả khác, trùng xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Rất mong nhận đóng góp ý kiến bạn đọc để khoá luận hoàn thiện Sinh viên Lê Ngọc Hải Mục lục Mở đầu Chương Định lí Talet Định lí Pitago 1.1 Định lÝ Talet 1.1.1 Đoạn thẳng tỉ lệ 1.1.2 Các dạng định lí Talet 1.1.2.1 KiÕn thức 1.1.2.2 Mở rộng định lí Talet 1.2 Định lí Pitago 12 1.2.1 KiÕn thøc c¬ b¶n 12 1.2.2 Më réng 15 Ch­¬ng áp dụng định lí Pitago định li Talet 17 2.1.áp dụng định lí Talet giải toán 17 2.1.1 Định lí Talet với toán tÝnh to¸n 17 2.1.2 Định lí Talet với toán chứng minh 22 2.1.3 ¸p dơng bổ đề hình thang đường thẳng đồng qui vào việc giải toán 27 2.1.4 Định lí Talet với toán họ đường thẳng qua điểm cố định 32 2.1.5 Định lí Talet với bất đẳng thức giá trị lớn nhất, nhỏ 36 2.1.6 Định lí Talet với toán vê diện tÝch 42 2.2 áp dụng định lí Pitago giải toán 47 2.2.1 Định lí Pitago với toán tính toán 47 2.2.2 Định lí Pitago với toán chøng minh 51 2.2.3 Định lí Pitago với toán nhận dạng tam giác 55 KÕt luËn 58 Tài liệu tham khảo 59 Më đầu Lí chọn đề tài Hình học phận cấu thành nên toán học, môn học thú vị tương đối khó với học sinh Trong chương trình môn học trung học sở chúng em đà học định lí Talet định lí Pitago Nó dùng để chứng minh đường thẳng song song, suy tỉ lệ thức nhau, nhận dạng tam giác lên bậc trung học phổ thông hai định lí tiếp tục mở rộng không gian Hai định lí theo suốt học sinh trình học phổ thông Định lí Talet định lí Pitago ứng dụng nhiều để giải toán Nhờ có hai định lí mà toán chøng minh tÝnh song song, c¸c tØ lƯ thøc b»ng nhau, nhận dạng tam giác, tìm giá trị lớn nhỏ hay toán diện tích nói chung giải cách dễ dàng Với mong muốn trên, giúp đỡ thầy Nguyễn Năng Tâm em đà mạnh dạn chọn đề tài Định lí Talet, định lí Pitago áp dụng Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Qua dạng toán, ví dụ tham khảo mẫu cho học sinh thấy tầm quan trọng việc áp dụng định lí Talet định lí Pitago lời giải tập hình học Giúp học sinh coi kết tốt, dùng cách hữu hiệu việc giải toán Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu định lí Talet, định lí Pitago cách áp dụng chúng vào việc giải tập hình học Do khuân khổ thời gian có hạn, đề tài đề cập tới vấn đề áp dụng hai định lí để giải toán hình học phẳng với đối tượng học sinh phổ thông Chương NH L TALET V ĐỊNH L PITAGO 1.1 Định lÝ Talet 1.1.1 Đoạn thẳng tỉ lệ Hai đoạn thẳng AB v C ' D ' cã tỉ lệ thức: tỉ lệ với hai đoạn thẳng A ' B ' v CD gọi l AB A ' B ' AB CD hay    CD C ' D ' A' B ' C ' D ' 1.1.2 C¸c dạng định lÝ Talet 1.1.2.1 Kiến thức Định lÝ Talet Nếu đường thẳng song song với cạnh tam gi¸c v ct hai cnh li nh trªn hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ (h×nh 1) A a N M C B (H×nh 1) Chøng minh: Cho ABC cã MN // BC ( M  AB, N  AC ) S  ACM  S  ABC  S  ABN  S  ABC   AM AB (1)  AN AC (2) Mµ S  ACM   S  AMN   S CMN  (3) vµ S  ABN   S  AMN   S  BMN (4) Mặt khác MNCB hình thang nên dễ dàng chứng minh (5) S CMN  S  BMN  Tõ (3), (4) vµ (5) S  ACM   S  ABN  cho: (6) Tõ (1), (2) vµ (6) cho: AM AN  AB AC (®pcm) Định lÝ đảo Talet Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam gi¸c v định trªn hai cạnh đoạn thẳng tương øng tỉ lệ th× đường thẳng song song với cạnh li ca tam giác (hình 1) Chứng minh: Giả sử ta có tam giác ABC Các điểm M, N định cạnh AB AC đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ AM AN AB AC (1) Trên AC lấy điểm N ' cho MN '/ /BC Theo định lí Talet, ta có: Từ (1) vµ (2) suy AM AN '  AB AC (2) AN ' AN  AC AC (®pcm)  AN '  AN  N '  N  MN / /BC Trên hình 1: Cho tam giác ABC  AM AN  MB  NC  AM AN a//BC     AB AC  BM CN    AB AC Hệ Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam gi¸c v song song vi cnh li to th nh mét tam gi¸c cã ba cạnh tương ứng tỉ lệ vi ba cnh ca tam giác đà cho (hình 2) Chøng minh: A B' B C' C D (h×nh 2) Vì B 'C '/ /BC, nên theo định lí Talet ta cã: AB ' AC'  AB AC (1) Tõ C ' kỴ C ' D / /AB ( D BC ), theo định lí Talet ta có: AC ' BD  AC BC (2) Ta cã: S  APEF   S  PED   S  BCDP   S  ABP  S  APEF   S  ABP   S  BCDP   S  PED  Trõ vÕ víi vế đẳng thức ta suy ra: S PED   S  ABP  Theo nhËn xÐt phần 2.1.6, ta có: S PED  S  ABP   PE.PD 1 PA.PB  PE.PD  PA.PB   PQ  QA   PR  RB   AQ.BR T­¬ng tù ta cã: (1) QA.QF  CR.DP (2) RP.RC  EP.FQ (3) Vì PE.PB.QA.RB.QF.RC AQ.BR.CR.DP.EP.FQ nên đẳng thức đồng thời xảy ë (1) (2) vµ (3)  PQ  0, PR  0,RQ  PRQ Bµi 4: Cho ABC, phía tam giác dựng tam giác BCA1 , CAB1 , ABC1 cho: S  BCA1   S  CAB1   S  ABC1   S  ABC  Qua A1 , B1 , C1 ta kẻ đường thẳng tương ứng song song với BC, CA, AB chúng cắt tạo thành tam gi¸c MNP Chøng minh r»ng: S  MNP   2S  A1CB1AC1B  Lêi gi¶i 45 Gäi O giao điểm NB MA, P ' giao điểm OC với MP Do AB//MN, AC//MP nên theo định lí Talet ta có: OB OA OA OC vµ   BN AM AM CP '  OB OC BN CP ' Theo định lí đảo Talet ta cã: BC / /NP ' (1) mµ BC / /NP (2) vµ NA1  MB1  P (3) Tõ (1) vµ (2) suy ra: P  P ' VËy MA, NB, PC đồng qui O Do NA1 / /BC  S  BCA1   S  BCN Tương tự ta có: Mặt khác: Do đó:  S  BCO  S  BCO  S  CAO  S  BCO   S  BCN  S  BCO   NB OB PC S  ABC1  MA ;  OC S  ABO OB (4) NB PC MA (theo định lÝ Talet)   OB OC OA S  BCA1  S  BCA1  S  CAB1  S  BCA1    S  CAB1  S  CAO  S  CAB1  S  CAO   S  ABC1  S  ABO  S  ABC1  S  ABO  Tõ (4) (5) cµ (6) suy ra:  (5) S  BCA1   S  CAB1   S  ABC1  S  ABC  1 (6) NB PC MA   1 OB OC OA V× NB  OB nªn S  A1NB   S  A1BO  PC OC nên S A1PC S  A1CO   S  A1NB   S  A1CP   S  A1BO   S  A1CO  46  S  A1NB   S  A1CP   S  OBA1C   2S  OBA1C   S  ONP   2.S  OBA1C  T­¬ng tù ta cã: S  OPM   2S  OCB1A  vµ S  OMN   2S  OAC1B   S  MNP   S  ONP   S  OPM   S  OMN   S  OBA1C   S  OCB1A   S  OAC1B      S  MNP 2S A1CB1AC1B (đpcm) 2.2 áp dụng định lí Pitago giải toán 2.2.1 Định lí Pitago với toán tính toán Bài 1: Cho tam giác nhọn ABC, kẻ AH BC ( H  BC ) TÝnh chu vi cña ABC, biÕt AC  20(cm); AH  12(cm); BH  5(cm) Lêi giải A B C H Ta có AHB vuông H Theo định lí Pitago ta có: AB AH  HB  122  52  144  25  169  AB  13(cm) Tam giác AHC vuông H, theo định lí Pitago ta cã: HC  AC  AH  20  12  256 47  HC  16(cm) Nªn BC  BH  HC   16  21(cm) Chu vi ABC lµ: AB  BC  CA  16  21  20  56(cm) Bài 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A 5,4 ;B 2,3 ;C  6,1 TÝnh c¸c gãc cđa ABC Lêi gi¶i y A B C O x Ta cã: 2 2 2 AB          10 AC        1  10 (1) (2) BC      1    20 VËy ABC vuông A (vì BC AB  AC ) Tõ (1) vµ (2) ta cịng cã: AB  AC  AB  AC Vậy ABC vuông cân A A 90 ;B  C  450 Bµi 3: Cho ABC cã A  90 ,AB  8cm,BC  17cm Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B, vÏ tia CD  AC vµ CD  36cm TÝnh tổng độ dài đoạn thẳng AB BC CD  DA 48 Lêi gi¶i C 17 36 B D A ABC vuông A, theo định lí Pitago ta cã: BC  AB  AC Suy ra: AC  BC  AB  172  82  289  64  225 Do đó: AC 15(cm) Tam giác ACD vuông C, theo định lí Pitago ta có: AD  AC  CD  152  362  1521 Suy ra: AD  39(cm) VËy AB  BC  CD  DA   17  46  39  110(cm) Bµi 4: Cho tam giác ABC, điểm M bên tam giác, ®ã MA  1cm, MB  2cm, MC  3cm a, Tính độ dài cạnh tam giác ABC b, Tính số đo góc AMB, BMC, CMA Lời gi¶i B D 60 M A C 49 a, Vẽ BMD (C M khác phía AB) XÐt BDA vµ BMC cã: BD  BM BA  BC DBA  MBC  60  ABM VËy BDA  BMC (c.g.c)  DA  MC  XÐt ADM cã AD  AM     MD  MDA 90 (định lí Pitago đảo) Xét ADM vuông có MA MD nên ADM 30 Suy ADB  ADM  MDB  30  60  90 Trong  ADB vu«ng: AB  AD  DB    VËy AB  7(cm)  AC  BC b, Ta cã: AMB  AMD  BMD  60  60  120 XÐt BMC cã MB  MC     BC  BMC  90 (định lí Pitago đảo) Suy ra: AMC 150 Bài 5: Nếu độ dài cạnh góc vuông tam giác vuông tăng lên lần, lần độ dài cạnh huyền thay đổi nào? Lời giải Gọi b, c độ dài cạnh góc vuông, a độ dài cạnh huyền tam giác vuông Ta có: a b c2 50 Khi độ dài cạnh góc vuông tăng lên lần, ta có: b ' 2b;c'  2c 2   Tøc lµ: a '2  b '2  c'2   2b    2c   b  c2   2a   a '  2a VËy cạnh huyền tăng lên lần cạnh góc vuông tăng lên lần Tương tự cạnh góc vuông tăng lên lần cạnh huyền tăng lên lần 2.2.2 Định lí Pitago với toán chứng minh Bài 1: Cho ABC vuông A Gọi M trung điểm AB, kẻ MH BC H CMR: CH  BH  AC Lời giải Nối C với M, tam giác vu«ng CHM cã: CH  CM  MH Do ®ã:   CH  BH  CM  MH  BH   CM  MH  BH  CM BM Mà BM AM(gt) Nên CH  BH  CM  AM 51   CH  BH  AC (đpcm) Bài 2: Cho ABC vuông cân A Qua A vẽ đường thẳng d thay đổi Vẽ BD CE vuông góc với d ( D, E  d ) Chøng minh r»ng tæng BD CE có giá trị không đổi Lời giải Ta cã ABD  CEA (c¹nh hun, gãc nhän) Suy ra: AD CE áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông ABD ta có: BD AD  AB Suy ra: BD  CE AB Vì AB không đổi nên BD CE không đổi (đpcm) Bài 3: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, ®ã lÊy ®iĨm D Trªn tia ®èi cđa tia AH lấy điểm E cho HE AD Đường thẳng vuông góc với AH D cắt AC F CMR: EB EF Lời giải 52 Vì AD HE nên AH DE áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông ABF, ABH, ADF, BHE, DEF ta được: BF AB  AF  BH  AH  AD  DF   BH  DE  HE  DF     BH  HE  DE  DF   BE  EF Vậy BEF vuông E (định lí Pitago đảo) Do đó: EB EF Bài 4: Cho tam giác vuông cân ABC, A 90 Qua A kẻ đường thẳng d tuỳ ý Từ B C kỴ BH  d,CK  d CMR: Tỉng BH CK không phụ thuộc vào vị trí đường thẳng d Lời giải 53 + Trường hợp đường thẳng d không cắt cạnh BC AHB CKA (cạnh huyền, góc nhọn) Do CK AH Tam giác AHB vuông H, theo định lí Pitago ta có: AH BH AB không đổi Suy CK  BH  AB không đổi + Trường hợp đường thẳng d cắt cạnh BC điểm nằm B C, ta vÉn cã BH  CK  AB không đổi + Nếu đường thẳng d trùng với đường thẳng AB điểm K A điểm H B, BH 0,CK CA nên BH CK AB không đổi + Nếu đường thẳng d trùng với đường thẳng AC điểm H A điểm K C, KH BA,CK nên BH CK AB không đổi Vậy tổng BH CK không phụ thuộc vào vị trí đường thẳng d Bài 5: Từ điểm O ABC, kẻ OF, OG, OH vuông góc với AB,, BC, CD Chøng minh r»ng hÖ thøc: AF  BG  CH  AH  BF  CG Lêi gi¶i 54 XÐt tam giác vuông AFO AHO, ta có: OA AF  OF  AH  OH (1) Xét tam giác vuông BOG BFO G F, có: OB BG  OG  BF  0F (2) Xét tam giác vuông OGH OGC H G, có: OC CH  OH  CG  OG (3) Céng vÕ víi vÕ cđa (1) (2) vµ (3) ta được: AF OF BG  OG  CH  OH  AH  OH  BF  OF  CG  OG VËy AF  BG  CH  AH BF CG (đpcm) 2.2.3 Định lí Pitago với toán nhận dạng tam giác Bài 1: Tam giác tam giác vuông tam giác có độ dài cạnh sau: a, 9cm, 15cm, 12cm b, 5dm, 13dm, 12dm c, 7m, 7m, 10m Lêi gi¶i a, Ta cã:  81; 152  225; 12  144 Mµ 81  144 225 tam giác vuông 55 b, 52  25; 132  169; 12  144 Ta thấy: 25 144 169 tam giác vuông c, 72 49; 102 100 Ta thấy: 49 49 100 tam giác vuông Bài 2: Cho ABC, đường vuông góc hạ từ A xuống BC AH Biết AH  6cm, BH  4,5cm, HC  8cm Hái ABC tam giác gì? Lời giải A B 4.5 H C Xét AHC tam giác vuông H, theo định lí Pitago ta có: AC  AH  HC   82 100 Xét AHB vuông H, theo định lÝ Pitago ta cã: AB  BH  AH  4,52   VËy AC  AB  100  Mµ BC  BH  HC  225 625  4 225 (1) 25 625 8  BC  2 Tõ (1) vµ (2) suy ra: BC AB AC Theo định lí Pitago đảo, ta có: ABC vuông A 56 (2) Bài 3: Cho ABC nhọn, kẻ AH BC Biết đọ dài cạnh AC 15cm, AH 12cm, BH 9cm Hỏi ABC tam giác gì? So sánh BH CH Lời giải A 15 12 B C H Xét AHC vuông H, theo ®Þnh lÝ Pitago ta cã: AC  AH  HC  152  122  HC HC 9(cm) (1) Xét ABH vuông H, theo định lí Pitago ta có: AB AH  BH  AB  92  122  AB  15(cm) VËy tõ ABC ta cã: AB AC 15(cm) Nên ABC cân A Từ (1) giả thiết ta thấy BH HC 9(cm) 57 Kết luận ứng dụng định lí Talet định lí Pitago vào giải toán cấp cho häc sinh mét sè kiÕn thøc míi, gióp ph¸t triển tư toàn diện cho học sinh, tạo cho học sinh đứng trước toán hình thành cho hướng tư đắn phù hợp để giải toán Nhằm góp phần hoàn thiện cho học sinh số kiến thức để giải toán hình học Khoa luận đưa hệ thống phù hợp, dạng toán phân loại từ dễ tới khó, hợp logic Để bước đầu giúp học sinh thấy tầm quan trọng việc áp dụng định lí Talet định lí Pitago giải toán Coi công cụ nhằm giải toán cách hiệu Như đề tài Định lí Talet, định lí Pitago áp dụng đà hoàn thành nội dung đạt mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, với lực hạn chế chắn khoá luận không tránh khỏi thiếu sót Em mong thầy cô, bạn sinh viên đóng góp ý kiến để khoá luận em hoàn thiện thực tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên, sinh viên học sinh Em xin chân thành cảm ơn! 58 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Minh Hà, Phạm Hiền Bằng (1995), Tuyển chọn phân loại toán cấp hai hình học, NXB Giáo Dục [2] Vũ Dương Thuỵ, Nguyễn Ngọc Đạm (2004), Toán nâng cao chuyên đề hình học 7, NXB Giáo Dục [3] Vũ Dương Thuỵ, Nguyễn Ngọc Đạm (2004), Toán nâng cao chuyên đề hình học 8, NXB Gi¸o Dơc [4] To¸n líp 7(2007), NXB Gi¸o Dơc [5] Toán lớp (2007), NXB Giáo Dục [6] Bùi Văn Tuyên (2010), Bài tập nâng cao số chuyên đề toán 8, NXB Giáo Dục [7] Tôn Thất, Vũ Hữu Bình, Nguyễn Vũ Thanh, Bùi Văn Tuyên (2011), Các dạng toán phương pháp giải toán 8, NXB Giáo Dục [8] Đậu Thế Cấp, Phan Văn Đức (2009), 500 toán chọn lọc, NXB Hải Phòng 59 ... chọn đề tài Định lí Talet, định lí Pitago áp dụng Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Qua dạng toán, ví dụ tham khảo mẫu cho học sinh thấy tầm quan trọng việc áp dụng định lí Talet định lí Pitago lời giải... Talet 1.2 Định lí Pitago 12 1.2.1 Kiến thức 12 1.2.2 Më réng 15 Chương áp dụng định lí Pitago định li Talet 17 2.1 .áp dụng định lí Talet giải toán... 85) (39; 80; 89) (48; 55; 73) (65; 72; 97) 16 Chương áp dụng định lí talet định lí pitago 2.1 áp dụng định lí Talet vào giải toán 2.1.1 Định lí Talet với toán tính toán Bài 1: Cho hình thang ABCD