mô hình hệ thống phục vụ công cộng

Phần nội dung gồm 3 chương: - Chương 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT - Chương 2: BÀI TOÁN MÔ HÌNH HỆ THỐNG PHỤC VỤ CÔNG CỘNG - Chương 3: ỨNG DỤNG PHẦN MỀM M AT LAB TRONG CÁC BÀI TOÁN MÔ HÌNH HỆ THỐNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

BỘ MÔN TOÁN

- -

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

MÔ HÌNH HỆ THỐNG PHỤC VỤ CÔNG CỘNG

CẦN THƠ - 12/2013

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

Th.S NGUYỄN THỊ HỒNG DÂN

(BỘ MÔN TOÁN – KHOA KHTN)

SINH VIÊN THỰC HIỆN HUỲNH THỊ LY

MSSV: 1100176 NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG

LỜI CẢM ƠN

- -

Trước tiên, em xin gửi lòng biết ơn sâu sắc đến cô Nguyễn Thị Hồng Dân đã tận tình hướng dẫn em hoàn thành tốt luận văn này Em xin cảm ơn cô

đã quan tâm chỉ dạy, giúp đỡ em trong suốt quá trình làm luận văn

Em xin gửi lời cảm ơn đến thầy cố vấn Trần Phước Lộc và các thầy, cô Trường Đại Học Cần Thơ đặc biệt là các thầy, cô Khoa Khoa Học Tự Nhiên, những người đã dạy dỗ, hỗ trợ em trong suốt 4 năm học đại học

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các Quý Thầy cô trong Hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý báo cho luận văn

Em xin gửi lời cảm ơn đến các bạn em, những người luôn sát cánh bên

em, giúp đỡ em trong những lúc khó khăn và đã gắn bó với em trong những tháng ngày học đại học

Em xin gửi lòng biết ơn sâu sắc đến cha mẹ, cha mẹ luôn tạo mọi điều kiện tốt nhất cho em học tập ở trường, luôn bên cạnh động viên em trong những lúc khó khăn nhất

Cuối cùng, một lần nữa em xin gửi lòng biết ơn sâu sắc đến cha mẹ, thầy cô và bạn bè của em, đã giúp em tiếp cận nguồn tri thức và có thể hoàn thành tốt chương trình Đại Học

Mặc dù đã cố gắng hết sức, song luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong nhận được sự thông cảm và chỉ bảo tận tình của Quý Thầy

cô và các bạn

Cần Thơ, tháng 12 năm 2013

HUỲNH THỊ LY DANH MỤC CÁC BẢNG

Trang

Bảng I.1 Tính toán giá trị các tần số lý thuyết 9

Bảng I.2 Tính toán mô phỏng tìm số nhu cầu được phục vụ 25

Bảng I.3 Tính toán giá trị các tần số lý thuyết 42

DANH MỤC CÁC HÌNH Trang Hình 1.1 Cấu trúc hệ thống phục vụ công cộng .3

Hình 1.2 Mô phỏng tổng quát của lý thuyết xếp hàng 10

Hình 1.3 Hệ thống hàng chờ 14

Hình 1.4 Các dạng hệ thống hàng chờ 15

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN i

DANH MỤC CÁC BẢNG ii

DANH MỤC CÁC HÌNH ii

MỤC LỤC iii

LỜI NÓI ĐẦU .1

PHẦN MỞ ĐẦU I Lý do chọn đề tài 2

II Mục đích nghiên cứu .2

III Đối tựợng và phạm vi nghiên cứu 2

IV Phương pháp nghiên cứu .2

PHẦN NỘI DUNG Chương 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT .3

1.1 MÔ HÌNH HỆ THỐNG PHỤC VỤ CÔNG CỘNG .3

1.1.1 Hệ thống phục vụ và các yếu tố .3

1.1.2 Tính chất của một dòng yêu cầu Poisson và Poisson dừng .4

1.1.3 Kiểm định giả thiết về phân phối Poisson – Tiêu chuẩn khi bình

phương 8

1.2 QUÁ TRÌNH XẾP HÀNG .10

1.2.1 Khái niệm quá trình xếp hàng .10

1.2.2 Một số đặc trưng của hệ thống xếp hàng .11

1.2.3 Mô hình hàng chờ .12

1.2.4 Các yếu tố cơ bản của hệ thống hàng chờ 14

1.2.5 Phân tích hàng chờ 16

1.2.6 Ký hiệu Kendall 17

1.2.7 Các chỉ tiêu đánh giá 18

1.2.8 Các chỉ số cần khảo sát .20

1.2.9 Tính toán các chỉ số .21

1.2.10 Một số điểm hạn chế của các mô hình hàng chờ 22

Chương 2 BÀI TOÁN MÔ HÌNH HỆ THỐNG PHỤC VỤ CÔNG CỘNG .27

2.1 TỔNG QUAN VỀ HỆ THỐNG PHỤC VỤ CÔNG CỘNG 27

2.1.1 Bài toán lý thuyết phục vụ công cộng .27

2.1.2 Trạng thái hệ thống và quá trình chuyển trạng thái 28

2.1.3 Sơ đồ trạng thái và hệ phương trình trạng thái 39

2.1.4 Quá trình hủy và sinh – Lời giải của hệ phương trình trạng thái 31

2.1.5 Phân loại hệ thống .33

2.2 MỘT SỐ HỆ THỐNG PHỤC VỤ CÔNG CỘNG POISSON DỪNG 33 2.2.1 Hệ thống phục vụ công cộng từ chối cổ điển (hệ thống Eclang) 33

2.2.2 Hệ thống phục vụ công cộng chờ thuần nhất .41

2.2.3 Hệ thống chờ với độ dài hàng chờ hạn chế và thời gian chờ không hạn chế .49

Chương 3 ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MATLAB TRONG BÀI TOÁN MÔ

HÌNH HỆ THỐNG PHỤC VỤ CÔNG CỘNG 58

3.1 CÂU LỆNH MATLLAB CHO VÍ DỤ 1.2 .58

3.2 CHƯƠNG TRÌNH MATLAB CHO HỆ THỐNG ECLANG .60

3.2.1 Chương trình Matlab 60

3.2.2 Ví dụ 61

3.3 CHƯƠNG TRÌNH MATLAB CHO HỆ THỐNG PHỤC VỤ CÔNG

CỘNG CHỜ THUẦN NHẤT .65

3.3.1 Chương trình Matlab 65

3.3.2 Ví dụ 66

3.4 CHƯƠNG TRÌNH MATLAB CHO HỆ THỐNG CHỜ VỚI ĐỘ DÀI HÀNG CHỜ HẠN CHẾ VÀ THỜI GIAN CHỜ KHÔNG HẠN CHẾ 68

3.4.1 Chương trình Matlab 68

3.4.2 Ví dụ 69

PHẦN KẾT LUẬN 72

TÀI LIỆU THAM KHẢO 73

LỜI NÓI ĐẦU

Mô hình hóa là một trong các công cụ phân tích và điều khiển đã và đang được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực kinh tế - xã hội khác nhau Trong thực tế, nhiều khách hàng phải xếp thành hàng để đợi mua vé, các cuộc gọi điện thoại phải đợi để được liên lạc tại các tổng đài điện thoại và các tác

vụ có thể phải đợi để nhận được điều khiển của CPU trong máy tính Trong một mạng máy tính, nhiều người cùng sẽ chia tài nguyên nhưng chỉ có thể sử dụng tài nguyên cho mỗi công việc tại mỗi thời điểm, vì thế các công việc khác phải xếp hàng đợi Tất cả các ví dụ trên đã và đang được nghiên cứu nhờ

sử dụng một lý thuyết toán học có tên là Mô hình hệ thống phục vụ công cộng

Mô hình hệ thống phục vụ công cộng có nguồn gốc từ đầu thế kỷ 20 với các nghiên cứu khởi đầu của nhà toán học người Đan Mạch A.K Erlang trên các mạng điện thoại

Với sự trợ giúp của phần mềm Matlab không chỉ làm nhẹ các tính toán

mà còn trang bị cách tiếp cận lời giải của một số lớp bài toán nhờ máy tính điện tử, bước đầu làm cho tin học không chỉ là công cụ làm việc mà còn có thể

sử dụng như một công cụ tư duy

Trong khuôn khổ cho phép, luận văn gồm có 3 phần: Phần mở đầu , phần nội dung và phần kết thúc

Phần nội dung gồm 3 chương:

- Chương 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

- Chương 2: BÀI TOÁN MÔ HÌNH HỆ THỐNG PHỤC VỤ CÔNG CỘNG

- Chương 3: ỨNG DỤNG PHẦN MỀM M AT LAB TRONG CÁC

BÀI TOÁN MÔ HÌNH HỆ THỐNG PHỤC CÔNG CỘNG Trong quá trình nghiên cứu thực hiện, đề tài đã sử dụng phương pháp phân tích tổng hợp tài liệu, đồng thời kết hợp với nguồn thông tin được sưu tầm từ sách báo và các website có liên quan

PHẦN MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài

Ngày nay mô hình hệ thống phục vụ công cộng đã được nghiên cứu và ứng dụng rộng rãi trên thế giới trong nhiều lĩnh vực nghành nghề khác nhau như bưu chính viễn thông, kiểm soát lưu lượng giao thông, bán vé và trong các

hệ thống phục vụ khác… Trong nhiều hệ thống phục vụ, các khách hàng phải dùng chung tài nguyên, phải chờ để được phục vụ và đôi khi bị từ chối phục

vụ Mô hình hệ thống phục vụ công cộng xác định và tìm các phưong án tối ưu

để hệ thống phục vụ tốt nhất

Ngoài ra mô hình hệ thống phục vụ công cộng còn là cơ sở toán học để nghiên cứu và ứng dụng trong nhiều bài toán như đầu tư, kiểm kê, rủi ro của bảo hiểm, thị trường chứng khoán…Với mục đích phục vụ cho công tác kế hoạch hóa phát triển kinh tế và kinh doanh thì nhu cầu hệ thống phục vụ công cộng ngày càng trở nên cấp thiết

Vì vậy, em đã chọn đề tài “ Mô hình hệ thống phục vụ công cộng” do đề tài này cung cấp những thông tin hữu ích cho chúng ta cách nhìn một hệ thống ngẫu nhiên

II Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu hệ thống phục vụ trong điều kiện tác động của yếu tố ngẫu nhiên đưa ra phân tích đánh hiệu quả

Tiếp cận các hệ thống ngẫu nhiên, đánh giá khác biệt của nó với hệ thống liên tục

III Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Luật phân phối Poisson

- Hệ thống phục vụ công cộng cổ điển

- Hệ thống phục vụ công cộng chờ thuần nhất

- Hệ thống chờ phục vụ

IV Phương pháp nghiên cứu

- Đọc tài liệu tham khảo

Chương 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1.1 MÔ HÌNH HỆ THỐNG PHỤC VỤ CÔNG CỘNG

1.1.1 Hệ thống phục vụ công cộng và các yếu tố

Cấu trúc một hệ thống phục vụ công cộng được mô tả sơ bộ như sau:

Hình 1.1 Cấu trúc hệ thống phục vụ công cộng

a Dòng yêu cầu đến hệ thống (dòng yêu cầu)

Dòng các đối tượng hướng đến hệ thống nhằm thỏa mãn một loại nhu cầu mà hệ thống phục vụ có khả năng đáp ứng gọi là dòng yêu cầu

Đặc trưng quan trọng của dòng yêu cầu là quy luật về sự xuất hiện các yêu cầu theo thời gian Một trong những dòng yêu cầu phổ biến là dòng tuân theo qui luật Poisson và đặc biệt là dòng tuân theo qui luật Poisson dừng

Một trong những qui luật phổ biến là qui luật chỉ số (hay phân phối mũ), với hàm mật độ: f(t)et

Yêu cầu

***** [***….**]

hàng chờ

Các kênh phục vụ và chế độ PV

Dòng phục vụ

*****

Yêu cầu không thỏa mãn

c Dòng phục vụ

Là dòng các đối tượng đã được phục vụ đi ra khỏi hệ thống

Qui luật phân phối xác suất của dòng phục vụ tùy thuộc qui luật phân phối của thời gian phục vụ của các kênh Nếu thời gian phục vụ tuân theo qui luật chỉ số thì dòng phục vụ là dòng Poisson và ngược lại

d Hàng chờ

Đối với một số hệ thống, tùy thuộc chế độ tiếp nhận yêu cầu và tính chất của các yêu cầu, có thể xuất hiện hàng chờ trước các kênh phục vụ, đó là dòng các yêu cầu đến hệ thống nhưng chưa được phục vụ ngay, phải xếp hàng chờ theo một nguyên tắc nào đó, ở đây ta chỉ xét hàng chờ đơn giản, không có một

sự phân biệt, ưu tiên nào

e Dòng các yêu cầu không được phục vụ

Đây là bộ phân yêu cầu đến hệ thống nhưng không được nhận phục vụ

1.1.2 Tính chất của một dòng yêu cầu Poisson và Poisson dừng

b Tính không hậu quả

Một dòng yêu cầu có tính không hậu quả nếu xác suất xuất hiện x yêu cầu trong khoảng thời gian t đến t t không phụ thuộc vào việc trước thời

điểm t đã có bao nhiêu yêu cầu xuất hiện Như vậy biến cố có x yêu cầu xuất hiện trong khoảng thời gian t đến t t và biến cố có x yêu cầu xuất hiện trong khoảng thời gian t đến t t với điều kiện trước đó đã có k yêu cầu xuất hiện độc lập với nhau với mọi k, tức là:

x

x t t P

P (, ) (t, t/k yêu cầu đã xuất hiện) với mọi k (1.2) Định lý 1.1: Dòng yêu cầu với hai tính chất không hậu quả và đơn nhất là dòng Poisson, có xác suất xuất hiện x yêu cầu trong khoảng thời gian t đến t

t  được tính theo công thức Poisson như sau:

!

),(),(

) , (

x

e t t a t t P

t t a x x

trong đó a(t,t) là số trung bình yêu cầu xuất hiện từ t đến t t.

Chứng minh: Xét dòng biến cố A theo thời gian

Gọi: P n (t)là xác suất A đã xuất hiện n lần tính đến thời điểm t

)

,

(t t

P k  là xác suất A xuất hiện k lần từ trong khoảng thời gian (t,tt)

Như vậy xác suất A xuất hiện n lần tính đến t t là: P n(tt)

Với tính đơn nhất của dòng biến cố ta có thể viết:

)]

,/(

)[(

)()]

1,/(

)[(

)()

(t t P 1 t P1 t t t n P t P0 t t t n

P n   n    n  (i) Trong đó: P i[(tt)/(t,x)] là xác suất A xuất hiện i lần trong khoảng (t,tt)

với điều kiện tính đến t, A đã xuất hiện x lần

Do tính không hậu quả của dòng biến cố ta có: P i[(tt)/(t,x)]P i(tt)

Tức là (i) trở thành:

)()()()()

(t t P 1 t P1 t t P t P0 t t

P n   n   n  (ii) Với giả thiết cường độ xuất hiện A là (t)ta có:

P1(tt)(t)t

t t t

t

P0(  )1( )Thay vào (ii) ta có: P n(tt)P n1(t)(t)tP n(t)(1(t)t) (iii)

Từ (iii) ta có:

Với n=0 0( ) 0( ) P0(t) (t)

t

t P t t P

n n

()()

)

k

e t a t P

t a k k



 (viii)

Dễ dàng chứng minh công thức (viii) cho k bất kỳ

Thật vậy: (viii) đúng với k=0 và 1

Giả sử (viii) đúng với k=n-1 ta sẽ chứng minh (viii) đúng với k=n

Với k=n ta có:

)]

([)

(

)

n

e t a t

P

t a n n





!

)()()

()]

([)

(

) )

1

n

e t a dt

t da e

dt

t da t

a n dt

t

dP

t a t

a n

1(

)()]

([)

(

) )

1

n

e t a dt

t da n

e dt

t da t

a dt

t

dP

t a n t

a n

Khi thay t bằng t t ta có:

!

)]

,([),(

) , (

k

e t t a t t P

t t a k k

dt t t

Đây chính là hàm phân phối xác suất của qui luật chỉ số

c Tính dừng

Dòng yêu cầu có tính dừng nếu như xác suất xuất hiện x yêu cầu trong

khoảng thời gian t không phụ thuộc vào điểm đặt của khoảng thời gian đó Tức là:P x(t,t)P x(t) với mọi t

Dòng Poisson có tính chất dừng được gọi là dòng Poisson dừng

Nói cách khác mật độ dòng yêu cầu không đổi: a(t)tvà ta có:

!

)()(

x

e t t

P

t x x

Nếu chọn t 1 ta có công thức của qui luật Poisson quen thuộc:

!

x

e P

x x



 

 ; x=0,1,2,3… (1.7) 1.1.3 Kiểm định giả thiết về phân phối Poisson – Tiêu chuẩn khi bình phương Như trên ta đã biết các tính chất cơ bản để xác định qui luật của các dòng yêu cầu Tuy nhiên, thực tế hai tính chất nói trên và kể cả tính dừng của dòng biến cố chỉ được xác định qua mô hình thống kê Nói cách khác là chúng

ta không có một dòng Poisson lý thuyết mà hầu như chỉ có các dòng yêu cầu gần Poisson Với các bài toán thực tế, cần kiểm định sự phù hợp của các giả thiết về phân phối của chúng, ta có thể sử dụng thống kê2 Để kiểm định giả thiết dòng yêu cầu phân phối Poisson ta thực hiện

- Chia thời gian thành các đơn vị nhỏ và tiến hành quan sát sự xuất hiện các yêu cầu trong các khoảng thời gian đó Ta nhận được bộ số liệu bao gồm

số yêu cầu xuất hiện trong một đơn vị thời gian: x i và số khoảng thời gian

tương ứng: n i Nếu các khoảng thời gian có số yêu cầu tương ứng nhỏ hơn 5 ta ghép các khoảng đó để có n i 5, giá trị đại diện là giá trị trung bình

n n

1 2 '

2 '

i i n

x n

Với mức ý nghĩa   0 05 kiểm định số khách đến cửa hàng phân phối

i i n

x n

- Chọn một mức ý nghĩa ; nếu giá trị thống kê qs2 2(  ;n); trong đó

i i n

x n

+ Bảng tính các tần số lý thuyết n  i nP i

Bảng I.1 Tính toán giá trị các tần số lý thuyết

Số yêu cầu

i

x

Tần số quan sát n i x i

lý thuyết n i 2

2

) (

i

i i

n

n n

19.9722 21.9696 12.0834

5.9742

0.002648 0.00219972 0.029728

0.00002

+ Giá trị quan sát ( ) 0.03459

1 2 '

2 ' 2

n

n n

+ Giá trị lý thuyết 2(  ;n) 2( 0 05 ; 4 ) 11,0705 (với n  k 2)

+ qs2 2(  ;n) với mức ý nghĩa   0 05

Vậy giả thiết dòng yêu cầu Poisson không bị bác bỏ Hay có thể xem là dòng khách đến cửa hàng phân phối Poisson với trung bình  1 1

1.2 QUÁ TRÌNH XẾP HÀNG

1.2.1 Khái niệm quá trình xếp hàng

Mô hình tổng quát của lý thuyết xếp hàng là khách hàng đến ở một thời điểm ngẫu nhiên nào đó và yêu cầu được phục vụ theo một loại nào đó Giả thiết khoảng thời gian đến của khách hàng và thời gian phục vụ có thể ngẫu nhiên

Hình 1.2 Mô hình tổng quát của lý thuyết xếp hàng

Đặt t n là khoảng thời gian giữa hai lần đến của khách hàng thứ n và n+1

Ta giả định rằng tất cả các t n( n 1) là độc lập và có cùng phân bố Vì vậy việc đến của các khách hàng tạo thành một hàng kế tiếp nhau với tốc độ

đến là

)(

1

1

t E



 Ta gọi quá trình t n, n 1,2,  là quá trình đến Khách hàng đến hệ thống yêu cầu các server của hệ thống phục vụ Ta giả sử rằng khách

hàng thứ n cần một thời gian phục vụ là ( n 1), tất cả các s n độc lập và có cùng phân bố Quá trình t n; n 1,2,  được gọi là quá trình phục vụ Ta cũng giả thiết rằng các thời gian đến trung gian độc lập với thời gian phục vụ

Quá trình xếp hàng được phân loại dựa vào các tiêu chí sau:

+ Phân bố của quá trình đến (input process) l q tt0

+ Phân bố của thời gian phục vụ (service distribution) s n; n 1,2, 

+ Nguyên tắc phục vụ: Các khách hàng đến được sắp xếp vào hàng đợi đến lượt được phục vụ Để đơn giản ta giả thiết chỉ có một hàng Tuy nhiên trong nhiều trường hợp có thể mở rộng cho nhiều hàng cùng hoạt động song song Nếu độ dài hàng có đặt ngưỡng thì các đơn vị đến hàng khi hàng đầy vượt ngưỡng sẽ bị loại các khách hàng được chọn để phục vụ theo nguyên tắc

“đến trước phục vụ trước” (FIFO), nghĩa là phục vụ cho khách hàng nào đứng đầu hàng

+ Cơ cấu phục vụ: Một phương tiện phục vụ bao gồm một hay nhiều Server Các server có thể kết nối thành chuỗi vì thế mỗi yêu cầu phục vụ được phục vụ theo nhiều cách hoặc lần lượt song song

1.2.2 Một số đặc trưng của hệ thống xếp hàng

Bất kỳ một hệ thống xếp hàng nào cũng được mô tả bởi các đặc trưng sau:

o Quá trình đến: Nếu các khách hàng đến hàng đợi vào các thời điểm t1,

t2, t3,…, t j thì các biến số ngẫu nhiên P j =t j - t j-1 được gọi là các thời điểm giữa

các lần đến Các thời điểm này thường được giả thiết là các biến ngẫu nhiên độc lập và được phân bố đồng nhất Các quá trình đến thông dụng nhất là: + M=quá trình mũ (là quá trình Markov hay quá trình không có bộ nhớ)

+ Er (Erlang_r)= là quá trình Erlang bậc r: trung tâm dịch vụ ở đây được biểu diễn bởi một dãy có r giai đoạn trễ, mỗi giai đoạn có cùng thời gian

dịch vụ trung bình và có phân phối mũ Không có các hàng đợi tại bất cứ một giai đoạn phục vụ nào vì yêu cầu tiếp theo sẽ không được phục vụ nếu như

yêu cầu trước đó chưa hoàn thành dịch vụ ở tất cả r_giai đoạn

+ Hr (hyperexponential)= quá trình siêu số mũ bậc r: mỗi giai đoạn trễ trong mô hình Erlang_r có các thời gian dịch vụ khác nhau với r giai đoạn

phục vụ được thực hiện song song mà không phải là nối tiếp tuy nhiên nó cung cấp chỉ một dịch vụ tại một thời điểm Phân phối này có độ phân tán (phương sai) lớn hơn phân phối mũ

+ D (deterministic) = quá trình tất định: khoảng thời gian giữa hai khách hàng đến hay rời liên tiếp là bằng nhau

+ G (general) = quá trình chung: các khoảng thời gian đến hay rời không được đặc trưng bởi bất kỳ một phân phối nào bởi vì quá trình đến hay rời là một quá trình hoàn toàn tùy ý

o Quá trình phục vụ: thời gian mà mỗi công việc tiêu tốn cần thiết tại server gọi là thời gian phục vụ (server time) Các thời gian phục vụ thường được giả thiết là các biến số ngẫu nhiên Các quá trình phục vụ thông dụng nhất cũng giống như thời gian đến

o Số lượng các bộ server: số các server phục vụ cho xếp hàng Dung lượng bộ đệm hay dung lượng lưu trữ tại hàng đợi

o Quy mô mật độ: tổng số các yêu cầu hiện đang có mặt tại hàng đợi Quy mô mật độ luôn là hữu hạn trong hệ thống thực Tuy nhiên, phân tích hệ thống với quy mô mật độ lớn sẽ dễ dàng hơn nếu chúng ta giả thiết rằng quy

cầu và do đó dẫn đến kết quả là nhiều yêu cầu phải chờ để được phục vụ Ngược lại, trong một số tình huống khác, khả năng phục vụ của hệ thống vượt quá số yêu cầu cần được phục vụ, với kết quả là hệ thống không sử dụng hết phương tiện phục vụ

Người quản trị hệ thống phải xác định cho được những chi phí vô ích Những chi phí vô ích này tạo thành tính không hiệu quả của hệ thống Có hai dạng chi phí vô ích:

o Chi phí của khách hàng phải xếp hàng chờ trong hệ thống trước khi được phục vụ Chi phí này có thể hiểu được một cách tương đương là trong

cùng một khoảng thời gian quản lý T, nếu khách hàng chờ lâu thì lượng khách hàng xếp hàng chờ tới trong khoảng thời gian T giảm

o Chi phí cho các trạm phục vụ khách hàng nhưng lại không có khách

hàng Như vậy trong khoảng thời gian quản lý T, tỷ lệ thời gian phục vụ khách hàng tạo thành hiệu suất U của một trạm phục vụ Hiệu suất càng gần 1 thì chi

phí vô ích càng nhỏ và ngược lại, nếu hiệu suất gần bằng 0 thì chi phí vô ích càng lớn

Đây là hai loại chi phí ngược nhau: nếu giảm chi phí vô ích từ phía khách hàng tức là giảm thời gian chờ của khách hàng thì phải tăng số trạm phục vụ; và như vậy làm tăng chi phí vô ích từ phía phục vụ Ngược lại nếu muốn giảm chi phí vô ích từ phía phục vụ thì phải giảm số trạm phục vụ nhưng điều này lại làm tăng thời gian xếp hàng chờ của khách hàng Rõ ràng muốn tăng tính hiệu quả hoạt động của hệ thống thì cần phải cân đối tổng thể

từ hai loại chi phí này

Vì vậy bài toán đặt ra là:

+ Phân tích bản chất của quá trình diễn ra trong hệ thống xếp hàng chờ và thiết lập các mối liên hệ về lượng giữa các đặc trưng của các quá trình ấy Điều đó có nghĩa là cần thiết lập hay lựa chọn một mô hình xếp hàng chờ phản ánh được bản chất của hệ thống

+ Trên cơ sở các mối liên hệ đã được xây dựng và các số liệu thu được từ

hệ thống, cần tính toán, phân tích và đưa ra các quyết định nhằm tìm ra các giá

trị thích hợp cho các tham số điều khiển / thiết kế của hệ thống để thiết kế hay điều khiển các hoạt động của hệ thống hoạt động một cách hiệu quả hơn 1.2.4 Các yếu tố cơ bản của hệ thống hàng chờ

Hệ thống hàng chờ tổng quát được minh họa như trên hình sau

Hệ thống hàng chờ có một số dạng bố trí vật lí (physical layout) như

minh họa trên hình …

Single Channel – single server (một kênh phục vụ, một loại dịch vụ)

Single Channel – Multi Server (một kênh phục vụ, nhiều loại dịch vụ)

Hình 1.4 Các dạng hệ thống hàng chờ

Trên hình 1.3, các kênh phục vụ được hiểu là những thiết bị kĩ thuật hoặc con người hoặc những tổ hợp các thiết bị kĩ thuật và con người được tổ chức quản lí một cách thích hợp nhằm phục vụ các yêu cầu / các tín hiệu đến

hệ thống Chẳng hạn, ở các trạm điện thoại tự động, kênh phục vụ là các đường dây liên lạc cùng các thiết bị kĩ thuật khác phục vụ cho việc đàm thoại

b Nguyên tắc phục vụ

Nguyên tắc phục vụ của hệ thống là cách thức nhận các yêu cầu vào kênh phục vụ Nguyên tắc phục vụ cho biết trường hợp nào thì yêu cầu được nhận vào phục vụ và cách thức phân bố các yêu cầu vào các kênh như thế nào Đồng thời nguyên tắc phục vụ cũng cho biết trong trường hợp nào yêu cầu bị

từ chối hoặc phải chờ và giới hạn của thời gian chờ

Một số nguyên tắc phục vụ thường được áp dụng trong các hệ thống

hàng chờ là FIFO (first in first out), LIFO (Last in first out), FCFS (First come first serve), có ưu tiên , không ưu tiên,…

c Các phân phối xác suất của các dòng tín hiệu, dòng phục vụ

Số tín hiệu đến trong một khoảng thời gian cũng như thời gian phục vụ từng tín hiệu nói chung là những biến ngẫu nhiên, và do đó, chúng tuân theo các quy luật phân phối xác suất Các quy luật phân phối xác suất này được thiết lập căn cứ số liệu thực nghiệm thu thập từ các quan sát, thí ngiệm, hay từ

cơ sở dữ liệu sẵn có

Đối với dòng tín hiệu đầu vào, thông thường chúng ta giả sử rằng số tín hiệu đến trong vòng một khoảng thời gian nào đó được ấn định trước (1 phút,

3 phút, 5 phút, 30 phút,…) tuân theo luật phân phối PoissonP() Ở đây, tham

số  đặc trưng cho tín hiệu đến (trung bình) trong khoảng thời gian trên Ví

dụ, số khách vào siêu thị (trung bình) là 100 người trong 1 giờ Có nghĩa là, số

khách vào siêu thị là biến ngẫu nhiên X có phân phối Poisson với  100 Hoặc, với số cuộc gọi (trung bình) đến tổng đài trong vòng 1 phút

o Cả hai phương pháp trên

Phương pháp để giải mô hình hàng chờ gồm các bước sau:

Bước 1: Phân tích hệ thống, chủ yếu là phân tích bản chất của dòng yêu cầu /

tín hiệu đến và các trạng thái của hệ thống

Bước 2: Thiết lập hệ phương trình trạng thái cho các xác suất trạng thái (xác

suất để hệ thống ở một trạng thái nào đó tại thời điểm t)

Bước 3: Giải hệ phương trình để tìm các xác suất trạng thái Từ đó thiết lập

các mối quan hệ giữa các chỉ tiêu cần phân tích

Bước 4: Tính toán phân tích các chỉ tiêu, trên cơ sở đó đưa ra các nhận xét và

các quyết định

Phương pháp giải tích thường sử dụng các giả thiết rất chặt chẽ của toán học về các đặc trưng của hệ thống, vì vậy nó có một số hạn chế nhất định khi giải các bài toán thực tế

Trong khi đó, phương pháp mô phỏng / mô phỏng ngẫu nhiên để giải

mô hình hàng chờ được áp dụng cho các bài toán dịch vụ đám đông không giải được bằng công cụ giải tích, nhất là những bài toán liên quan đến hệ thống lớn, bất ổn định, hàm chứa nhiều yếu tố ngẫu nhiên, không tuân theo các giả thiết quá chặt chẽ của Toán học Trong nhiều trường hợp phương pháp mô phỏng cho ta tiết kiệm được thời gian và chi phí nghiên cứu Tuy phương pháp

mô phỏng chỉ tạo ra các phương án đủ tốt để đánh giá hoạt động của hệ thống chứ không đưa ra được kĩ thuật tìm lời giải tốt nhất, nó tỏ ra rất thành công khi giải quyết nhiều bài toán hàng đợi nảy sinh từ thực tiễn

Các bước cần tiến hành khi áp dụng phương pháp mô phỏng bao gồm:

Bước 1: Xác định bài toán hay hệ thống hàng đợi cần mô phỏng và mô hình

mô phỏng

Bước 2: Đo và thu thập số liệu cần thiết để khảo sát thống kê các số đặc trưng

/ các yếu tố cơ bản của mô hình

Bước 3: Chạy mô phỏng kiểm chứng (test simulation) mô hình và so sánh kết

quả kiểm chứng với các kết quả đã biết được trong thực tế Phân tích kết quả chạy mô phỏng kiểm chứng, nếu cần thì phải sửa lại phương án đã được đánh giá qua chạy mô phỏng

Bước 4: Chạy mô phỏng kiểm chứng phương án cuối cùng và kiểm tra tính

đúng đắn của mọi kết luận về hệ thống thực tế được rút ra sau khi chạy mô phỏng Triển khai hoạt động của hệ thống hàng đợi dựa trên phương án tìm được

Từ những phân tích trên đây có thể thấy Lí thuyết xếp hàng còn gọi là

Lí thuyết hệ phục vụ công cộng hay Lí thuyết dịch vụ đám đông là lĩnh vực quan trọng của Toán ứng dụng /Vận trù học Nhiều bài toán thực tế trong các lĩnh vực hệ thống dịch vụ, kĩ thuật,… đã được giải quyết thành công nhờ áp dụng phương pháp mô phỏng mô hình hàng đợi

1.2.6 Ký hiệu Kendall

Kendall đã đưa ra 6 tham số để phân biệt hệ thống này với hệ thống

khác: A/B/s/k/m/q Vị trí của các tham số là tầm quan trọng của tham số ảnh

hưởng tới hệ thống

Vị trí số 1: tham số A đặc trưng cho phân phối khách hàng đi tới hệ thống

Vị trí số 2: tham số B đại diện cho phân phối của thời gian phục vụ khách hàng

Vị trí số 3: tham số s là các trạm phục vụ khách hàng

Vị trí số 4: tham số k giới hạn sức chứa của hệ thống đối với số khách hàng

phải đợi

Vị trí số 5: tham số m mô tả lực lượng của quần thể nơi mà khách hàng phát

sinh Lực lượng có thể vô hạn cũng như hữu hạn với số lượng nhiều hoặc ít

Vị trí số 6: tham số q đại diện cho các quy tắc áp dụng để phục vụ khách hàng

T là thời gian quan sát (hay thời gian đo)

Trong khi A đếm số các yêu cầu đến hàng đợi thì  biểu diễn tốc độ mà các yêu cầu đó đến Đơn vị đo của tốc độ là: khách hàng /đơn vị thời gian Ví

dụ, nếu một hệ thống điều hành được cung cấp công cụ để đếm số yêu cầu về phục vụ một số tài nguyên (CPU, đĩa…) thì tổng số lần đếm trong một đơn vị thời gian chính là tốc độ đến

o Thông lượng (throughput) của hệ thống xếp hàng là tốc độ trung bình các khách hàng chuyển qua hệ thống:

T

C X Throughput   (ở đây C là số khách hàng hoàn thành dịch vụ) Đại lượng này cũng biểu thị tốc độ Do nó là một đại lượng có thể đo tốc

độ hoàn thành dịch vụ một cách trực tiếp giống như tốc độ đến Trong một số trường hợp ta sẽ thấy tốc độ đến hệ thống của khách hàng  sẽ bằng với thông lượng X Dạng biểu diễn khác:

n

n P n Y

Trong đó P n là xác suất trạng thái cân bằng khi hệ thống có n khách hàng

trong hệ thống Thông lượng trung bình là trung bình trọng số của các tốc độ dịch

vụ (n) còn các xác suất trạng thái cân bằng P n được dùng như các trọng số

Độ đo này là trung bình trọng số của số các khách hàng trong hệ thống xếp hàng với các xác suất trạng thái được dùng như các trọng số Cách biểu diễn:

T

t

Q  Trong đó: t là tổng thời gian thường trú của tất cả các khách hàng đã

o Thời gian đợi (W_waiting time): thời gian đợi của một khách hàng trước khi được phục vụ được xác định:

W=SQ Trong đó Q là số các khách hàng trung bình trong hàng đợi, S_tốc độ dịch vụ

o Độ hiệu dụng (utilitization) hay là xác suất để hệ thống xếp hàng là không rỗng và tất cả các server bận (trường hợp nhiều server):

0

1 P

U  Ngoài ra còn có các định nghĩa khác như là độ hiệu dụng trung bình

S T B

U  

Đại lượng này biểu diễn tổng thời gian trung bình mà server hay tài nguyên bị bận trong khoảng thời gian quan sát T Độ hiệu dụng không có đơn

vị mà thường được biểu diễn dưới dạng %

o Xác suất để hệ thống xếp hàng là rỗng là P0

o Xác suất để tất cả các kênh phục vụ điều bận hay xác suất để một khách hàng bị từ chối là P n hay P[queueing] (trong đó N_kích thước của hệ thống) 1.2.8 Các chỉ số cần khảo sát

Đối với một hệ thống hàng chờ, cần tìm cách để đánh giá được các chỉ

số sau:

− A (Arrival rate): cường độ dòng tín hiệu đến hay số tín hiệu đến trung bình trong một khoảng thời gian Ví dụ: A = 6 (6 khách hàng đến trong 2 tiếng); A = 20 (20 cú điện thoại đến tổng đài trong 1 phút)

− S (Service rate): cường độ phục vụ hay số tín hiệu trung bình được phục vụ trên một đơn vị thời gian Ví dụ: S = 7 (hệ thống có thể phục vụ 7 khách trong 1 giờ); S = 25 (tổng đài phục vụ được 25 cú điện thoại trong 2 phút)

− Lq (Number in queue hay Length of queue): số tín hiệu trung bình trong hàng chờ

− Ls (Number in system hay Length of system): số tín hiệu trung bình trong toàn hệ thống (như vậy Ls ≥Lq)

− Wq (Waiting time in queue): thời gian chờ trung bình trong hàng chờ của một tín hiệu

− Ws (Waiting time in system): thời gian chờ trung bình trong hệ thống của một tín hiệu

− Pw (Probability the system is busy): xác suất hệ thống bận (đang hoạt động) hay còn gọi là hệ số (chỉ số) sử dụng của toàn hệ thống (Utilization factor)

1.2.9 Tính toán các chỉ số

Với mục đích tìm hiểu bước đầu, sau đây chúng ta chỉ xét các hệ thống hàng chờ với một loại dịch vụ Bằng phương pháp giải tích có thể tìm được công thức tính toán các chỉ số với điều kiện: các giả thiết của mô hình được thỏa mãn

a Mô hình một kênh phục vụ thoả mãn: số tín hiệu đến có phân phối Poisson, thời gian phục vụ có phân phối mũ

Các công thức (I) sau đây đã được chứng minh (bằng phương pháp giải tích):

;

;

;)(

2

Ls S

A Lq A S

A Ls A

S S

A Pw A

S

Ws A

S S

)/

2 2

S

A Lq Ls S

A

S A A

Wq Ws A

Lq

Trong đó  độ lệnh chuẩn thời gian phục vụ một tín hiệu Chú ý rằng,

nếu thời gian phục vụ tuân theo phân phối mũ thì

S

1



 và cũng là thời gian trung bình phục vụ một tín hiệu Có thể nhắc lại rằng:

S dt t tf

0

2

S dt t f m

 



Lúc này các công thức (II) trở về(I)

c Mô hình một kênh phục vụ thoả mãn: số tín hiệu đến có phân phối Poisson, thời gian phục vụ có phân phối mũ, hàng chờ có giới hạn số tín hiệu tối đa M

Các công thức (III) sau đã được chứng minh:

;1

;)/(1

/1

0 1

S A

S A P

;)/(1

)/(

S

P A Ls Lq S

A

P S A M Pw

A

Ls Ws

d Mô hình nhiều kênh phục vụ thoả mãn: tín hiệu đến có phân phối Poisson, thời gian phục vụ là phân phối mũ



0

P xác suất tất cả các kênh phục vụ đều không có tín hiệu, tìm được bằng cách tra phụ lục 3 dựa trên tỉ số A/kS (k số kênh phục vụ) hoặc tính trực tiếp từ công thức sau:

0

!

11

1

k n

k n

S kA

kA S

A k S

A n

kS S

A k Pw

()!

1(

)/(

0 2

S

A P A kS k

S A AS Ls

1.2.10 Một số điểm hạn chế của các mô hình hàng chờ

Các mô hình hàng chờ giới thiệu ở trên là những mô hình tiện lợi nhất được áp dụng khá rộng rãi Tuy nhiên, do các mô hình này công nhận các giả thiết “quá chặt chẽ” ít xảy ra trên thực tế, nên các chuyên gia trong lĩnh vực

mô hình khác Đó là các mô hình với các giả thiết như: số tín hiệu cần phục vụ

là hữu hạn, dòng tín hiệu đến không phải kiểu Poisson, cường độ phục vụ phụ thuộc vào số tín hiệu trong hàng chờ… và việc giải quyết những mô hình như vậy cần tới sự trợ giúp của phương pháp mô phỏng ngẫu nhiên

Ngay cả khi các giả thiết khá chặt chẽ của bốn mô hình đã nêu trong mục này (cũng như một số mô hình tương tự khác) là hợp lí, thì việc các mô hình hàng chờ đưa ra các lời giải với trạng thái vững (steady state solutions) cũng ít có ý nghĩa thực tế Trong nhiều ứng dụng thực tiễn, các hệ thống hàng chờ không bao giờ đạt tới các trạng thái vững Chẳng hạn, trong một hệ thống hàng chờ, cường độ tín hiệu đến trung bình thay đổi nhiều lần trong ngày không cho phép hệ thống đạt được trạng thái vững

Do đó, để giải quyết nhiều bài toán hàng chờ trong lĩnh vực dịch vụ đám đông và các lĩnh vực khác, cần áp dụng phương pháp mô phỏng để tìm ra các lời giải có tính thực tiễn cho các mô hình hàng chờ khi hệ thống không thể đạt tới trạng thái vững hoặc khi không có các mô hình lí thuyết thích hợp

 Ví dụ 1.2 Bài toán hệ dịch vụ hàng chờ 3 kênh với dòng Poisson dừng

có từ chối

Cho biết: dòng tín hiệu đến là dòng Poisson dừng Giãn cách thời gian giữa thời điểm đến của hai nhu cầu (tín hiệu) liên tiếp có phân phối mũ với tham số 5, tức là có hàm mật độ f(t)5e 5t Nếu tín hiệu xuất hiện mà có

ít nhất một trong ba kênh không bận (kênh số 1 hoặc kênh số 2 hoặc kênh số 3 không bận) thì tín hiệu được phục vụ tại kênh không bận với số thứ tự nhỏ nhất; nếu trái lại (khi cả ba kênh đều bận) thì tín hiệu bị từ chối Biết thời gian phục vụ mỗi nhu cầu là 0,5 phút, hãy xác định kì vọng toán số nhu cầu được phục vụ trong khoảng thời gian 4 phút

Như vậy, cần áp dụng mô hình hàng chờ MultiChannel −SingleServer System (Hệ thống nhiều kênh phục vụ– một loại dịch vụ) theo quy tắc First in first out (FIFO: Tín hiệu đến trước được phục vụ xong trước) Thời gian giữa

hai tín hiệu liên tiếp có phân phối mũ với hàm mật độ xác suất t

e t

f( )5 5

Trong bài toán này (nhằm đơn giản các bước tính toán) thời gian phục vụ mỗi tín hiệu được coi là không đổi và bằng 0,5 phút

Chúng ta sẽ áp dụng mô phỏng để xác định số nhu cầu trung bình cần được phục vụ trong khoảng thời gian 4 phút như trình bày sau đây

Kí hiệu T i là thời điểm đến của tín hiệu thứ i, T ki là thời điểm kết thúc

dịch vụ của tín hiệu thứ i (nếu có), tại kênh thứ k (k = 1, 2, 3) Thời điểm đến

của nhu cầu tiếp theo là T i T i1i với  tuân theo luật chỉ số có hàm mật độ

Để tìm T2 theo công thức T2  T12, ta phát sinh số ngẫu nhiên r2 có 2 chữ số sau dấu phẩy 0r i 1 (theo bảng số ngẫu nhiên) ta có r2 0.10 Sau đó

2 T  r   

phải vào kênh 2 vì kênh 1 còn đang bận Máy đếm ghi thêm 1 đơn vị thời điểm kết thúc phục vụ tín hiệu 2 là T22 T2 0.5  0 46  0 5  0 96

Tiếp tục phát sinh r3 0.09, ta có 3 0.2ln0.090.482 Do đó thời điểm đến của tín hiệu 3 là T3 T2 3 0.460.4820.942 Lúc này kênh 1 đã được giải phóng do đã phục vụ xong tín hiệu 1, nên tín hiệu 3 được tiếp nhận vào kênh 1 Tại thời điểm kết thúc phục vụ tín hiệu 3 là T13 T30.5

442 1 5

 máy đếm lại ghi tiếp 1 đơn vị Thực hiện tính toán tương

tự, kết quả tổng hợp được ghi trong bảng I.2

Bảng I.2 Tính toán mô phỏng tìm số nhu cầu được phục vụ

Thời điểm T ki kết thúc phục vụ tại kênh k

Đếm số tín hiệu

1



Thời điểm đến T i

Phân tích kết quả tính toán ta thấy trong 20 nhu cầu đến thì chỉ có 14 nhu cầu được phục vụ Tính toán tương tự 8 lần nữa ta có kết quả:



x

Chương 2 BÀI TOÁN MÔ HÌNH HỆ THỐNG

PHỤC VỤ CÔNG CỘNG

2.1 TỔNG QUAN VỀ HỆ THỐNG PHỤC VỤ CÔNG CỘNG

2.1.1 Bài toán lý thuyết phục vụ công cộng

Bài toán phục vụ công cộng cho chúng ta cách nhìn một hệ thống ngẫu

nhiên, sự khác biệt của nó với các hệ thống trong đó mọi quá trình diễn ra đều

đặn Chúng ta sẽ giải thích đầy đủ hơn nhiều vấn đề trong thực tế khi một hệ

thống, một quá trình vận động dưới sự tác động của các yếu tố ngẫu nhiên

Chúng ta sẽ thấy sự không ăn khớp của các quá trình tưởng như đã được thiết

kế đồng bộ Chẳng hạn, tại sao một siêu thị với khá nhiều quầy thanh toán vẫn

xảy ra tình trạng ùn tắc vào thời điểm này và vắng tanh vào thời điểm khác

Muốn đảm bảo năng lực cho một trạm cấp cứu ở bài toán lý thuyết phục vụ

công cộng hay lý thuyết xếp hàng là một lớp bài toán điều khiển hệ thống

Thuật ngữ “phục vụ công cộng” hay “xếp hàng” xuất phát đơn giản từ việc

nghiên cứu, thiết kế các hệ thống thỏa mãn một loại nhu cầu nào đó Trong

thực tế các hệ thống như vậy có thể gọi chung là các hệ thống phục vụ, mặc dù

trong một số trường hợp hệ thống phục vụ công cộng không được mô hình hóa

từ các hệ thống phục vụ theo nghĩa thông thường Trong rất nhiều trường hợp

các hệ thống này gắn liền với hiện tượng xếp hàng chờ của các đối tượng cần

phục vụ

Đặc trưng quan trọng trong các hệ thống phục vụ công cộng là sự biến

động của các yếu tố cấu thành có tính ngẫu nhiên và đám đông Thông qua

việc nghiên cứu các mô hình hệ một khu vực thỏa mãn hầu hết các yêu cầu

cấp cứu thì phải thiết kế như thế nào? Liệu có thể xác định số máy kiểm tra

cần trang bị bằng năng suất trung bình của một dây chuyền sản xuất chia cho

năng suất của mỗi máy kiểm tra sản phẩm mà việc kiểm tra sản phẩm luôn

hoàn thành với tỷ lệ cao hay không? Những vấn đề như vậy trong điều kiện

thông thường với giả thiết mọi yếu tố cấu thành hệ thống xác định, đều đặn có

lẽ không phải là những bài toán phức tạp, nó được giải quyết đơn giản bởi các phép tính số học thông thường nhất

Với hệ thống phục vụ công cộng chúng ta cũng tiếp cận với một trong những cách mô hình hóa các hiện tượng kinh tế, xã hội có tính cá biệt – đó là

mô hình hóa bằng sơ đổ trạng thái Các mô hình này có nhiều ứng dụng trong thực tế, từ đơn giản đến phức tạp Trong khuôn khổ cho phép, chúng ta chỉ nghiên cứu một vài dạng cơ bản, tuy nhiên phương pháp nghiên cứu có thể sử dụng cho các hệ thống phức tạp hơn nhiều Sau đây là một vài ví dụ dẫn đến các bài toán phục vụ công cộng đơn giản và một vài tình huống dễ gặp

 Ví dụ 2.1 Xét một bến cảng có 4 cầu tàu, ta gọi A là sự kiện có tàu cần vào cảng bốc hàng Trong đa số các trường hợp, A là biến cố ngẫu nhiên, mỗi tàu cần một thời gian bốc hàng T tại một cầu tàu và T cũng là một biến ngẫu nhiên Như vậy không thể tính toán lưu lượng tàu vào cảng một cách thông thường, phù hợp theo một nghĩa nào đó Chỉ có thể tính khả năng và các chỉ tiêu đánh giá hoạt động của cảng một cách trung bình Bài toán dẫn đến việc thiết kế bao nhiêu cầu tàu để có thể đảm bảo khả năng hàng thông qua cảng với những hạn chế về mặt hiệu quả sử dụng các cầu tàu cũng như các yêu cầu khác có liên quan

 Ví dụ 2.2 Trên một tuyến đường có một trạm thu phí giao thông, dòng

xe chạy trên tuyến này có tính chất ngẫu nhiên, nói cách khác số xe qua trạm trong mỗi đơn vị thời gian là một biến ngẫu nhiên và rõ ràng là thời gian trả tiền của mỗi xe khi qua trạm cũng là ngẫu nhiên Hai vấn đề tối thiểu được dặt

ra là: mức độ thông tuyến và tận dụng công suất của trạm Bài toán đặt ra là xác định một cấu trúc của trạm hợp lý theo một chỉ tiêu nào đó

2.1.2 Trạng thái hệ thống và quá trình chuyển trạng thái

a Trạng thái hệ thống

Ta gọi tập hợp một hay một số đặc trưng mà trên cơ sở đó có thể phân biệt được sự tồn tại của hệ thống trong những tình trạng khác nhau tại mỗi thời điểm là trạng thái hệ thống

Nếu kí hiệu A(t) là một trạng thái của hệ thống thì A(t) là một biến cố

ngẫu nhiên Để có thể phân tích hệ thống phục vụ công cộng Cần xác định tất

cả các trạng thái có thể có của hệ thống, tập hợp các trạng thái tại 1 thời điểm t

c Quá trình chuyển trạng thái

Tại mỗi thời điểm t hệ thống tồn tại ở một trạng thái nhất định – chẳng

hạn X k (t), sau một thời gian t hệ thống có thể chuyển đến một trạng thái khác X j(t t) nhờ sự tác động của các yếu tố ngẫu nhiên nào đó Ta gọi xác suất hệ thống chuyển từX k (t) đếnX j(t t) là xác suất chuyển trạng thái Trong các mô hình sẽ đề cập sau này ta quan tâm đến sự tác động chuyển trạng thái, thay vì xác suất chuyển trạng thái Ta kí hiệu cường độ của dòng biến cố làm cho hệ thống chuyển từ X k (t) đến X j(t t)là kj (t)

2.1.3 Sơ đồ trạng thái và hệ phương trình trạng thái

b Hệ phương trình trạng thái

Để phân tích một hệ thống phục vụ công cộng cần xác định các trạng thái có thể có và các xác suất trạng thái tương ứng Theo thời gian, do các tác động của các yếu tố đến quá trình vận động của hệ thống điều có tính ngẫu nhiên, nên việc hệ thống chuyển từ trạng thái này sang trạng thái khác cũng có tính ngẫu nhiên Để mô tả mối liên hệ về khả năng chuyển trạng thái như vậy, người ta sử dụng hệ phương trình trạng thái, trong đó các xác suất trạng thái

và đạo hàm theo thời gian của nó là các biến, còn các tác động làm chuyển trạng thái là các hệ số Hệ phương trình này cho phép xác định các xác suất trạng thái, làm cơ sở phân tích hệ thống

Nhờ sơ đồ chuyển trạng thái có thể thiết lập hệ phương trình trạng thái theo qui tắc sau:

Qui tắc viết hệ phương trình trạng thái

Đạo hàm bậc nhất theo thời gian của xác suất trạng thái P k (t)bằng tổng của một số số hạng, số số hạng đó đúng bằng số mũi tên nối trạng thái đó với các trạng thái khác Mỗi số hạng là tích của xác suất trạng thái mà mũi tên xuất phát và cường độ của dòng biến cố ghi theo chiều mũi tên đó Dấu của số hạng là “-” nếu mũi tên xuất phát từX k (t); là dấu “+” nếu mũi tên hướng đếnX k (t) Tức là:

)()()

()()

(

t P t t

P t dt

t dX

k kj j

jk k

Có thể chứng minh công thức này như sau:

Tại t bất kỳ với một số gia tta có:

t t t P t

t t

P t

t P

j

jk j

j kj

k k

t

t P t t P

)()()

()()

()(



Lấy giới hạn khi t  0ta có kết quả trên

Điều kiện chuẩn thể hiện tập hợp X k (t) là một nhóm đầy đủ các biến

cố, tức là tại một thời điểm hệ thống phải tồn tại ở một và chỉ một trạng thái nói trên

Đây là một hệ phương trình vi phân cấp một Tuy nhiên với hệ thống

mà các dòng biến cố tác động đến hệ thống đều là dòng dừng (hệ thống dừng), thì hệ trở thành hệ phương trình đại số tuyến tính thuần nhất và việc giải hệ trở nên đơn giản

2.1.4 Quá trình hủy và sinh – Lời giải của hệ phương trình trạng thái

a Sơ đồ trạng thái

Trong các hệ thống phục vụ công cộng ta sẽ gặp các sơ đồ chuyển trạng thái có dạng sau:

Trong đó mỗi trạng thái chỉ có thể chuyển qua lại với các trạng thái kề

nó (trừ trạng thái đầu tiên và cuối cùng nếu có)

Ta gọi các quá trình như vậy là quá trình hủy và sinh Quá trình này cho phép thiết lập và giải hệ phương trình trạng thái khá đơn giản

1 t

)(

1 t

k X k 1(t)

)(

01 t



)(

10 t



)(

12 t

)(

21 t



) (

1 ,k t



) (

1 ,k t

k 



) (

1 ,n t

n 



b Hệ phương trình trạng thái

) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( , 1 , 1 1, 1 1, 1

'

t P t t

P t t

P t t

P t t

ta có hệ phương trình sau:

1 10 0 01

0 P  P

2 21 0 01 1 12 1 10

0 P  P  P  P

(2.1)

1 , 1 1 , 1 1

, 1

1 ( / )P

k k k k

Trong đó: k ,k1 và k1,k  (k 1 )

Nếu đặt  / thì: 0

! P

k P

k k



 (2.2) 2.1.5 Phân loại hệ thống

Theo các tiêu thức khác nhau hệ thống phục vụ công cộng có thể phân loại như sau:

a Hệ dừng và không dừng

Thực tế các hệ tồn tại ở trạng thái dừng hay dừng theo chu kỳ với các

hệ không dừng các phân tích tập trung chủ yếu vào tính chất hội tụ đến hệ dừng và thời gian hệ được xem là dừng có tính thống kê

b Hệ chờ và không chờ (từ chối)

Với các hệ chờ người ta có thể chia thành các hệ chờ với các ràng buộc

về thời gian, chỗ chờ hay số yêu cầu tối đa có trong hệ thống

2.2 MỘT SỐ HỆ THỐNG PHỤC VỤ CÔNG CỘNG POISSON DỪNG 2.2.1 Hệ thống phục vụ công cộng từ chối cổ điển (hệ thống Eclang) Một trong những hệ thống phục vụ công cộng đơn giản nhất, được mô hình hóa đầu tiên là hệ thống từ chối cổ điển Hệ thống này mang tên người đề xuất bài toán tương ứng: hệ thống Eclang, nó bắt đầu từ bài toán phân tích một trạm điện thoại thông thường, với một vài giả thiết đơn giản Nhưng cũng chính từ bài toán này, từ hệ thống này người ta đã vận dụng phân tích những

hệ thống rất lớn, chẳng hạn hệ thống phòng thủ, hệ thống kiểm dịch, hệ thống săn tin,… Sau đây ta chỉ nghiên cứu hệ thống Eclang đơn giản nhất

a Mô tả hệ thống

Hệ thống phục vụ công cộng có n kênh phục vụ, năng suất các kênh

bằng nhau và bằng, dòng yêu cầu đến hệ thống là dòng Poisson dừng mật

độ Thời gian phục vụ một yêu cầu của kênh tuân theo qui luật chỉ số Một yêu cầu đến hệ thống gặp lúc có ít nhất một kênh rỗi thì được nhận phục vụ cho đến thỏa mãn tại một trong các kênh rỗi đó Ngược lại nếu tất cả các kênh

đều bận thì phải ra khỏi hệ thống Cần xác định các chỉ tiêu phân tích hệ thống

b Quá trình thay đổi trạng thái và sơ đồ trạng thái của hệ thống

o Trạng thái

Ta quan tâm đến hiệu quả phục vụ của hệ thống vì vậy đặc trưng được chọn để xác định trạng thái là số kênh bận tại mỗi thời điểm

Gọi X k (t) là trạng thái hệ thống có k kênh bận tại thời điểm t (k=1,2,…,n)

 Chú ý: với chế độ phục vụ của hệ thống Eclang số kênh bận cũng chính

là số yêu cầu đang được phục vụ tại thời điểm t

o Sơ đồ chuyển trạng thái

Sơ đồ trên thuyết lập trên cơ sở phân tích tính chất của các dòng Poisson dừng như sau:

- Nhờ tính đơn nhất của dòng yêu cầu mà khi hệ thống ở trạng tháiX k (t)

nó chỉ có thể chuyển đến trạng tháiX k 1(t), không thể chuyển thẳng đến các trạng thái X k  i (t)với i>1 Cũng tương tự do tính đơn nhất của dòng phục vụ của các kênh hệ thống chỉ có thể chuyển đến X k 1(t) mà không thể chuyển thẳng đến các trạng thái X k  i (t)với i>1

- Nhờ tính không hậu quả của các dòng biến cố nêu trên mà cường độ các dòng biến cố không phụ thuộc vào trạng thái của hệ thống khi nó tác động đến

- Với tính chất dừng ta có mật độ dòng yêu cầu không đổi, cũng như vậy



)1( k



)(

1 t

)1( n

)2( k

