Luận án tiến sĩ phát triển phương pháp phủ tuyến tính để kiểm tra tính hurwitz chặt và ứng dụng vào thiết kế tham số tối ưu trong điều khiển hệ tuyến tính bất định

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT BT: Bài toán HTĐK: Hệ thống điều khiển CL: Chất lượng MH: Mô hình ĐK: Điều kiện MHBĐ: Mô hình bất định ĐKBV: Điều khiển bền vững PP: Phương pháp ĐT: Đối tượng QH: Qui hoạch MHTSBĐ: Mô hình có thông số bất định TSBĐ: Thông số bất định MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Xây dựng hệ điều khiển (ĐK) cho đối tượng (ĐT) thường dựa vào mô hình (MH) Giữa MH ĐT thật có sai lệch, nhiều nguyên nhân như: Phương pháp (PP) nhận dạng gần đúng, thông tin thu thập không đầy đủ, xấp xỉ hoá hiệu ứng phi tuyến Sai lệch MH làm giảm hiệu hệ ĐK Để khắc phục phần ảnh hưởng sai lệch MH gây ra, người ta dùng nhiều biện pháp khác ĐKBV với mô hình bất định (MHBĐ) Khoảng 20 năm trở lại với phát triển thiết bị tính, người ta quan tâm nhiều đến việc phát triển PP điều khiển bền vững (ĐKBV) với mô hình bất định (MHBĐ) ứng dụng loại ĐKBV vào toán (BT) thực tế MHBĐ thực chất tập gồm phần tử Các PP phân tích thiết kế hệ với MHBĐ gặp khó khăn phải xét phần tử tập MH Đây khó khăn thuộc chất dùng MHBĐ Các PP có khắc phục khó khăn chất cho số trường hợp đơn giản có cấu trúc bất định dạng khoảng hay dạng tuyến tính với TSBĐ Q dạng hộp Vì cần có PP thích hợp để dùng cho trường hợp phức tạp Trong luận án chọn hướng nghiên cứu nhằm phát triển PP xác định tham số tối ưu cho ĐK áp dụng cho hệ SISO tuyến tính có TSBĐ đảm bảo thỏa mãn tính ổn định bền vững số tiêu chất lượng (CL), khắc phục phần khó khăn chất Hướng nghiên cứu có ý nghĩa quan trọng lĩnh vực ứng dụng MHBĐ vào ĐK ĐT thực Mục tiêu luận án Mục tiêu luận án là: Phát triển PP nhằm khắc phục phần khó khăn sử dụng MH có TSBĐ với cấu trúc dạng đa thức tập TSBĐ dạng hộp PP áp dụng để kiểm tra tính Hurwitz chặt để xác định tham số ĐKBV cho lớp hệ SISO tuyến tính có TSBĐ đảm bảo thỏa mãn chặt điều kiện ổn định số tiêu CL đề ĐT PP nghiên cứu ĐT nghiên cứu hệ thống ĐKBV với MH tuyến tính có TSBĐ PP nghiên cứu: Tìm hiểu PP có tìm khó khăn gặp phải xét MH tuyến tính với TSBĐ, tìm cách khắc phục phần khó khăn Nội dung: - Các PP xét ổn định bền vững, số tiêu CL hệ - Các PP thiết kế ĐKBV có, khó khăn đề nghị cách khắc phục phần khó khăn - Các PP đưa BT thiết kế ĐKBV cho ĐT có MH tuyến tính với TSBĐ dạng BT tối ưu dạng qui hoạch nửa vô hạn (semiinfinite programming), đảm bảo ổn định BV số tiêu CL đặt trước Đề nghị PP tìm nghiệm BT cho thoả mãn chặt ràng buộc chứa TSBĐ nhờ dùng khái niệm “một trị cực tiểu non” PP minh họa qua số ví dụ Ý nghĩa khoa học thực tiễn luận án Đề tài có ý nghĩa quan trọng lĩnh vực ứng dụng MHBĐ vào ĐK ĐT thực, thể qua việc phát triển PP phủ tuyến tính để xác định trị cực tiểu non MuN cực tiểu toàn thể M cho hàm g (q ) đa thức m L i 0 j 1 m ij dạng g (q )   gi q j Q dạng hộp Trị cực tiểu dùng để: - Kiểm tra tính thực dương chặt hàm g (q ) dạng đa thức Q dạng hộp Kiểm tra thỏa mãn chặt điều kiện ổn định bền vững cho hệ thống có MH tuyến tính với cấu trúc bất định dạng đa thức Q dạng hộp Xác định tham số ĐKBV nhờ đưa BT tối ưu BT qui hoạch nửa vô hạn đề nghị PP tìm nghiệm thoả mãn chặt điều kiện ổn định CL dạng đại số Những kết góp phần vào việc khắc phục khó khăn dùng MH có TSBĐ Do làm cho việc ứng dụng loại MH vào BT thực tế dễ dàng Điểm luận án - Phát triển PP phủ tuyến tính để xác định trị cực tiểu non MuN cực tiểu toàn thể M cho hàm g (q ) đa thức Q dạng hộp Xây dựng thuật - toán để xác định trị cực tiểu non tiệm cận MuN Tính tiệm cận đánh giá sai số gặp phải xét qua định lý - Dùng MuN để kiểm tra tính dương chặt hàm g (q ) dạng đa thức Q dạng hộp Do sử dụng MuN để kiểm tra thoả mãn chặt điều kiện ổn định bền vững dạng đại số tìm nghiệm BT qui hoạch nửa vô hạn - Đưa việc xác định tham số ĐKBV BT tối ưu dùng qui hoạch phi tuyến qui hoạch nửa vô hạn nên có điều kiện để xét tính ổn định bền vững số tiêu CL bám tiệm cận đầu vào, trình độ tắt với hệ số tắt  lớn, dải bất định lớn - Xây dựng thuật toán dùng MuN ( x ) thay cho M( x ) để tìm nghiệm BT qui hoạch nửa vô hạn nghiệm tìm đảm bảo thoả mãn chặt ràng buộc có TSBĐ Chọn PP hàm phạt sử dụng trực tiếp độ đo M uN ( x ) tính số để tìm nghiệm BT qui hoạch nửa vô hạn Tính tiệm cận sai số gặp BT xét tới định lý Một số ví dụ minh họa trình bày Một số kết luận án công bố hội nghị khoa học kỹ thuật tạp chí như: Tạp chí KH&KT Quân học viện KTQS số 173 (2015), số 175 (2016) Hội nghị quốc tế Điện-Điện tử 2016 (Regional conference on Electrical and Electronics Engineering- RCEEE 2016) Trị MuN áp dụng để xét ổn định bền vững xác định tham số tối ưu ĐK cho trường hợp: Hệ ĐKBV SISO có TSBĐ với cấu trúc dạng đa thức TSBĐ q Q dạng hộp Bố cục luận án: phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo phụ lục, luận án chia thành chương trình bày riêng biệt phần sau: CHƢƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ HỆ ĐIỀU KHIỂN BỀN VỮNG VỚI ĐỐI TƢỢNG CÓ MH BẤT ĐỊNH Hệ ĐKBV dựa MHBĐ Xây dựng HTĐK cho ĐT thường dựa vào MH, tùy vào đặc điểm ĐT người ta sử dụng loại MH thích hợp, MH ĐT thật có sai lệch, sai lệch MH làm giảm hiệu hệ ĐK, dùng MHBĐ việc xây dựng hệ ĐK biện pháp hiệu để khắc phục ảnh hưởng 1.1 1.1.1 Mô tả ĐT ĐK nhờ MHBĐ MHBĐ tập MH (P0, P), với MH chuẩn P0 xây dựng từ thông tin xác định, tồn sai lệch P thiếu thông tin dùng PP nhận dạng gần P thường trước, việc phân tích thiết kế hệ thống ĐK cần đến đánh giá định lượng P dạng thích hợp ví dụ dạng bị chặn P (ví dụ: chuẩn |P|, ||P||, () ,…) dạng tập biến thiên TSBĐ Để lập MHBĐ có cách: Mô tả MH ĐT dạng bất định có cấu trúc cấu trúc 1.1.1.1 MHBĐ có cấu trúc Ở bước nhận dạng ta xác định cấu trúc MH (bậc tử số mẫu số hàm truyền ĐT), dùng MH tuyến tính có hệ số không biến thiên theo thời gian thông số hóa độ bất định ta có MH với TSBĐ, thông tin định lượng sai lệch MH P thể ỏ tập biến thiên TSBĐ q MH ĐT      q  s s,q    q  s m   Hàm truyền ĐT với TSBĐ có dạng: P s,q  N P s,q DP k 0 n i 0 q véc tơ thông số biến thiên độc lập tập Q: j k (1.1) i i q  RL q  Q (1.2) Tập Q có số dạng (xem TL M.Bozorg, P.Husek) Trường hợp Q dạng hộp (box, hypercuble) quan tâm nhiều hệ thống ĐKBV:  Q  q q  qj  qj j  (1.3) MH với TSBĐ mô tả dạng hệ phương trình trạng thái: z  A( q )z  b( q )u ; q Q y  c( q )z  1.1.1.2 MHBĐ cấu trúc (1.6) Khi sử dụng MH thông số hóa (ĐT có trễ: Quá trình nhiệt, trình xảy phản ứng hóa học…) ta sử dụng MH cấu trúc MH cấu trúc thường mô tả dạng sau: Dạng cộng tính: P(s)=P0(s)+Pa(s) (1.7) Dạng nhân tính: P(s)=P0(s)[1+PM(s)] (1.8) Dạng chia tính: P( s )  P0 ( s )  Pd ( s ) (1.9) ĐT có sai lệch P dạng (1.7), (1.8), (1.9) sai lệch P (Pa, PM, Pd) chưa biết cụ thể, thường đánh giá qua hàm chặn (Bounded) với chuẩn thích hợp.Ví dụ dạng chuẩn vô : (1.11) P j   K j       Để mô tả hệ MIMO dạng ma trận, người ta dùng hàm chặn dạng giá trị suy biến lớn ( P ) , giá trị K  j  , K  j  , ( P) xác định  bước nhận dạng MHBĐ cấu trúc tập MH, ví dụ với sai lệch nhân tính (1.8) hàm chặn (1.10) tập MH có dạng:     P     K( j )  P0( j )    0,     P( j )  P0( j ) (1.12) 1.1.1.3 Lợi khó khăn sử dụng MHBĐ a) Những lợi thế: Kể sai lệch MH, thay đổi thông số cấu trúc ĐT, tác dụng nhiễu, hiệu ứng phi tuyến Thành lập điều kiện ổn định CL cách đơn giản so với dùng loại MH khác phi tuyến, ngẫu nhiên, mờ… b) Những khó khăn: Khó khăn liên quan đến việc xác định MH (nhận dạng) xây dựng hệ ĐK: Khó khăn việc xác định MHBĐ (nhận dạng ĐT) cho trường hợp MHBĐ không cấu trúc ta phải xác định hàm chặn K(j) thuộc RH∞, với MHBĐ có cấu trúc (MH có TSBĐ) ta phải xác định cấu trúc bất định tập Q PP xác định MH (nhận dạng ĐT) nằm phạm vi nghiên cứu luận án Khó khăn việc kiểm tra điều kiện ổn định CL:  Dùng MHBĐ BT phân tích tổng hợp ĐK gặp khó khăn lớn phải xét phần tử tập MHBĐ, khó khăn chất (Khó khăn gây chất MHBĐ) Đây khó khăn buộc phải khắc phục giải BT ĐK Các PP có thường xét số hữu hạn phần tử không đảm bảo thỏa mãn chặt điều kiện ổn định CL hệ ĐK  Luận án có mục tiêu khắc phục phần khó khăn cho hệ với MH tuyến tính có TSBĐ, tạo điều kiện thuận lợi cho việc dùng MHBĐ để ĐK số ĐT thực Hệ ĐKBV với ĐT có TSBĐ 1.1.2 Quỹ đạo mong muốn ĐT thường quỹ đạo tối ưu, thể tín hiệu đặt Quỹ đạo tối ưu xác định PP ĐK tối ưu (Pontriagin, Bellman…) PP chuyên gia Khi xác định quỹ đạo mong muốn thường chưa kể tính ổn định Vì người ta phải xây dựng hệ ĐK gọi hệ điều chỉnh (Regulation System) để ổn định hóa quỹ đạo mong muốn kỳ vọng thực thêm số tiêu CL khác, dẫn đến nhiệm vụ 1.1.2.1 Nhiệm vụ hệ ĐKBV NV1: Ổn định hóa quỹ đạo mong muốn NV2: Thực số tiêu chí CL đặt ra: (CL2-1) Giảm ảnh hưởng sai lệch MH, (CL2-2) Bám đầu vào tốt, (CL2-3) Giảm tác dụng nhiễu, (CL2-4) Giảm tác dụng sai số đo, (CL2-5) Quá trình độ tắt nhanh nhất, (CL2-6) Độ điều chỉnh, thời gian điều chỉnh ngắn nhất, (CL2-7) Độ sai lệch xác lập nhỏ Ngoài phải kể đến số tiêu chí CL khác tính khả thực việc vận hành hệ thống Chưa có PP thiết kế đảm bảo tất tiêu CL mong muốn kể 1.1.2.2 Cấu trúc hệ ĐKBV Hệ ĐKBV SISO thường xây dựng theo nguyên tắc phản hồi thường dựa MH ĐT theo cấu trúc kinh điển (Classic Control) hay cấu trúc ĐK theo MH nội (IMC: Internal Model Control) r e C u d P r y e - C u d - ~ P n Hình 1.5: Cấu trúc hệ điều khiển SISO kinh điển y P ~y - n Hình 1.6: Cấu trúc hệ điều khiển SISO theo MH nội Hình 1.5 1.6 sơ đồ cấu trúc hệ ĐK SISO kinh điển hệ ĐK SISO theo MH nội Trong đó: P ký hiệu ĐT thực, P MH ĐT, C hay R ĐK Hệ ĐKBV SISO biểu diễn dạng phương trình trạng thái với z  A( q )z  b( q )u  y  c( q )z u  R( k )z   ĐK hồi tiếp trạng thái (1.13): (1.13) 1.2 Vấn đề ổn định bền vững Ổn định điều kiện cần để hệ thống động vận hành Hệ thống gọi ổn định đa thức đặc trưng ( s, q) hệ Hurwitz Hệ gọi ổn định bền vững ổn định với q  Q Tổng quan PP nghiên cứu ổn định bền vững cho hệ SISO tuyến tính có TSBĐ tài liệu Nguyễn Thế Thắng, Phạm Văn Minh, M Bozorg, Petr Husek…Điều kiện ổn định bền vững thường xét PP gián tiêu chuẩn ổn định Do chất MH có TSBĐ tất PP nghiên cứu ổn định bền vững phải xét điều kiện ổn định có thỏa mãn với q  Q hay không? Đây khó khăn chất mà tất PP xét ổn định bền vững có phải khắc phục Chương cho tổng quan ngắn gọn ổn định bền vững giới thiệu PP kiểm tra ổn định BV đảm bảo khắc phục khó khăn chất toán kiểm tra ổn định BV 1.3 Vấn đề thiết kế ĐKBV cho đối tƣợng có TSBĐ Nhiệm vụ thiết kế hệ ĐK cho ĐT có TSBĐ bao gồm xác định cấu trúc hệ, ĐK xác định tham số ĐK để hệ ĐK ổn định bền vững thỏa mãn số CL Khi chọn cấu trúc, nhiệm vụ thiết kế hệ ĐK việc xác định tham số ĐK mc     Hệ có MH ĐT P s,q , ĐK dạng: C s, x  j  c js j 0 nc (1.14); i  dis i 0  x  c0 ,c1, ,cm ,d0 ,d1 , ,dn c c  véc tơ tham số ĐK ẩn số BT thiết T kế ĐKBV Hệ ĐK SISO dùng phương trình trạng thái (1.13) với phản hồi đầu (hình 1.8) phản hồi trạng thái tĩnh R( k )  k1,k2 , ,kn  với: T       1   P s,q  c T q sI  A q  b T q   (1.15) véc tơ tham số x ĐK cần xác định để hệ ĐK ổn định đạt số CL r e Bộ điều khiển u Đối tƣợng điều khiển C (s , x ) y P (s ,q ) Hình 1.8: Sơ đồ cấu trúc tối giản hệ SISO dạng hàm truyền có phản hồi đầu - Trường hợp ĐT mô tả MHBĐ cấu trúc: Độ bất định thể hàm chặn K(j) dạng (1.10), (1.11) Các PP đánh giá ổn định thiết kế ĐK sử dụng hàm chặn, nên PP tần số, đặc biệt PP H sử dụng rộng rãi - Trường hợp ĐT với MHBĐ có cấu trúc, từ tập Q xác định hàm chặn K(j) việc khó khăn nên việc sử dụng tiêu chuẩn dạng tần số kết hợp với PP H cho việc thiết kế ĐK không hợp lý (Grimbele M., Th.E Djaferis) Do chất MHBĐ nên PP thiết kế ĐKBV gặp khó khăn chất Trường hợp TSBĐ phải xét với q  Q Đây khó khăn thuộc chất dùng MHBĐ mà PP thiết kế ĐK phải tìm cách khắc phục Chương cho tổng quan xác định tham số ĐKBV giới thiệu PP tối ưu xác định tham số ĐKBV đảm bảo thỏa mãn chặt ĐK ổn định chất lượng 1.4 Kết luận chƣơng ĐK dựa vào MHBĐ làm giảm tác dụng sai lệch MH ĐT có nhiều ý nghĩa thực tiễn Việc thiết kế ĐKBV hay xác định tham số cho ĐK hệ có MHĐT tuyến tính chứa TSBĐ phải thỏa mãn yêu cầu là: ổn định bền vững đạt số tiêu chí CL đặt với q  Q CHƢƠNG 2: XÁC ĐỊNH MỘT TRỊ CỰC TIỂU NON VÀ ỨNG DỤNG VÀO KIỂM TRA TÍNH ỔN ĐỊNH BỀN VỮNG HỆ TUYẾN TÍNH CÓ THÔNG SỐ BẤT ĐỊNH 2.1 Tổng quan ổn định bền vững cho hệ tuyến tính có TSBĐ 2.1.1 Bài toán kiểm tra tính ổn định bền vững hệ tuyến tính có TSBĐ Một hệ thống tuyến tính liên tục SISO với ĐT tuyến tính mô tả hàm truyền P (s ,q ) có chứa TSBĐ (hình 2.1), dạng phương trình trạng thái Giả thiết: P (s ,q )  N p (s ,q ) Dp (s ,q ) C (s )  (2.1); N c (s ) Dc (s ) (2.2) hàm truyền hệ kín: G (s ,q )  C (s )P (s ,q )  C (s )P (s ,q )  b0 (q )  b1 (q )s  a0 (q )  a1 (q )s   bm (q )s m  an (q )s n , m n (2.3) có hệ số phụ thuộc TSBĐ q có đa thức đặc tính là: (s ,q )  Dp (s ,q )Dc (s )  N p (s ,q )Nc (s )  a0 (q )  a1(q )s  r e Bộ điều khiển C (s ) u Đối tƣợng điều khiển  an (q )s n y P (s ,q ) Hình 2.1: Sơ đồ cấu trúc tối giản hệ điều khiển phản hồi đầu (2.4) Xét tính ổn định BV hệ kín kiểm tra tính Hurwitz (2.4) q Q , hệ kín ổn định bền vững đa thức đặc tính (s ,q ) gọi Hurwitz chặt Khi hệ mô tả dạng phương trình trạng thái (1.13) hệ ĐK dạng phản hồi trạng thái R Hàm truyền ĐT ĐK xác định sau:  P (s ,q )  c (q )T sI  A(q )  1 b (q ) ĐK phản hồi trạng thái tĩnh chọn trước: R  k1, k2 ,  , kn  (2.5) đa thức đặc tính là: (s ,q )  det sI  A(q )  b (q )R   a0 (q )  a1 (q )s   an (q )s n (2.7) Với phương trình trạng thái ta xây dựng hệ ĐK với phản hồi  đầu hình 2.1 Với MH ĐT: P (s ,q )  c (q )T sI  A(q )  1 b (q ) đa thức đặc trưng (s ,q )  det sI  A(q )  b (q )C (s )c  Xét tính ổn định bền vững   T hệ với phương trình trạng thái đưa việc kiểm tra tính Hurwitz chặt đa thức (s ,q ) với q Q 2.1.2 Một số PP điển hình có để kiểm tra tính ổn định bền vững hệ tuyến tính chứa TSBĐ Hiện có nhiều PP kiểm tra tính Hurwitz chặt đa thức (s ,q ) (2.4), (2.7) Dựa vào cấu trúc (q ) (2.7) mà phân loại đa thức thành: Đa thức khoảng (Interval polynominal) có giá trị (q ) biến thiên độc lập khoảng compact: a i  (q )  , i  0,1, ,n (2.8) Đa thức có cấu trúc bất định tuyến tính (linear uncertainty): có hệ số (q ) phụ thuộc tuyến tính vào TSBĐ q j , j  0,1,  , L Đa thức có cấu trúc bất định đa tuyến tính (multilinear uncertainty): có hệ số Mi L k 0 j 1 mik j (q ) hàm đa tuyến tính q : (q )   aik  q j ; mik j  0, 1 (2.9) Đa thức có cấu trúc bất định phi tuyến (nonlinear uncertainty): (q ) hàm phi tuyến đối số q Đa thức có cấu trúc bất định polynomic: đa thức bất định phi tuyến có (q ) dạng (2.9) hệ số aik  const có giá trị nguyên dương mik j  Để phân tích ổn định hệ SISO tuyến tính có thông số bất định ta dùng PP tần số (hình học), PP đại số hay PP H  PP H không tiện dùng cho cách tiếp cận thông số (Grimbele M., Th.E Djaferis) PP nghiên cứu ổn định bền vững đa thức (2.4) (2.7) phân thành nhóm sau: 2.1.2.1 PP đưa xét ổn định số hữu hạn đa thức không chứa TSBĐ PP dùng cho trường hợp đa thức khoảng, dùng tiêu chuẩn Kharitanov hay trường hợp cấu trúc tuyến tính dùng định lý cạnh dẫn tới xét số hữu hạn đa thức không chứa TSBĐ q, nên xét thỏa mãn chặt điều kiện ổn định BV Để kiểm tra ổn định bền vững (s, q) với cấu trúc dạng multilinear, dạng đa thức polynomic, dạng phi tuyến người ta dùng ĐK ổn định dạng đại số hay ĐK tần số (hình học) 2.2.2.2 PP tần số Dựa vào việc vẽ họ đặc tính tần mặt phẳng phức (value set: VS) (j, q) với qQ [0, ) theo nguyên tắc loại trừ điểm zero ta nhận hệ có ổn định bền vững hay không Barmish, Bozorg, Husek, Djaferis Tập VS (j, q) thường phức tạp, nên phải vễ gần thường tìm tập phủ bao lấy (over bound region), nhờ kỹ thuật khác Trường hợp bất định dạng đa tuyến tính với Q dạng hộp nhờ mapping theorem ta xây dựng miền phủ lồi (convex hull) (j, q) dựa vào đỉnh Q, nguyên tắc phải xét với [0, ) Dùng tập phủ ta có ĐK đủ ổn định Cũng vẽ VS hàm truyền hệ hở G0(j, q)=C(j, q).P(j, q) dùng tiêu chuẩn Nyquyst ta có ĐK đủ ổn định PP tần số PP hữu hiệu để đơn giản hoá cách xét ảnh hưởng thông số bất định, cho phép đơn giản hoá cách xét tác dụng thông số bất định từ không gian thông số Q có L chiều không gian chiều (trong mặt phẳng phức) Cho phép ta dùng khái niệm ổn định miền D để kể đến số CL vào ĐK ổn định Tuy PP dùng VS có số khó khăn sau: Bằng trực giác quan sát xem VS có chứa điểm zero không rút thông tin ổn định bền vững hệ Khó định nghĩa độ đo (số hoá) thông tin ổn định Độ đo cần đến xác định tham số x điều khiển C(s, x) nhờ PP tối ưu hoá Một khó khăn khác PP dùng VS thực tế vẽ VS ta phải rời rạc hoá (băm) tập Q giá trị  xét số hữu hạn qhQ h[0, ) Như có khả bỏ xót điểm hệ không ổn định (xem phụ lục) kết luận ổn định PP VS gây sai lầm Nếu dùng PP phủ ta điều kiện đủ ổn định 2.1.2.3 PP đại số Là PP dùng điều kiện ổn định bền vững kiểm tra PP đại số Các PP đại số áp dụng cho đa thức đặc trưng phương trình trạng thái 1) Với cấu trúc (q ) phi tuyến: Đưa đa thức khoảng, sau xác định cực trị toàn thể: a i , tập Q , coi (q ) biến thiên độc lập khoảng a i  (q )  , dùng tiêu chuẩn Kharitonov PP bỏ sót trường hợp (s ,q ) thoả mãn điều kiện ổn định, thu hẹp lớp controller hệ 2) Dùng tiêu chuẩn Routh Hurwitz ta đưa điều kiện cần đủ ổn định việc xét tính dương chặt hàm gk (q )  (2.11) Khi đa thức dạng polynomic mk L i 0 j 1 gk (q ) đưa dạng: gk (q )   gki q mj kij  (2.12) 3) Ở dạng phương trình trạng thái dùng tiêu chuẩn ổn định dạng Kronecker, Lyapunov Matrix Bialtermat (Xem R.K Yedavalli 2014) ta đưa việc xét ổn định việc kiểm tra tính dương hàm g (q ) 4) Một số công trình dùng hàm Lyapunov (như Figuroa J.L and J.A Romagloni, RCL.F Oliveira, Svetoslav Savov, Ivan Popchev) để có điều kiện đủ dạng đại số ổn định tuỳ thuộc vào hàm Lyapunov hệ 5) Kiểm tra ổn định BV (2.7), dẫn đến xét tính dương chặt (2.12) Galoff J, Zettler, đưa g (q ) tổ hợp convex đa thức Berntein rút điều kiện đủ cho tính dương hàm g (q ) điều làm thu hẹp lớp (s ,q ) thoả mãn ĐK ổn định BV 2.2 PP tiệm cận kiểm tra tính dƣơng chặt hàm số chứa TSBĐ Dùng tiêu chuẩn đại số kiểm tra ổn định bền vững dẫn tới nhiệm vụ kiểm tra tính dương chặt số hữu hạn hàm g k (q ) với q Q Để đơn giản trình bày ta xét hàm g (q ) dạng đa thức (2.13) chứa TSBĐ (2.14): m L i 0 j 1 mij g (q )   gi  q j (2.13);   Q  q  (q1,  ,qL )T q j  q j  q j , j  1, 2,  , L (2.14) Trong không gian Q ta xét hữu hạn điểm nên không đủ tin cậy để kiểm tra tính dương chặt hàm g (q ) , ví dụ PP Wang I, Yu.S, Y Kuroiwa, Yuwensheng Wanglong, Jiergen Ackermann Có hướng khác để xét tính dương g (q ) thông qua việc xác định cực tiểu toàn thể M g (q ) với q Q : M  g (q ) qQ (2.16) Tính dương g (x ) xét qua việc tính xem M có dương hay không Các PP tiến hành không gian Q cho trị gần trội (upper bound, over minimal estimated value): M  M Dùng trị gần trội M kiểm tra tính dương chặt (2.13) (2.14) Vì không tìm M nên ta tìm trị gần non (Lower bound, under estimated minimal value) Mu: M u  M (2.21) Hiện nay, có số PP cho việc xác định một dãy cực tiểu non MuN tiệm cận với cực tiểu toàn thể M (hình 2.4): M uN  M lim M uN  M (2.22) N  10 M0 M0N M MuN Mu N Hình 2.4: Biểu diễn tính tiệm cận cực tiểu trội M0N cực tiểu non MuN Nhóm PP chuyển không gian “Relaxation methods” cho lớp BT tối ưu hóa đa thức POP (polynomial optimization problem) cho ta trị cực tiểu non (2.22), tổng quan nhóm PP công trình Deren Han, G Chesi Hiện nay, ý nhiều PP chuyển không gian qui hoạch nửa vô hạn SDP (semidefinite programming relaxation) Lassere Parrilo Về lý thuyết cho ta nghiệm POP dạng dãy MuN tiệm cận với cực tiểu toàn thể M Dựa vào công cụ toán học như: Probability measure and its moment; tuyến tính hóa đa thức, SDP, SOS (sum of square), LMI (linear matrix inequelity) PP SDP relaxation chuyển BT POP (2.13), (2.14), (2.16) tối ưu hóa không lồi (non-convex optimization) dãy BT lồi (convex) dạng SDP dùng LMI để tìm nghiệm SDP PP có số phần mềm để thực Herion, JB Lassere, Johan Loefberg, J Heller 2016 Tuy vậy, PP giai đoạn phát triển ban đầu nên nhiều khó khăn cần phải khắc phục, nên chưa tiện dùng cho kỹ sư Nhiệm vụ luận án xác định tham số ĐKBV cho MH ĐT tuyến tính với cấu trúc bất định dạng polynomic tập Q dạng hộp Nhiệm vụ dẫn đến việc kiểm tra tính dương chặt g (q ) dạng polynomic (2.13) với Q (2.14), ta phải có PP xác định trị gần non dạng (2.21) (2.22) cách đơn giản để kỹ sư dễ dàng sử dụng Dưới luận án trình bày PP phủ tuyến tính để xác định cực tiểu non tiệm cận MuN 2.2.1 Một trị cực tiểu non Xét BT (2.13) với g (q ) dạng polynomic TSBĐ Q dạng hộp (2.14):    m L m  g(q)    gi  q j ij  ; Q  q  (q1,  ,qL )T q j  q j  q j , j  1, 2,  ,L (2.23) M  q Q q Q  i  j 1   BT (2.23) dạng BT không lồi (non convex problem), chưa có PP đảm bảo tìm cực tiểu toàn thể M Để kiểm tra tính dương g (q ) với q Q ta cần xác định trị cực tiểu non M u (2.21) hay (2.22) M u  M  tức g (q )  với q Q , ta gọi tính dương chặt hàm g (q ) Muốn ta tìm cách chuyển (ánh xạ, relaxation) BT (2.23) từ không gian Q 11 sang không gian Y để xác định trị gần non M u  M (2.21), dãy cực tiểu non tiệm cận M uN (2.22) 2.2.1.1 Xác định trị cực tiểu non PP phủ tuyến tính Để xác định cực tiểu non M u ta cần giả thiết sau: 1) Giả thiết (GT2-1): Hàm g (q ) có dạng đa thức (2.13) 2) Giả thiết (GT2-2): Tập Q có dạng hộp (2.14), qj , q j số thực không âm 3) Giả thiết (GT2-3): m, L,mij số tự nhiên, nguyên dương hữu hạn L Dùng phép đổi biến số: y  1; y (q )   q mij i j (2.28) j 1 Khi hàm g (q ) trở thành hàm tuyến tính F( y ) không gian Y: m L i 0 j 1 mij g (q )   gi  q j m   giyi (q )  F (y ) (2.29) i 0 Và tập Q không gian Q trở thành tập Y không gian Y: L m   Y  y yi  yi (q )   q j ij ;  qj  q j  q j  (2.30) j 1   Và BT tối ưu (2.23) chuyển sang không gian Y trở thành: L m    m  F( y)  m in  giyi(q); Y  y yi  yi(q)   q j ij ;  qj  q j  q j  M  my in Y y Y i 1 j 1     (2.31) Phép đổi biến số (2.28) chuyển điểm q h  Q thành điểm y h Y , q h quét điền đầy tập Q ảnh y h tạo thành tập Y Y (tức nằm trù mật tập Y ) L m   Y  y yi  yi (q )  q j ij ; q Q  j 1   Tập Y có dạng:  (2.32) biến yi q phụ thuộc vào biến q (2.28) Trị số hàm F( y ) ràng buộc Y xác định qua biến q Hàm g (q ) F( y ) (2.29) hàm liên tục, tập Q (2.14) Y (2.32) tập compact, theo định lý Weierstrass BT (2.23) BT (2.31) phải có nghiệm tồn cực tiểu toàn thể M Trị M xác định theo BT (2.23) không gian Q xác định theo BT (2.31) không gian Y: M  MQ  g (q )  F (y )  MY (2.33) Trường hợp biết Y Y qQ yY tập convex BT (2.31) có dạng qui hoạch lồi (convex programming), dùng PP có cho BT convex nguyên tắc ta tìm trị cực tiểu toàn thể M  MY Nhưng tập Y dạng thông số (2.32) nên khó biết tính convex Y, Y tập convex BT (2.31) không BT convex, nên ta dùng PP phủ tuyến tính để tìm trị cực tiểu non M u MY 12   ( Mu  M ) Các hàm yi q tăng đơn điệu theo q nên tập Q dạng hộp (2.14) ta tìm trị cực tiểu toàn thể (infimum) yi trị cực đại toàn thể (suprimum) yi : yi  m in yi(q); yi  max yi(q) (2.34) Tập Y (2.32) viết q Q dạng: q Q   yi  yi  yi   Y  y  y  y ( q ) i i     (2.35) Trong không gian Y, lập tập H phủ   lên tập Y (hình 2.6): H  y  yi  yi  yi (2.36) Ta có: Y  H (2.37) y2 q2 H y2 q2 Q Q q2 Y H yi  yi (q ) (2.28) q1 q1 y2 Y y1 y1 y1 y1 Hình 2.6: Minh họa phép chuyển tập ràng buộc Q  Y phép phủ tuyến tính Y H Trong tập H ta xác định cực tiểu toàn thể M F  y  : m M u  F(y )   giyi (q ) (2.38) Từ (2.31), (2.38) (2.37) theo nguyên lý yH yH i 1 cực trị có ràng buộc ta có: Mu  M (2.39), với Mu trị cực tiểu non M Nếu dùng tập phủ H lên tập Y M u xa với giá trị thật M Dưới giới thiệu cách phủ tiệm cận để trị gần non tiệm cận 2.2.1.2 Khái niệm cách xác định trị cực tiểu non tiệm cận M uN Chia cạnh q j hộp Q thành N phần nhau, ta thu NL hộp Q v : Q NL Qv (2.40) v 1 Mỗi hộp Q v xác định sau: q q v j  q  q v j  j j   j Qv    v  N , j  L    j  q j  qj q j  qj  vj v ; q j j  qj  v j ; qj  qj  (v j  1) N N  q v j  q v j 1; v j  1, , N ; j  1, 2, , L; j  j 13 (2.41) (2.42) Nhờ (2.28), với tập Q v ta lập tập Y v Y: v v    yi  yi (q )     yi  yi  yi   v    y  Y  y v q Q yi  yi (q )           v  1, , N ; j  1, 2, , L ; i  1, 2, , m  j   L (2.43)   v Trong giá trị: yiv  minv yiv( q )   qj j   Ta có: Y    NL vj 1, ,N j 1, ,L Yv q Q (2.45); j 1 mij L   v ; yiv  maxv yiv( q )   q j j q Q j 1 mij M  M v   v m  M  minv g(q)  minv   giyi   q Q y Y  i   v j  1, 2, ,N ; j  1, 2, ,L; i  1, 2, ,m  (2.44) (2.46) Ở không gian Y ta lập tập phủ tuyến tính H v cho Y v : H v  yiv  yi  yiv  (2.47) Khi tập H gồm tập H v : H NL vj 1, ,N j 1, ,L Hv (2.48) Tiếp đến ta xác định cực tiểu F( y ) hộp H v hộp H:  m Muv  minv F y  minv   giyi  ; v j  1,.,N; j  1, ,L; i  1,.,m y H y H  i 1  Và:  MuN  F y  Muv ; vj  1, 2, ,N; j  1, 2, ,L; y H v (2.49) (2.50) Khi N tăng lên ta dãy (sequence) trị gần MuN Đây trị cực tiểu non tiệm cận (asymptotical lower bound sequence-asymptotical under estimated minimal value) Gắn với MuN ta có kết định lý Định lý 1: Nếu giải thiết (GT2-1), (GT2-2), (GT2-3) thỏa mãn, trị cực tiểu non MuN tính theo (2.49), (2.50) ta có kết sau: - KQ1: MuN trị gần non (cực tiểu non), MuN  M (2.51) - KQ2: Theo tăng số khoảng chia N, giá trị MuN dãy tăng đơn MuN  MuN điệu không giảm, nghĩa N2 ≥ N1 thì: (2.52) - KQ3: Giá trị M có tính tiệm cận, nghĩa là: uN - KQ4: Giá trị cực tiểu non tính theo (2.54), (2.55): m  v gi  iv M u  i 1  M  M uv  uN v  1, 2, ,N ; j  1, 2, ,L   j (2.54); N   v  y v g  i i i   v v  i  yi gi   v  1   Với giá trị yiv ; yiv xác định theo (2.44)  14 lim MuN  M (2.53) (2.55) Thuật toán tìm trị cực tiểu non 2.2.2 Nội dung thuật toán 2.2.2.1 Dùng kết định lý 1, ta lập thuật toán để xác định trị cực tiểu non MuN cho toán (2.23): Thuật toán 1: Cho số liệu xuất phát: cp, số bước chia giới hạn NL… Bước (B1): Nhập sai số cho phép cp, số bước chia giới hạn (Limit) NL, gán A0  N1  N L Bước (B2): - Tính qjv j , q jv j theo (2.42) với j  L; v j  N - Tính yiv j , yiv j theo (2.44); - Tính M uN theo (2.54), (2.55) Bước (B3): Kiểm tra điều kiện N=N1 chuyển sang bước 6, không thoả mãn chuyển sang bước Bước (B4): Kiểm tra điều kiện: bước tính thứ M uN 1 M uN  M uN M uN 1  cp , M uN giá trị MuN giá trị MuN bước tính thứ  Nếu chuyển sang bước sai chuyển sang bước Bước (B5): Kiểm tra điều kiện N