TT f m
1.6.3. Phụ thuộc Boole dương đa trị
Định nghĩa 1.6.7
Công thức f ∈ MVL(U) được gọi là công thức Boole dương đa trị (CTBDĐT) nếu f(e) =1, với e là phép gán trị đơn vị, e = (1,...,1).
Ký hiệu MVP(U) là tập toàn bộ các công thức Boole dương đa trị trên U.
Thí dụ 1.6.4
1. A∧B, (A∧B)∨(C∧B), (A∧B)∨((C∧B)→B)∨C∨1 là các CTBDĐT.
2. Các công thức suy dẫn, suy dẫn mạnh, yếu và đối ngẫu trong logic đa trị đều là các CTBDĐT.
3. Công thức A∧(¬B) không phải là CTBDĐT, vì khi A = B = 1 ta có 1∧0 = = min(1,0) = 0. Định nghĩa 1.6.8 R BộABCt114 7.5Hat2 617.5Hạnht315 5.0Xuân TR αABCα(t1,t1)111α(t1,t2)0 .500α(t1,t3)00.50α(t2,t3 )0.800.2
Ta gọi mỗi công thức Boole dương trong MVP(U) là một phụ thuộc Boole
dương đa trị (PTBDĐT) [46] .
Cho trị m ∈ [0;1], ta nói quan hệ R trên tập thuộc tính U m-thỏa PTBDĐT f và ký hiệu R(f,m) nếu TR ⊆ Tf,m. Ta nói quan hệ R m-thỏa tập PTBDĐT F và ký hiệu R(F,m) nếu R m-thỏa mọi PTBDĐT trong F,
R(F,m) ⇔∀ f ∈ F: R(f,m) ⇔ TR ⊆ TF,m
Nếu quan hệ R là m-thỏa PTBDĐT f ta cũng nói f m-đúng trong quan hệ R.
1.6.4. Định lý tương đương
Định nghĩa 1.6.9
Cho f và g là hai CTBĐT và trị m ∈ B. Công thức f dẫn ra được công thức g
theo ngưỡng m và ký hiệu f ╞(m) g, nếu Tf,m ⊆ Tg,m. Ta nói f và g là hai công thức tương đương theo ngưỡng m, ký hiệu f ≡(m) g, nếu Tf,m = Tg,m. Với hai
tập các công thức F và G trong MVL(U) và trị m ∈ [0;1], F dẫn ra được G
theo ngưỡng m, ký hiệu F╞(m) G, nếu TF,m ⊆ TG,m và F và G tương đương theo ngưỡng, F ≡(m) G, nếu TF,m = TG,m.
Chú ý
Thuật ngữ m-dẫn và m-tương đương được dùng để biểu thị khái niệm suy dẫn và tương đương theo ngưỡng m.
Định nghĩa 1.6.10
Cho tập PTBDĐT F, một PTBDĐT f và trị m ∈ [0;1]. Ta nói F m-dẫn ra được f theo quan hệ, và ký hiệu F ├(m) f nếu
∀R∈ REL(U): R(F,m) ⇒ R(f,m)
Theo định nghĩa về m-thỏa của quan hệ ta có
Định nghĩa 1.6.11
Cho tập PTBDĐT F, một PTBDĐT f và trị m ∈ [0;1]. Ta nói F m-dẫn ra
được f theo quan hệ có không quá hai bộ, ký hiệu F ├2(m) f nếu ∀R∈REL_2(U): R(F,m) ⇒ R(f,m)
Theo định nghĩa về m-thỏa của quan hệ ta có
F ├2(m) f ⇔ ∀R∈ REL_2(U): TR ⊆ TF,m ⇒ TR ⊆ Tf,m
Định lý tương đương cho lớp phụ thuộc Boole dương đa trị được phát biểu và chứng minh trong định lý 1.6.1 dưới đây.
Định lý 1.6.1
Cho tập PTBDĐT F, một PTBDĐT f và trị m ∈ [0;1]. Ba mệnh đề sau là tương đương [17], [46], [49]:
(i) F ╞(m) f (suy dẫn logic)
(ii) F ├(m) f (suy dẫn theo quan hệ)
(iii) F ├2(m) f (suy dẫn theo quan hệ có không quá 2 bộ)