TT f m
1.6.3.Phụ thuộc Boole dương đa trị
Định nghĩa 1.6.7
Công thức f ∈ MVL(U) được gọi là công thức Boole dương đa trị (CTBDĐT) nếu f(e) =1, với e là phép gán trị đơn vị, e = (1,...,1).
Ký hiệu MVP(U) là tập toàn bộ các công thức Boole dương đa trị trên U.
Thí dụ 1.6.4
1. A∧B, (A∧B)∨(C∧B), (A∧B)∨((C∧B)→B)∨C∨1 là các CTBDĐT.
2. Các công thức suy dẫn, suy dẫn mạnh, yếu và đối ngẫu trong logic đa trị đều là các CTBDĐT.
3. Công thức A∧(¬B) không phải là CTBDĐT, vì khi A = B = 1 ta có 1∧0 = = min(1,0) = 0. Định nghĩa 1.6.8 R BộABCt114 7.5Hat2 617.5Hạnht315 5.0Xuân TR αABCα(t1,t1)111α(t1,t2)0 .500α(t1,t3)00.50α(t2,t3 )0.800.2
Ta gọi mỗi công thức Boole dương trong MVP(U) là một phụ thuộc Boole
dương đa trị (PTBDĐT) [46] .
Cho trị m ∈ [0;1], ta nói quan hệ R trên tập thuộc tính U m-thỏa PTBDĐT f và ký hiệu R(f,m) nếu TR ⊆ Tf,m. Ta nói quan hệ R m-thỏa tập PTBDĐT F và ký hiệu R(F,m) nếu R m-thỏa mọi PTBDĐT trong F,
R(F,m) ⇔∀ f ∈ F: R(f,m) ⇔ TR ⊆ TF,m
Nếu quan hệ R là m-thỏa PTBDĐT f ta cũng nói f m-đúng trong quan hệ R.
1.6.4. Định lý tương đương
Định nghĩa 1.6.9
Cho f và g là hai CTBĐT và trị m ∈ B. Công thức f dẫn ra được công thức g
theo ngưỡng m và ký hiệu f ╞(m) g, nếu Tf,m ⊆ Tg,m. Ta nói f và g là hai công thức tương đương theo ngưỡng m, ký hiệu f ≡(m) g, nếu Tf,m = Tg,m. Với hai
tập các công thức F và G trong MVL(U) và trị m ∈ [0;1], F dẫn ra được G
theo ngưỡng m, ký hiệu F╞(m) G, nếu TF,m ⊆ TG,m và F và G tương đương theo ngưỡng, F ≡(m) G, nếu TF,m = TG,m.
Chú ý
Thuật ngữ m-dẫn và m-tương đương được dùng để biểu thị khái niệm suy dẫn và tương đương theo ngưỡng m.
Định nghĩa 1.6.10
Cho tập PTBDĐT F, một PTBDĐT f và trị m ∈ [0;1]. Ta nói F m-dẫn ra được f theo quan hệ, và ký hiệu F ├(m) f nếu
∀R∈ REL(U): R(F,m) ⇒ R(f,m)
Theo định nghĩa về m-thỏa của quan hệ ta có
Định nghĩa 1.6.11
Cho tập PTBDĐT F, một PTBDĐT f và trị m ∈ [0;1]. Ta nói F m-dẫn ra
được f theo quan hệ có không quá hai bộ, ký hiệu F ├2(m) f nếu ∀R∈REL_2(U): R(F,m) ⇒ R(f,m)
Theo định nghĩa về m-thỏa của quan hệ ta có
F ├2(m) f ⇔ ∀R∈ REL_2(U): TR ⊆ TF,m ⇒ TR ⊆ Tf,m
Định lý tương đương cho lớp phụ thuộc Boole dương đa trị được phát biểu và chứng minh trong định lý 1.6.1 dưới đây.
Định lý 1.6.1 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Cho tập PTBDĐT F, một PTBDĐT f và trị m ∈ [0;1]. Ba mệnh đề sau là tương đương [17], [46], [49]:
(i) F ╞(m) f (suy dẫn logic)
(ii) F ├(m) f (suy dẫn theo quan hệ)
(iii) F ├2(m) f (suy dẫn theo quan hệ có không quá 2 bộ)