Áp dụng của định lí Pitago trong giải toán

2.2.1. Định lí Pitago với bài toán tính toán

Bài 1: Cho tam giác nhọn ABC, kẻ AHBC ( HBC). Tính chu vi của ABC,  biết AC20(cm); AH12(cm); BH5(cm). Lời giải H C B A

Ta có AHB vuông tại H Theo định lí Pitago ta có:

AB2 AH2HB2 12252

14425 169

AB13(cm)

Tam giác AHC vuông tại H, theo định lí Pitago ta có:

2 2 2 2 2

HC 16(cm)

 

Nên BCBHHC 5 1621(cm) Chu vi ABC là:

ABBCCA1621 20 56(cm)

Bài 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho các điểm A 5, 4 ;B 2,3 ;C 6,1 .      

Tính các góc của ABC. Lời giải Ta có:  2  2 2 AB  52  43 10 (1)  2  2 2 AC  56  4 1 10 (2)  2  2 2 BC  62  1 3 20 Vậy ABC vuông tại A (vì BC2 AB2AC2) Từ (1) và (2) ta cũng có: AB2 AC2ABAC Vậy ABC vuông cân tại A

0 0

A 90 ;B C 45 .

   

Bài 3: Cho ABC có A90 , AB0 8cm, BC17cm. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B, vẽ tia CDAC và CD36cm. Tính tổng độ dài các

2 C B A y x 6 5 4 3 1 O

Lời giải 36 8 17 D C B A ABC

 vuông ở A, theo định lí Pitago ta có:

2 2 2

BC AB AC

Suy ra: AC2 BC2AB2 172 82 28964225 Do đó: AC15(cm)

Tam giác ACD vuông ở C, theo định lí Pitago ta có:

2 2 2 2 2

AD AC CD 15 36 1521 Suy ra: AD39(cm)

Vậy ABBCCDDA 8 174639 110(cm) .

Bài 4: Cho tam giác đều ABC, điểm M ở bên trong tam giác, trong đó

MA1cm, MB2cm, MC 3cm. a, Tính độ dài cạnh của tam giác ABC. b, Tính số đo các góc AMB, BMC, CMẠ Lời giải 600 M D C B A

a, Vẽ BMD đều (C và M khác phía đối với AB) Xét BDA và BMC có: BDBM BABC 0 DBAMBC60 ABM Vậy BDA  BMC (c.g.c) DA MC 3    Xét ADM có AD2AM2  3 1 4MD2 0 MDA 90   (định lí Pitago đảo) Xét ADM vuông có MA 1MD 2  nên ADM300 Suy ra ADBADMMDB300 600 900

Trong ADB vuông: AB2 AD2 DB2  3 47 Vậy AB 7(cm)ACBC. b, Ta có: 0 0 0 AMBAMDBMD60 60 120 Xét BMC có MB2 MC2    4 3 7 BC2 0 BMC 90   (định lí Pitago đảo) Suy ra: AMC150 .0

Bài 5: Nếu độ dài cạnh góc vuông của tam giác vuông tăng lên 2 lần, 3 lần thì

độ dài cạnh huyền thay đổi như thế nàỏ

Lời giải

Gọi b, c là độ dài của 2 cạnh góc vuông, a là độ dài cạnh huyền của tam giác vuông.

Khi độ dài của cạnh góc vuông tăng lên 2 lần, ta có: b '2b;c'2c Tức là: 2 2 2  2  2  2 2  2 a ' b ' c'  2b  2c 4 b c  2a a ' 2a  

Vậy cạnh huyền tăng lên 2 lần khi cạnh góc vuông tăng lên 2 lần.

Tương tự khi cạnh góc vuông tăng lên 3 lần thì cạnh huyền cũng tăng lên 3 lần.

2.2.2. Định lí Pitago với bài toán chứng minh

Bài 1: Cho ABC vuông ở Ạ Gọi M là trung điểm của AB, kẻ MHBC tại H.

CMR: CH2BH2 AC2.

Lời giải

Nối C với M, trong tam giác vuông CHM có:

2 2 2 CH CM MH Do đó: 2 2  2 2 2 CH BH  CM MH BH 2  2 2 CM MH BH    CM2 BM2 Mà BMAM(gt) Nên CH2BH2 CM2 AM2

2 2 2

CH BH AC

   (đpcm).

Bài 2: Cho ABC vuông cân ở Ạ Qua A vẽ đường thẳng d thay đổị Vẽ BD và CE cùng vuông góc với d ( D, Ed). Chứng minh rằng tổng BD2CE2 có giá trị không đổị

Lời giải

Ta có ABD  CEA (cạnh huyền, góc nhọn) Suy ra: ADCE

áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông ABD ta có:

2 2 2

BD AD AB

Suy ra: BD2CE2 AB2

Vì AB không đổi nên BD2CE2 không đổi (đpcm).

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, trên đó lấy điểm D.

Trên tia đối của tia AH lấy 1 điểm E sao cho HEAD. Đường thẳng vuông góc với AH tại D cắt AC tại F.

CMR: EBEF.

Vì ADHE nên AHDE

áp dụng định lí Pitago vào các tam giác vuông ABF, ABH, ADF, BHE, DEF ta được:     2 2 2 2 2 2 2 BF AB AF  BH AH  AD DF BH2DE2HE2DF2  2 2  2 2 BH HE DE DF     BE2EF2

Vậy BEF vuông tại E (định lí Pitago đảo) Do đó: EBEF.

Bài 4: Cho tam giác vuông cân ABC, A90 .0 Qua A kẻ đường thẳng d tuỳ ý. Từ B và C kẻ BHd,CKd.

CMR: Tổng BH2 CK2 không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng d.

+ Trường hợp đường thẳng d không cắt cạnh BC

AHB CKA

   (cạnh huyền, góc nhọn) Do đó CKAH

Tam giác AHB vuông tại H, theo định lí Pitago ta có:

2 2 2

AH BH AB không đổi

Suy ra CK2BH2 AB2 không đổị

+ Trường hợp đường thẳng d cắt cạnh BC tại 1 điểm nằm giữa B và C, ta vẫn có BH2CK2 AB2 không đổị

+ Nếu đường thẳng d trùng với đường thẳng AB thì điểm KA còn điểm HB, khi đó BH0,CKCA nên BH2 CK2 AB2 không đổị

+ Nếu đường thẳng d trùng với đường thẳng AC thì điểm HA còn điểm KC, khi đó KHBA,CK0 nên BH2CK2AB2 không đổị Vậy tổng BH2 CK2 không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng d.

Bài 5: Từ điểm O trong ABC, kẻ OF, OG, OH vuông góc với AB,, BC, CD. Chứng minh rằng hệ thức:

2 2 2 2 2 2

AF BG CH AH BF CG .

Xét tam giác vuông AFO và AHO, ta có:

2 2 2 2 2

OA AF OF AH OH (1)

Xét 2 tam giác vuông BOG và BFO lần lượt tại G và F, có:

2 2 2 2 2

OB BG OG BF 0F (2)

Xét 2 tam giác vuông OGH và OGC lần lượt tại H và G, có:

2 2 2 2 2

OC CH OH CG OG (3)

Cộng vế với vế của (1) (2) và (3) ta được:

AF2OF2 BG2OG2CH2OH2 AH2OH2 BF2 OF2CG2OG2 Vậy AF2BG2 CH2 AH2 BF2 CG2 (đpcm).

2.2.3. Định lí Pitago với bài toán nhận dạng tam giác

Bài 1: Tam giác nào là tam giác vuông trong các tam giác có độ dài 3 cạnh

như sau: a, 9cm, 15cm, 12cm. b, 5dm, 13dm, 12dm. c, 7m, 7m, 10m. Lời giải a, Ta có: 9281; 152 225; 122 144

b, 52 25; 132 169; 122 144

Ta thấy: 25 144 169   đây là tam giác vuông. c, 72 49; 102 100

Ta thấy: 4949 100  đây không phải là tam giác vuông.

Bài 2: Cho ABC, đường vuông góc hạ từ A xuống BC là AH. Biết AH6cm, BH4,5cm, HC8cm. Hỏi ABC là tam giác gì?

Lời giải 8 4.5 6 H C B A

Xét AHC là tam giác vuông tại H, theo định lí Pitago ta có:

2 2 2 2 2

AC AH HC 6 8 100 Xét AHB vuông tại H, theo định lí Pitago ta có:

2 2 2 2 2 225 AB BH AH 4,5 6 4      Vậy AC2 AB2 100 225 625 4 4     (1) Mà BC BH HC 9 8 25 BC2 625 2 2 4        (2) Từ (1) và (2) suy ra: BC2 AB2 AC2

Bài 3: Cho ABC nhọn, kẻ AHBC. Biết đọ dài các cạnh AC15cm, AH12cm, và BH9cm. Hỏi ABC là tam giác gì? So sánh BH và CH.

Lời giải 15 9 12 H C B A

Xét AHC vuông tại H, theo định lí Pitago ta có:

2 2 2 2 2 2

AC AH HC 15 12 HC HC 9(cm)

  (1)

Xét ABH vuông tại H, theo định lí Pitago ta có:

2 2 2 2 2 2

AB AH BH AB 9 12 AB15(cm) Vậy từ ABC ta có: ABAC15(cm)

Nên ABC cân tại A

Kết luận

ứng dụng của định lí Talet và định lí Pitago vào giải toán nó cấp cho học sinh một số kiến thức mới, giúp phát triển tư duy toàn diện cho học sinh, tạo cho học sinh khi đứng trước một bài toán hình thành cho mình một hướng tư duy đúng đắn phù hợp để giải toán.

Nhằm góp phần hoàn thiện cho học sinh một số kiến thức để giải quyết các bài toán hình học. Khoa luận đưa ra một hệ thống phù hợp, các dạng toán được phân loại từ dễ tới khó, hợp logic. Để bước đầu giúp học sinh thấy được tầm quan trọng của việc áp dụng định lí Talet và định lí Pitago trong giải toán. Coi đây là một công cụ mới nhằm giải toán một cách hiệu quả.

Như vậy đề tài Định lí Talet, định lí Pitago và áp dụng đã hoàn thành nội dung và đạt được mục đích nghiên cứụ

Bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, với năng lực còn hạn chế chắc chắn bài khoá luận này sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong các thầy cô, các bạn sinh viên đóng góp ý kiến để khoá luận của em được hoàn thiện hơn và thực sự là tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên, sinh viên và học sinh. Em xin chân thành cảm ơn!

Tài liệu tham khảo

[1] Nguyễn Minh Hà, Phạm Hiền Bằng (1995), Tuyển chọn và phân loại toán cấp hai hình học, NXB Giáo Dục.

[2] Vũ Dương Thuỵ, Nguyễn Ngọc Đạm (2004), Toán nâng cao và các chuyên đề hình học 7, NXB Giáo Dục.

[3] Vũ Dương Thuỵ, Nguyễn Ngọc Đạm (2004), Toán nâng cao và các chuyên đề hình học 8, NXB Giáo Dục.

[4] Toán lớp 7(2007), NXB Giáo Dục. [5] Toán lớp 8 (2007), NXB Giáo Dục.

[6] Bùi Văn Tuyên (2010), Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 7và 8, NXB Giáo Dục.

[7] Tôn Thất, Vũ Hữu Bình, Nguyễn Vũ Thanh, Bùi Văn Tuyên (2011),

Các dạng toán và phương pháp giải toán 8, NXB Giáo Dục.

[8] Đậu Thế Cấp, Phan Văn Đức (2009), 500 bài toán chọn lọc, NXB Hải