PHÁT TRIỂN LỚP CÁC PHỤ THUỘC BOOLE DƯƠNG VÀ ÁNH XẠ ĐÓNG TRONG CSDL
3.1.3. Thể hiện phụ thuộc Boole dương tổng quát
Phần này sẽ trình bày một số kết quả chứng minh điều kiện cần và đủ để một quan hệ R là quan hệ Armstrong hay thể hiện chặt của tập PTBDTQ, xem xét liệu với một tập PTBDTQ cho trước có luôn tồn tại một quan hệ Armstrong cho tập phụ thuộc này không, đồng thời đề cập một số khái niệm và kết quả liên quan đến thể hiện lớp phụ thuộc này.
Định nghĩa 3.1.6
Cho tập hữu hạn U và công thức Boole h trên U. Ta ký hiệu [h] là tập các công thức Boole trên U tương đương với công thức h. Như vậy:
g ∈ [h] ⇔ g ≡ h ⇔ Tg = Th
Quan hệ tương đương ≡ thỏa các tính chất phản xạ, đối xứng và bắc cầu, do đó tập các công thức Boole dương trên U, L(U) được phân hoạch thành các lớp tương đương theo nghĩa [g] = [h] ⇔ g ≡ h
Thí dụ 3.1.2
Với U = AB thì [A → B] = [¬ A ∨ B] và [A → B] ≠ [A ∨ B]
Định nghĩa 3.1.7
Cho quan hệ R trên tập thuộc tính U. Ký hiệu BD(R) là tập các PTBDTQ
đúng trong R, cụ thể là BD(R) = { g ∈ P(U) | R(g) }. Ta có g ∈ BD(R) ⇔ g ∈ P(U) ∧ TR ⊆ Tg
Nhận xét 3.1.2
Theo định lý tương đương cho PTBDTQ ta có (BD(R))+ = BD(R) tức là (BD(R))+ và BD(R) là hai tập PTBDTQ tương đương.
Định nghĩa 3.1.8
Cho quan hệ R trên U và tập PTBDTQ F trên U. Ta nói quan hệ R thể hiện tập PTBDTQ F nếu BD(R) ⊇ F+ và quan hệ R thể hiện chặt tập PTBDTQ F
nếu
BD(R) = F+. Nếu quan hệ R thể hiện chặt tập PTBDTQ F ta cũng nói R là quan hệ Armstrong của tập PTBDTQ F.
Thí dụ 3.1.3
Cho LĐQH a = (U,F ), trong đó U = AB, F = {A, A∨B}. Ta có,
F+ = [A] ∪ [ A∨B] ∪ [B → A] ∪ [1]
trong đó [1] là lớp tương đương của các công thức Boole dương hằng đúng. Giả sử dom(A) là tập các số tự nhiên, dom(B) là tập các từ không rỗng trên bảng chữ hữu hạn cho trước, ta định nghĩa các phép sánh αA và αB như sau,
αA(x,y) = 1 ⇔ hai số tự nhiên x và y có cùng độ cao.
αB(x,y) = 1 ⇔ hai từ không rỗng x và y có chung ít nhất một ký tự.
Khi đó quan hệ R sau đây thể hiện chặt F, quan hệ S thể hiện F nhưng không thể hiện chặt F. R S A B A B 6 ‘cd’ 6 ‘cd’ 42 ‘a’ 42 ‘ac’ Thật vậy, ta có, TR TS
A B A B
1 1 1 1
1 0
Do đó BD(R) = F+ và BD(S) = [AB]
Mối quan hệ giữa bảng chân lý của quan hệ R và BD(R) được phát biểu và chứng minh qua bổ đề 3.1.1 dưới đây
Bổ đề 3.1.1
Với mọi quan hệ khác rỗng R ta có TR =TBD(R).
Chứng minh
Theo định lý tương đương nếu g ∈ BD(R) thì R thỏa g, hay là TR ⊆ Tg. Theo định lý tương quan giữa các công thức Boole và bảng chân lý, từ bảng TR ta tìm được một công thức Boole h, dạng chuẩn tuyển chẳng hạn, để Th = TR . Lưu ý rằng vì e ∈ TR = Th nên h là công thức Boole dương. Vì TR = Th nên quan hệ R thỏa PTBDTQ h, tức là h ∈ BD(R).
Tổng hợp lại, ta đã chứng minh được (i) ∀g ∈ BD(R): TR ⊆ Tg
(ii) ∃h ∈ BD(R): TR = Th.
Kết hợp với định nghĩa TBD(R) là giao của các Tg, g ∈ BD(R) ta suy ra TR =
TBD(R)
Định lý 3.1.3 dưới đây nêu và chứng minh điều kiện cần và đủ để một quan hệ R là thể hiện chặt của tập PTBDTQ.
Định lý 3.1.3
Cho quan hệ R ≠∅ và tập PTBDTQ F trên U. Khi đó quan hệ R thể hiện chặt tập PTBDTQ F khi và chỉ khi TR = TF .
Vận dụng tính chất BD(R) = (BD(R))+ và bổ đề về bảng chân lý của BD(R),
TR =TBD(R) ta có: R thể hiện chặt F ⇔ BD(R) = F +⇔ BD(R) ≡ F ⇔ TBD(R) =
TF ⇔ TR =TF
Một vấn đề đặt ra là với một tập PTBDTQ cho trước, liệu có tồn tại một quan hệ Armstrong hay thể hiện chặt cho tập PTBDTQ đó không? Lời giải cho bài toán này đối với tập phụ thuộc hàm đã được đề cập đến trong [21]. Ta sẽ xem xét vấn đề nêu trên thông qua phản thí dụ dưới đây:
Thí dụ 3.1.4
(Tiếp thí dụ 3.1.3)
Cho LĐQH a = (U,F ), trong đó U là tập gồm hai thuộc tính, U= AB,
Giả sử dom(A) = {13, 22, 15} – là tập các số tự nhiên, dom(B) = {ab, cd, c} -
là tập các từ không rỗng trên bảng chữ hữu hạn cho trước, ta định nghĩa các phép sánh αi, 1≤ ≤i n, αA và αB như sau,
αA(x,y) = 1 ⇔ hai số tự nhiên x và y có cùng độ cao.
αB(x,y) = 1 ⇔ hai từ không rỗng x và y có chung ít nhất một ký tự.
Nhận xét
Với αA và αB được định nghĩa như trên, thì với ∀R ∈REL(U) ta có thể thay 13
= 22 và c = cd, sau đó bỏ đi những bộ trùng nhau thì TR không thay đổi.
Xét quan hệ P gồm tất cả các bộ có thể trên U. Sau đó thay 22 = 13 và c = cd, ta nhận được quan hệ S = {(13, ab), (13, cd), (15, ab), (15, cd)} và bảng chân lý TS sau đây:
TS
1 1 1 0 0 1 0 0 Xét F = {f, g} với f =(A B∧ ) ( ) ( )∨ ¬ ∧( A B )∨ ¬ ∧ ¬(( ) ( )A B )và g= ∨ ¬A ( )B Ta có: TF A B 1 1 0 1 0 0 Ta sẽ chứng minh với ∀ ⊆R Sthì TR ≠ TF (*)
Thật vậy, với ∀R ∈REL(U) gồm không quá hai bộ hoặc R là quan hệ S thì (*)
luôn đúng. Xét trường hợp với quan hệ R là quan hệ con của S gồm ba bộ, ta
có các quan hệ R1, R2, R3, R4 và các bảng chân lý TR1, TR2, TR3, TR4 tương ứng như sau: R1 R2 R3 R4 A B A B A B A B 13 ab 13 ab 13 cd 13 Ab 13 cd 13 cd 15 ab 13 Cd 15 ab 15 cd 15 cd 15 Cd TR1 TR2 TR3 TR4 A B A B A B A B 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1
Như vậy TR1=TR2 =TR3 =TR4 ≠T∑. Do đó, ∀R ∈REL(U) và R ⊆ S, ta luôn có
R
T ≠T∑.
Kết hợp kết quả phản thí dụ trên với định lý 3.1.3 ta chứng minh được mệnh đề sau:
Mệnh đề 3.1.2
Với các ánh xạ αi, 1≤ ≤i n, được xác định trước thì quan hệ Armstrong đối
với tập F các PTBDTQ cho trước không phải luôn luôn tồn tại.
3.2 B IỂU DIỄN PHỤ THUỘC BOOLE DƯƠNG TỔNG QUÁT DƯỚI DẠ NG HỘI SUY DẪ N