Định lí ta let, định lí pi ta go và áp dụng

Định lí Talet với bài toán họ các đường thẳng đi qua điểm cố định .... Nhờ có hai định lí này mà các bài toán như chứng minh tính song song, các tỉ lệ thức bằng nhau, nhận dạng tam giác,

Trường đại học sư phạm hà nội 2

Hà nội, 2012

Lời cảm ơn

Do chưa có nhiều kinh nghiệm trong việc tiến hành nghiên cứu khoa học nên em không tránh khỏi những bỡ ngỡ và còn nhiều lúng túng Được sự

chỉ bảo và giúp đỡ tận tình của thầy Nguyễn Năng Tâm, cùng các thầy cô

trong khoa toán, các thầy cô trong trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, em đã

nỗ lực hoàn thành khoá luận tốt nghiệp của mình Qua đề tài nghiên cứu em

đã lĩnh hội thêm nhiều kiến thức giúp em tự tin hơn khi đứng trên mục giảng

Do điều kiện thời gian và tính chất của đề tài chắc chắn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong nhận được sự đóng góp của thầy cô và các bạn sinh viên để khoá luận được hoàn thiện hơn Qua đây em xin gửi lời cảm

ơn chân thành tới các thầy cô trong tổ hình, các thầy cô trong khoa, trong

trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là thầy Nguyễn Năng Tâm đã tận

tình hướng dẫn em hoàn thiện khoá luận này

Em xin chân thành cảm ơn!

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan khoá luận này được hoàn thành do sự cố gắng nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân, cùng với sự tận tình giúp đỡ của thầy

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Định lí Talet và Định lí Pitago 3

1.1 Định lí Talet 3

1.1.1 Đoạn thẳng tỉ lệ 3

1.1.2 Các dạng của định lí Talet 3

1.1.2.1 Kiến thức cơ bản 3

1.1.2.2 Mở rộng của định lí Talet 6

1.2 Định lí Pitago 12

1.2.1 Kiến thức cơ bản 12

1.2.2 Mở rộng 15

Chương 2 áp dụng của định lí Pitago và định li Talet 17

2.1.áp dụng của định lí Talet trong giải toán 17

2.1.1 Định lí Talet với bài toán tính toán 17

2.1.2 Định lí Talet với bài toán chứng minh 22

2.1.3 áp dụng bổ đề hình thang và đường thẳng đồng qui vào việc giải toán 27

2.1.4 Định lí Talet với bài toán họ các đường thẳng đi qua điểm cố định 32

2.1.5 Định lí Talet với bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất 36

2.1.6 Định lí Talet với bài toán vê diện tích 42

2.2 áp dụng của định lí Pitago trong giải toán 47

2.2.1 Định lí Pitago với bài toán tính toán 47

2.2.2 Định lí Pitago với bài toán chứng minh 51

2.2.3 Định lí Pitago với bài toán nhận dạng tam giác 55

Kết luận 58

Tài liệu tham khảo 59

Định lí Talet và định lí Pitago ứng dụng rất nhiều để giải quyết các bài toán Nhờ có hai định lí này mà các bài toán như chứng minh tính song song, các tỉ lệ thức bằng nhau, nhận dạng tam giác, tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất hay các bài toán về diện tích nói chung được giải quyết một cách dễ dàng

Với mong muốn trên, được sự giúp đỡ của thầy Nguyễn Năng Tâm em

đã mạnh dạn chọn đề tài Định lí Talet, định lí Pitago và áp dụng

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Qua các dạng toán, các ví dụ tham khảo mẫu sẽ cho học sinh thấy được tầm quan trọng của việc áp dụng định lí Talet và định lí Pitago trong lời giải các bài tập hình học Giúp học sinh coi đây là kết quả tốt, dùng một cách rất hữu hiệu trong việc giải toán

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là định lí Talet, định lí Pitago và cách áp dụng chúng vào việc giải bài tập hình học

Do khuân khổ thời gian có hạn, đề tài chỉ đề cập tới vấn đề áp dụng hai

định lí trên để giải quyết các bài toán hình học phẳng với đối tượng là học sinh phổ thông

(H×nh 1)

Chøng minh:

Cho ABC cã MN // BC ( MAB, NAC)

Chứng minh:

(hình 2) Vì B 'C '/ /BC, nên theo định lí Talet ta có:

B

A

Tứ giác B ' C ' DB là hình bình hành (vì có các cặp cạnh đối song song) nên ta có:

C

B

A

Định lí về chùm đường thẳng đồng qui (Bùi văn Tuyên, 2010, Bài tập nâng

cao và một số chuyên đề toán 8)

Nếu các đường thẳng đồng qui cắt hai đường thẳng song song thì chúng định ra trên hai đường thẳng song song ấy các cặp đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ

Trong hình 5a, hình 5b:

Có AA ', BB , ' CC đồng qui tại O, và m //' m '

' ' ' ' ' '

' '' '

Bổ đề h×nh thang

Trong h×nh thang cã hai đ¸y kh«ng bằng nhau, giao điểm của hai đường thẳng chứa hai cạnh bªn, giao điểm của hai đường chÐo v trung điểm của hai đ¸y nằm trªn một đường thẳng

(h×nh 6)

Chøng minh:

Cho h×nh thang ABCD ( AB//CD, AB<CD)

ACBDO; ADBC K ; MA=MB ( M AB); NC=ND (NCD) khi đã: K, M, O, N thẳng h ng

Cho tam giác ABC v 3 điểm A , '' B , C lần lượt nằm trên các đường '

thẳng BC, CA, AB ( ' A , ' B , C không trùng với các đỉnh của tam giác sao cho '

trong 3 điểm đó có đúng 1 điểm hoặc cả 3 điểm nằm ngo i tam giác)(hình 7)

A

  Giả sử A ', B ', C ' tương ứng thuộc BC, CA, AB thẳng hàng thì ta

có hệ thức (*)

Thật vậy, lần lượt kẻ các đường thẳng AA , 1 BB , 1 CC cùng vuông góc với 1các đường thẳng chứa A ', B ', C '

1'  '  ' 

A

(hình 7) Trường hợp có hai điểm trong, một điểm ngoài thì đường thẳng nối

điểm trong và điểm ngoài luôn cắt cạnh thứ 3 bởi điểm trong cạnh đó

Trường hợp không có điểm nào trong các cạnh của tam giác; có thể chứng minh rằng: đường thẳng nối hai điểm, chẳng hạn A ' B ', phải cắt AB (vì nếu không đẳng thức (*) không xảy ra)

Vậy không làm mất tính tổng quát ta giả sử A ' B 'ABC '1

A B B C C A

A C B A C B

Mà theo giả thiết có:

' ' '

1'  '  ' 

Định lÝ Xª-Va

Cho tam gi¸c ABC v 3 điểm ' A , ' B , C lần lượt nằm trªn 3 cạnh BC, CA, AB '

( A , '' B , C kh«ng trïng với c¸c đỉnh của tam gi¸c) Khi đã ta cã: '

Nhân vế với vế của (1) và (2) rồi ước lược các đại lượng cần thiết ta có:

Chứng minh:

Giả sử tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao, AC=b, AB=c, bc=a,

b 'HC và c'BH

Xét hai tam giác vuông AHC và BAC

Hai tam giác vuông này có chung góc nhọn C nên chúng đồng dạng với nhau

Chøng minh:

F

E

D C

A

a, ABC có AB2 AC2 242 322 1600

Mà BC2 1600, nên AB2AC2 BC2

Suy ra ABC vuông tại A (Định lí Pitago đảo)

b, áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông AMB, ta có:

BM AB AM 24 7 625 BM 62525

Chương 2

áp dụng của định lí talet và định lí pitago

2.1 áp dụng của định lí Talet vào giải toán

2.1.1 Định lí Talet với bài toán tính toán

Bài 1: Cho hình thang ABCD (AB//CD) có hai đường chéo AC và BD cắt

nhau tại O Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BD và AC Cho biết: MD=3MO, đáy CD=5,6

Tính độ dài của đoạn thẳng MN và AB?

Bài2: Qua trọng tâm G của tam giác ABC, kẻ đường song song với AC cắt AB

và BC lần lượt tại D và E Tính độ dài đoạn DE, biết ADEC16(cm), chu

vi của tam giác ABC bằng 7(cm)

Bµi 3: Cho ABC cã AB4(cm); AC4,5(cm) Trªn AB vµ CD lÊy c¸c

®iÓm M, N sao cho AMAN 3(cm) Gäi O lµ giao ®iÓm cña BN vµ CM

TÝnh OB OC

ON OM ?

Lêi gi¶i

Lời giải

Gọi K và H lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M và A xuống cạnh BC

Ta có MK//AH, theo hệ quả định lí Talet, ta có:

2.1.2 Định lí Talet với bài toán chứng minh

Bài 1: Cho hình thang ABCD(AB//CD), M là trung điểm cạnh CD Gọi I là

giao điểm của AM và BD, K là giao điểm của BM và AC

Theo định lí đảo Talet đối với  ABM, ta suy ra: IK//AB

b, Xét ADM có EI//DM, theo hệ quả định lí Talet ta có:

Bµi 3: Cho ABC , I lµ ®iÓm trong tam gi¸c AI, IB, IC theo thø tù c¾t BC,

CA, AB t¹i M, N, P

IM  NC  PB

F E

I P

N

B A

Qua A kẻ đường thẳng song song với BC và lần lượt cắt BN và CP tại E và F, theo hệ quả của định lí Talet ta có:

  Giả sử MABNAC

Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt AM và AN theo thứ tự tại E và F

Nhưng MAB và NAC không bằng nhau

Khi đó, trên BC lấy điểm N ' sao cho MABN ' AC

Theo phần trên ta suy ra:

2.1.3 áp dụng bổ đề hình thang và đường thẳng đồng qui vào việc giải toán

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD, từ một điểm M trên đường chéo AC (M

không là trung điểm của AC) ta vẽ các đường thẳng song song với các cạnh của hình bình hành Chúng lần lượt cắt AB, BC, CD, DA tại E, F, G, H

CMR: a, HE//GF

b, Ba đường thẳng EF, GH, AC đồng qui

Lời giải

O G

D

C

B A

a, Do ME//BC, theo định lí Talet ta có:

 là hình bình hành

 AM và HE cắt nhau tại trung điểm N của HE

Tương tự ta cũng có P là trung điểm của GF

Gọi O là giao điểm của EF và HG, do GF//HE  HEFM là hình thang Theo bổ đề hình thang thì 4 điểm M, N, P, O thẳng hàng

 Ba đường thẳng EF, GH, AC đồng quy

Bài 2: Cho tứ giác ABCD, vẽ đường thẳng d song song BD cắt AD và AB lần

lượt tại P và Q Vẽ đường thẳng d' song song BD cắt BC và CD lần lượt tại M

và N, cho biết hai đường thẳng MQ và NP cắt nhau tại K

Chứng minh rằng đường thẳng AC đi qua K

Lời giải

d' d

O

K

M

N F E

Q

P

B A

Gọi E là giao điểm của d và AC,

F là giao điểm của d' và AC,

O là giao điểm của AC và BD

Xét 3 đường thẳng AB, AC, AD đồng qui tại A cắt 2 đường thẳng song song

 3 đường thẳng PN, AC, MQ đồng qui tại 1 điểm K

Vậy đường thẳng AC đi qua K

Bài 3: Cho ABC , G là trọng tâm của tam giác Lấy điểm P trên cạnh BC, các đường thẳng qua P theo thứ tự song song với CG và BG cắt AB và AC tại

J I

G

F E

C B

 là hình bình hành

 PG đi qua trung điểm của RS hay P, G, K thẳng hàng (6)

Từ (5) và (6) suy ra: P, G, H, K thẳng hàng

 PG đi qua trung điểm EF

Bài 4: Cho hình chữ nhật EFGH có tâm O nội tiếp tam giác ABC, trong đó E

thuộc AB, F thuộc AC, G và H thuộc BC Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và đường cao AI

CMR: 3 điểm O, N, M thẳng hàng

Lời giải

C B

2.1.4 Định lí Talet với bài toán họ các đường thẳng đi qua điểm cố định

Bài 1: Cho góc xOy Gọi M và N theo thứ tự là hai điểm di động trên Ox và

Oy, sao cho: m n 1

OMON  Trong đó m, n là 2 độ dài cho trước

Chứng minh rằng MN luôn đi qua 1 điểm cố định

Vậy MN luôn đi qua 1 điểm cố định P

Bài 2: Cho hình thang ABCD (AD//BC và ADBC) M và N là hai điểm chuyển động trên 2 cạnh AD và BC, sao cho:

AM

k

BN  (k là hằng số và k ) 1

a, Chứng minh rằng MN luôn đi qua điểm cố định

b, Tìm giá trị của k để đường thẳng MN đi qua giao điểm I của 2 đường thẳng

Đảo lại nếu AD k

BC  thì

IAk

Bài 3: Cho ABC. Trên nửa mặt bờ AC kẻ tia Cx//AB và tia Cy sao cho tia

Cx nằm ở phần trong của góc BCy Một đường thẳng bất kì qua B cắt Cx và

Cy the thứ tự D và E Gọi F là giao điểm của AD và BC Chứng minh rằng

đường thẳng EF luôn đi qua 1 điểm cố định

Lời giải

y x

R

E Q

P

F

D

C B

A

Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của EF với AB, CD

R là giao điểm của Cy với AB

Xét 3 đường thẳng EB, FP, ER đồng qui tại E và chúng cắt 2 đường thẳng song song CD và BR

Khi đó: QC PR

 P cố định  EF luôn đi qua điểm cố định P

Bài 4: Cho tứ giác lồi ABCD, 2 đỉnh A, B cố định, 2 đỉnh C, D thay đổi sao

cho điểm O của 2 đường chéo AC và BD luôn thảo mãn điều kiện: OA

Vì kk ' nên AB không song song với CD

Thật vậy, nếu AB//CD thì theo định lí Talet ta có:

OA OC OA OB

OB  OD  OC  OD

k k '

  mâu thuẫn với giả thiết

Gọi I là giao điểm của AB và CD, từ C kẻ đường thẳng song song với BD cắt

Vậy CD luôn đi qua điểm cố định C

2.1.5 Định lí Ta-let với bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Bài 1: Cho ABC, M là trung điểm thuộc cạnh BC

CMR: MA.BCMC.ABMB.AC

Lời giải

Qua M kẻ các đường thẳng song với AC và BD Các đường thẳng này theo thứ

Từ (1), (2) và (3) suy ra: MNmax AC, DB 

+ Trường hợp 2: Nếu AB không song song với CD

Không mất tính tổng quát, ta giả sử giao điểm của AB và CD nằm trên AB kéo dài về phía B, đồng thời nằm trên CD kéo dài về phía C

Q

P

K I

F

E N

M

D

C

B A

Dựng hình bình hành MACE và MBDF

Gọi K là giao điểm của EF và CD

Qua M kẻ đường thẳng song song với CD cắt AC và BD theo thứ tự tại P và Q

Ta thấy PAI Q ngoài đoạn BI kéo dài về phía B

Do CE//AB và DF//AB nên CE//DF

Bài 3: Cho góc nhọn xOy và điểm M nằm trong góc đó Một đường thẳng d

qua M cắt Ox và Oy theo thứ tự tại A và B Tìm vị trí của d sao cho:

MA  MB lớn nhất

Lời giải

J I

Qua I kẻ đường thẳng song song với đường thẳng d cắt OM tại J

Theo hệ quả định lí Talet ta có: OJ IJ

JM IJ

OM  ON (2) Cộng vế với vế của (1) và (2), ta có:

Bài 4: Cho ABC, A90 0 M là điểm thay đổi trên BC, qua M kẻ đường thẳng song song với AB, AC theo thứ tự cắt các cạnh AC và AB tại N và P Tìm vị trí của M sao cho MP nhỏ nhất

Lời giải

Trên AB kéo dài về phía A lấy điểm D sao cho ADAB

Gọi Q là giao điểm của MN và CD, theo định lí Talet ta có:

Kéo dài AB về phía A và lấy D trên đó sao cho AD=AB và dựng AQCD( QCD vì CAD900)

Từ Q kẻ đường thẳng song song BD cắt BC tại M thì M là điểm cần tìm

2.1.6 Định lí Talet với các bài toán về diện tích

Bài 1: Cho ABC. Trên AB và AC theo thứ tự lấy các điểm B và 1 C Chứng 1

Kẻ đường cao CH và C H của 2 tam giác BAC và 1 1 AB C 1 1

Do C H / /CH,1 1 theo hệ quả định lí Talet ta có:

§Æt BM k

MC 

CN2k

Bài 3: Chứng minh rằng nếu trong 1 lục giác lồi ABCDEF, các đường chéo

AD, BE, CF đều chia lục giác thành 2 phần tương ứng thì chúng đồng qui tại một điểm

Lời giải

Các đoạn AD, BE, CF đôi một cắt nhau và định ra tam giác PQR

Không mất tính tổng quát, giả sử các điểm P, Q, R được phân bố như hình vẽ

Ta có: SAPEFSPEDSBCDPSABP

 APEF   ABP   BCDP   PED 

Trừ vế với vế 2 đẳng thức trên ta suy ra: SPEDSABP

Theo nhận xét của bài 1 phần 2.1.6, ta có:

Gọi O là giao điểm của NB và MA, P ' là giao điểm của OC với MP

Do AB//MN, AC//MP nên theo định lí Talet ta có:

2.2 áp dụng của định lí Pitago trong giải toán

2.2.1 Định lí Pitago với bài toán tính toán

Bài 1: Cho tam giác nhọn ABC, kẻ AHBC ( HBC) Tính chu vi của ABC,

HC AC AH 20 12 256

Bài 3: Cho ABC có A90 , AB0 8cm, BC17cm Trên nửa mặt phẳng bờ

AC không chứa điểm B, vẽ tia CDAC và CD36cm Tính tổng độ dài các

2

C B

A y

x 6

Lời giải

36

8 17

Do đó: AC15(cm)

Tam giác ACD vuông ở C, theo định lí Pitago ta có:

AD AC CD 15 36 1521Suy ra: AD39(cm)

Vậy ABBCCDDA 8 174639 110(cm)

Bài 4: Cho tam giác đều ABC, điểm M ở bên trong tam giác, trong đó

MA1cm, MB2cm, MC 3cm

a, Tính độ dài cạnh của tam giác ABC

b, Tính số đo các góc AMB, BMC, CMA

Lời giải

60 0

M D

C B

A

a, Vẽ BMD đều (C và M khác phía đối với AB)

Trong ADB vuông: AB2 AD2 DB2  3 4 7

Vậy AB 7(cm)ACBC

b, Ta có:

AMBAMDBMD60 60 120Xét BMC có MB2 MC2    4 3 7 BC2

0

BMC 90

  (định lí Pitago đảo)

Suy ra: AMC150 0

Bài 5: Nếu độ dài cạnh góc vuông của tam giác vuông tăng lên 2 lần, 3 lần thì

độ dài cạnh huyền thay đổi như thế nào?

Lời giải

Gọi b, c là độ dài của 2 cạnh góc vuông, a là độ dài cạnh huyền của tam giác vuông

Ta có: a2b2c2

Khi độ dài của cạnh góc vuông tăng lên 2 lần, ta có:

b '2b;c'2cTức là: 2 2 2  2  2  2 2  2

a ' b ' c'  2b  2c 4 b c  2a

a ' 2a

Vậy cạnh huyền tăng lên 2 lần khi cạnh góc vuông tăng lên 2 lần

Tương tự khi cạnh góc vuông tăng lên 3 lần thì cạnh huyền cũng tăng lên 3 lần

2.2.2 Định lí Pitago với bài toán chứng minh

Bài 1: Cho ABC vuông ở A Gọi M là trung điểm của AB, kẻ MHBC tại

2 2 2

Bài 2: Cho ABC vuông cân ở A Qua A vẽ đường thẳng d thay đổi Vẽ BD

và CE cùng vuông góc với d ( D, E ) Chứng minh rằng tổng d BD2CE2 có giá trị không đổi

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, trên đó lấy điểm D

Trên tia đối của tia AH lấy 1 điểm E sao cho HEAD Đường thẳng vuông góc với AH tại D cắt AC tại F

CMR: EBEF

Lời giải