ÁNH XẠ ĐÓNG VÀ HỆ SINH CÂN BẰNG
2.3.1. Hệ sinh ánh xạ đóng
Định nghĩa 2.3.1
Cho tập hữu hạn U, luật sinh f trên U là biểu thức dạng f: L → R; L, R ⊆ U. Các tập L và R được gọi tương ứng là vế trái và vế phải của luật sinh f và được kí hiệu tương ứng là LS(f) và RS(f).
Ta gọi một hệ sinh AXĐ là cặp α = (U,F), trong đó U là một tập hữu hạn, F là tập các luật sinh trên U.
Định nghĩa 2.3.2
Cho một hệ sinh AXĐ α = (U, F) và các tập con X, Z của U. Ta gọi Z là một tập bao của tập X trong hệ sinh α nếu Z thỏa các tính chất sau đây:
(i) Z ⊇ X,
(ii) ∀ L → R ∈ F, L ⊆ Z ⇒ R ⊆ Z.
Kí hiệu [X] là họ các tập bao của X trong hệ sinh AXĐ cho trước.
Thí dụ 2.3.1
Cho hệ sinh AXĐ α = (U,F), trong đó U = abc, F = {a →b, c → a}.
Nếu cho X = b, ta có, [X] = [b] = {b, ab, abc }. Ta thấy bc ∉ [b], vì với luật sinh
c → a ta có c ∈ bc nhưng a ∉ bc.
Nếu cho X = ac, ta có, [X] = [ac] = {abc}. Ta thấy ac ∉ [ac] vì với luật sinh
Định nghĩa sau đây sẽ trình bày một khái niệm quan trọng là ánh xạ cảm sinh của hệ sinh AXĐ.
Định nghĩa 2.3.3
Cho hệ sinh AXĐ α = (U,F). Ta xác định ánh xạ fα: SubSet(U) → SubSet(U) như sau, ∀ X ⊆ U: fα(X) = ∩[X]. Nói cách khác fα(X) là tập con nhỏ nhất của
U thỏa các tính chất sau:
(i) fα(X) ⊇ X,
(ii) ∀ L → R ∈ F, L ⊆ fα(X) ⇒ R ⊆ fα(X).
Ta gọi fα là ánh xạ cảm sinh của hệ sinh AXĐ α, X là vật, fα(X) là ảnh của ánh xạ cảm sinh fα. Dễ thấy fα(X) là tập bao (nhỏ nhất) của X trong hệ sinh AXĐ α.
Định nghĩa 2.3.4
Cho AXĐ f trên U. Tập con K của U được gọi là cơ sở của ánh xạ đóng f nếu
K thỏa đồng thời hai tính chất sau đây:
(i) Tính toàn thể: f(K) = U và
(ii) Tính tối tiểu: ∀X ⊂ K : f( )X ≠U
Nếu K thỏa tính chất (i) thì K được gọi là siêu cơ sở của AXĐ f
Nhận xét
1. Với mỗi tập con X của U trong hệ sinh AXĐ α = (U,F), U chính là tập bao
lớn nhất của X. Do U hữu hạn, các tập bao tồn tại và phép giao của mỗi họ các tập con của tập hữu hạn U tồn tại và duy nhất nên fα(X) tồn tại và duy nhất. 2. Từ định nghĩa tập bao, ta suy ra họ các tập bao của tập con X đóng với phép giao,
∀ Z, V ∈ [X]: Z ∩ V ∈ [X]
Như vậy ([X], ∩) là một giàn giao với phần tử lớn nhất là U.
Ngoài ra, nếu Z ∈ [X], theo tính chất giao của tập hợp, ta suy ra fα(X) = ∩[X] ⊆ Z, tức là mọi tập bao của X đều chứa ảnh của ánh xạ cảm sinh của X.
3. Nếu X ⊆ Y ⊆ U thì [Y] ⊆ [X] và do đó fα(X) ⊆ fα(Y). Thật vậy, Giả sử Z ∈ [Y]. Khi đó Z ⊇ Y ⊇ X và Z thỏa tính chất (ii). Từ đây suy ra Z ∈ [X]. Theo tính chất của phép giao các tập hợp, [Y] ⊆ [X] kéo theo ∩[X] ⊆ ∩[Y], hay
fα(X) ⊆ fα(Y).
Định lý sau sẽ trình bày và chứng minh cho thấy mỗi hệ sinh xác định duy nhất một ánh xạ đóng, và ngược lại mỗi ánh xạ đóng sẽ có một hệ sinh xác định ánh xạ đóng đó.
Định lý 2.3.1 [9]
1. Với mỗi hệ sinh α = (U,F), ánh xạ cảm sinh fα là AXĐ trên U.
2. Với mỗi AXĐ h trên U, tồn tại một hệ sinh α = (U,F) thỏa tính chất :
∀ X ⊆ U: fα(X) = h(X)
Thí dụ 2.3.2
1. Dễ thấy tập luật sinh của ánh xạ tịnh tiến hT là F = {∅ → T}.
2. Từ (1), ta suy ra tập luật sinh của ánh xạ tối đại là F = {∅→ U} và tập luật sinh của ánh xạ đơn vị là F = {∅ → ∅} ≡ ∅.
Định lý 2.3.2 [15]
Cho hệ sinh AXĐ α = (U,F) và hai tập con không giao nhau X và Y trong U. Khi đó:
fα(XY) = X fα\X(Y)
Cho hệ sinh AXĐ α = (U,F) và tập X ⊆ U. Khi đó: fα (X) = X fα\X (∅)
Thí dụ 2.3.3
Cho hệ sinh AXĐ α = (U,F), U = abcdeh, F = {ae → d, bc → e, e → bc}. Tính 1. fα (ahe) và 2. fα (e) ?
Ta có, theo hệ quả 2.3.1 về công thức tính ảnh cho một tập: 1. fα (ahe) = ahefα\ahe(∅);
G = F\ahe = {∅ → d, bc→∅ (loại), ∅→bc}≡ {∅→bcd}.
Từ đây ta tính được fα\ahe(∅) = bcd. Do đó fα (ahe) = ahebcd = U.
2. fα (e) = efα\e(∅); G = F\e = {a→d, bc→∅ (loại), ∅ → bc} ≡ {a →d,
∅ → bc}.
Từ đây ta tính được fα\e(∅) = bc. Do đó, fα (e) = ebc.