Luận án tiến sĩ phát triển phương pháp phủ tuyến tính để kiểm tra tính hurwitz chặt và ứng dụng vào thiết kế tham số tối ưu trong điều khiển hệ tuyến tính bất định

Trong luận án này chọn một hướng nghiên cứu nhằm phát triển một PP xác định tham số tối ưu cho bộ ĐK áp dụng cho hệ SISO tuyến tính có TSBĐ đảm bảo thỏa mãn tính ổn định bền vững và một

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

BT: Bài toán

CL: Chất lượng

ĐK: Điều kiện

ĐKBV: Điều khiển bền vững

ĐT: Đối tượng

HTĐK: Hệ thống điều khiển MH: Mô hình MHBĐ: Mô hình bất định PP: Phương pháp

QH: Qui hoạch MHTSBĐ: Mô hình có thông số bất định TSBĐ: Thông số bất định MỞ ĐẦU 1 Tính cấp thiết của đề tài Xây dựng hệ điều khiển (ĐK) cho một đối tượng (ĐT) thường dựa vào mô hình (MH) Giữa MH và ĐT thật bao giờ cũng có sai lệch, do nhiều nguyên nhân như: Phương pháp (PP) nhận dạng gần đúng, thông tin thu thập được không đầy đủ, do xấp xỉ hoá các hiệu ứng phi tuyến Sai lệch MH làm giảm hiệu quả của hệ ĐK Để khắc phục phần nào ảnh hưởng do sai lệch MH gây ra, người ta có thể dùng nhiều biện pháp khác nhau như ĐKBV với mô hình bất định (MHBĐ) Khoảng 20 năm trở lại đây với sự phát triển của thiết bị tính, người ta mới quan tâm nhiều đến việc phát triển những PP điều khiển bền vững (ĐKBV) với mô hình bất định (MHBĐ) và ứng dụng loại ĐKBV vào những bài toán (BT) thực tế MHBĐ thực chất là tập gồm vô vàn phần tử Các PP phân tích và thiết kế hệ với MHBĐ đều gặp khó khăn là phải xét mọi phần tử của tập MH này Đây là khó khăn thuộc về bản chất khi dùng MHBĐ Các PP hiện có mới khắc phục được khó khăn bản chất cho một số trường hợp đơn giản có cấu trúc bất định dạng khoảng hay dạng tuyến tính với TSBĐ Q dạng hộp Vì vậy cần có PP thích hợp để dùng cho các trường hợp phức tạp hơn Trong luận án này chọn một hướng nghiên cứu nhằm phát triển một PP xác định tham số tối ưu cho bộ ĐK áp dụng cho hệ SISO tuyến tính có TSBĐ đảm bảo thỏa mãn tính ổn định bền vững và một số chỉ tiêu chất lượng (CL), khắc phục được một phần khó khăn bản chất Hướng nghiên cứu này có ý nghĩa quan trọng trong lĩnh vực ứng dụng MHBĐ vào ĐK các ĐT thực Mục tiêu của luận án Mục tiêu của luận án là: Phát triển một PP nhằm khắc phục một phần khó khăn khi sử dụng MH có TSBĐ với cấu trúc dạng đa thức và tập TSBĐ dạng hộp PP được áp dụng để kiểm tra tính Hurwitz chặt và để xác định tham số bộ ĐKBV cho một lớp hệ SISO tuyến tính có TSBĐ đảm bảo thỏa mãn chặt điều kiện ổn định và một số chỉ tiêu CL đề ra ĐT và PP nghiên cứu - ĐT nghiên cứu là hệ thống ĐKBV với MH tuyến tính có TSBĐ - PP nghiên cứu: Tìm hiểu các PP hiện có tìm ra những khó khăn gặp phải khi xét MH tuyến tính với TSBĐ, tìm cách khắc phục phần nào các khó khăn đó

3 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án

Đề tài có ý nghĩa quan trọng trong lĩnh vực ứng dụng MHBĐ vào ĐK các

ĐT thực, được thể hiện qua việc phát triển PP phủ tuyến tính để xác định được

một trị cực tiểu non M uN của cực tiểu toàn thể M cho một hàm g q( )là đa thức dạng

- Kiểm tra tính thực dương chặt của hàm g q( ) dạng đa thức khi Q dạng hộp

- Kiểm tra sự thỏa mãn chặt điều kiện ổn định bền vững cho hệ thống có MH tuyến tính với cấu trúc bất định dạng đa thức và Q dạng hộp

- Xác định tham số bộ ĐKBV nhờ đưa BT tối ưu về BT qui hoạch nửa vô

hạn và đề nghị một PP tìm nghiệm thoả mãn chặt điều kiện ổn định và CL

dạng đại số

Những kết quả trên góp phần vào việc khắc phục khó khăn khi dùng MH có TSBĐ Do đó làm cho việc ứng dụng loại MH này vào những BT thực tế được

dễ dàng hơn

4 Điểm mới của luận án

- Phát triển một PP phủ tuyến tính để xác định được một trị cực tiểu non M uN của cực tiểu toàn thể M cho hàm g q( ) là đa thức và Q dạng hộp Xây dựng thuật

toán 1 để xác định một trị cực tiểu non tiệm cận M uN Tính tiệm cận và đánh giá sai số gặp phải được xét qua định lý 1

- Dùng M uN để kiểm tra tính dương chặt của một hàmg q( ) dạng đa thức và Q

dạng hộp Do đó sử dụng M uN để kiểm tra sự thoả mãn chặt điều kiện ổn định bền vững dạng đại số và tìm nghiệm của BT qui hoạch nửa vô hạn

- Đưa việc xác định tham số bộ ĐKBV về BT tối ưu dùng qui hoạch phi tuyến hoặc qui hoạch nửa vô hạn nên có điều kiện để xét tính ổn định bền vững và một

số chỉ tiêu CL như bám tiệm cận đầu vào, quá trình quá độ tắt với hệ số tắt lớn, hoặc dải bất định lớn nhất

- Xây dựng một thuật toán dùngM ( x ) uN thay cho M( x ) để tìm nghiệm BT qui

hoạch nửa vô hạn nghiệm tìm được đảm bảo được sự thoả mãn chặt của ràng

buộc có TSBĐ Chọn được PP hàm phạt sử dụng trực tiếp độ đo M ( x ) uN chỉ tính được bằng số để tìm nghiệm của BT qui hoạch nửa vô hạn Tính tiệm cận

và sai số gặp của BT này cũng được xét tới ở định lý 2 Một số ví dụ minh họa được trình bày

Một số kết quả của luận án đã được công bố trong các hội nghị khoa học

kỹ thuật hoặc tạp chí như: Tạp chí KH&KT Quân sự học viện KTQS số 173 (2015), số 175 (2016) và Hội nghị quốc tế về Điện-Điện tử 2016 (Regional

conference on Electrical and Electronics Engineering- RCEEE 2016) Trị M uN

được áp dụng để xét ổn định bền vững và xác định tham số tối ưu bộ ĐK mới chỉ cho 1 trường hợp: Hệ ĐKBV SISO có TSBĐ với cấu trúc dạng đa thức và TSBĐ

Xây dựng HTĐK cho một ĐT thường dựa vào MH, tùy vào đặc điểm của

ĐT người ta sử dụng loại MH thích hợp, giữa MH và ĐT thật bao giờ cũng có những sai lệch, các sai lệch MH làm giảm hiệu quả của hệ ĐK, dùng MHBĐ trong việc xây dựng hệ ĐK là một biện pháp hiệu quả để khắc phục các ảnh hưởng đó

MHBĐ là một tập MH (P 0 , P), với MH chuẩn P0 được xây dựng từ những thông tin xác định, tồn tại sai lệch P là do thiếu thông tin hoặc dùng PP

nhận dạng gần đúng P thường không biết trước, tuy vậy việc phân tích và

thiết kế hệ thống ĐK cần đến một đánh giá định lượng về P ở dạng thích hợp

ví dụ dạng bị chặn của P (ví dụ: chuẩn |P|, ||P||, (),…) hoặc ở dạng tập

biến thiên của TSBĐ Để lập MHBĐ có 2 cách: Mô tả MH ĐT dưới dạng bất định có cấu trúc và không có cấu trúc

1.1.1.1 MHBĐ có cấu trúc

Ở bước nhận dạng ta xác định được cấu trúc của MH (bậc của tử số và mẫu số hàm truyền của ĐT), dùng MH tuyến tính có hệ số không biến thiên theo thời gian và thông số hóa độ bất định ta có được MH với TSBĐ, thông tin định lượng về sai lệch MH P được thể hiện ỏ tập biến thiên TSBĐ q trong MH ĐT Hàm truyền ĐT với TSBĐ có dạng:        

n

i P

i i

q là véc tơ thông số biến thiên độc lập trong tập Q: q R q Q L  (1.2)

Tập Q có thể có một số dạng (xem trong TL của M.Bozorg, P.Husek)

Trường hợp Q dạng hộp (box, hypercuble) được quan tâm nhiều trong hệ thống ĐKBV:

MH không có cấu trúc thường được mô tả dưới dạng sau:

Dạng cộng tính: P(s)=P 0 (s)+P a (s) (1.7) Dạng nhân tính: P(s)=P 0 (s)[1+P M (s)] (1.8)

P ( s ) (1.9)

ĐT có sai lệch P dạng (1.7), (1.8), (1.9) sai lệch P (P a , P M , P d ) chưa biết

cụ thể, thường được đánh giá qua hàm chặn (Bounded) với chuẩn thích hợp.Ví

1.1.1.3 Lợi thế và khó khăn khi sử dụng MHBĐ

a) Những lợi thế: Kể được sai lệch MH, sự thay đổi thông số hoặc cấu trúc của

ĐT, tác dụng của nhiễu, hiệu ứng phi tuyến Thành lập được các điều kiện ổn định và CL một cách đơn giản hơn so với dùng các loại MH khác như phi tuyến, ngẫu nhiên, mờ…

b) Những khó khăn: Khó khăn liên quan đến 2 việc là xác định MH (nhận dạng)

và xây dựng hệ ĐK:

Khó khăn trong việc xác định MHBĐ (nhận dạng ĐT) cho trường hợp MHBĐ

không cấu trúc ta phải xác định hàm chặn K(j) thuộc RH ∞, với MHBĐ có cấu trúc (MH có TSBĐ) ta phải xác định cấu trúc bất định và tập Q PP xác định

MH (nhận dạng ĐT) nằm ngoài phạm vi nghiên cứu của luận án

Khó khăn trong việc kiểm tra điều kiện ổn định và CL:

 Dùng MHBĐ trong BT phân tích và tổng hợp bộ ĐK gặp khó khăn lớn là phải xét mọi phần tử trong tập MHBĐ, đây là khó khăn bản chất (Khó khăn gây ra

do bản chất của MHBĐ) Đây là khó khăn buộc phải khắc phục khi giải các BT

ĐK Các PP hiện có thường chỉ xét được một số hữu hạn phần tử do đó không

đảm bảo được sự thỏa mãn chặt điều kiện ổn định và CL của hệ ĐK

 Luận án có mục tiêu khắc phục một phần khó khăn này cho hệ với MH tuyến tính có TSBĐ, tạo điều kiện thuận lợi hơn cho việc dùng MHBĐ để ĐK một số

ĐT thực

Quỹ đạo mong muốn của ĐT thường là quỹ đạo tối ưu, được thể hiện ở tín hiệu đặt Quỹ đạo tối ưu có thể được xác định bằng các PP ĐK tối ưu (Pontriagin, Bellman…) hoặc bằng PP chuyên gia Khi xác định quỹ đạo mong muốn thường chưa kể được tính ổn định Vì vậy người ta phải xây dựng hệ ĐK còn gọi là hệ điều chỉnh (Regulation System) để ổn định hóa quỹ đạo mong muốn này và kỳ vọng thực hiện thêm được một số chỉ tiêu CL khác, dẫn đến các nhiệm vụ dưới đây

1.1.2.1 Nhiệm vụ của hệ ĐKBV

NV1: Ổn định hóa quỹ đạo mong muốn

NV2: Thực hiện một số tiêu chí CL đặt ra: (CL2-1) Giảm ảnh hưởng của sai lệch MH, (CL2-2) Bám đầu vào tốt, (CL2-3) Giảm tác dụng của nhiễu, (CL2-4) Giảm tác dụng của sai số đo, (CL2-5) Quá trình quá độ tắt nhanh nhất, (CL2-6)

Độ quá điều chỉnh, thời gian điều chỉnh ngắn nhất, (CL2-7) Độ sai lệch xác lập nhỏ nhất

Ngoài ra còn phải kể đến một số tiêu chí CL khác như tính khả thực trong việc vận hành hệ thống Chưa có một PP thiết kế nào có thể đảm bảo tất cả chỉ tiêu CL mong muốn kể trên

1.1.2.2 Cấu trúc của hệ ĐKBV

Hệ ĐKBV SISO thường được xây dựng theo nguyên tắc phản hồi và thường dựa trên MH của ĐT theo cấu trúc kinh điển (Classic Control) hay cấu trúc ĐK theo MH nội (IMC: Internal Model Control)

Hình 1.5 và 1.6 là các sơ đồ cấu trúc hệ ĐK SISO kinh điển và hệ ĐK SISO

theo MH nội Trong đó: P là ký hiệu của ĐT thực, P là MH của ĐT, C hay R là

bộ ĐK

Hệ ĐKBV SISO cũng có thể biểu diễn ở dạng phương trình trạng thái với

bộ ĐK hồi tiếp trạng thái như (1.13): z A( q )z b( q )u

Hình 1.5: Cấu trúc hệ điều khiển

SISO kinh điển

~

-

1.2 Vấn đề ổn định bền vững

Ổn định là điều kiện cần để một hệ thống động vận hành Hệ thống được gọi là ổn định nếu đa thức đặc trưng ( , )s q của hệ là Hurwitz Hệ được gọi là

ổn định bền vững nếu nó ổn định với  q Q Tổng quan về các PP nghiên cứu

ổn định bền vững cho hệ SISO tuyến tính có TSBĐ trong các tài liệu của Nguyễn Thế Thắng, Phạm Văn Minh, M Bozorg, Petr Husek…Điều kiện ổn định bền vững thường được xét bằng các PP gián tiếp theo các tiêu chuẩn ổn định

Do bản chất của MH có TSBĐ tất cả các PP nghiên cứu ổn định bền vững đều phải xét điều kiện ổn định có được thỏa mãn với  q Q hay không? Đây là khó khăn về bản chất mà tất cả các PP xét ổn định bền vững hiện có đều phải khắc phục

Chương 2 cho một tổng quan ngắn gọn về ổn định bền vững và giới thiệu một PP kiểm tra ổn định BV đảm bảo khắc phục được khó khăn về bản chất của bài toán kiểm tra ổn định BV

1.3 Vấn đề thiết kế bộ ĐKBV cho đối tƣợng có TSBĐ

Nhiệm vụ thiết kế hệ ĐK cho ĐT có TSBĐ bao gồm xác định cấu trúc của hệ, của bộ ĐK và xác định tham số của bộ ĐK để hệ ĐK ổn định bền vững

và thỏa mãn một số CL Khi đã chọn được cấu trúc, nhiệm vụ thiết kế hệ ĐK chỉ còn việc xác định tham số của bộ ĐK

x c ,c , ,c ,d ,d , ,d là véc tơ tham số của bộ ĐK và là ẩn số của BT thiết

kế bộ ĐKBV Hệ ĐK SISO cũng có thể dùng phương trình trạng thái (1.13) với phản hồi đầu ra (hình 1.8) hoặc phản hồi trạng thái tĩnh 1 2 

T n

Hình 1.8: Sơ đồ cấu trúc tối giản hệ SISO dạng hàm truyền có phản hồi đầu ra

- Trường hợp ĐT được mô tả bằng MHBĐ không có cấu trúc: Độ bất định được

thể hiện ở hàm chặn K(j) dạng (1.10), (1.11) Các PP đánh giá ổn định và

Đối tƣợng điều khiển

( , )

P s q

Bộ điều khiển

( , )

C s x

e r

thiết kế bộ ĐK đều sử dụng hàm chặn, nên PP tần số, đặc biệt là PP H được

sử dụng rộng rãi

- Trường hợp ĐT với MHBĐ có cấu trúc, từ tập Q xác định hàm chặn K(j) là

một việc khó khăn nên việc sử dụng tiêu chuẩn dạng tần số kết hợp với PP Hcho việc thiết kế bộ ĐK là không hợp lý (Grimbele M., Th.E Djaferis)

Do bản chất của MHBĐ nên mọi PP thiết kế bộ ĐKBV đều gặp khó khăn bản chất Trường hợp TSBĐ thì phải xét với  q Q Đây là khó khăn thuộc về bản chất khi dùng MHBĐ mà mọi PP thiết kế bộ ĐK đều phải tìm cách khắc phục Chương 3 cho một tổng quan về xác định tham số bộ ĐKBV và giới thiệu một

PP tối ưu xác định tham số bộ ĐKBV đảm bảo thỏa mãn chặt ĐK ổn định và chất lượng

1.4 Kết luận chương 1

ĐK dựa vào MHBĐ làm giảm tác dụng của sai lệch MH ĐT có nhiều ý nghĩa trong thực tiễn Việc thiết kế bộ ĐKBV hay xác định tham số cho bộ ĐK khi hệ có MHĐT tuyến tính chứa TSBĐ phải thỏa mãn cả 2 yêu cầu là: ổn định bền vững và đạt được một số tiêu chí CL đặt ra với q Q

CHƯƠNG 2: XÁC ĐỊNH MỘT TRỊ CỰC TIỂU NON VÀ ỨNG DỤNG VÀO KIỂM TRA TÍNH ỔN ĐỊNH BỀN VỮNG HỆ TUYẾN TÍNH CÓ THÔNG SỐ BẤT ĐỊNH

2.1 Tổng quan về ổn định bền vững cho hệ tuyến tính có TSBĐ

2.1.1 Bài toán kiểm tra tính ổn định bền vững hệ tuyến tính có TSBĐ

Một hệ thống tuyến tính liên tục SISO với ĐT tuyến tính mô tả bởi hàm truyền ( , )P s q có chứa TSBĐ (hình 2.1), hoặc dạng phương trình trạng thái

Giả thiết: ( , ) ( , )

( , )

p p

N s

C s

D s

 (2.2) hàm truyền của hệ kín:

Xét tính ổn định BV của hệ kín là kiểm tra tính Hurwitz của (2.4)  q Q, nếu đúng thì hệ kín ổn định bền vững và đa thức đặc tính  ( , )s q được gọi là

Hurwitz chặt

Khi hệ mô tả dưới dạng phương trình trạng thái (1.13) thì hệ ĐK có thể ở

dạng phản hồi trạng thái R Hàm truyền của ĐT ĐK được xác định như sau:

( , ) ( )T ( ) ( )

P s q c q sI A q b q và đa thức đặc trưng sẽ là ( , )s q detsI A q ( )b q C s c( ) ( ) T Xét tính ổn định bền vững của hệ với phương trình trạng thái cũng có thể đưa về việc kiểm tra tính Hurwitz chặt của đa thức ( , )s q với q Q

của hệ tuyến tính chứa TSBĐ

Hiện đã có nhiều PP kiểm tra tính Hurwitz chặt của đa thức  ( , )s q ở (2.4), (2.7) Dựa vào cấu trúc của a q i( )trong (2.7) mà phân loại đa thức thành:

1 Đa thức khoảng (Interval polynominal) có các giá trị a q biến thiên độc lập i( )trong khoảng compact: a ia q i( )a i i, 0,1, ,n (2.8)

2 Đa thức có cấu trúc bất định tuyến tính (linear uncertainty): có hệ số ( )

i

a q phụ thuộc tuyến tính vào các TSBĐq j, j0,1,  ,L

3 Đa thức có cấu trúc bất định đa tuyến tính (multilinear uncertainty): có hệ số ( )

2.1.2.1 PP đưa về xét ổn định một số hữu hạn đa thức không chứa TSBĐ

PP dùng cho trường hợp đa thức khoảng, dùng tiêu chuẩn Kharitanov hay trường hợp cấu trúc tuyến tính dùng định lý cạnh dẫn tới xét một số hữu hạn đa thức không chứa TSBĐ q, nên xét được sự thỏa mãn chặtđiều kiện ổn định BV

Để kiểm tra ổn định bền vững của (s, q) với cấu trúc dạng multilinear, dạng đa thức polynomic, dạng phi tuyến người ta có thế dùng ĐK ổn định dạng đại số hay ĐK tần số (hình học)

2.2.2.2 PP tần số

Dựa vào việc vẽ họ đặc tính tần trong mặt phẳng phức (value set: VS) của

(j, q) với qQ và [0, ) theo nguyên tắc loại trừ điểm zero ta nhận ra

hệ có ổn định bền vững hay không như Barmish, Bozorg, Husek, Djaferis Tập

VS của (j, q) thường rất phức tạp, nên phải vễ gần đúng và thường tìm một

tập phủ bao lấy nó (over bound region), nhờ những kỹ thuật khác nhau

Trường hợp bất định dạng đa tuyến tính với Q dạng hộp nhờ mapping theorem ta có thể xây dựng một miền phủ lồi (convex hull) của (j, q) dựa vào

các đỉnh của Q, nhưng về nguyên tắc vẫn phải xét với [0, ) Dùng tập phủ

ta sẽ có một ĐK đủ của ổn định Cũng có thể vẽ VS của hàm truyền hệ hở

G0(j, q)=C(j, q).P(j, q) rồi dùng tiêu chuẩn Nyquyst ta có ĐK đủ của sự ổn định

PP tần số là PP hữu hiệu để đơn giản hoá cách xét ảnh hưởng của các thông số bất định, vì nó cho phép đơn giản hoá cách xét tác dụng của thông số bất định từ không gian thông số Q có L chiều về không gian 2 chiều (trong mặt phẳng phức) Cho phép ta dùng khái niệm ổn định trong miền D để có thể kể đến một số CL vào ĐK ổn định

Tuy vậy PP dùng VS có một số khó khăn sau: Bằng trực giác quan sát xem VS

có chứa điểm zero không rồi rút ra thông tin về ổn định bền vững của hệ Khó định nghĩa được một độ đo (số hoá) thông tin ổn định Độ đo này sẽ cần đến khi xác định tham số x của bộ điều khiển C(s, x) nhờ PP tối ưu hoá

Một khó khăn khác của PP dùng VS là trên thực tế khi vẽ VS ta phải rời rạc hoá (băm) tập Q và giá trị  và chỉ xét được một số hữu hạn qhQ và h[0,

) Như vậy có khả năng bỏ xót những điểm ở đó hệ không ổn định (xem phụ lục) và kết luận về ổn định của PP VS gây ra sai lầm Nếu dùng một PP phủ ta chỉ được một điều kiện đủ của ổn định

2.1.2.3 PP đại số

Là các PP dùng điều kiện ổn định bền vững có thể kiểm tra được bằng các PP đại số Các PP đại số được áp dụng cho đa thức đặc trưng hoặc phương trình trạng thái

1) Với cấu trúc a q i( ) phi tuyến: Đưa về đa thức khoảng, sau khi xác định được cực trị toàn thể: a , i a trên tập i Q, và coi a q i( ) biến thiên độc lập trong khoảng

 thoả mãn điều kiện ổn định, thu hẹp lớp controller của hệ

2) Dùng tiêu chuẩn Routh hoặc Hurwitz ta đưa điều kiện cần và đủ của ổn định về

việc xét tính dương chặt của hàm g q k( )0(2.11) Khi đa thức dạng polynomic

3) Ở dạng phương trình trạng thái có thể dùng tiêu chuẩn ổn định dạng Kronecker,

Lyapunov Matrix hoặc Bialtermat (Xem R.K Yedavalli 2014) ta đưa việc xét ổn

định về việc kiểm tra tính dương của 1 hàm ( )g q

4) Một số công trình dùng hàm Lyapunov (như của Figuroa J.L and J.A

Romagloni, RCL.F Oliveira, Svetoslav Savov, Ivan Popchev) để có điều kiện đủ

dạng đại số của ổn định tuỳ thuộc vào hàm Lyapunov của hệ

5) Kiểm tra ổn định BV của (2.7), dẫn đến xét tính dương chặt của (2.12) Galoff

J, Zettler, đưa ( )g q về tổ hợp convex của đa thức Berntein và rút ra một điều

kiện đủ cho tính dương của hàm ( )g q điều này làm thu hẹp lớp( , )s q thoả mãn

ĐK ổn định BV

2.2 PP tiệm cận kiểm tra tính dương chặt của hàm số chứa TSBĐ

Dùng một tiêu chuẩn đại số kiểm tra ổn định bền vững sẽ dẫn tới nhiệm vụ

kiểm tra tính dương chặt của một số hữu hạn hàm ( )

k

g q với  q Q Để đơn giản trong trình bày ta xét 1 hàm g q( )dạng đa thức (2.13) chứa TSBĐ (2.14):

Trong không gian Q ta chỉ có thể xét được hữu hạn điểm nên không đủ tin

cậy để kiểm tra tính dương chặt của hàm ( )g q , ví dụ PP của Wang I, Yu.S, Y

Kuroiwa, Yuwensheng Wanglong, Jiergen Ackermann

Có một hướng khác để xét tính dương của ( )g q thông qua việc là xác định

cực tiểu toàn thể M của ( )g q với q Q : min ( )

q Q



 (2.16) Tính dương của ( )g x được xét qua việc tính xem M có dương hay không

Các PP tiến hành trong không gian Q cho một trị gần đúng trội (upper

bound, over minimal estimated value): M0M

Dùng trị gần đúng trộiM không thể kiểm tra được tính dương chặt của 0

(2.13) (2.14) Vì không chắc tìm được M nên ta tìm một trị gần đúng non

(Lower bound, under estimated minimal value) M u: M uM (2.21) Hiện nay,

có một số PP cho việc xác định được một hoặc một dãy cực tiểu non M uN tiệm

cận với cực tiểu toàn thể M (hình 2.4): à lim



Hình 2.4: Biểu diễn tính tiệm cận của cực tiểu trội M 0N và cực tiểu non M uN

Nhóm PP chuyển không gian “Relaxation methods” cho lớp BT tối ưu hóa đa thức POP (polynomial optimization problem) cho ta một trị cực tiểu non (2.22), tổng quan về nhóm PP này trong các công trình của Deren Han, G Chesi Hiện nay, được chú ý nhiều là PP chuyển không gian ở qui hoạch nửa vô hạn SDP (semidefinite programming relaxation) của Lassere và Parrilo Về lý

thuyết sẽ cho ta nghiệm của POP dưới dạng một dãy M uN tiệm cận với cực tiểu toàn thể M

Dựa vào các công cụ toán học như: Probability measure and its moment; tuyến tính hóa đa thức, SDP, SOS (sum of square), LMI (linear matrix inequelity) PP SDP relaxation chuyển BT POP (2.13), (2.14), (2.16) là tối ưu hóa không lồi (non-convex optimization) về một dãy BT lồi (convex) dạng SDP

và có thể dùng LMI để tìm nghiệm của SDP PP cũng đã có một số phần mềm

để thực hiện như của Herion, JB Lassere, Johan Loefberg, J Heller 2016 Tuy vậy, PP chỉ ở giai đoạn phát triển ban đầu nên còn nhiều khó khăn cần phải khắc phục, nên hiện nay chưa tiện dùng cho các kỹ sư

Nhiệm vụ của luận án là xác định tham số bộ ĐKBV cho MH ĐT tuyến tính với cấu trúc bất định dạng polynomic và tập Q dạng hộp Nhiệm vụ trên dẫn đến việc kiểm tra tính dương chặt của ( )g q dạng polynomic (2.13) với Q (2.14), ta

phải có PP xác định trị gần đúng non dạng (2.21) hoặc (2.22) một cách đơn giản hơn để các kỹ sư dễ dàng sử dụng Dưới đây luận án sẽ trình bày một PP phủ

tuyến tính để xác định cực tiểu non tiệm cận M uN

M tức là ( )g q 0với  q Q, ta gọi đó là tính dương chặt của hàm ( )g q

Muốn vậy ta tìm cách chuyển (ánh xạ, relaxation) BT (2.23) từ không gian Q

sang không gian Y để xác định được một trị gần đúng non M uM (2.21), hoặc

một dãy cực tiểu non tiệm cận M uN (2.22)

2.2.1.1 Xác định một trị cực tiểu non bằng PP phủ tuyến tính

Để xác định được cực tiểu non M u ta cần các giả thiết sau:

1) Giả thiết 1 (GT2-1): Hàm g q( ) có dạng đa thức (2.13)

2) Giả thiết 2 (GT2-2): Tập Q có dạng hộp (2.14), q q j, jlà số thực không âm 3) Giả thiết 3 (GT2-3): m L m, , ij là những số tự nhiên, nguyên dương hữu hạn Dùng phép đổi biến số:

Phép đổi biến số (2.28) chuyển một điểm q hQ thành một điểm y hY, khi q h

quét và điền đầy tập Q thì ảnh y của nó sẽ tạo thành tập Y h  Y (tức là nằm trù

các biến y q i phụ thuộc vào biến q (2.28) Trị số hàm F( y) và ràng buộc

Ycũng được xác định qua biến q Hàm g q( )và F( y) (2.29) là các hàm liên

tục, tập Q (2.14) và Y (2.32) là tập compact, theo định lý Weierstrass BT (2.23)

và BT (2.31) phải có nghiệm và tồn tại cực tiểu toàn thể M Trị M xác định theo

BT (2.23) trong không gian Q và cũng có thể xác định theo BT (2.31) trong không gian Y: Q min ( ) min ( ) Y

MM Nhưng tập Y ở dạng thông số (2.32) nên rất khó biết tính convex của

Y, khi không biết Y là tập convex thì BT (2.31) không chắc là BT convex, nên ta

có thể dùng PP phủ tuyến tính để tìm một trị cực tiểu non M u của M Y