luận án tiến sĩ phát triển một số phụ thuộc logic trong cơ sở dữ liệu

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC TỪ VIẾT TẮTIU Tập các công thức suy dẫn trên tập biến U LU Tập các CTB xây dựng trên tập các biến U MLF Tập các vế trái cực tiểu của F PU Tập toàn bộ các công t

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC TỪ VIẾT TẮT

I(U) Tập các công thức suy dẫn trên tập biến U

L(U) Tập các CTB xây dựng trên tập các biến U

ML(F) Tập các vế trái cực tiểu của F

P(U) Tập toàn bộ các công thức dương trên U

PTBD Phụ thuộc Boole dương

PTBDĐT Phụ thuộc Boole dương đa trị

PTBDTQ Phụ thuộc Boole dương tổng quát

R(U) Quan hệ R với tập thuộc tính U

REL(U) Tập toàn thể các quan hệ trên tập thuộc tính U

REL_p(U) Tập toàn thể các quan hệ có không quá p bộ trên tập thuộc

tính U, p ≥ 1 SAT(F) Tập toàn thể các quan hệ trên U thỏa tập ràng buộc F SAT_p(F) Tập toàn thể các quan hệ có không quá p bộ trên U thỏa

tập ràng buộc F, p ≥ 1 SubSet(U) Tập các tập con của U

├2 suy dẫn theo quan hệ có không quá 2 bộ

M Ở Đ Ầ U

Cơ sở dữ liệu là hạt nhân không thể thiếu trong các hệ thống, trong đó có các

hệ thống máy tính và truyền thông Cùng với sự phát triển không ngừng củaInternet, việc trao đổi thông tin và truyền dữ liệu trên mạng là một nhu cầu tấtyếu đặt ra Với khối lượng thông tin lớn được trao đổi, dữ liệu lưu trữ phântán, các yêu cầu truy xuất có thể xảy ra ở nhiều nơi, việc đảm bảo tính nhấtquán, tránh dư thừa dữ liệu, dị thường khi thêm, xóa bộ cũng như các bài toánliên quan đến tổ chức, xử lý, nén dữ liệu,… luôn là vấn đề được quan tâm

Để lưu trữ, quản lý và khai thác dữ liệu ta có thể dùng nhiều mô hình tổ chức

dữ liệu khác nhau từ những mô hình truyền thống như mô hình mạng, môhình phân cấp, mô hình quan hệ đến các mô hình hiện đại, được dùng nhiềuhiện nay như mô hình cơ sở dữ liệu phân tán, mô hình cơ sở dữ liệu hướngđối tượng … Trong các mô hình dữ liệu, việc nghiên cứu lý thuyết và ứngdụng của các ràng buộc dữ liệu hay còn gọi là các phụ thuộc dữ liệu là mộtyêu cầu cấp thiết đặt ra Phụ thuộc dữ liệu đầu tiên được Codd [29] tác giảcủa mô hình dữ liệu quan hệ đặt nền móng từ những năm 70 với khái niệmphụ thuộc hàm Tiếp sau đó R Fagin và Zaniolo đã đưa ra phụ thuộc đa trịvào năm 1976 Năm 1979 C Beeri và J.D Ullman [54] đề xuất phụ thuộc kếtnối Cùng với sự phát triển của lớp phụ thuộc hàm, một số phụ thuộc dữ liệubậc cao cũng như hệ tiên đề cho lớp các phụ thuộc - tức là đặt nền móng cơ sở

lý thuyết về phụ thuộc dữ liệu, cũng được giới thiệu sau đó như phụ thuộc đốingẫu, phụ thuộc mạnh, phụ thuộc yếu do J Demetrovics và Gy Gyepesy đềxuất năm 1981, phụ thuộc Boole dương do Berman, Blok [22], [23] và Sagiv,Delobel et al [52] đề xuất năm 1985, 1987, phụ thuộc Boole dương tổng quátđược Nguyễn Xuân Huy, Lê Thị Thanh [50] phát triển năm 1992, …

Gần đây, trên cơ sở lớp phụ thuộc hàm là phụ thuộc dữ liệu truyền thống cómột số công trình nghiên cứu của nhiều nhóm về các phụ thuộc dữ liệu mởrộng cho nhiều các loại dữ liệu khác nhau Với dữ liệu xác định, năm 2004,Ilyas [43] và các đồng nghiệp đã nghiên cứu phụ thuộc hàm nhẹ (Soft

Functional Dependencies – Soft FD) là phụ thuộc hàm mà giá trị của X xác định giá trị của Y với độ không chắc chắn nhất định hay phụ thuộc hàm có

điều kiện (Conditional functional dependencies - CFDs) được Bohannon [24]cùng các đồng nghiệp đề xuất năm 2007 để làm sạch dữ liệu Với dữ liệu mờ,phụ thuộc hàm đối sánh (Matching dependencies - MDs), phụ thuộc hàm độ

đo (Metric Functional Dependencies - MFD) đã lần lượt được Fan [36], [37],Koudas [44] nghiên cứu, đề xuất năm 2008, 2009 Hay phụ thuộc tuần tự(Sequential dependencies - SD ) được Golab [41] và đồng nghiệp đưa ra đểkhái quát dữ liệu theo thứ tự và biểu diễn mối quan hệ giữa các thuộc tính cóthứ tự Gần đây, đầu năm 2011 nhóm nghiên cứu Song S và Chen L [53] đã

đề xuất phụ thuộc sai khác (Differential Dependencies - DDs) để giải quyếtmột số vấn đề như đảm bảo tính toàn vẹn, tối ưu truy vấn tốt hơn so với phụthuộc hàm

Lớp các PTH và hầu hết các phụ thuộc bậc cao phát triển sau đó như phụthuộc đối ngẫu, phụ thuộc mạnh, phụ thuộc yếu, phụ thuộc hàm nhẹ, phụthuộc hàm có điều kiện … đều dựa trên quan hệ đẳng thức khi so sánh các trịcủa các thuộc tính xuất hiện trong các bộ Trong thực tế, ngoài so sánh theođẳng thức còn tồn tại những loại hình so sánh khác Ta xét một số thí dụ sau:

1 Trong CSDL quản lý giao dịch thẻ tín dụng, số thẻ giao dịch sẽ xác định vịtrí giao dịch Để xác định một giao dịch có gian lận hay không ta có thể kếthợp các điều kiện giữa số thẻ với vị trí để xác định thời gian giao dịch, thí dụnếu cùng một thẻ tín dụng giao dịch ở hai vị trí cách nhau hơn 40km (ở hai

thành phố khác nhau), thì thời gian truyền sai lệch phải lớn hơn 20 phút Nếuhai giao dịch không thỏa điều kiện trên thì một trong hai phiên giao dịch đó làgian lận Như vậy, ta thấy phụ thuộc [sothe (=0) vitri (≥40)] [thoigian(≥20)] có ngữ nghĩa rộng hơn PTH sothe → vitri.

2 Trong số luận, độ cao của một số tự nhiên n, H(n) là tổng các chữ số của

số đó, thí dụ, H(2006) = H(125) = 8 Nếu ta phân loại các số theo độ cao thì

hai số khác nhau có thể thuộc cùng một lớp Như vậy phụ thuộc

H(N)→CLASS có ngữ nghĩa rộng hơn PTH N → CLASS

3 Nhà hóa học Nga Mendelev từ lâu đã chỉ ra và phân loại các nguyên tố hóahọc theo số lớp điện tử cũng như số điện tử tự do trong cấu tạo nguyên tử củachúng Hai nguyên tố có thể khác nhau nhưng nếu chúng có cùng số lớp điện

tử hoặc/và cùng số điện tử tự do thì chúng sẽ có cung một số tính chất nào đó

và do đó thuộc cùng một nhóm hay chu kỳ Ví dụ: trong nhóm các kim loạikiềm IA (gồm 6 nguyên tố hóa học Li, Na, K, Rb, Cs, Fr) đều có tính khửmạnh, chỉ số oxi hóa +1, các cặp oxi hóa – khử M+/M đều có điện cực chuẩn

có giá trị rất âm, và chung một số tính chất như tác dụng được với axít, phikim, nước…

Trong thực tế với một số cơ sở dữ liệu lớn, biến động, phân tán ở nhiều nơi,trên địa bàn rộng, phục vụ nhiều người dùng với nhiều ứng dụng khác nhauthì các yêu cầu như đồng nhất dữ liệu (theo khóa và theo trọng số thông tin ),

xử lý các yêu cầu tra cứu thông tin với các điều kiện khác nhau một cáchnhanh chóng, đảm bảo dữ liệu không bị mất mát trên đường truyền, tổ chức,thiết kế, quản lý dữ liệu sao cho việc lưu trữ tốn ít bộ nhớ nhất, khai thác hiệuquả và thời gian truyền dữ liệu được giảm tối đa… cũng luôn là yêu cầu cầnthiết đặt ra Xét ví dụ về hệ thống thông tin quản lý xuất nhập cảnh Hệ thốngnày bao gồm nhiều phân hệ như : hệ thống cấp phát hộ chiếu, thị thực cho

người Việt Nam xuất nhập cảnh, hệ thống cấp phát thị thực cho người nướcngoài và Việt Kiều nhập xuất cảnh, kiểm soát xuất nhập cảnh tại các cửa khẩuquốc tế, quản lý tạm trú, tạm vắng tại địa phương Đây là hệ thống thông tinlớn: danh sách về người xin xuất nhập cảnh hàng năm lên đến hàng chục triệungười, luôn biến động và luân chuyển từ Trung tâm trung ương tới các trạmkiểm soát xuất nhập cảnh cửa khẩu, tới các cơ quan đại diện ngoại giao ViệtNam ở nước ngoài và ngược lại Hệ thống cũng giải quyết nhiều tác nghiệpnhư duyệt nhân sự, kiểm soát xuất nhập cảnh, quản lý tạm trú đi lại, theo dõitiến trình xuất nhập cảnh, xin xuất nhập cảnh Để quản lý, lưu trữ và trao đổi

dữ liệu giữa các phân hệ được tốt cần đưa tập các ràng buộc dữ liệu ban đầu

về dạng thu gọn, đơn giản hơn, đồng thời tổ chức, thiết kế cơ sở dữ liệu saocho giảm tải được dữ liệu lưu trữ, tra cứu với nhiều điều kiện tìm kiếm….Một trong các giải pháp để thực hiện việc này là mở rộng khái niệm đối sánhcác trị của các thuộc tính xuất hiện trong các bộ, tìm tập các phụ thuộc dữ liệuthu gọn tương đương với tập phụ thuộc dữ liệu ban đầu Đây cũng chính làmục đích và ý nghĩa của việc mở rộng khái niệm so sánh trong lớp các phụthuộc dữ liệu như phụ thuộc Boole dương tổng quát hay các phụ thuộc có bảnchất là phụ thuộc Boole dương như phụ thuộc sai khác, phụ thuộc đối sánh…được nghiên cứu sau này

Với mong muốn phát triển, mở rộng lý thuyết về phụ thuộc dữ liệu và một sốứng dụng Mục tiêu của luận án là tiếp tục nghiên cứu, phát triển một số vấn

đề liên quan đến lớp phụ thuộc Boole dương và ánh xạ đóng là công cụ để mô

tả, phản ánh lớp phụ thuộc này Đây là vấn đề nghiên cứu đã và đang đượcnhiều nhà khoa học quan tâm

Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu các lớp phụ thuộc Boole dương trong đó tập trung chủyếu việc vào việc đề xuất, phát triển một số khái niệm, tính chất của

lớp phụ thuộc Boole dương tổng quát và một số khía cạnh ứng dụngcủa lớp phụ thuộc này.

- Nghiên cứu về ánh xạ đóng và tổng quát hóa một số kết quả về lớpcác phụ thuộc Boole dương theo ngôn ngữ ánh xạ đóng Đề xuấtcông cụ toán học để biểu diễn ánh xạ đóng, nâng cao hiệu quả tínhtoán khi sử dụng công cụ này

Phương pháp nghiên cứu

- Tìm hiểu các tài liệu và kết quả nghiên cứu có liên quan đến đề tài.Vận dụng chủ yếu các phương pháp và cấu trúc của toán học rời rạckết hợp với việc phát triển lớp các phụ thuộc logic nhằm nâng caokhả năng biểu đạt và đảm bảo ngữ nghĩa của dữ liệu trong cơ sở dữliệu

- Kết hợp chặt chẽ giữa lý thuyết và các phương pháp toán học đểchứng minh một số kết quả nghiên cứu

Những đóng góp của luận án

Luận án đã giải quyết được các vấn đề sau:

(1) Đề xuất, xây dựng khái niệm và một số tính chất của cơ sở hệ sinh ánh

xạ đóng Phát biểu và chứng minh các định lý, bổ đề về biểu diễn cơ sởcủa hệ sinh ánh xạ đóng thông qua phép thu gọn hệ sinh Đề xuất mộtdạng biểu diễn cơ sở hệ sinh ánh xạ đóng với kỹ thuật thu gọn hệ sinhtheo vế trái tối tiểu của tập luật sinh

(2) Đề xuất một lớp hệ sinh đặc biệt gọi là hệ sinh cân bằng để biểu diễnánh xạ đóng và thu được một số kết quả ban đầu nâng cao hiệu quả tínhtoán khi sử dụng công cụ này

(3) Đề xuất khái niệm phủ, phủ không dư và thuật toán tìm phủ không dưcho lớp phụ thuộc Boole dương tổng quát Đề xuất khái niệm bao đóng

và thuật toán giải bài toán thành viên trong trường hợp tổng quát củalớp phụ thuộc Boole dương tổng quát.

(4) Xác định điều kiện cần và đủ để biểu diễn phụ thuộc Boole dương tổngquát dưới dạng hội các công thức suy dẫn

(5) Xây dựng thuật toán tìm tập PTBDTQ thỏa mãn quan hệ R cho trước.

Bố cục của luận án

Về cấu trúc, luận án được trình bày trong 3 chương, có phần mở đầu, phần kếtluận, phần mục lục, phần các công trình đã công bố liên quan đến luận án vàtài liệu tham khảo Các nội dung cơ bản của luận án được trình bày theo cấutrúc như sau:

Chương 1: Tổng quan về các phụ thuộc logic trong cơ sở dữ liệu

Trình bày khái niệm chung về mô hình quan hệ và lớp phụ thuộc đầu tiên củaphụ thuộc logic là phụ thuộc hàm Tổng quan về quá trình phát triển của lớpcác phụ thuộc Boole và đặt vấn đề xác định giới hạn của phụ thuộc Booletrong điều kiện bảo toàn hiệu lực của định lý tương đương

Chương 2: Ánh xạ đóng và hệ sinh cân bằng

Giới thiệu về ánh xạ đóng, giàn giao và điểm bất động của ánh xạ đóng.Trong chương cũng trình bày một số kết quả mới của luận án liên quan đến hệsinh ánh xạ đóng như biểu diễn cơ sở hệ sinh ánh xạ đóng qua hợp vế trái tốitiểu của hệ sinh cho trước và cơ sở của hệ sinh sau khi thu gọn Đề xuất lớp

hệ sinh mới là hệ sinh cân bằng với mục đích nâng cao hiệu quả trong quátrình tính toán và một dạng biểu diễn cơ sở của hệ sinh ban đầu thông qua cơ

sở hệ sinh cân bằng

Chương 3 Phát triển lớp các phụ thuộc Boole dương và ánh xạ đóng trong

cơ sở dữ liệu

Trình bày một số khái niệm và kết quả của luận án liên quan đến việc tìm baođóng, phủ, phủ không dư, bài toán thành viên và thể hiện của lớp phụ thuộcBoole dương tổng quát (PTBDTQ) Biểu diễn phụ thuộc Boole dương tổngquát dưới dạng hội các công thức suy dẫn và thuật toán xây dựng xây dựngtập PTBDTQ thỏa mãn quan hệ R cho trước cũng được trình bày trongchương này Một số ứng dụng của ánh xạ đóng và hệ suy dẫn trong cơ sở dữliệu cũng được giới thiệu trong chương này

Các kết quả chủ yếu của luận án được trình bày trong Chương 2 và Chương 3

Các kết quả này cũng đã được công bố trên 4 bài báo đăng trong các tạp chíchuyên ngành, được trình bày và đăng trong kỷ yếu của 2 hội nghị Quốc gia

về Công nghệ thông tin

Những kết quả nghiên cứu trong luận án là bước đầu để phát triển và hoànthiện lý thuyết lớp các phụ thuộc logic trong cơ sở dữ liệu Kết hợp với một

số thuật toán, kỹ thuật khai thác dữ liệu và tri thức, có thể xây dựng các ứngdụng phục vụ cho công tác của ngành Công an Do điều kiện về thời gian vàtrình độ còn hạn chế, những vấn đề trình bày trong luận án không tránh khỏinhững thiếu xót Tác giả rất mong được sự thông cảm và góp ý của các nhàkhoa học, đồng nghiệp và bạn bè để hoàn thiện luận án tốt hơn

về phụ thuộc dữ liệu Một điều khá tự nhiên là ngay từ những ngày đầu pháttriển lý thuyết thiết kế cơ sở dữ liệu, logic đã được chọn như một ngôn ngữhữu hiệu để đặc tả phụ thuộc dữ liệu, do đó, trong số các loại hình phụ thuộc

dữ liệu rất đa dạng được đề xuất và phát triển sau này, các phụ thuộc logicluôn luôn là trọng tâm chú ý của các nhóm nghiên cứu

Chương này sẽ trình bày một cách tổng quan quá trình phát triển của các lớpphụ thuộc Boole dương và đặt vấn đề xác định giới hạn của phụ thuộc Booletrong điều kiện bảo toàn hiệu lực của định lý tương đương Phần đầu tiên củachương trình bày một số khái niệm cơ bản của lý thuyết cơ sở dữ liệu quan hệ

và phát biểu định lý tương đương cho lớp phụ thuộc hàm Các phần tiếp theocủa chương lần lượt giới thiệu các lớp phụ thuộc Boole được mở rộng theotrình tự thời gian là phụ thuộc Boole dương, phụ thuộc Boole dương tổng quát

và phụ thuộc Boole dương đa trị Phần cuối nêu sự cần thiết và ý nghĩa củaviệc mở rộng các phụ thuộc dữ liệu và một số vấn đề cần phát triển tiếp

1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Các khái niệm cơ bản về cơ sở dữ liệu quan hệ được trình bày lần đầu tiên

trong công trình của Codd [29] Các khái niệm liên quan đến các cơ sở dữ liệu

và tri thức đã được trình bày đầy đủ trong [39], [54]

Các khái niệm về quan hệ, thuộc tính, bộ được định nghĩa như sau:

Định nghĩa 1.1.1

Cho tập hữu hạn U = {A 1 , A 2 , , A n } khác rỗng (n 1) Các phần tử của U được gọi là thuộc tính Ứng với mỗi thuộc tính A iU, i = 1,2, ,n có một tập

chứa ít nhất hai phần tử dom(A i ) được gọi là miền trị của thuộc tính A i Gọi D

là hợp của các dom(A i ), i = 1,2, ,n Một quan hệ R với các thuộc tính U, ký hiệu là R(U), là một tập các ánh xạ t: UD sao cho với mỗi A iU ta có

t(A i ) dom(A i ) Mỗi ánh xạ được gọi là một bộ của quan hệ R.

Mỗi quan hệ R(U) có hình ảnh là một bảng, mỗi cột ứng với một thuộc tính, mỗi dòng là một bộ

Ta ký hiệu t(U) là một bộ trên tập thuộc tính U

Một quan hệ rỗng, ký hiệu , là quan hệ không chứa bộ nào

Vì mỗi quan hệ là một tập các bộ nên trong quan hệ không có hai bộ trùng lặp.

Theo truyền thống của lý thuyết cơ sở dữ liệu chúng ta chấp nhận các quyđịnh sau đây:

Các thuộc tính được ký hiệu bằng các chữ LATIN HOA đầu bảng chữ A, B, C,

Tập thuộc tính được ký hiệu bằng các chữ LATIN HOA cuối bảng chữ X, Y, Z,

Các phần tử trong một tập thuộc tính thường được liệt kê như một xâu ký tự,

chẳng hạn ta viết X = ABC thay vì viết X = A, B, C XY biểu diễn hợp của hai tập X và Y, X Y Phép trừ hai tập X và Y được ký hiệu là X\Y, hoặc X-Y Một phân hoạch của tập M thành các tập con rời nhau X1, X 2 , , X m được kýhiệu là

M = X1 | X2 | | X m

với ý nghĩa M = X 1  X 2   X m và X i  X j = , 1  i, j  m, i  j Các bộ được biểu diễn bằng các chữ Latin thường có thể kèm chỉ số t, u, v,

 Hàm Attr(R) cho tập thuộc tính của quan hệ R.

 Hàm Card(R) cho lực lượng (số bộ) của quan hệ R.

Trong trường hợp tập thuộc tính U đã cho trước ta có thể viết đơn giản R thay cho R(U).

Ký hiệu REL(U) là tập toàn thể các quan hệ trên tập thuộc tính U, REL_p(U)

là tập toàn thể các quan hệ có không qúa p bộ trên tập thuộc tính U, p  1 Hai quan hệ R và S được gọi là tương thích nếu chúng có cùng một tập thuộc tính, tức là nếu Attr(R) = Attr(S).

1.2 PHỤ THUỘC HÀM

Phụ thuộc hàm là lớp phụ thuộc đầu tiên của phụ thuộc logic, đây cũng là lớpphụ thuộc kinh điển được Codd [29] đề xuất sớm nhất và đóng vai trò quan

trọng trong việc thiết kế CSDL Phần này sẽ trình bày khái niệm về phụ thuộchàm, một số tính chất của phụ thuộc hàm, các loại suy dẫn, suy dẫn theo tiên

đề, , suy dẫn theo quan hệ, suy dẫn theo quan hệ có không quá p bộ và phátbiểu định lý tương đương giữa các loại suy dẫn này Khái niệm về lược đồquan hệ cũng được đề cập ở đây

1.2.1 Khái niệm phụ thuộc hàm

Định nghĩa 1.2.1

Cho tập thuộc tính U Một phụ thuộc hàm (PTH) trên U là biểu thức dạng

f: XY ; X,Y  U Nếu f: XY là một phụ thuộc hàm trên U thì ta nói tập thuộc tính Y phụ thuộc vào tập thuộc tính X, hoặc tập thuộc tính X xác định hàm tập thuộc tính Y X là

vế trái và Y là vế phải của PTH f Ta cũng dùng hai toán tử LS(f) và RS(f) để lấy vế trái và vế phải của PTF f, cụ thể là nếu f: X  Y thì LS(f) = X, RS(f) = Y Cho quan hệ R(U) và một PTH f: XY trên U Ta nói quan hệ R thoả PTH f

và viết R(f), nếu hai bộ tuỳ ý trong R giống nhau trên X thì chúng cũng giống nhau trên Y,

R(XY)  (u,v  R): (u.X = v.X)  (u.Y = v.Y)

Ta dùng ký hiệu X ↛ Y với ý nghĩa tập thuộc tính Y không phụ thuộc hàm vào tập thuộc tính X.

Cho tập PTH F trên tập thuộc tính U Ta nói quan hệ R(U) thoả tập PTH F,

và viết R(F), nếu R thoả mọi PTH trong F,

R(F)  ( f  F): R(f) Nếu quan hệ R thỏa PTH f ta cũng nói PTH f đúng trong quan hệ R

và các PTH f 1 : AA, f 2 : AB, f 3 : ACC, f 4 : AD, f 5 : DA, f 6 : AC Khi đó các PTH f 1 - f 5 đúng trong R, mặt khác, R không thỏa PTH f 6

Cho tập  các quan hệ trên U, ký hiệu FD() là tập các PTH trên U đúng

trong mọi quan hệ của 

1.2.2.Hệ tiên đề Armstrong

Định nghĩa 1.2.4

Cho tập PTH F trên tập thuộc tính U Bao đóng của F, ký hiệu F + là tập nhỏ

nhất các PTH trên U chứa F và thoả các tính chất F1-F3 của hệ tiên đề Armstrong A o sau đây:

X, Y, Z  U:

F1 Tính phản xạ: Nếu X  Y thì XY  F +

F2 Tính gia tăng: Nếu XY  F + thì XZYZ  F +

F3 Tính bắc cầu: Nếu XY  F + và YZ  F + thì XZ  F +

Nhận xét:

Các PTH có vế trái chứa vế phải như mô tả trong F1 được gọi là tầm thường.

Các PTH tầm thường đúng trong mọi quan hệ Ngoài ra, các quan hệ trên tập

thuộc tính U có không quá một bộ thỏa mọi PTH trên U.

1.2.3 Một số tính chất của phụ thuộc hàm

Cho tập thuộc tính U và các tập phụ thuộc hàm F, G trên U, tập các quan hệ

 trên U, các quan hệ R và S trên U Khi đó:

1 Nếu F  G thì SAT(F)  SAT(G)

2 SAT(FG) = SAT(F)  SAT(G)

Nói cách khác PTH f được suy dẫn theo tiên đề từ tập PTH F nếu xuất phát

từ F, áp dụng các luật F1, F2 và F3 của hệ tiên đề Armstrong A o sau hữu hạn lần ta sẽ thu được PTH f

Định nghĩa 1.2.5

Cho tập PTH F trên tập thuộc tính U và f là một PTH trên U Ta nói PTH f được suy dẫn theo quan hệ từ tập PTH F và viết F├ f, nếu mọi quan hệ R(U) thoả F thì R cũng thoả f

F├ f  SAT(F)  SAT(f) Cho tập thuộc tính U và tập PTH F trên U, ta định nghĩa F* là tập các PTH f trên U được suy dẫn theo quan hệ từ tập PTH F

F├ p f  SAT_p(F)  SAT_p(f) Cho tập thuộc tính U và tập PTH F trên U, ta định nghĩa F' là tập các PTH f trên U được suy dẫn theo quan hệ có không quá hai bộ từ tập PTH F

F' = { f: XY | X,Y  U, F├2 f }

Định lý sau phát biểu về sự tương đương giữa các loại suy dẫn theo tiên đề,

suy dẫn theo quan hệ và suy dẫn theo quan hệ có không quá P bộ.

Định lý 1.2.2

F + = F * = F'

Nói cách khác, đối với phụ thuộc hàm, ba loại suy dẫn sau là tương đương

(i) Suy dẫn logic: F╞ f ,

(ii) Suy dẫn theo quan hệ: F├ f , và

(iii) Suy dẫn theo quan hệ có không quá hai bộ: F├ 2 f.

Định nghĩa 1.2.7

Lược đồ quan hệ (LĐQH) là một cặp a = (U, F), trong đó U là tập hữu hạn các thuộc tính, F là tập các ràng buộc trên các miền trị (dữ liệu) của các thuộc tính trong U.

1.3 CÁC CÔNG THỨC BOOLE

Định nghĩa 1.3.1

Cho U = {x1, ,x n } là tập hữu hạn các biến Boole, B là tập trị Boole,

B = {0,1} Khi đó các công thức Boole CTB) là các công thức được xây dựng trên các biến của U, các hằng 0/1 và các phép toán , ,  

Ký hiệu LU) là tập các CTB xây dựng trên tập các biến U.

Định nghĩa 1.3.2

Mỗi vector các phần tử 0/1, v = v1, ,v n) trong không gian Bn = BB B

được gọi là một phép gán trị cho các biến {x1, ,x n } trong U

Khi đó với mỗi CTB fLU) ta có fv) = fv 1 , ,v n ) là trị của công thức f đối với phép gán trị v, và fv) được tính như sau:

1 Thay toàn bộ xuất hiện của mỗi biến x i trong f bằng trị v i tương ứng,

i=1,2,…,n để thu được một mệnh đề logic b.

2 Trị của fv) chính là trị của b

Với mỗi tập con X U, ta quy ước viết hội logic ) của các biến trong X là dãy ký hiệu của X Như vậy, trong trường hợp không gây ra nhầm lẫn, ký hiệu

X đồng thời biểu diễn cho các đối tượng sau đây:

 một tập thuộc tính trong U,

 một tập biến logic trong U,

 một công thức Boole được lập bởi hội logic các biến trong X

Ngoài ra, nếu X = {B1, ,B m }  U ta ký hiệu

Với mỗi công thức f trên U, bảng trị của f, ký hiệu là V f chứa n+1 cột, trong

đó n cột đầu tiên chứa các trị của các biến trong U, cột cuối cùng, cột thứ n+1, chứa trị của f ứng với mỗi phép gán trị của dòng tương ứng Như vậy bảng trị

chứa 2n dòng, trong đó n là lực lượng của tập U Bảng chân lý của f, ký hiệu

là T f , là tập các phép gán trị v sao cho fv) nhận giá trị 1,





Ta có, v  T F khi và chỉ khi f F: fv) = 1.

Nhận xét 1.3.1

Với mỗi CTB f, bảng trị V f của f chứa trị của mọi phép gán trị cho f, trong khi bảng chân lý T f chỉ là một phần của bảng trị ứng với các giá trị 1 của f.

1.4 PHỤ THUỘC BOOLE DƯƠNG

Tiếp theo một số phụ thuộc logic như phụ thuộc hàm, phụ thuộc đối ngẫu,phụ thuộc mạnh, phụ thuộc yếu…đã được đề xuất và nghiên cứu bởi một sốtác giả, các nhóm nghiên cứu độc lập với nhau của J Berman và W.J.Blok[22], [23] và Sagiv, Delobel et al [52] đã mở rộng khái niệm PTH sang phụthuộc Boole dương Đây là lớp phụ thuộc logic bao gồm các ràng buộc dữliệu được mô tả thông qua các công thức Boole dương là những công thứcnhận giá trị 1 (true) khi tất cả các biến đều có trị 1 Trong mô tả các phụ thuộchàm và phụ thuộc Boole dương phép sánh trị của thuộc tính vẫn là phép sánhđẳng thức (=) Đối với các phụ thuộc Boole dương định lý tương đương vẫnbảo toàn hiệu lực

1.4.1 Công thức Boole dương

1 AB, AB)CB), AB)CB)B)C1 là các CTBD

2 Các công thức suy dẫn, suy dẫn mạnh, yếu và đối ngẫu đều là cácCTBD

3 Công thức A  (B) không phải là CTBD, vì khi A = B = 1 ta có 1  0

= 0

1.4.2 Bảng chân lý của quan hệ

Với hai bộ u và v tùy ý trong quan hệ R ta định nghĩa (u,v) là phép gán trị: (u,v) = (u.A 1 = v.A 1 , u.A 2 = v.A 2 , , u.A n = v.A n)

Nói cách khác, nếu u = (u 1 , u 2 , u 3 ,… u n ,) và v = (v 1 , v 2 , v 3 ,… v n ) thì ta đặt

t = (u,v) = (t 1 ,t 2 , ,t n)

trong đó t i = 1 nếu u i = v i và t i = 0 nếu u i  vi , 1  i  n

Với mỗi quan hệ R  REL(U) ta gọi bảng chân lý của quan hệ R là tập :

- Nếu R  thì e T R vì (u,u) = e nên e T R

1.4.3 Phụ thuộc Boole dương

001001

Cho tập PTBD F và một PTBD f Ta nói F dẫn ra được f theo quan hệ, và ký hiệu F├ f nếu R RELU): RF)  Rf).

Cho tập PTBD F và một PTBD f Ta nói F dẫn ra được f theo quan hệ có không quá hai bộ, ký hiệu F ├2 f nếu RREL_2U): RF)  Rf).

1.4.4 Định lý tương đương

Cho tập PTBD F và một PTBD f Ba mệnh đề sau là tương đương:

i) F ╞ f suy dẫn logic)

ii) F ├ f suy dẫn theo quan hệ)

iii) F ├2 f suy dẫn theo quan hệ có không quá 2 bộ)

Đối với PTH ta đã định nghĩa quan hệ R thỏa PTH f: X  Y, và ký hiệu là R(f) nếu

u,v  R: u.X = v.X  u.Y = v.YKhi coi PTH như là một trường hợp riêng của CTBD ta chấp nhận định nghĩa

quan hệ R thỏa PTH f: X  Y nếu T R  T f

Định lý 1.4.1 sau đây xác định tính tương đương của hai định nghĩa trên

1.5 PHỤ THUỘC BOOLE DƯƠNG TỔNG QUÁT

Tiếp theo phụ thuộc Boole dương, năm 1992 nhóm tác giả Nguyễn Xuân Huy

và Lê Thị Thanh [50] đã mở rộng phụ thuộc Boole dương thành phụ thuộcBoole dương tổng quát (PTBDTQ) bằng cách thay phép sánh đẳng thức bằng

quan hệ hai ngôi  với ba tính chất phản xạ, đối xứng và bộ phận Đối vớicác PTBDTQ định lý tương đương vẫn bảo toàn hiệu lực.

1.5.1 Bảng chân lý quan hệ của PTBDTQ

Định nghĩa 1.5.1

Cho tập thuộc tính U Ta quy ước rằng mỗi miền trị d i của thuộc tính A i,

1  i  n, có chứa ít nhất hai phần tử Với mỗi miền trị d i, ta xét ánh xạ

i : d idi  B thoả ba tính chất sau:

i) Tính phản xạ: adi :  ia,a) =1

ii) Tính đối xứng: a,b  di :  ia,b) = ib,a)

iii) Tính bộ phận: a, b  di :  ia,b) = 0

Quan hệ đẳng thức là trường hợp riêng của quan hệ trên.

Thí dụ 1.5.1

Cho U = ABC với d A là tập các số nguyên dương, d B là tập các số thực và giá

trị không xác định , d C là tập các từ hữu hạn trên bảng chữ cái không rỗngcho trước Khi đó các quan hệ A, B và C dưới đây thỏa ba tính chất i)-iii)

Aa,b) = 1 khi và chỉ khi hai số a và b cùng tính chẵn lẻ

Ba,b) = 1 khi và chỉ khi a và b đồng thời là hai số thực hoặc hai giá trịkhông xác định #

Ca,b) = 1 khi và chỉ khi hai từ a và b có cùng chiều dài

Định nghĩa 1.5.2

Giả sử các ánh xạ  i đã được xác định trên mỗi miền trị d i của các thuộc tính

A i trong tập U= {A1,A2, ,A n }, 1  i  n và R là một quan hệ trên U Với hai

bộ u và v tuỳ ý trong quan hệ R ta định nghĩa u,v) là phép gán trị:

u,v) = 1u.A1,v.A1), 2u.A2,v.A2), , nu.An ,v.A n))

Với mỗi quan hệ R  RELU) ta gọi bảng chân lý của quan hệ R là tập

T R = {u,v)  u, v  R}

Thí dụ 1.5.1

Với các thuộc tính A, B và C và các ánh xạ  A ,  B và  C tương ứng như mô

tả trong thí dụ trước Quan hệ R và bảng chân lý T R sẽ như sau :

1.5.2 Phụ thuộc Boole dương tổng quát

Cho tập PTBDTQ F và một PTBDTQ f Ta nói F dẫn ra được f theo quan hệ,

và ký hiệu F ├ f nếu

R RELU): RF)  Rf)

Định nghĩa 1.5.3

Cho tập PTBDTQ F và một PTBDTQ f Ta nói F dẫn ra được f theo quan hệ

có không quá hai bộ, ký hiệu F ├2 f nếu

R REL_2U): RF)  Rf)Định lý tương đương cho lớp phụ thuộc Boole dương tổng quát được phátbiểu và chứng minh trong định lý 1.5.1 dưới đây

Định lý 1.5.1

Cho tập PTBDTQ F và một PTBDTQ f Ba mệnh đề sau là tương đương [48],

i) F ╞ f suy dẫn logic)

ii) F ├ f suy dẫn theo quan hệ)

iii) F ├2 f suy dẫn theo quan hệ có không quá 2 bộ)

1.6 PHỤ THUỘC BOOLE DƯƠNG ĐA TRỊ

Trong thực tiễn, việc so sánh hai đối tượng không chỉ giới hạn trong khuônkhổ quyết định về sự đồng nhất tuyệt đối giữa hai đối tượng đó Chẳng hạn,việc xác định hai đối tượng A và B có phải là hai bản sao của cùng một vănbản gốc hay không Nếu A và B là hai văn bản còn nguyên vẹn thì bài toánquyết định là đơn giản Trong trường hợp A và B là hai văn bản cũ nát thì tachỉ có thể thông báo về sự trùng lặp ở một mức độ nào đấy mà ta xem là chắcchắn, thí dụ quãng 0.8 Việc tiếp nhận các giá trị này trong CSDL làm nảysinh các vấn đề về các thao tác cập nhật và đối sánh tương ứng trên các giá trịphản ánh độ chắc chắn, hay độ tin cậy Nhu cầu khảo sát các loại phụ thuộclogic với nhiều giá trị hay còn gọi là logic đa trị trong các CSDL như vậy là

khá tự nhiên Năm 1994, Lê Đức Minh, Vũ Ngọc Loãn và Nguyễn Xuân Huy[17], [46], [49] đã tiếp tục phát triển lớp các phụ thuộc Boole dương tổng quátthành lớp các phụ thuộc Boole dương đa trị và sau đó là lớp các phụ thuộcBoole dương theo nhóm bộ và bảo toàn hiệu lực của định lý tương đương.Phần này sẽ khảo sát lớp các phụ thuộc Boole dương đa trị như một bước tổngquát hóa các phụ thuộc Boole dương tổng quát trình bày trong phần trước

1.6.1 Công thức Boole đa trị

Định nghĩa 1.6.1

Tập trị Boole B = {b1 , ,b k } gồm k giá trị trong khoảng [0;1], k  2 được sắp

tăng và thỏa các điều kiện sau:

(i) 0  B,

(ii)  b  B  1- b  B.

Trong phần này chúng ta chọn thể hiện cho các phép toán và hàm logic đa trị

cơ sở như sau:

Cho U = {x1, ,x n } là tập hữu hạn các biến Boole, B là tập trị Boole Khi đó các công thức Boole đa trị CTBĐT) là các công thức được xây dựng trên các biến của U, các trị trong B , các hàm I b với b  B và các phép toán , , 

Ký hiệu MVLU) là tập các CTBĐT xây dựng trên tập các biến U và tập trị B cho trước, trong đó U gồm n phần tử và B gồm k phần tử, n  1, k  2.

Định nghĩa 1.6.3

Với mỗi công thức f trên U, bảng trị của f, ký hiệu là V f , chứa n+1 cột, trong

đó n cột đầu tiên chứa trị của các biến trong U, cột cuối cùng, cột thứ n+1, chứa trị của f ứng với mỗi phép gán trị của dòng tương ứng Như vậy bảng trị chứa k n dòng, trong đó k là lực lượng của tập B, n là lực lượng của tập U Cho m  [0;1], bảng chân lý ngưỡng m của f hoặc bảng m-chân lý của f, ký hiệu là T f,m là tập các phép gán trị v sao cho fv) nhận giá trị không nhỏ thua

m,

T f,m = {v  B n | fv)  m}

Khi đó bảng m-chân lý của tập hữu hạn các công thức F trên U, T F,m chính là

giao của các bảng m-chân lý của mỗi công thức thành viên trong F,

T

F f m

1.6.2 Bảng chân lý quan hệ của PTBDĐT

Định nghĩa 1.6.4

Cho tập thuộc tính U Ta quy ước rằng mỗi miền trị d i của thuộc tính A i,

1  i  n, có chứa ít nhất hai phần tử Với mỗi miền trị d i , 1  i  n, ta xét

ánh xạ i : d idi B thoả ba tính chất sau:

i) Tính phản xạ:  a di: ia,a) = 1

ii) Tính đối xứng: a,b  di: ia,b) = ib,a)

iii) Tính đầy đủ:  t  B,  a, b  di: ia,b) = t

Dễ thấy quan hệ đẳng thức với logic 2 trị B = {0,1} là trường hợp riêng của

quan hệ trên

Thí dụ 1.6.2

Cho U=ABC, B ={0, 0.2, 0.5, 0.8, 1} với d A là tập các số nguyên dương, d B là

tập các số thực, d C là tập các từ hữu hạn trên bảng chữ cái không rỗng chotrước Khi đó các quan hệ A, B và C dưới đây thỏa ba tính chất i)-iii).

  a,b  d A:

 A (a,b) = 1, nếu a = b,

 Aa,b) = 0.2, nếu a  b nhưng cùng tính chẵn lẻ và có cùng độcao,

 Aa,b) = 0.5, nếu a  b nhưng cùng tính chẵn lẻ và khác độ cao,

 Aa,b) = 0.8, nếu a  b và khác tính chẵn lẻ và có cùng độ cao,

 Aa,b) = 0, trong các trường hợp khác

  a,b  d B:

 Ba,b) = 1, nếu a = b, hay |a-b| = 0,

 Ba,b) = 0.2, nếu 0 < |a-b|  1,

 Ba,b) = 0.5, nếu 1 < |a-b|  3,

 Ba,b) = 0.8, nếu 3 < |a-b|  5,

 Ba,b) = 0, trong các trường hợp khác

  a,b  dC:

 Ca,b) = 1, nếu a = b,

 Ca,b) = 0.2, nếu a  b và len(a) = len(b)  30,

 Ca,b) = 0.5, nếu a  b và 30 < len(a) = len(b)  127,

 Ca,b) = 0.8, nếu a  b và 127 < len(a) = len(b)  255,

 Ca,b) = 0, trong các trường hợp khác

Định nghĩa 1.6.5

Giả sử các ánh xạ  i đã được xác định trên mỗi miền trị d i của các thuộc tính

A i trong tập U= {A 1 ,A 2 , ,A n }, 1  i  n và R là một quan hệ trên U Với hai

bộ u và v tuỳ ý trong quan hệ R ta định nghĩa u,v) là phép gán trị:

u,v) = 1u.A1,v.A1), 2u.A2,v.A2), , nu.An ,v.A n))

Định nghĩa 1.6.6

Với mỗi quan hệ R  RELU) ta gọi bảng chân lý của quan hệ R là tập

T R = {u,v)  u, v  R}

Thí dụ 1.6.3

Với các thuộc tính A, B và C và các ánh xạ  A ,  B và  C tương ứng như mô

tả trong thí dụ trước Quan hệ R và bảng chân lý T R sẽ như sau

1.6.3 Phụ thuộc Boole dương đa trị

1 AB, AB)CB), AB)CB)B)C1 là các CTBDĐT

2 Các công thức suy dẫn, suy dẫn mạnh, yếu và đối ngẫu trong logic đa trịđều là các CTBDĐT

3 Công thức A(B) không phải là CTBDĐT, vì khi A = B = 1 ta có 10 =

Cho trị m  [0;1], ta nói quan hệ R trên tập thuộc tính U m-thỏa PTBDĐT f

và ký hiệu Rf,m) nếu T R  T f,m Ta nói quan hệ R m-thỏa tập PTBDĐT F và

ký hiệu RF,m) nếu R m-thỏa mọi PTBDĐT trong F,

Chú ý

Thuật ngữ m-dẫn và m-tương đương được dùng để biểu thị khái niệm suy dẫn

và tương đương theo ngưỡng m.

Định nghĩa 1.6.10

Cho tập PTBDĐT F, một PTBDĐT f và trị m  [0;1] Ta nói F m-dẫn ra được f theo quan hệ, và ký hiệu F ├(m) f nếu

R RELU): RF,m)  Rf,m)

Theo định nghĩa về m-thỏa của quan hệ ta có

F ├(m) f  R RELU): T R  T F,m  T R  T f,m

Định nghĩa 1.6.11

Cho tập PTBDĐT F, một PTBDĐT f và trị m  [0;1] Ta nói F m-dẫn ra được f theo quan hệ có không quá hai bộ, ký hiệu F ├2(m) f nếu

(i) F ╞(m) f (suy dẫn logic)

ii) F ├(m) f suy dẫn theo quan hệ)

iii) F ├2(m) f suy dẫn theo quan hệ có không quá 2 bộ)

KẾT LUẬN CHƯƠNG

Chương này trình bày khái quát về lớp các phụ thuộc dữ liệu đã và đang đượcnghiên cứu, phát triển Một số khái niệm cơ bản về cơ sở dữ liệu quan hệ,tổng quan quá trình phát triển của lớp các phụ thuộc logic từ phụ thuộc hàm,phụ thuộc Boole dương đến phụ thuộc Boole dương tổng quát và phụ thuộcBoole dương đa trị cũng được giới thiệu Đối với lớp các phụ thuộc Boole, kếtquả nghiên cứu mới giải quyết vấn đề xác định giới hạn của phụ thuộc Booletrong điều kiện bảo toàn hiệu lực của định lý tương đương Theo hướng tiếptục nghiên cứu phát triển, mở rộng lớp phụ thuộc Boole, các chương tiếp theocủa luận án sẽ trình bày và đề xuất một số kết quả mới liên quan đến lớp phụthuộc Boole dương tổng quát và ánh xạ đóng -là công cụ để mô tả, phản ánhlớp phụ thuộc này

CHƯƠNG 2 ÁNH XẠ ĐÓNG VÀ HỆ SINH CÂN BẰNG

Ánh xạ đóng là ánh xạ được dùng để thiết lập mối quan hệ giữa các tập concủa một tập hữu hạn cho trước thỏa các tính chất phản xạ, đồng biến và lũyđẳng Ánh xạ đóng được sử dụng như một công cụ toán học giúp giải quyếtmột số bài toán trong nhiều lĩnh vực như cơ sở dữ liệu, khai thác dữ liệu, …

2.1 ÁNH XẠ ĐÓNG

Ánh xạ đóng được đề cập trong [3], [9], [15] là một ánh xạ thỏa các tính chấtphản xạ, đồng biến và lũy đẳng Trong phần này sẽ trình bày về định nghĩa,các tính chất quan trọng và một số phép toán của các ánh xạ đóng

2.1.1 Ánh xạ đóng

Định nghĩa 2.1.1 [13]

Cho tập U hữu hạn Ánh xạ f: SubSet(U)  SubSet(U)được gọi là đóng trên

tập U nếu với mọi tập con X, Y  U thỏa các tiên đề sau đây:

 Ánh xạ tối đại: (X) = U với mọi X  U,

 Ánh xạ đồng nhất: e(X) = X với mọi X  U,

 Ánh xạ tịnh tiến: h T (X) = TX với mọi X  U và T là tập con cố định tuỳ ý cho trước trong U.

Trường hợp T = U thì ánh xạ tịnh tiến theo T trở thành ánh xạ tối đại,

h U = , trường hợp T =  thì ánh xạ tịnh tiến theo T trở thành ánh xạ đồng

nhất,

h = e Điều này cho thấy có thể dùng ánh xạ tịnh tiến làm cơ sở đặc tả họ các ánh xạ đóng { , h T , e}.

Ngoài các tính chất phản xạ, đồng biến và lũy đẳng, ánh xạ đóng còn có một

số tính chất cơ bản dưới đây

2.1.2 Một số tính chất của ánh xạ đóng

Mệnh đề 2.1.1

Nếu gọi Close(U) là tập tất cả các ánh xạ đóng (AXĐ) trên tập U cho trước Giả sử f CloseU Khi đó, với mọi X,Y  U ta có:

(i) f(f(X)Y) = f(Xf(Y)) = f(XY)

(ii) fXY  fXfY

(iii) f(XY)  f(X) f(Y)

Thí dụ 2.1.2

Ta xét phản thí dụ cho các tính chất (ii) và (iii) trong mệnh đề trên Cụ thể, ta

sẽ xây dựng AXĐ f sao cho f(XY)  f(X)f(Y) và f(XY)  f(X)  f(Y) với các tập X và Y cụ thể.

Xét ánh xạ f trên tập U = ABC như sau:

f(AB) = f(BC) = U,

Với mọi X  U, X  AB và X  BC ta đặt f(X) = X

Ta nhận thấy f là AXĐ và:

f(AB) = ABC  AB = f(A)f(B), minh họa cho tính chất (ii).

f(ABBC) = f(B) = B  ABC = f(AB)  f(BC), minh họa cho tính chất (iii).

2.2 GIÀN GIAO VÀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ ĐÓNG

Tập các điểm bất động của ánh xạ đóng và giàn giao là một trong các công cụđược ứng dụng nhiều trong lĩnh vực như cơ sở dữ liệu, khai thác dữ liệu,…Phần dưới đây sẽ trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản về tập cácđiểm bất động và lý thuyết giàn giao ánh xạ đóng

2.2.1 Điểm bất động của AXĐ

Thí dụ 2.2.1

1 AXĐ tối đại  trên U có duy nhất một điểm bất động là U, Fix() = {U}

2 AXĐ đồng nhất e trên tập U có mỗi tập con là một điểm bất động,

Fix(e) = SubSet(U)

3 Mỗi AXĐ tịnh tiến theo tập con T trên tập không rỗng bất kỳ U có các điểm bất động là mỗi tập con tùy ý chứa T của U, Fix(h T ) = {TX | X  U} Thật vậy, theo định nghĩa của h T , ta có, h T (TX)=TTX=TX Ngược lại, nếu

h T (M) = M với M  U thì ta có, h T (M) = TM = M Từ đây suy ra T  M.

2.2.2.Giàn giao ánh xạ đóng

Định nghĩa 2.2.2 [14]

Giả sử G là một họ các tập con đóng với phép giao của tập hữu hạn U, cụ thể

là giao của mọi họ con trong G đều cho kết quả là một tập con trong G,

G  SubSet(U): ( H  G  

H

X X

  G)

Ta gọi G là giàn giao trên tập hữu hạn U Khi đó G chứa duy nhất một họ con

S sao cho mọi phần tử của G đều được biểu diễn qua giao của các phần tử trong S, cụ thể là, S là tập con nhỏ nhất của G thỏa tính chất:

G = { X 1  …  X k | k  0, X 1 , … , X k  S }

S được gọi là tập sinh của giàn G và được ký hiệu là Gen(G), S = Gen(G) Chú ý rằng, theo quy ước, giao của một họ rỗng các tập con chính là U, do đó mọi giàn giao đều chứa U và U không thuộc về Gen(G)

Từ đây trở đi ta ngầm định tập hữu hạn U ≠  luôn được cho trước.

Trong lý thuyết giàn giao ánh xạ đóng thì tập sinh đóng một vai trò rất cơ bản,định lý sau trình bày cách biểu diễn tập sinh theo nhiều ngữ nghĩa khác nhau

Định lý 2.2.1 [14]

Giả sử G là giàn giao trên tập hữu hạn U Khi đó bốn tập dưới đây bằng nhau: (i) Gen(G)

(ii) { VG | VU, (X,YG, X V, Y V)  XYV }

(iii) { VG | VU,(V=X 1…Xk ; X 1 ,…,X kG, k1) (i,1ik:V =

Với mỗi họ các tập con của tập hữu hạn U cho trước ta xét thứ tự bộ phận 

Mệnh đề về phần tử cực đại thuộc các tập phát biểu và chứng minh như sau:

1 Xây dựng đồ thị có hướng H, trong đó mỗi đỉnh của

đồ thị là một phần tử của G, cung X  Y nếu X bao trực tiếp Y.

2 Ký hiệu d(X) là bậc vào của đỉnh X (số cung đi đến X).

2) AXĐ đồng nhất e trên tập U khác rỗng bất kỳ có mỗi tập con là một điểm bất động, Fix(e) = SubSet(U) Tập sinh của Fix(e) sẽ bao gồm các tập con khuyết một phần tử của U, Gen(e) = {U \ {a} | a  U} Thật vậy, với các phần tử có dạng M = U \ {a} ta có duy nhất một cung đến, UM , do đó d(M)

= 1 Với mọi tập con M khuyết hai phần tử trở lên, gọi hai phần tử khuyết đầu tiên trong số đó là a và b, ta có M  Ma và M  Mb, do đó d(M) ≥ 2 Cuối

cùng, vì các tập con khuyết một phần tử khác nhau thì không bao nhau nên

mỗi tập con trong Gen(e) đều là cực đại, theo định nghĩa của đối nguyên tử ta

có:

Coatom(e) = MAX(Gen(e)) = Gen(e).

Ta minh họa với ánh xạ đơn vị e trên tập ba phần tử U = abc Ta có:

Fix(e) = SubSet(U) = {, a, b, c, ab, ac, bc, abc}

Gen(e) = Coatom(e) = {ab, ac, bc}

3) Mỗi AXĐ tịnh tiến theo tập con T trên tập không rỗng bất kỳ U, h T , có các điểm bất động là mỗi tập con tùy ý chứa T của U Đặt M = U\T ta có

Fix(h T ) = {TX | X  M}

Chứng minh tương tự như trên ta thu được,

Gen(h T ) = Coatom(h T ) = {T(M \ {A}) | A  M} = {U\ {A} | A  M}

Ta minh họa với ánh xạ tịnh tiến theo tập con T = cd, h CD , trên tập bốn phần

tử U = abcd Ta có

Fix(h CD ) = {CD, ACD, BCD, ABCD}

Gen(h CD ) = Coatom(h CD ) = {ACD, BCD}

2.3 HỆ SINH ÁNH XẠ ĐÓNG

Mỗi ánh xạ đóng được mô tả thông qua một hệ suy dẫn gọi là hệ sinh Phầnnày sẽ trình bày các định nghĩa cơ bản về tập luật sinh, tập bao của một tậpcon các phần tử, ánh xạ cảm sinh, một số tính chất quan trọng của hệ sinhAXĐ, cơ sở hệ sinh ánh xạ đóng Một số kết quả của luận án về các dạng biểudiễn cơ sở hệ sinh ánh xạ đóng được trình bày trong phần này Các kết quảtham chiếu đã được công bố trong [7], [9], [10], [15]

2.3.1 Hệ sinh ánh xạ đóng

Định nghĩa 2.3.1

Cho tập hữu hạn U, luật sinh f trên U là biểu thức dạng f: L  R; L, R  U Các tập L và R được gọi tương ứng là vế trái và vế phải của luật sinh f và được kí hiệu tương ứng là LS(f) và RS(f).

Ta gọi một hệ sinh AXĐ là cặp  = (U,F), trong đó U là một tập hữu hạn, F là tập các luật sinh trên U

Cho hệ sinh AXĐ  = (U,F), trong đó U = abc, F = {a b, c  a}

Nếu cho X = b, ta có, [X] = [b] = {b, ab, abc } Ta thấy bc  [b], vì với luật

Cho hệ sinh AXĐ  = (U,F) Ta xác định ánh xạ f: SubSet(U)  SubSet(U) như sau,  X  U: f(X) = [X] Nói cách khác f(X) là tập con nhỏ nhất của

Định nghĩa 2.3.4

Cho AXĐ f trên U Tập con K của U được gọi là cơ sở của ánh xạ đóng f nếu

K thỏa đồng thời hai tính chất sau đây:

(i) Tính toàn thể: f(K) = U và

(ii) Tính tối tiểu: X K: f X U

Nếu K thỏa tính chất (i) thì K được gọi là siêu cơ sở của AXĐ f

Nhận xét

1 Với mỗi tập con X của U trong hệ sinh AXĐ  = (U,F), U chính là tập bao lớn nhất của X Do U hữu hạn, các tập bao tồn tại và phép giao của mỗi họ các tập con của tập hữu hạn U tồn tại và duy nhất nên f(X) tồn tại và duy nhất

2 Từ định nghĩa tập bao, ta suy ra họ các tập bao của tập con X đóng với phép

giao,

 Z, V  [X]: Z  V  [X]

Như vậy ([X], ) là một giàn giao với phần tử lớn nhất là U.

Ngoài ra, nếu Z  [X], theo tính chất giao của tập hợp, ta suy ra f(X) = [X]

 Z, tức là mọi tập bao của X đều chứa ảnh của ánh xạ cảm sinh của X

3 Nếu X  Y  U thì [Y]  [X] và do đó f(X)  f(Y) Thật vậy, Giả sử Z  [Y] Khi đó Z  Y  X và Z thỏa tính chất (ii) Từ đây suy ra Z  [X] Theo