ÁNH XẠ ĐÓNG VÀ HỆ SINH CÂN BẰNG
2.4.1.Khái niệm hệ sinh cân bằng
Định nghĩa 2.4.1
Hệ sinh AXĐ α = (U,F) được gọi là cân bằng nếu α thỏa các tính chất (C1)- (C4) sau đây:
(C1) Hợp các vế trái, vế phải của các luật sinh trong F đúng bằng tập U:
LS(F) = RS(F) = U
(C2) F không chứa các luật sinh tầm thường, tức là các luật sinh có vế trái chứa vế phải:
∀ X,Y ⊆ U: X ⊇ Y ⇒ (X → Y ∉ F)
(C3) Hai vế trái và phải của mọi luật sinh trong F rời nhau (không giao nhau):
∀ f ∈ F: LS(f) ∩ RS(f) = ∅
(C4) Các vế trái của mọi luật sinh trong F khác nhau đôi một: ∀ f, g ∈ F: LS(f) = LS(g) ⇔ f = g
Thí dụ 2.4.1
1. Hệ sinh AXĐ α = (U,F) với U = abcd và F = {a→dc, b→ac, bc→a, d →
b} là cân bằng.
2. Nếu thêm cho U một phần tử, chẳng hạn e và giữ nguyên tập luật sinh thì thu được hệ sinh AXĐ không cân bằng β = (Ue, F) vì tính chất C1 bị vi phạm:
LS(F) = RS(F) = abcd ≠ abcde.
Tính chất 2.4.1
Ngoài các tính chất (1)-(4), hệ sinh cân bằng (HSCB) có những tính chất sau: (C5) Nếu tập luật sinh F trong hệ sinh AXĐ α = (U,F) thỏa C2-C4 và chỉ có một luật sinh thì α không thể là HSCB.
phạm tính chất C1.
(C6) Từ tính chất C5 ta suy ra hệ sinh AXĐ chỉ có một thuộc tính thì không thể là HSCB. Thật vậy, gọi phần tử duy nhất là a, ta thấy chỉ có bốn khả năng tạo các luật sinh sau đây:
a.a → a (tầm thường)
b.a → ∅ (tầm thường) c.∅ →∅ (tầm thường) d.∅ → a
Như vậy, ta chỉ có thể chọn U = a và F = ∅ hoặc F = {∅ → a}. Trường hợp thứ nhất, U = a, F = ∅ cho ta LS(F) = RS(F) = ∅≠ U. Trường hợp thứ hai, U = a, F = {∅ → a} cho ta LS(F) = ∅ ≠ a = RS(F). Trường hợp U = ∅ và F = ∅ ta có HSCB (∅,∅).
(C7) Trong HSCB α = (U,F), giao các cơ sở UI = ∅. Thật vậy, theo công thức tính giao các cơ sở và để ý rằng theo tính chất C3:
∀f ∈ F: RS(f) ∩ LS(f)=∅, ta suy ra ∀f ∈ F: RS(f) \ LS(f) = RS(f). Do đó, theo tính chất B1: U F RS f RS f LS f RS M F f f F = = = = ∈ ∈ ( ( )\ ( )) ( ) ( ) Khi đó UI = U \ M = U \ U = ∅.
(C8) Nếu hệ sinh AXĐ α = (U,F) là HSCB thì ∀ A ⊆ U, ta có α\A cũng là HSCB. Tính chất này hiển nhiên đúng.