ÁNH XẠ ĐÓNG VÀ HỆ SINH CÂN BẰNG
2.2.1. Điểm bất động của AXĐ
Định nghĩa 2.2.1 [14]
Cho AXĐ f trên tập U hữu hạn. Tập con X ⊆ U được gọi là điểm bất động (hay còn gọi là tập đóng) của AXĐ f nếu f(X) = X .
Ký hiệu Fix(f) là tập toàn bộ các điểm bất động của AXĐ f. Vì f(U) = U nên
Fix(f) luôn chứa U như phần tử lớn nhất. Ngoài ra, dựa vào tính lũy đẳng của
các AXĐ ta có thể đặc tả Fix(f) như sau, Fix(f) = { f(X) | X ⊆ U }.
Thí dụ 2.2.1
1. AXĐ tối đại Ω trên U có duy nhất một điểm bất động là U, Fix(Ω) = {U} 2. AXĐ đồng nhất e trên tập U có mỗi tập con là một điểm bất động,
Fix(e) = SubSet(U)
3. Mỗi AXĐ tịnh tiến theo tập con T trên tập không rỗng bất kỳ U có các điểm bất động là mỗi tập con tùy ý chứa T của U, Fix(hT) = {TX | X ⊆ U} Thật vậy, theo định nghĩa của hT, ta có, hT(TX)=TTX=TX. Ngược lại, nếu
hT(M) = M với M ⊆ U thì ta có, hT(M) = TM = M. Từ đây suy ra T ⊆ M.
2.2.2.Giàn giao ánh xạ đóng
Định nghĩa 2.2.2 [14]
Giả sử G là một họ các tập con đóng với phép giao của tập hữu hạn U, cụ thể là giao của mọi họ con trong G đều cho kết quả là một tập con trong G,
G ⊆ SubSet(U): (∀ H ⊆ G ⇒
HX X X X
∈ ∈ G)
Ta gọi G là giàn giao trên tập hữu hạn U. Khi đó G chứa duy nhất một họ con S sao cho mọi phần tử của G đều được biểu diễn qua giao của các phần tử
trong S, cụ thể là, S là tập con nhỏ nhất của G thỏa tính chất:
G = { X1 ∩ … ∩ Xk| k ≥ 0, X1, … , Xk ∈ S }
S được gọi là tập sinh của giàn G và được ký hiệu là Gen(G), S = Gen(G).
Chú ý rằng, theo quy ước, giao của một họ rỗng các tập con chính là U, do đó
mọi giàn giao đều chứa U và U không thuộc về Gen(G).
Từ đây trở đi ta ngầm định tập hữu hạn U ≠ ∅ luôn được cho trước.
Trong lý thuyết giàn giao ánh xạ đóng thì tập sinh đóng một vai trò rất cơ bản, định lý sau trình bày cách biểu diễn tập sinh theo nhiều ngữ nghĩa khác nhau.
Định lý 2.2.1 [14]
Giả sử G là giàn giao trên tập hữu hạn U. Khi đó bốn tập dưới đây bằng nhau: (i) Gen(G)
(ii) { V∈G | V≠U, (∀X,Y∈G, X ≠V, Y ≠V) ⇒ X∩Y≠V }
(iii) { V∈G | V≠U,(V=X1∩…∩Xk; X1,…,Xk∈G, k≥1) ⇒ (∃i,1≤i≤k:V =
Xi )} (iv) { V ∈ G | V ⊂ X VX G X ⊂∈ } Định nghĩa 2.2.3 [14]
Cho (M, ≤) là một tập hữu hạn có thứ tự bộ phận. Phần tử m trong M được gọi là cực đại nếu từ m ≤ x và x∈M, ta luôn có m=x. Ta ký hiệu MAX(M) là tập
các phần tử cực đại của M. Có thể nhận thấy là với mỗi phần tử x trong M luôn tồn tại một phần tử m trong MAX(M) thỏa x ≤ m.
Mệnh đề về phần tử cực đại thuộc các tập phát biểu và chứng minh như sau:
Mệnh đề 2.2.1
Cho (M,≤) là một tập hữu hạn có thứ tự bộ phận và P ⊆ Q ⊆ M. Khi đó, nếu
X ∈ MAX(Q) và X ∈ P thì X ∈ MAX(P).
Bổ đề sau thiết lập tương quan giữa các tập cực đại trong giàn giao và tập sinh
Bổ đề 2.2.1
Với mọi giàn giao G trên tập hữu hạn U, ta có:
MAX(Gen(G)) = MAX(G\{U})
Giàn giao tạo bởi tập các điểm bất động của ánh xạ đóng được trình bày qua định lý sau:
Định lý 2.2.2 [14]
Cho AXĐ f trên tập hữu hạn U. Khi đó, Fix(f) là một giàn giao với phần tử cực đại U.
Định nghĩa 2.2.4 [14]
Cho G là giàn giao trên tập U. Ta ký hiệu Coatom(G) = MAX(G \ {U}) và gọi các phần tử trong Coatom(G) là đối nguyên tử của giàn giao G.
Vận dụng bổ đề 2.2.1 về các tập cực đại trong giàn giao và tập sinh và các định nghĩa về tập sinh và đối nguyên tử ta thu được đặc trưng sau đây của
Coatom.
Định lý 2.2.3 [14]
Với mọi giàn giao G trên tập hữu hạn U, ta có Coatom(G) = MAX(Gen(G)).
Thuật toán Gen sau xác định tập các đối nguyên tử Coatom T và tập sinh
Gen S của giàn giao G cho trước.
Algorithm Gen
Input: - Giàn giao G
Output: - S = Gen(G)
- T = Coatom(G)
Method
1. Xây dựng đồ thị có hướng H, trong đó mỗi đỉnh của
đồ thị là một phần tử của G, cung X → Y nếu X
bao trực tiếp Y.
2. Ký hiệu d(X) là bậc vào của đỉnh X (số cung đi
đến X).
3. Return
- T = { X ∈ G | U → X }
- S = { X ∈ G | d(X) = 1 }
End Gen.
Định lý sau đây sẽ chứng minh tính đúng của thuật toán Gen trên
Định lý 2.2.4 [33]
Với mọi giàn giao G trên tập hữu hạn U, thuật toán Gen tìm đúng tập đối nguyên tử Coatom(G) và tập sinh Gen(G) với độ phức tạp tính toán O(nm2), trong đó n là số phần tử của tập U, m là số phần tử của G.
Thí dụ 2.3.3
1) AXĐ tối đại Ω trên tập U bất kỳ có duy nhất một điểm bất động là U.
Fix(Ω)={U}. Tập sinh của Fix(Ω), Gen(Ω) = ∅. Tập các đối nguyên tử của Fix(Ω), Coatom(Ω) = ∅.
2) AXĐ đồng nhất e trên tập U khác rỗng bất kỳ có mỗi tập con là một điểm bất động, Fix(e) = SubSet(U). Tập sinh của Fix(e) sẽ bao gồm các tập con
khuyết một phần tử của U, Gen(e) = {U \ {a} | a ∈ U}. Thật vậy, với các
phần tử có dạng M = U \ {a} ta có duy nhất một cung đến, U→M , do đó d(M)
= 1. Với mọi tập con M khuyết hai phần tử trở lên, gọi hai phần tử khuyết đầu
tiên trong số đó là a và b, ta có M ⊂ Ma và M ⊂ Mb, do đó d(M) ≥ 2. Cuối cùng, vì các tập con khuyết một phần tử khác nhau thì không bao nhau nên mỗi tập con trong Gen(e) đều là cực đại, theo định nghĩa của đối nguyên tử ta có:
Coatom(e) = MAX(Gen(e)) = Gen(e).
Ta minh họa với ánh xạ đơn vị e trên tập ba phần tử U = abc. Ta có:
Fix(e) = SubSet(U) = {∅, a, b, c, ab, ac, bc, abc} Gen(e) = Coatom(e) = {ab, ac, bc}
3) Mỗi AXĐ tịnh tiến theo tập con T trên tập không rỗng bất kỳ U, hT, có các
điểm bất động là mỗi tập con tùy ý chứa T của U. Đặt M = U\T ta có
Fix(hT) = {TX | X ⊆ M}
Chứng minh tương tự như trên ta thu được,
Gen(hT) = Coatom(hT) = {T(M \ {A}) | A ∈ M} = {U\ {A} | A ∈ M}
Ta minh họa với ánh xạ tịnh tiến theo tập con T = cd, hCD , trên tập bốn phần tử U = abcd. Ta có
Fix(hCD) = {CD, ACD, BCD, ABCD}
Gen(hCD) = Coatom(hCD) = {ACD, BCD}