Khoá luận tốt nghiệp khai triển riêng phần và áp dụng để chứng minh công thức euler

TRƯỜNG DẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ KIM CHI KHAI TRIỂN RIÊNG PHAN VÀ ÁP D ỤN G ĐỂ CHỨNG MINH CÔNG THỨC EULER KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP DẠI HỌC Chuyên Iigàiih; Giải tích Người hướng dẫn khua, hạt; r s , NGU YỀN VĂN H.ÀO HÀ N ộ i - 2015 LỜI CẢM ƠN Làn X.L11 đượu gửi Lời cam ơii tới các Giảng vieil khoa. ibáii trường' Dại hực Sư phạm hLà Nại 2 đa giúp đở em trong' quá trình. Ỉ1ỰC tập tại trường' và tạo điều kiện dio em liDầ.11 thành bàu kh.6ct Luạii tốt nghiệp. Dặc biệt em XĨIL bày tò Lòng biết ƠI1 sâu sắc; tới. T S r N g u yễn V ãn hLào đa tậu thill giúp đỡ em trưng suốt quá trình. Iigh.i.011 cứu và h.oà.11 thành kh.6a iuạn này, Mặc dù đà có rất nhiều cấ gắng, sDíig thời gia.il và kinh nghiệm bail th.au CÒI1 n h iề u h.ạ.11 chế I16I1 k h ó a iu ậ ii k h ô n g th ể trá n h . k h a i Iih.tfiig thiếu sót rất uiDiig được sự đóng' góp ỹ kiếii của. các thầy OQ giáo, uác bạii sinh. viên và bạiỉ đực tí à Nộir thÁĩig 5 năm 2015 SLiiii vieil N g u y ễ n T h ị K im U lli 2 L ời CAM ĐOAN L/II1 XÌIL caul đoan dưới sự hướng dẩii của. T S , N gu yểĩi Văn t i ko kh.6a Luậii ũủct em với đề tài “Tích, vô hạn” được h.oằ.11 thành. không trùng; với bất kĩ đề tài Iiài> khác, Trong quá trình. Làui đề tài, em đa kế thừa, nhưng thành, tựu của. các nhà khoa, lụ>c với $ự trâu trọng và biết ƠI1. Hà Nộĩt tháng 5 năm 2015 Sinh viên Nguyên Thị Kim Ulli 3 Mục lục • « 1 M Ộ T SỐ K IẾ N m ứ c C H U Ẩ N B Ị 9 1 .1 Chuỗi s ố .................................................................................. 9 Một ỉ>6 khái Liìệin cơ b à u .......................... y 1.1.1 1.1.2 LL3 1.2 Dấu hiệu hội tụ của chuỗi dương, l ‘i Uh-UỖL với i>6 hạng ũớ dấu tùy ỹ ................, , , UhLiiổL h.à.111 í> ố ........................................................................ 1.2.1 Mật í>6 khái Iiiệni cơ b à u .............................. . . . 1.2.2 Các tiêu điuảii hội tụ đều của. chuỗi hàm số . , 1$ 21 21 22 1,2 ,¿5 Tính. chất của hàm số giới hạn cua điiLQÌ. hàiii hại tụ đ ề u .................................................................. 1.3 Chuỗi Lũy thừa 1,3-1 ........................................................ ... . . . Khái liiệin về chuồi lũy thừa 132 Báu kíiiti hội tụ của. chuồi, lũy t h ừ a .................... 1.'S.'ô Khai triều thành chuỗi lũy thừa củct mạt số hàm -32 KHAI TRIỂN R1ÊJNG PH.AJN VÀ Á P DUJNG 2Ả Khai 22 SS triều riêng ph.au diel hàm số Lượng giác; 2,L I Khcũ triền riêng phần cửa. hàm cotcUỉg 2 Ả .2 Khai triển riẽiig, phần của. mạt ị>6iiàin giác khác; 2b> 2b> sơ cấp 2 20 -5-5 ,, , . , 'ở‘ò Lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -ST Ấp đụng khcii triều riêng piiầii trong; việc tính, giá trị cua. C ( 2 ) .................................................................................. í 38 M ực; l ụV MỤC LỤV 22X Chứng iiiLiứi gốc của. EuLer.................................... 'ò$ 222 Chứng iiiLiih. thứ hcù.................................... ... . . . 41) Kết Luận .....................................................45 Tài Liệu tham khảo , .............................................................. 40 5 M ực; l ụV MỤC LỤV MỞ ĐẦU 1, Lí do chọii đề tài Khcù triển riêng ptiầii là một trong' uhữiig kỹ thuật tính toáu của. giải tíđi, Minh. h-ựa đio điều đó, chúng tel ũ6 thề giới thiệu qua. hcũ vấii đề dưới đay; Về m ặ t lí th u y ế t, Iigu yêii liàtn uủct h à m liutu t ỹ đ ư ợc g iả i q u y ết tr iệ t để qua việc; biểu điên mật hàm hữu tỷ dưới dạng tổng' quát củct mật hàm đa thức với một hàm hữu tỷ có bạc của đa thức trêu nhò hau bậc của. đa thức dưới mẩu. Như vậy, vấn đề CỜI1 lại ià xử kỹ Iiguyẽu hàm i5ciu bằng việc ph.au tích đa thức dưới mẫu thành tíđi người ta. th.il được cáu ph.au thức.: riêng phần, N guyẽii h-àui uủa. các ph.â.11 thức ricug p h ầ n được tín h to á n m ộ t cách, đơii giản qua. các Iiguyẽii h.à.111 cơ bản. l a đa biết công thức; tí di phân từng pliầti f udv = uv — f vdu. Nhờ cồng thức liày, việc tính, tích phau cua- một ỉ>6 hàiii có thể 116L là khá phức tạp được diuyểii sang từ những' dạng, đơn giản hơu. Ngoài uiiữiig đề cập trêu, đây, trưng' Giãi tích, các; nhà. Tt>áu liực đã đưa Lei một í>6 kh.cũ triển riêng' ph-ầii củct một i>ố hàm đặc biệt qua. các; chuỗi đề thu được những cồng thức biểu điều rất 11ỖL tiếng và đem lại một 56 kết quả đẹp đẽ, Dược sự định, hướng của. người, hướng dẩiL, tôi điỊHi đề tài irKhcù trien riêng phần và áp dụng đé chứng minh, c ô n g ' t h ứ c E u L e r" để hoà.11 th àn h . k h ó a iu ậ ii t ấ t n g h iệ p đ iu y ê ii Iigàuh. Toán Giải tích, Khóa Luậii dược cấu trúc; hai điươiig + Uhươiig L Trình. bày một số kiến thức cơ bàu về chuỗi số7 điuai hàm và điuẩi. Lũy thừa., -Ị- Chương 2' Trinh bày một cách hệ thống về khcũ triều riêng ptLầii và áp đụng để chứng mình. công thức Euler, 5 M ực; l ụV MỤC LỤV 2r Mực đích và nhiệm vụ nghiên cửu -h Chứng minh được cổng thức khai triển riêng phần của một $6 hàm lượtig giác, + Tính tồng của. một số chuỗi số, điuồL hàm. "h Tính. tống' củ a lià iu ¿ e ta Rienia-Ii với sấ m ủ Iigu yên cỉiẳ ii liliờ kh.cũ triều riêng phần của hàm Lượng giác, 3, Đối tượng nghiên cứu -|- Nghiêu cứu khai triểỉi riêng phần của. mạt »6 hàm Lượng giác; như hàm 7YZ 1 1 cot7Tz ,t a n — , ------- , -----— 2 sin 7Ĩz eos y- qua. các điuồL "h Tính. tồng của. một số chuỗi số, điuẩi tiàin Iiliư tính. tồng của h-àin ¿etaRi.euia.1111 với ¡>6 mủ chẵn. 4, Phương pháp nghiên cứu KiiOci Luậii sử dụng một số phương pháp và uôiig cụ của giải tích bao gồm -Ị- Phương ph-áp ptiâii tídi và tồng hợp các kiến thức về lỹ thuyết chuỗi ¡>6, lỹ thuyết chuỗi hàm và khcii triều riêng phần của mật *6 hàiii đặc; biệt. -h Phương- pháp phân tích, tống hợp về klmi. triền riêng phần của. mật i>6 hàm Lượng giác từ đ6 kết hợp XÌIL ỹ kiến uủa. Iigười hướng dẩn. 7 MỤC' LỤC MỤCLỤU B Chương 1 M ỘT SỐ K IẾ N THỨC CH UAN ♦ BỊ♦ 1.1 Chuỗi í>ố 1.1.1 Mật »6 khái liLệui cơ bản Đ inh nghĩa. 1.1, ChLD dãy 3ố {a n}. Tống vô hạn Clị + 0,2 + ••• + an + ... = ^2 CLn 11= 1 (l'l) được gọi Là mật chuồi số, -b an đượu gọi Là í>6 hịiỉi^ tống quát thứ n uíict chuỗi s6. H- Tổng' sn —ữl + ữ2+ ••• + an —2 aẢ -5 (1-2) k=l được gụi là tồng riêng thứ n ũủa. điuQL số, L)ằy {s„ } được gvi Là day tống riêng của. điuổi (1.1). JNếu giới hạn uủct day tồng rỉêiig lim s„ = s tần tại và hữu hạn thì n-»oo chuỗi được gọi Là hội. tụ và có tồng riêng Là s. K.hi đ6 ta aliig viết + 00 ?t= 1 Nếu lim sn = ±00 hoặc; không tầu tại giới hạn Iiày, till chuỗi được n— >oo gụi Là phân kì. V í d ụ 1 ,1 ,1 , X é t chuỗi i>6 11 Vti VÔI s ố VttươNU 1 MỘT s ờ KlẾiS T t iữ v CUVẪiS VỊ qn = 1 + q + q2 + ... + qn + ... n= 0 lồng riêng của chuỗi được x.ác địiih như i>ciu sn = 1 + q + q2 + ... + ợn_1 IU xét các trường hợp (i) Trường' hợp q Ỷ 1? ró tổng; riêng thứ n của. chuỗi Là s rt 1 —q' 1 - q + Nếu \q\ < 1 thi lim ợn = 0, L)u> đó n —ìoo lim sn = — -— n— >oo 1 — (Ị Vậy chuỗi i>6 đã chi> là hội tụ và cớ tồng' là +OQ 1 Ẹ 1 thì lim 5n = 00 tiêu điuổi đa dii> ph.au kì. ft-»oo (ii) 1 rường hợp q = 1 khi đ6 ta. lim 5n = lim n = +00, n —>00 n —¥ oc Vậy chuỗi đã đio phân kì, (m) Trường hợp q = —L Day tồng riẽug được x.ác định như sau 0 khi n = 2 k 1 khi n = 2 k + 1 Như vậy dảỵ {s n} không uó giới hạn, L>1> đ6 với \q\ = 1 thì chuồi đả diD ptiâii kL V í dụ 1,1,2 , Uhx> chuỗi i>6 ts? 1 n=i n{n + 1) Ta cố ũ) 1,1. Vtỉ VÔI s ờ 1.2 CHƯƠÍSG 1. MỘT SÒ LÍIẾN THỨC CauẪlS Bị 2.3 2/ 1 = 1---- — . 3.4 \2 "■ n(n + 1) 3/ V3 4/ \n n + 1/ 71+1 Từ đớ7 suy ra lim sn = L Vạy chuỗi đa diD là hội tụ với tống: bằng 1. n— >oc 1,1,1,1, Điều kiệu để chuỗi hội tu Đ ịnh lí 1 , 1 , 1 , (tiêu diuẩu CcHiđiỵ), Chuỗi (1.1) hội tụ khi và chí khi với ỉiiựi 6 > 0 tầu tại số Iiguyêii dương N sao (ill) với II1ỰL n > N và mọi số liguyẽii đương p tel có \an+i + an+2 + ... + an+p\ ^ £ (1.3) Chứng m inh, UhuẩL (1.1) hại tụ khi và chi khi day tống riêng {s n} hội tụ, rheo tiêu diuẳii Uctudiy về sự hội tụ cua. dãy số, với inựi. ố > 0 tồn tại »6 ỉiguyêii dương N dio với mại n > N và II1ỰĨ »6 Iiguyêii dươiig; p tel c6 l^n+p 1^ Diều này tương’ đương với 10-77 + 1 + a n+2 + . .. + a n + p \ < E H ệ quả 1 , 1 , 1 (điều kiệu cầu để chuỗi hội tụ), Nếu chuỗi (1.1) [lội tụ lim an = 0 n— »00 Thật vậy, thei> (1.3) thi với uiựi n > N diựii p = l ta Iihậii được; IQ'n+1 1 ^ £ L)o đó ta ũ6 lim an = 0 n-^oo 11 1,1. Vtỉ VÔI s ờ CHƯƠÍSG 1. MỘT SÒ LÍIẾN THỨC CauẪlS Bị C hú ỹr Diều kiệu trẽn đií là điều kiệu cần điứ không' phài điều kiệu Ví dụ 1,1,» + °° 77 77 I a) Chuỗi £ — — ptiâii kì vì lim — —— = - , n=i 2n + 1 n-^oo 2n +1 + OC ị b) Xét điuơi 2 ị n = 1 Tì, ' M-ặc dù- lim — 0 uhưug chuỗi Ìiày ph.au kL Thật n —>00 n vậy, t a CQ 1 1 1 52n - sn — -- —— H —— + ... + — n+ Ị n+ 2 _ 2n 1 1 1 _ 71 _ 1 2n 2n 2n 2n 2 Nếu chuỗi này hôi tụ thì các day tống riêng { ,sn} và { s 2n} pliài dầu tới một giới hạn khi n —> +OG? tức Là lim (s2n —sn) = 0, Tuy Ìihiẽu, n —^oc điều Iiày mâu thuẫn với đáuli giá trêu, hLệ quả 1,1,2 , Chuỗi (1.1) và chuỗi nhận được từ chuổi. Ìiày bằng cád.1 thêm vào hi>ặc bớt đi mạt số hữu hçtii üáü i>6 heilig uùiig liöi tụ hoặc uùiig ph.au kì, 1,1,1,2, Tính chất về các phép ti)áu của chuỗi hội tụ Đ inh Lí 1 , 1 , 2 , Nếu các chuỗi là 5 và t am Y l bn liậi tụ và có tổng' Lần Lượt n= 1 n=1 thì cáũ diuổi 2 (an ± &„) và n=l (Ằ an ) ảiiig hôi tụ và lầu lượt n=l được xác định th.e^L> công tiiức dưới đáy + 00 -1-00 E (an ± M = s ± í; E ^an = Ằs. n=l 71=1 C h ứ n g Liiiiili, Kí hiệu 5n = ữi + ữ2 + ••• + ữnj t'n = bị + 02 + ... + bn. Khi CÎ6 {Sn } + 00 là tống riêng của. chuôi n=l (ữn i frn) và {Asn} Là tống riêng cua điuổi (Aan), Theo tíiili chất củci day í>6 hội tụ ta có n= 1 12 1,1. Vtỉ VÔI s ờ CHƯƠNG 1. MỘT SỜ KIẾN THỨC CHUÂIS BỊ lim (sn =b tn) = s ± t\ lim Xsn = As. n —>oc n —>oo Vậy cớ điều uầii ũhứiitỊ, minh. 1 ,1 ,2 D ấ u h i ệ u h ộ i t ụ củ a . ch.uơL d ư ơ n g . a n được gt>i Là chuỗi dương Iiếu a n > 0 với II1ỰÌ n . n=l Đinh. lí 1 , 1 , «5. Diều kiệu cầu và đủ đề một chuỗi dương h-pL tụ Là day Chuồi số tống," riêng của. I1Ớ bị diặii. C hứng m inh, Vì Yì, an h-ội tụ Iiẽii dãy tổng riêng (s„) c;ủa IIÓ hôi tụ. n=l L)o đ6 dãy (sn) bị chặn. [Ngược Lại, CÌD dảỵ tồng riêng của. chuỗi dương Là. dãy (sn) tăng liẽii nếu + 00 dãy (sn) bị diặii thì tầu tại giới hail, L)o CÎ6 điuQĨ an hội tụ, n= 1 1 , 1 , 2 .1 . D ấu hiệu su sánh. Cho hai chuỗi í>ố dương an và X) K n= 1 n=l Đ inh Lí 1 ,1,4 , (Dấu hiệu ¡>0 sánh thứ nhất), Giả sử tồn tại số nguy eil dương ĨI() và Liiột hằng’ 3ố c > Ü !>&(_> cho an < Cbn; với iiiựi n > 1ĨQ. Khi đó ta cớ uác khẳng định. Seul (?;) Nếu chuỗi i-iöi tụ thì kéo theư chuồi n= 1 an hội tụ, 77,= 1 (Ü) Nếu chuỗi an phân kì thì kéo theo chuỗi. n=l bn phân kì, n= 1 Chứng' m in h , Như đã Í1 ÓL trong' hệ quà 1,1,2, không' mất tính, tổng quát ta cố thế giả thiết + 00 n của các chuỗi n 0 = L GựL s n và t n Lầu Lượt là. tổng: riêng thứ +00 an và n=l bn. Khi đ6 tel œ n—l s n < C t n ; với II1ỰL n > 1. Như vậy Iiếu day {tn} bị chặn thì dãy { s n} cũng; bị chặn và Iiếu dãy { sn} không bị diặii thì dãy {tn} cung không bị điặii, Từ đ6 ta. suy ra. U 1,2 CtỉUỖlSỜ CHƯƠÍSG 1. MỘT SÒ LÍIẾN THỨC CtiVẨn Uị kết iuậii cua. định iỹ. Đinh. lí 1 ,1,5 (Dấu hiệu so sánh, thứ licti), Giả sử lim — = k. Khi n-^oo bv đó ta có các khẳng định. sau (i) Nếu 0 < k < +oo thi từ sự hội tụ của chuỗi ^ an kéư theo sự 71=1 hội tụ củ a chuỗi ^ ữ7ìn= 1 (zz) Nếu 0 < k < +oo thi từ sự phân kì của. chuồi ^2 an kéi> thei> n= 1 Sự pliaii kì của. chuỗi XI ữn• n= 1 Chứng m inh, (i) Bởi vì lim — = Ẫ ;v à O < / c < + o o liêu tần tại ỉ>6 n-+00 bn Iiguyêii dương 720 để với iiiựl n > n 0 -^ < k + 1 bn an < (k + 1 )6n. Theo định il L L 4 thì điuoi. X] an hội tụ, 71= 1 (zz) Trường liỢp 0 < k < +OG và chuỗi bn ph.au kì, Khi đó ta có n=l lim ^ = f c - = í ỉ n ->oo an ^ 0 khi k Ỷ +00 khi k = + 0 G tức Là. 0 < k* < +oo, Theo phần chứng' minh. trêu, Iiếu diuQL hội tụ thi chuỗi X] K n=l an ph-àĩ- hội tụ, L)o đò, dmỗi ^ an phân kL n= 1 n=1 +OQ ^ V í du 1 ,1 ,4 , Xét chuỗi —n=ĩ n 2 Với inựi n ta. c6 1 , 1 , 1 . 1 sn — 1 + ——+ ... H--- —< 1 + —— + —— + ... + 22 14 n 2 .21 .32 n( - ì ) n 1,1. Vtỉ VÔI s ờ CHƯƠÍSG 1. MỘT SÒ LÍIẾN THỨC CauẪlS Bị 1 1 1 1 1 - 1 + 1“ 2 + 2 _ 3 + - + ^ I ' ñ = 2 - - n < 2. Vì dãy tổng riêng bị diặii liêu diuồi hội tụ theo định. Lý 1,1.3, Từ kết quá trêu đây uùiig dấu hiệu SL> sánh thứ nhất, ta củng suy ra ngay hàm RieiilcUlii-zeta C(s) = Ễ -7; vởi s > 2 n= 1 res là một chuỗi hội tụ. V í dụ 1 ,1 ,5 , Xét chuồi Y] —, . ^ n tan On+l n=l ^ r 7T"I Dề dàng klein tra raiig lieu X G 0,— thì tan X < 2 x. L)i> đó, với rnựL n > 1 ta cố 7T 2 tĩ n < n. = 7r.— . On+ 1 2n+1 2n +00 ■-° ■1_[ rheo ví dụ 1,1.4, chuồi.—- hội9 tụ, höi-Lại tu, vì Lai vì n=l n 2 n tan n ,lim 49”—= ,lim — n2 = n— >00 1 n— >00 2n n2 0, + OC 7-7 liêu thei> đinh lý 1.1,5, chuồi X] — hôi tiuTüf đ6 theo đinh, lý 1.1,4, n=i 2n +00 7Ịctiuổi ^V 72 tan Ọn+l ——— hội Y tụ, n=l z 00 ^ Từ í>ư hoi tu của diuồi—- và tiêu cỉiuẩii sánh thứ Iihất? tel ũủiig n=l rc Iih.ặ.11 đượu tính, hại tạ của. hàm ¡¿etä-Rieiiicuiii V í d ụ 1 ,1 ,6 , Hàm ¿etaRieiiiaim đượu xác định bởi công thức 00 I C(5) = Ẽ 4 n=l hội tụ khi s > 2 1,1,2.2. Dấu hiệu Cauchy 15 2 , 2 VtỉVỖl s ờ C;i-i[;'ơ:VG ỉ. Đ i n h Lý m ộ t sờ LÍIẾN THỨC cti VAN Uị (D ấ u h iệ u C a u c h y ), C h a ch u ô i đ ư ơ n g an- (¿Là sử 71=1 lim = c, K-liL đó, ta vó các khẳng địiiii sau n —ìoo (i) Nếu c < 1 till chuỗi đa điD hội tụ. ( m) Nếu c > 1 thì điuổi đa diD pliâii kì, Chứng m inh, (z) Nếu c < 1 thì tần tại $6 p đè c < p < 1, Vì lim n-»00 = c iiẽn tầu tại 1ĨQ < p o đế a n < p n ; với m ọ i n > riQr Vì chuỗi í>n h.ôl tụ, tiẽii diuồi an hội tụ theo định. lí 1.1.4. 77,=1 71=1 (?;?;) Nếu c > 1 thì tần tại 77,0 để jựã^ > 1 an > 1; với ÍI1ỰL n > 1ĨQ. Như vậy chuồi, phân kỳ theo hệ quà L 1,1,1 của định.Lý1,1.1, 1,1,2,3, Dấu hiệu D ’Alembert Diĩih. lỹ 1 ,1,7 . (Jhx> chuỗi dương XI anrc=1 lim = cL Khi đó ta. cớ các ktiẳiig địiili sau sử tầu tại giới hạn 7Z-S-OC a n (i) (ii) Nếu d Nếu. < 1 thì chuỗi đà dio hoi tụ, d > 1 thi diuổi đã cho ph.au kỳ, Chứng m inh, Nếu d < 1 thì tầu tại p để d < p < L Vi lim n-rOo a n = d Iiẽii tồ ii tạ i i>6 u g u y ẽ u dư ơ n g n 0 đ ế IIIỰL n > n 0 và ^n+1 —1— < p o an+1 < pan. Từ đ6? ta c6 0*110+2 ^ ^n0+lộ 1 th ì tầ u tại 77,0 để Iiiựi n > n 0 và ^ J- tlciy CLn +i CLn Vậy không, c 6 lim CLn ^ 0*110' 0 liêu chuỗi ph.au kỳ. an = n —>oo 1 , 1 , 2 , 4 , D ấu hiệu tích. phân Cauchy Đ inh Lỷ 1 ,1 ,8 , Uhx> chuỗi số dương an- stí f ( x ) là một hàm n=l đơii điệu giảm và liêu tục; trêu [1; +oo) SctU1 d'lD /(n) = an; với mựi n = 1, 2,... + oo oo Khi đó, chuỗi ^2 an và tích, ph.au f f(t)dt cùng h.ộL tụ hoặc cùng phân n=l 1 kỳ. C h ứ n g m in h ,T ừ già thiết của. định lý7 với II1 ỰL X G [fc, * + 1 ] và í>6 tự nhiên Ả- > 1, ta đều c6 a*+i = /(fe + 1) < f{x ) < f(k) = ak. (1.4) Từ đớ7 ta cớ /c+1 ữjfe+i < / f { x ) d x < ak. k Lấy tồng' các vê của bất đẳng thức treu theo k từ 1 đếii 71 ta được fe+ l n E ßifc+1 < / k= 1 n ỉ\x )d x < 1 ak fe=l hay 77-+1 5„+i - ai < / f(x)d x < sn; 1 (1.5) tnmg đớ s„ Là tồng: riẽiig th.ứ n của. chuỗi ^ aẢ:' -Lừ bất đẳng thức *=1 n+1 kép (1.5) ta thấ.y rằng day {s n} và tích, ph.â.11 f f(x)d x cùng bị điặii 1 17 1,1. Vtỉ VÔI s ờ CHƯƠNG 1. MỘT SỜ KIẾN THỨC CHUÂIS BỊ hoặc cùng không bị diặii. Diều. đ6 dio ta. khẳng định. của. định. [ỷ. C h ú ýr Khi áp dụng dấu hiệu D'Alembert Lici.y dấu hiệu Cauchy Iiếu lim n —¥ oo dn = 1 Iie>ặc lim = 1 thi chưa. kết Luậii được gi về sự hội 7Z—»oo tụ imy phân kỳ của. chuỗi. Tuy Iihiêii, Ìiếu từ một số n0 Iiào đố trở đi mà — ———> 1 thì có thề suy ra an am > \;Vm > n0. Diều đỡ ch.i> ta khẳng định, day an không tiến đến 0 kill n —> +00 và như vậy điuổi ^ an ph.an kỷ, n=l 1,1,5 Uhuỗi VỠL i>6 hạng cá dấu tùy Ý 1.1.3.1, Chuỗi đau dấu Dinh, nghĩa, Mật chuỗi số ó> dạng n= 1 (—l) n-lan trong đó các »6 an cùug dấu được gụi là chuỗi đau dấu. 1.1.3.2, Sự hội tụ Đ in h Lỹ 1 . 1.9 (Dấu hiệu Leibniz). Giả sử day {a n} là đơn điệu giảm và lim a n = 0. Khi đó, điuổi (—1)77_ 1a„ hôi tụ. n— »oc n=1 ' C h ứ n g m in h , Gựi {sn} Là day tổng riêng; cửa điuaL Bởi vì 5 2 m — ( a l — 0 ,2 ) + ( a 3 — d ị ) + ... + ( ữ 2 m - l — a 2m ) các số hạng trong iigDặu đều không âm liêu day {S2m} đơn điệu tăng, Mặt khác;, ta, lại có thể viết s 2m = CLì — \{ọ>2 — a ¿‘ ) + ( ữ 4 — Ö5 ) + ••• + ( a 2 m - 2 — 0 > 2 m - l ) + ữ 2m]- L)o đó? s2?n < di với ỈIIỰL m. Vậy {s2m} hội tụ theo tiêu đmẳii đơn điệu. Từ đó, iiếu lim s 2m — s thì với mại m—>00 7V1 2 |^2m '-’I ^ dương; A^I đế với U1Ị>L m > — ta đều có ĩã £ > 0 tồn tại số liguyẽii 1,1. Vtỉ VÔI s ờ CHƯƠÍSG 1. MỘT SÒ LÍIẾN THỨC CauẪlS Bị Lại vì lim an = 0 Iiẽii với II1ỰL ổ > 0 tầu tại ¡>6 liguyêii dương Nọ để n-> oo với Iiiựi n > N 2 củug có Dặt N =max{iVi, N2} thì với II1ỰL n > N ta- có |s„ — s\ < —: với ndiẳu, 1 Với I 2 n Lẻth ì n + 1 ch.au Iiẽii t a uũn g tó £ l^n '-M l^n+1 ^ ®n+l| — l^n+1 £ |®n+ l| ^ 2* 2* ^" rsh.ư thế, với II1ỌL n > N ta. nhâu được 1 Isn - s\ < £ -. Vậy lim sn = s, tức Là chuỗi đã uhD hợi tụ và cố tổng bằng s. Chuỗi n —yoo đa.11 dấu thòâr mau điều kiệu của. định Lí 1.1.9 gụi Là chuỗi Leibniz, Vậy chuỗi Leibniz hội tụ. 1,1,3,3, Chuỗi hậi tụ tuyệt đối và chuỗi báu hội tụ D inh nghĩa, Chuồi i>6 ^2 an được gọi Là.hội tụ tuyệt đối Iiếu điuổi. n=l 53 \ an \ h-ội- tụ. Khi chuỗi n=1 an 71= 1 hội tụ nhưng chuỗi \a n\ phân kỹ n =1 thì chuồi ^2 an đượu gọi Là báu hội tụ, n=l D ịiih lý 1 .1 .1 D . Một chuỗi hội tụ tuyệt đối Là hội tạ, \an\ hội tự thì tlm> định. lý 1.1.1, với LI1 ỰÌ. C h ứ n g m in h , Nếu chuỗi n= l 6 > 0 tầu tại sơ uguyêii dương đễ với mại. N n > N và mọi p E N* ta cớ đánh, giá \a n + ì + a n+2 + Miư vay, chuồi ••• + a n+ p I < Iữ? ì+ l| + |^'?ỉ + 2 1 + ••• + |a ?i+p| < £■ an hội tụ tiieo đinh, lý 1 . 1 . L n=l + 00 V í dụ 1 ,1 ,7 , Chuôi 1 ( —l) ,/í+ — hội tụ theo dấu hiệu Leibniz (địiili » 1=1 n 19 1,1. Vtỉ VÔI s ờ CHƯƠÍSG 1. MỘT SÒ LÍIẾN THỨC CauẪlS Bị + 0Q +0C \ 2 lý 1.1.9) Iihưiig chuồi. ^2 —ph.au kỳ, Do đờ điuẩi ^2 (—l) Tt+1— Là báu 11= 1 ^ Tl—1 ^ liậi tụ. » . ... sin nx V í dụ 1 ,1 ,8 , Chuỗi n=l n 2 Isinnxl 1 . . +2° 1 . . „ +2^ Isin na;I l a ó > ----- -— < — , tel đa biêt chuôi 2J —7 íiỢi- tụ liên chuôi n2 n2 n=1 n 2 n=i n 2 +2? sin TLX hội tụ, Vậy chuỗi ^ 2 — hội tụ tuyệt đối. n=l n 1,1,3 ,4 , C ác tín h chất củcL chuỗi hỡi tụ T ín h chất 1 , (tính, chất kết hợp). Nếu chuỗi an hội tụ và cố tổng n= 1 là s thi điuổi (ữi + Ü2 + ... + Oni) + (flni + i + ữm+2 + ... + (ln-2) + ••• + ( ^ n fc_ 1 + l + ữnfe- i + 2 + ••• + ữnJ + (*) củng hội tụ và có tổng Là s. Chứng' minh., GựL tỵ Là tống riẽiig thứ k củci chuỗi (*) và sn là tống +00 riêng thứ n của điuổi an. l a œ n= 1 tk — s nk' L)o đó, từ lim sn = s suy ra. lim tk = lim Snk = s. Vậy ta có điều cầu n —¥00 n —ìoo n - ìo c chứng minh, T ín h chất 2 r (tính, chất giao hoán), Nếu chuỗi số an hội- tụ tuyệt n= 1 đối và cố tổng' là s thì điuẩi ^ bn nhận được bằng cách. đỗi dữữ tùy n=l + OC ỹ uáu số hạng của. điuQĨ an ^ủiig hội tụ và œ tống bằng S' n= 1 C hứng m inh, Vì chuỗi an hội tụ tuyệt đối Iiẽii chuỗi n —1 \an\ ixộĩ n=l tụ , Do đá, th e o đ ịn h lý 1.1.1, với II1ỰL £ > 0 tồ n tạ i số Iiguyêii dương Til để 21) 12. Vtỉ VÓI HÀM bõ CHƯƠÍSG 1. MỘT SÒ LÍIẾN THỨC CtiVẨn Uị ieF \^i\ ^ ọ ¿ với mại tập COI1 hữu tiạii F c {n E N : n > ĩiị}. + 00 Gọi sn và tn Lần lượt Là tống riêng thứ n của. chuỗi an và chuỗi n=1 Ẽ b„. n= 1 Giả sử lim sn = 5, Khi CÎ6 tồii tại 77,2 > 77,! sao cho với Iiiựi n > n2 n—>oc |sn - s| < £ utiựii 7?,3 > 77.2 3cU> diU1 các số hạng ơ,i,a2, ...,ữn2 ^6 đủ mặt trong cếu; í>ố hạng' òi, b 2, ^1 Vậy ta ò„3. Kill CÎ6 với inựi.71> n3? ta cớ ^n0""t- '-’«() '-’I —l^n ^«0I“t“|^n0 ^1 củngc6lim n —>oc ~2 ~2 ^’ tn = s,DỊiih. Lýtreu chí đúng với chuỗi hộitụ tuyệt đối- Uòu Iiếu chuổi í>6 X] ữn bán hội tụ thi ta cớ thể thay đổi n=l thứ tự của. các số hạng của. 11Ố để thu được điuQL hội tụ và cớ tổng bằng mạt i>6 bất kì đii> trướu tiDặu trở Iiẽii phau kỳ. 1,2 Chuỗi hàm số lr2rl Mật »6 khái niệm cơ bail Đ inh nghĩa, Uhx> dày hàm {wn(x)} cùng xác định trẽn tập X c R. Gụi tống vô hạn Wi(x) + u2 (x) + ... + w„(a;) + ... = u „(i), (1.7) n=l là một diuổL hàm xác địiih. treu X + H.à.111 un(x) gọi Là số hạng thứ n của. chuỗi hàm, -h hLàui sn(rr) = Wi(x) + u2 (x) + ... + un(x) gọi Là tống riêng tiiứ n ũủa. chuỗi hàlll. 21 12. Vtỉ VÓI HÀM bõ CHƯƠNG 1. MỘT SỜ KIẾN THỨC CHUẨn BỊ -j- Điểm X E X gọi- là điễm hồi tự imy ph.au kỳ của. diuẩi (1.7) Liếu dãy tổng' rieug (sn(x)} của. 110 hại tụ hay phân kỷ tại điểm Iiày. JNếu Xq Là miều hội tụ của day {s n(x)} thi ta củng gựi Xo là inLềii h.ậi tụ của chuỗi (1.7). Nêu sn(x) —>>u(x) trêu Xq thì tel cung viết ¿ M„(z) = u ( x ) ; x e x 0 n= 1 và gụi- w(x) Là tống của. chuỗi hàm, Sự hội tụ và hội tụ đều Đ ịnh nghĩa, (Jh.u.5i hàm (1.7) được gụi- là hội tụ trẽn miều X I10U với II1 DL X E X và. với inụi £ > 0 đều tồ n tạ i m ột i>6 tự nhiên n 0 = 77,0 (e, x) phụ thuộc vào £ và X 3ỈU> diD với II1ỰL n > n 0 + 00 X) «* M < e. Ả:=7Ỉ+ 1 D inh nghĩa, Chuỗi hàm (1.7) được gọi là hại tụ đều trêu miều X Iiếu các day tồng riêng củci. 116 hội tụ đều trẽn X . Nói cáuh khúc, chuỗi hàm ¡>6 (1.7) hội tụ đều trêu X uếu với II1ỰĨ £ > 0 đều tòii tại một ¡>6 tự uhiêu n0 = n{) (ổ) phụ thuộc; và.L> X Sell) đio khi n > n 0 + 00 J 2 uk (X) < £, với L iiạ i X £ X. k=n+ 1 1,2,2 Các tLêu chuảii hội tụ đều của chuôi hàm số Đ ịnh lý 1 . 2 , 1 (Tiêu chuẩn Ucuidiy). Chuỗi hàm ỉ>6 un(%) hội tụ 71=1 đều trêu tập X khi và điL khi với $ố £ > ü cho trước tòn tại ỉ>ố tự Iihiêii no = no(e) (không p h ụ th u ộ c vào x) sa.0 cho với II1ỰL n > ft0 và ỈI1ỰL số Iiguyëii đương p ta có |sn+p(x) — s„(x)| < £■; với mọi X E X. C h ứ iig rnuihr Thật vậy, theo đị-iih. Iighĩci chuỗi hàm ^2 un(x) hội n=l tụ đều trẽn X đếii tồng- S(x) của. Ii6 khi và chi kh.L day hàm tổng 22 12. Vtỉ VÓI HÀM bõ CHƯƠÍSG 1. MỘT SÒ LÍIẾN THỨC CtiVẨn Uị u k ( x ) hội tụ đều trêu X đếii S(x)r Theo tiêu chuẩu riêng S n(x) = k= 1 n CcRidiy về day hàm ¡>6 ta c6 day hàm tống I'LCLig S n(x) = Uk( x) k= 1 liậi tụ tuyệt đối kill và dií kiii với £ > 0 dio trước tầu tại số tự iiliiêii n0 = n 0(e) i>ciD diL> với inựi n > n 0 và với inựi. p G N* tel œ | s n + p ( x ) — s n ( x ) | < £■; v ó i I l l ự i X £ X . Vậy ta. có điều phải diứiig minh., Đinh. Lý 1,2 ,2 (tiêu diuấii Weierstrass), Cho điuồi iiàm số un(x )' n= 1 Nếu với líiựi i>6 nguyên dương n tei œ \un(x)\ < Cn; với II1 ỰĨ.X E X và điuổi. ì>6 Cn hôi tụ thì chuỗi hàm đã dio hôi tụ tuyệt đối và đều n=l trêu X. C h ứ n g illLilli, Với IIIỰL X G X theD dấu hiệu ÜO sánh ta cố uác diuỗi »6 n= 1 u n(x ) và s l?xn (^ )| tlội tụ . D ặ t n=l « M = E «»(ĩ) và ơn = J 2 |?t„(x)|. 77,= 1 n= 1 Vì diuổi ^2 Cn hội tụ liêu \/e > 0 , 3 N : Vra > ỳV, vp G N*? ta cớ n=l ^n+1 “I- ^n+2 “h ••• “h Cnjf-p p —y 00 tci được + 00 C*n+1 — Cn+ 1 + Cn+ 2 + ... < £. n=l Từ đớ? với mọi n > N + 00 u(x) - u k{x) k= 1 i= 1 + 00 ^,n+î(^') 23 < E K + iM I i= 1 12. Vtỉ VÓI HÀM bõ CHƯƠÍSG 1. MỘT SÒ LÍIẾN THỨC CtiVẨn Uị ơ (x ) - i=1 \un+i(x)\ < Y , Cn+Ỉ < £■ i=1 L>0 đó uk(x ) hội tụ đều đến u(x) trêu X utiuai k=1 UtiuQĨ l^fcWI hội kụ đều đếii ơ(x) trêu X , k= 1 V í dụ 1 ,2 ,1, U iiu ồ L t i à i n ỉ>ố +oc COS nx 9 2 n= 1 77/ + X' kội kuyệt đối và đều trõii R, Vì ta CQ COS nx 1 1 < — Vn, Vx G R TÌ2 + X2 rr + OC 2 và chuỗi. ^ —- hội tụ. ?z=l ĨV hội tụ tuyệt đối và đều trên VÍ dụ 1,2 ,2 . Chuồi hàm ¿ n=l [ — 1; 1], vì ta. có \x\ U\fñ + OC < —-= \ Vn, Mx E [ — 1; 1] n y/ñ : ^ và chuồi ^2 ~Y hội tụ, n=l Tlĩ Dinh, [ỷ 1 ,2 ,3 (dấu hiệu DiriđiLet) Uiu> hcù day hàm {(In{x)} và {òn(x)} cùng xáũ địuli trêu tập X . Già thiết (i) L)ãy tổng' riêng sn(x) của chuôi tiàm 5^ ữn(^) bị- diặii đều trêu n= l Y rn nuhĨM là f.rin t.MỈ 6 đơn điệu và dãy hàm {ò7i} tiôL tụ đều trêu X đến 0, Khi đó diuQi hàm an(x )K (x ) hội tụ đều trêu X , n= 1 Chứĩig m inh, Ta. œ thề xem { bn} là dày đan điệu giảm và dày hàm {òn} hội tụ đều trêu X đếii 0, K h i CÎ6 v ớ i £ > 0 t ồ n t ạ i s ố t ự Ì i h i ê i i n 0 = n 0 ( s ) s a o c h .0 24 12. Vtỉ VÓI HÀM bõ CHƯƠÍSG 1. MỘT SÒ LÍIẾN THỨC CtiVẨn Uị Ü < : V /7 > bn ( x ) < n 0,\/x e X . rừ bất đẳng thức Iiày đòng thời kết hợp với giả thiết củci đuiti Lý ta. Iitiậii được n+m Y, bk(x)ak(x) E 6*(a;)[s*(rr) - Sjfe-i(a;)] k=n - ò n(x)sn_i(x) + [ò„(or) - 6n_i(a;)]sn(x)| + • M •• [ 6 n ( x ) -Ị- ( 6 n ( x ) ^ n + l ( ^ 0 ) “t" • • • \ p n + rri — 1 ( % ) i p n + m — 1 (*^) b n + m ( * ^ ' ) ] S n + m — 1 ( * ^ ) ~l~ b n + ( ^ o ^ n + m ( * ^ ) ^ n + m ( * ^ ) ) “ ỉ” ^ n + m ( * ^ ) ] 2Mb n(x) < £]\/x e X ,V n > 720,Vm 6 N*. Vậy diuỗi hàm an(x)bn(x) n=l hội tụ đều trêu X . Đ inh Lý 1,2,4 (Dấu hiệu Abel), (Jh.D hai day hàm {a„(x)} và (òn(rr)} c ù i ig , x á c đ ị i i i i t r ẽ n t ậ p (i) Chuồi h.à.111 X . G iả th iế t a n{x) b-öi tụ đều trẽn X , n= 1 (ii) Day hàm (òn(x)} đơn điệu với Iiiựi X G X và bị diặii đều. U6 lighĩct Là với mọi X 6 òn(a;) Là dây đơn điệu và tòn tại ỉ>6 M > 0 sao dio \bn(x)\ < M ; Vn G N*,Vx G X. Khi đó điuỗi ữn(x)6n(x) hội tụ đều trêu X , n= 1 Chứng aiLuhr Từ già thiết (?■) với E > 0 tồii tại í>6 tự Iihiẽii 77,0 — ^o(^) »ao cho với niựi n > 720 và inựi số tự iiliLẽn m ta đều œ n+m £ X ) Q>k{x) k =n + 1 < 3 M ;Va: 6 X ' trong đó n Sn = Clk(x)' k= 1 £)ặt íTi(x) = an+i(a;) = Sn+iO) - sn(a?) ơ2(x) = an+i(x) + an+2(a;) = sn+2(x) - sn(x) 12. Vtỉ VÓI HÀM bõ CHƯƠÍSG 1. MỘT SÒ LÍIẾN THỨC CtiVẨn Uị ơm(x) = an+1(x) + ... + an+1(x) = sn+m(x) - sn(x) Khi đó k jO )l < M j ’Vj = ^ y Q>k(*£)^/c(*£) tt=1 (bn+ 1 ^n+1^1 “I- ^n+2 (^2“I-•••“I-bn+mis^ĩĩi +2)^ 1 +2 +3)0^2 ~t- ***~I- ( +777,- 1 bn+777,) —1H~bn+m Bây giờ tel giả sử {òn} là day đơii diệu tăng (trường hợp là dãy đơii điệu giâm được chứng niLiih. tương tự), K-lii đó với IIIỰL n > n 0 và với IIIỰL n E N* ta- cố n+m £■ 5 ] ak(x)bk(x) < -7T7 ûM k =n + 1 < 77.+ m E k=n+ ị ^ IM * ) - W M I + K + m (z )l (|¿WiO) - 6„+m(x)| + |6n+m(a;)|) < e ; V x e X. an{x)bn{x) hại tụ đều trëii X . De> đ6 chuồi hàm n= l 1,2,3 Tính, chất của. hàm ÿ6 giới hạn t;ücL chuỗi hàm hội tụ đều Đ inh Lỹ 1,2,Ê>, Nếu điuổi un(x ) hàm LiỆn tục treu khoảng I, n=l iiậi tụ đều và CQ tống s(x) thì h.à.111 s(x) củng Lieu tục; trêu I, C hứng m inh, Xét dãy hàm tổng, riẽug sn(x) = uk{x), th.00 già k= 1 thiết của định, Lỷ diúiig Là Iiliữug hàm Liêu tục và sn(x) hội tụ đều trêu X đến 5 ( x ) , liêu theo tíiih. iiẽii tục của. day hàm thì s (x) Liêu tục trêu hLệ quả. Nếu chuỗi hàm ỉ>6 œ cấc ỉ>6 hạng Liêu tục mà tiậL tụ tới một hàm sè gián đoạ.11 treu X thi diuoi hàm liại tạ không đều trêu X , D inh Lỷ 1,2 ,6 , (Jtu> điuQĨ u n ( x ) rát; hàm Liêu tạc trêu [a, 6], Nếu 71=1 chuồi là hội tụ đều và cố tổng Là s(:r) thì s(x) củng khả tích treu [a, 0] 20 (% 12. Vtỉ VÓI HÀM bõ CHƯƠÍSG 1. MỘT SÒ LÍIẾN THỨC c t i t/ẨiY Uị b / + 00 b f s(x)dx = f I a \ b u n ( x ) d x I = Ĩ 2 f u n( x)dx. \n =1 a +00 / n=l a Chứĩig uiLiili. Tlieo già thiết s ( x ) Là tổng củci một chuỗi hàm y-ốLiậL tụ đều trêu [a, 6] các số hạng Liêu tục trêu đá, do vậy s(x) liêu tục trẽn [a, 0], liẽti s(x) khả tích, trẽn [a, &]. Xét hiệu 6 b b f s(x)dx — f sn(x)dx = f [s(x) — sn(x)]dx. a a a Vì điuẩL tiàni í>ố hội tụ đều trêu [a, 6], Iiẽii Vs > 0, tìm được; số Iiguyên diD khi n > 77,0 dương n 0 |sn(x) — s(x)| < —-— ;Vx E [a, 6] b —a L)i> đó 6 6 / s(x)dx — f sn(x)dx < f dx = 6 . b —a a a Vậy b b n \ b f s(x)dx = lim f sn(x)dx = lim a n —f oc tt ?z—>oo , 1 fe=l Ị Uỵ(x)d,x a b b = f U i ( x ) d x + ... + J un(x)dx + .... a a Đ inh Lý 1,2 ,7 , (Jhx> chuỗi hàm số X] hội tạ đều trêu (a, ồ) tới 71=1 s(x), các số hạng íín(x) liên tục cùỉig với đạo h.à.111 của. dmiig trêu u'n(x ) hội- tụ đều trẽn (a, ồ) thì (a, ò), Khi đó Iiếu chuỗi đạo hàm 71=1 tổiig s(x) klià vi trêu (a, ò) và ta. có ( +O Q \ 1 +OQ Y , Unix) ] = ?/„(x). n= 1 Đinh. lý / lr 2 r8 ,(Dị.iih, lỹ TcUiiiey)Giả sử n=l rằng (z) Với mỗi »ố tự iiiiiẽii 72? đ iu a k=1 i^ ũk(n) hội tạ. 27 1 'S VtiVOl LÚY THỪA CHƯƠÍSG 1. MỘT b 'ố lílẾN THỨC CtiVẨn Uị (li) Với mơi k, lim ak (n) = ak. n—yoo (iii) I(lỵ (n) I < Mk với inựi n trong đ6 chuỗi Mk iiội tụ, Khi đó k= 1 oo lim n^ ° ° C hứng m inh, utio oo ak (n) = ak. k= 1 k= 1 £ > 0, Khi đó theotiêu dmấn CcUiđiyÚIO I1ỖL chuỗi toil tại một số mi 3cu> cho ^rai + l + ^ 4 ,+ 2 + ••• < §• Từ với ft, k bất ki, |ữfc (n)| < Mfr, diu n —>•00, tcicũng có,với II1DL ky |ôfe| < Do đó, sửdụng laẢ;(rc) — ữfc| < Iak(n)I + \ak\ < M/p + Mk = 2 Mỵ, ta có oo oo mi È ( a k ( n ) - ak) + k= 1 Ẽ M w) - Ẽ Jfe=l fc=l ÍTÌ1 oo 2Mk < Ĩ 2 \a>k(n) -a>k\ + 2|. k = m ! +1 Từ với II1 QL (a k ( n ) — a k) k=ìĩii + 1 m! < Z) K M - fljfcl + A:= 1 oo A:= 1 lim ữjfc (ra) = ak, tòii tại mật số Ar cho với moi n —>oo k = 1, 2, TOị và với n > N, ta c6 |ữjfc(n) —ữjfc| < L)i> đó, nếu n > N, thì oo oo E M «) -Ẽ « * m1 < k= 1 k= \ Ẽ 5^7 + 2 f = £• *= 1 Vậy ta. c6 ddieeuí phài chứng minh., C h ú ý, 1 &. tó ttiể viết kết Luặii uủci định lý Tctiiiiery Iitiư ỉ>ctu oc oc lim ^2 aỵ(n) = lim dỵịn), n-»oo k= 1 1,3 C huỗi lũy thữa. 1.5,1 K hái niệm về chuỗi Lảy thöfci k = 1 n —>oo Dinh. nghĩa, Chuồi iủy thừcb Là chuỗi cớ dạng 1 'S VtiVOl LÚY THỪA CHƯƠÍSG 1. MỘT b 'ố lílẾN THỨC CtiVẨn Uị n=0 (1.8) an (x - X q) u trong đó Xo, ữi, a 2, ... là các í>ố tliực. Diếm Xo được gụi là tâm của chuỗi lũy thừa, N h ậ u x.ét 1) U ỉiuẩi iủy thừa, luôii hội t ụ tạ i điểm X = x 0, 2) Nếu đặt y = X —Xo thì tu. có thể đưa. điuổi Lũy thừa về dạng + 00 E anyn (1.9) n= 0 chuỗi CỚ tâm tại y = 0, Do đó, ta. chỉ cần nghiên cứa chuỗi anXn i-à 71= 0 lr'òr2 B áu kính, hội tụ cua chuôi Lũy th ừ a Đ inh Lý 1,3,1 (định Lý AbeL), Uhx> chuỗi lũy thừa + 00 ^2 anx n = a0 + CL\X + a2x 2 + .... n=0 (1.10) Nếu chuồi Uly thừa (1.10) hội tụ tại điềm Xo 7^ Ü thì I1Ó hội tụ tuyệt đối tại mui điếm X mà \x\ < |x o |. Chửng m inh, Vì diuổi an%on hội- tụ. liêu lim anx on = 0, do đó n=0 n^°° dãy ỉ>6 {anx0n} bị chặn, tức Là tần tại $ố k > 0 để với. mại n = Ü, 1, 2,... Với II1ỰĨ X mà |x| < \x0\y đặt q = — till \q\ < l.r Khi đó Xo \anx n\ \an(xQq)n\ \cLn%on\ -\q\n < k.\q\n. k\q\n hội tụ liêu chuồi anXn hội tụ tuyệt đối và đều n=1 n=0 tim> cĩuih. [ỹ 1,2 ,1 Vì chuỗi htệ quả, Từ địiili Lỹ Abel suy ra Iiếu chuối anx n phân kỳ tại Xị n= 0 2\) 1 'S VtiVOl LÚY THỪA th i CHƯƠÍSG 1. MỘT b 'ố lílẾN THỨC CtiVẨn Uị piia.il k ỹ tạ i II1 ỰL X m à \x\ > |x i|. 116 Từ cáu kết quả trẽn và do chuồi (1.10) ít nhất một điểm hội tụ là X = 0, liêu Iigười ta giới thiệu khái Iiiệni sau. về báu kính, hội tụ của chuỗi iủy thừa n g h ĩ a , thực ịI i a n X n hội tụ đ ư ợ c gụi Là b á u n=0 ) kính hội tụ của chuỗi lũy thừa (1.10) và khoảng (—R ,R ) được gọi là Đ i n h S ố R = S lip \x \ : khoáng ilöL tụ uủa. điuồi iuy thừa. đò. Đ ị n h Lý 1 ,3 ,2 , C h o đ u iồ i lú y t h ừ a ^ 2 a n x U - N ế u 71 = 0 lim ự |a n| = /9 hoặc lim th ì b á u k ín li h ộ i t ụ c ủ a c h u ỗ i Lũy t h ừ a ®n+ l a, đ ư ợ c — A tín h tb -u o ó > iig th ứ c khio c h u ỗ i —, Lủy Vậy th ừ a , h ộ i t ụ v ó i X m à |x | < — R = — . p T r ư ơ n g liợ p p = lim p được diứiig minh tương tự, Q/n+1 Nếu lim = p; 0 < p < +00 th ì với mọi X m à |x| < - th i ta. cớ lim n—>oo 7Z+1 ®n+1 a n£' v à , p 0*11+1 a, TL H“ 1 lim n-ỉ-oc 'ÒU a? 1 X < /9.— = 1 p 1 'S VtiVOl LÚY THỪA CHƯƠÍSG 1. MỘT b 'ố lílẾN THỨC CtiVẨn Uị Do CÎ6, chuỗi hội t ụ th eo d ấ u hiệu L)?ALeiiibert. I 1 , ’ Nêu \x\ > - thi p lim ®n+l n+1 a„x' ĩ l — 'ĩ OG 1 > p . - = 1. p Do đó, theo dấu hiệu D ’Alembert chuỗi ph.au kỳ- Vậy báu kíiili hội tụ dia. chuỗi Là —, p V í dụ. 1 ,3 ,1 , TÌ Í I 1 miều hại tụ của, chuỗi Luy tliừa. + 00 £ ?}=0 2n + 1 Ta cố lim \ / | a n | = lim 7¿->oo n—>oo = = 1. y 2n + 1 Vậy chuỗi lảy thừa đả cho có báu kính hội tụ R = l và. khoảng hội tụ ( - 1, 1). + 00 lạ i X = — 1 điuẫi. trở thành ^ — -— là điuổi phân kỳ. 11=0 2n + 1 + OC ^ ___ ỵ \ n T ại X = 1 chuỗi trở th à n h Y ] - ——— hội tụ tiiei) d ấ u hiệu L e ib n iz „tí, 2n + 1 Vậy miều hội tụ của chuỗi. Lay thừa —1 < X < 1. + oo V í d u 1 ,3 ,2 , Chuỗi . n=0 tức là ^71+1 —)• Ü liêu báu kíiih. [lội tụ của chuỗi là B: = +00, an n+ 1 chuỗi hội tụ tại I I 1 Ự L điểm x G l V í dụ 1,3 ,3 , Chuỗi nnx U' n=1 f»r\ ” /77! í — ^ 1 ìiâ n lIV, a có ự j õ j = n —»V +00 liêu Tỉ: = 0, tức là chuỗi, hại tạ tại mật điếm duy nhất X = 0. CHƯƠÌSG 1. MỘT b 'ố KIỀN THỨC CH VÂN Uị 1.3. VtiVÙl LÚY THỪA Ir3r3 K hai triển. thành, chuôi Lũy thừa, uủct m ột »6 hàm sơ cấp Ta. chí trình bày đii tiết v iệ c khai triều của. hàm f ( x ) = e3;? điúug toi chí giới thiêu khai triển thành dm ổì lũy thừa của. một số hàm sơ cấp khác; mà không cầu dií rõ í>ự tườug tậii. đạo hàm II1 ỰL cấp trong K h a i tr ie ii h à m eX' Hàm f ( x ) = ex khoàug (—oo, + oc) và đạo hàm của 11 Ố được xác định bởi f ( n)(x) = ex; với inựi n = 1 , 2 ,. .. . Do CĨ6, tò n tại í>6 r > 0 để khoáng [ — r, r] chứa đỉểiu gốc và ta đ á n h , g iá 0 | / M ( )| = Ie° I = 1; với mại X e [ —r, 7*] và 71 = 1 ,2 ,..., Như vậy, các điều kiệu cửa định. Lý trêu được thòa. mãn và ta có khai. triển Mcidciuiiii của hàm f ( x ) = ex Iiliư sau Tương tự iiliư thế ta uhậii được; khai triển của mạt í>6 iiàiii sơ cấp dưới đậy oc sin x = co.,ooss X X = = (—1V‘----------- với IỈ 1 ỰL X E (—o o ,+ o c ) ^ " í — 1 ì " ----------- : v ớ i m o i T, G n=1 ^ ( — n o . - 1- 0 0 ì Chương 2 K H A I T R IỀ N R IÊ N G PH A N v à Á P DỤN G ♦ 2,1 K h a i tr iể n riê n g p h ầ n của. h à m ¡>6 Lương g iác Trong ptiầii Iiàv tôi ỉ>ẽ giới thiệu các công thức kticù triếii củci kìuler đối với một số hàm Lượng giác, Một trong những uôiig tiiức qud.il trựiig pliài kể đ ến CĨ6 là Đ ịnh Lí 2 ,1, -La. có công' thức klicũ triển. 7TZ 1 °° _ = - + 2 o »; với- Ui^ 2 G sin7T2: 2? n=1 nz — Zz ' Dể chứng minh uôiig thức này, trước hết ta. bắt đầu bằng; việc khai triển riêng phần của. liàm Euler đối với hàm cotcUig, 2,1,1 K hai trlếii riêng ph.au uua. hàm cotaug D in h lí 2,2, IU công thức khai triển sau 7TZCOt7TZ = 1 + 2 z2 “T-------- TỈ n=ĩ z 2 - n 2 LlL° l z £ c \ z . Dể chứng minh CÔI1 R, thức trẽn, ta. cần tới bồ đề sau B ổ đ ề 2,1, Với bất kì i>6 phức; z và n G N, ta cớ 7TZ cot 7TZ 7Ĩ Z 77Tz rz 2n 2n = 7T2; / 2” v2 ^_ ‘1- 17T2; — cot — + V ,“ i / 7ĨÍ2; + k ) — I cot 2n V 7t ( z — k ) \ 7TZ 7YZ ---- I-co t----------- — —^ ta n —2n 2n J 2n 2n 33 2,1. LÍUAL TtiiẾiS H ÍẼ M K tíẨ iN ' cSứãĩBÃM 5.Ô KQẵM'(ĨỈUỂẾVHiẼXG t*UẦN VÀ Át* ữỤISG Chứng m inh, Sữ dụng cỡiig thức gớc 11h.au đôi ta cò Wi>22 — sin 2 z co s 2 z 2 cot 22; = 2- sin 22 cot : — ta n z. 2 Do đó cot I 22 ; = - ( c o t z — tan Z), 7TZ Thay z = — ta. Iitiậu được cot 7TZ 1 ( 7YZ = — cot --2 V nz tan 2 (2 .1) Nh.au heil vế của. đẳng thức trêu với 7rz tel iihậii đượu công thức trong trường h.Ợp n — 1, Dể tiếp tục quá trình, quy Iiệtp với Lưu ỹ rằng 7Ĩ tan 2 ; = —c o t [z ± —). v 2 ta. iiliặii đưọ\: 1 / 7TZ 2 V 2 ĩt(z d t 1) ( 2 .2 ) co t 7TZ = — c o t ------ b c o t ------------- 2 Dây Là công thức được sử dụng diíiih. truiig việc điứug iHLiili quy Iiạp bồ đề trêu, Chẳng hạn trong trường, hợp n = 2. Trước hết ta xét dấu dương trong' gốu cütcMig của công thức; trSii.Ap dụng ó>iig thức; (2.2) cho moi hàm Cütäiig trong vế phái củ đẳng thức Iiày, sử dụng dấu uộiig (ill) hàm thứ Iiiiất và dấu trừ đii> haul thứ hai, tel uhậu đươũ / 7TZ cot — + cot 2 + 22 7T ( 2 + ( C 0 t ----- y — 1) j(iil-i) + Cot 2* / 1 [ 7T2 22 \ 22 7t(2 + 2) n (z + l) 7ĩ(z — 1) = —T < cot —f + cot ----- rr----- h cot ----- -7------h cot ----- ----22 22 22 Tel viết Lại cölig thức Iihư í>ciu cot i f 7TZ = nz Tl(z + I) n ( z — 1) ( 7YZ 7T —- < cot —7- + cot ------ rr------ |- c o t ---- —-------h cot —r + — 22 I 22 22 22 V 22 2 M 2,1. LÍUAL TtiiẾiS H ÍẼ M K tíẨ iN ' cSứãĩBÃM 5.Ô KQẵM'(ĨỈUỂẾVHiẼXG t*UẦN VÀ Át* ữỤISG và bồ đề đa đươc đ i ứ i i g 2“ ĩHLiih. với 11 — 2r Bằng quy iiạp ta điứug minh. được bổ đề với trường Tuy nhiêu, số hang cuối. chính bằng —tan hợp tồng quát II Tiếp theo, tci sẽ chứng niLiih. khai triển Euler dio tiàiii wtcuig, Với II10 L z cố địiih. ta có 7T2: 7YZ w lim —- cot — = lim w cot w = lim —---- . COS w = 1 z— ^oo 2n 2n w— >oo X—ÏOO sin ?/> (2.3) và ~7TZ f7TZ\ 1 lim — tan = 0.0 = 0, n— >oc -2n K2n - Olio ra —>• oc trong' côíig thức của. bổ đề trước, ta. Iiliậii được 7TZ cot . 7TZ = 1 + lim \ n“ 00 2" *_1 7TZ Í I V fct í ĩ ĩ ( z + k) 7t ( z — kV —— c o t ------ -------Ị- c o t -----------2n V 2« 2n , ( 2A ) IU sè áp dụng định. Lí Tannery với tong Iiày, t)6i với Liiổi. Ỉ5ố hạng tL'Diig tống, ta- sử dụng, công thức / /1 \ / sin 2a cot(cv + P) + cot(a — P ) = — ----------- — . sin a — sin ß Công thức Iiày thu đượu bằng cách klmi triển hàm cot(a ± ß) dưới dạng của. uác hàm si.il, cosill và sử ciụiig các ũôiig ttiứũ cộng góc diD , 7TZ nk cac ham liày, Dặt a = — On va ß = — On ta được cot tt ( z + AO --- - + cot 7 r(^ — k ) --- - 2" 2n nz và±ß n= — , CJJ . 0Vđây Q = —2n 2n sin 2a 2ß' 7T2 M — 2n < 27 tel có 6 6I I sin 2a| < - \2a\ < 3 \a\ và. sin O' < - \a\ < 2 \a\ 5 5 35 2,1. LiHAL TtiLEiS tUE&G t*ttAx ( J J M fB m 5 .6 7Tk t*tiAiS VA At* ¡JUNG 7r t \X /3 = — On < — 0 cho k = 1, ....2 n 1 — 1 v6i moi c>Q c/3 < sin ¡3 . Do da c2/32 < sin2/5 < |sin2a —sin2/51 + |sin2a?| < |sin2a —sin2/51 + 4|a\ => c2/32 —4 |a|2 < |sin2a —sin2/51 . Oil on k sao ch.o ck > 2 \z\ thi 7Tck c2(32 = c2 = 4|cv|“ =>* c ¡3 —4|q| > 0, Ket hap vcfi ket qua tre n ? ta thu dirac 0 < c2/32 —4 |a|2 < |sin2a —sin2/3| Do do \z |sin2a| ^ 3 \a\ \ 2«~ sin2a - sin2/31 _ c2P 2 - 4|a|2 2 ( ^k V c I 2^~ I ~ / 7r ' p| 7T Nlur vay, vcii ck > 2 Id, ta co 7T2: ( 2n V 7r(2: + A:)\ ( n(z — k) + c o t -------------2n / \ 2” — I c o t -------------- < 3|z| Nh.au xet rang tSiig sa-u £ zt c2k 2 —4 \z\ 2 \z bat dau tir k > -----La chuoi diraug hoi tu.. Bay gift ytf dung lim z cot z c 1 va tir (2.3) ta thay 21 , . KtiAL THIỂN m Ẽ M t*tiẦ!S cÚtỂƯQắiii 5.Ô iiM$IU(£'LtlỂ&RIẼXG t*tiẦ!S VÀ Át* L>ỤNU Bằng cách, tưaiig tự, ta. c6 7TZ ( 7T ( z — k ) \ lim — c o t — ---------a->oo 2 " \ 2M / z — — , z — k = Miư vậy 7\ z ( ( n(z + k ) \ lim - 7 cot v ' x ->00 2 n V V 2” / 7t ( z — k ) W cot - ^ r — - ( + V 2n z = z — — + 2 + & / / 2 - k 2z2 z2 — k2 Cuối cùiig áp dụng định lí TcUiiiery chi) tồng (2.4) ta- được oo I 7TZ c o t ĨTZ = 1 + 2 z2 J 2 —----k=ri1 z 2 — - k2 Dây Là diứiig 2,1,2 I iiii ih . kha-i triển của EuLer đối với hàm cotciiig K hai triều riêng: phần uủci m ột ¡>6 hàm Lượng giác khác Sử đụng công thức(2.1) c o t 7TZ = - 1 / nz 7TZ\ ị c o t -------------- t a n 2 V 2 — 2 / và thay thế vào khai triển riêng' phần của. cutctug, ta được; 7TZ ™ 4z TTtan-ỷ = 2 n=0 (4n + 1) — z2 . (2.5) với mỗi số phức 2 G c không uguySu, L)ể suy ra khai triển riẽíig pliằii ' , 7r cứa h à m ------- 7điúng ta. khãug định. đông nhât thức sau s i n 7T2; 1 2 = co t z + ta n 2 s in z Dế thấy điều Iiày điúiig ta 2: c o t 2; + t a n — = 2 c o s 2: ------------ h s in 2 iiliậ ii s in xét rằng c o s 2: c o s 2 /_ = ________V2 / cos I — s in z c o s 2/ us \ 6 — \ ~ ì / V \~ ì \2 / / = sin 2 ;c o s^ —^ + s i n 2: s i n — V2 I V2/ =1 sin 2 :c o s ^ -^ S1Ĩ12 37 V2 j 22. Á r UỤÌSG KHAI m i Ế i \ K iẼ x m ư ữ Ầ N m t m i A i T ừ cáu đồng; Iiiiất th ứ c trẽ n , iỆuầiimMấ m Ậ M iM c Á v QỤi\G tctn h ậ n đượu k h ai triể n 7T 1 ™ 2z -----= + Ĩ 2 2 — siri7T2: z n=1n z _— z 2’ z .. (2-^) với m ỗi số phứ c z không nguyẽLL Tương tự n h ư trêu, ta. củng Iihậii được khai triển đối với h.à.111 S03ÌI1 7r °° n (2 n + 1) 7TZ 4 cos — 2 với tuổi số phứ c 2? khồiig uguyẽii. 2 ,2 A p d ụ n g k h a i t r i ể n r iê n g p h ầ n t r o n g v iệ c t í n h g iá t r ị c ủ a C(2) 2,2rl Chứng minh, gốt; củci ttuLer C h ú n g t a i>ẽ b ắ t đ ầ u b ằ n g k h c ủ . t r i ế i i c ủ a . h / u l e r đ ố i v ớ i h à m sm 7TX 7TX 00 / n ( 1 — - —7 ) ; v ớ i 1111)1 0 < s in e £.2 \ n=l V ĩl J X < L , sm 7TX . ....... la, c ó -------- = e [ ), trong đó 7ĨX £ ,(* ) - £ l o g ( l - í ) . Lấy k>£ ticù vế của đẳiig thức; ——— = eL(x\ Ta. có 7TX ( s in 7ĩ x \ log T hay 3?^ X = — n2 ta iihậii được \ 7TX J ^ = E ( x 2\ 1 - -7 n=1 V n2/ ; với V biếu diễu chuỗi vồ im n log (1 + x) * DỤNG KHẢI iuiẾi \ u i Ê x m ư ữ Á t t 2 'U ím iA i l Ệ u ấ t m M á Bởi vì oo oo 1 X2777, oo oo n=l m =1 m n 2m = Ẽ Ẽ ẼẼ 1 \x 71=1 m = 1 DỤiSG |2 m rn n 2m s i n 7T 1x \ = E n=l lo g ( ĩ - \ n / = < oc lo g 7r iiẽn từ đinh il Cauchy đ6i với chuôi kép ta cớ 2m oc / oo s m 7YX V V 2771 lo g Tĩl 7TX 771= 1 \ n = l ^ (2.8) - oo I 00 = x2 e 4 n= 1 ^ Mặt khác ta r ó /sin 7Tx\ - lo g 7T2 — —— V 7TX TrV 3! 9 - , / lo g 5! 7T1 + 2 7T 2T 7T4 X 4 3! 1/7 r V 5! 00 5! / 7]"® 7TJ + 7T4 X 4 + 2 V 3! + V5Ỉ + - 2.(3!) 7.6 ê 4 + T Ễ Ặ + n = ln 3 n=1 _2 1 - 7T4 X 4 / ¥ = I 7]"® + + 7T® \ *4H Í - £ ĩ + ¿ y * + - (2-9) Tương đương với công thức (2.8), ta cớ 7T2 2 / 7T4 7T4 4 \ / 7T6 7T6 7T6 \ æ6 + -77^ + I TT + 3! V 5Í + 2.(3!)V x + V 7Í _ 3L5! + 3.(3!)V 00 /y>4 1 - z2 oc 001 1 Ç V ± I ... 3 n=1 n B 2 n=1 n4 n=\ n hoặc sau khi rút gựu, ta auợc được 00 I /y. 4 00 1 00 1 7T 9 7T , 7r — X + ——X-\= x 2 E ¿ + V ^ - 7 + f £ ¿ + - ( 2 .10 ) "ẽ 180 2835 _n=i n 2 n=1 n4 „=1 n6 f » n ì 1 rvi f »1 n o n n 1fr f í ► f n I1I Dồng nhất cáu hệ số cua. diuẫi, ta. uhậu được công, thức» IV.Euler “hVới lũy thừa của X2 oc .2 I 71 Ễ4 "ẽ n=i ra -h Với Lũy thừa, của X• ^ 1 7T4 “ í ñ 1 = 90 (2 . 11 ) 22. Át> DỤNG KHẢI iuiẾi \ u i Ê x m ư ữ Á t t 2 'U ím iA i l Ệ u ấ t m M á DỤiSG -ị-Với lủy thừa, cua. x{ 00 I 7T n=l n B '¿ r '¿ r '¿ (2.12) 945 u t l ứ l l g IIlLllh. t h ứ tlcùr L)ể đưa. ra điứiig niitih. Iiày, trước hết chúng ta ũầu ba đề i>cịỉi B ồ đ ề 2r2eNếu viết n = 2m + 1 với m G N, th i í \ m sin nz = n sin z n k=1 1 ; với Iiiựi z e - c (2.13) V Nếu n = 2m + 1 với m E Ar, thì với bất kì z £ c\ / \ m sin nz = n sin 2 n fc=i IU 1 V sin22: - • 2 sin f — W / với & bất kì, 2 cos kz ;là. đa thức; của 2 COS 2 bậc Từ 2 cos kz Là một đa thức củci 2 COS 2; bậc; (hệ 30 uguyêii), đặt cos hz = Qk(COS 2;) trong' đó Qfc là một del thức bậc fc. L)ặc biệt, œ$ 2 kz = Qẳ-(cos22 :) = Qjfc(l —2 sin22:), vậy co$2 kz ,Ià một đa. thức bậc k của, sin2Z' Sử dụng uôiig thứu uộiig ch.L> siiie, ta Iitiậii được sin (2 k + 1 ) z — sin (2Ả: — 1) z = 2 sin Z.C05 (2 kz) = 2 sin z.Qk.(l — 2 sin22;). Tel xác Iihậii rằng với bất kì m = Ü, 1, 2, sin (2 m + 1) z œ dạng' sin (2 m + i) z = sin z.Pm (sin22:) , trong đó Pm ;là một đa, thức bậu m. Ví dụ, tiếu ra = 0, thì 41) (2-14) (2.15) 22. Át> DỤÌSG KHAI lH lẾ i\ U I Ẽ X mư B Á N ‘Ĩ U í m i A l Ỉ Ệ U ấ t m M á t i r t i Ặ U Ỉ M ầ . ¿>ỰACt sin z = sinz.Po (sirrz) trong' đó Pq (w) = 1 Là. đa thức; [lằng 1, Nếu m = 1, thì theo (2.14), ta có sin (3z) = sin 2 + 2 sin z.Qị (l —2sin2z) = sin z.Pq (sin22:) + 2 s in z .Q 1 ( l — 2 sin22:) = sin z.Pị (sin22:) , trong' đó Pị (w) = P o H + 2Q i(l —2iũ), Tu thấy rằng sin (2m + 1 ) z bằng 0 kh.L z = Zỵ với zk = -— —— -trong; đá Ả- = 1, 2, (2 m + 1) m. Củng' thấy rằng từ 0 < Z\ < z2 < ... < zm < —, với üctu giá trị đó của ra thì sin zk rõ rằng giá trị đương, Do đó7 tìivo (2.11), Pm (w) = 0 với m giá t ặ w = sin2Zfc, k = 1, 2, m, Do đó, như mật hệ quả của định lí cơ bảii của. đại số, đa thức Pm (w) cớ thể ph.au tích, thành mạt tích Liẽii tiếp, (w - Zi) (w - z 2) ... o- zm) = n (w- sin2 ( 2^ -.5 1 )) (ir))' (từ ra = 2m + 1) đây Là tích Liêu tiếp n w 1 Jfc=i Với IU sin k,7T n / = sin2z? ta- nliậii được m sin (2ra + 1)2? = sin z.Pm (sin22) = asin 2:. n Jfc=i Với a Là i i ằ i i g s iĩl số Iià o đ ó , T ừ (2777 1 V sin £ - (t )J sin2 í — — Ị— ----------- 7 - ------------- u 6 giới, tia.il b ằ n g 2771 khi z — 0, kéo theo ũ, = 2 rn + L Vậy bổ đề được điứiig minh., Bây giờ, thay khai triển 41 + 1 22. Á r DỤÌSG KHAI 1HIẾÌ\ m Ẽ x m ư ữ Á tt 2 'U í m i A i l Ệ u ấ t m M á nntẬùỊùí-ÁcÁtĩ DỤiSG n3z 3 S1Ĩ1 nz = nz nẦz + 3! 5! vào vế trái của á)iig thức (2,13) và các khcii triển z3 z5 2 1 9 2 . sin 2 = —(1 —cos2z) = z ---- z H— ... 2 ' 3 —- H--- — 3! 5! vào vế phải củci công thức (2,13), ta được ( n 3z 3 n “ 722-------;— I— ... = nz - \ - --------- n ) ' 3! 6 * 1 sin2 z3 + kn n / Sl> sánh. số hạng dia. z3, tci iiliậii được; n 3 n ™ ------= --------- n V 6 6 *=1 sin2 kĩr n hay I m ị - Ễ 6 --Vn rrsin (2.16) nL 2 • 2 / ^ jfc= l Dể thiết lập công thức; Euier, ta. áp dạng định Lí Tauuery diD tống Iiày: Trước hết ta- cần tới bố đề B ố đề 2 r'ở . Tồn tại hầiig ị>6 c > 0 Scti> dii> . 7T cx < sin X với 1111)1 0 < X < — - (2.17) 2 Uủiig vậy, nếu \z\ < 1 thì z\I DỤNG KHẢI iuiẾi \ u i Ê x m ư ữ Á t t 2 ' U í m i A i l Ệ u ấ t m M á lim ------- ------------= —— . n-KX) n 2siĩì2 ( k n / n ) k 2n 2 Ulio m —> oo trong công thức (2.14), đuih Lí Tannery dio ta 1 00 t - £ 6 4= 1 1 K27T2 00 =0 u 1 7T2 Ề ¿r = T ■ *= 1 k 2 6 DỤiSG 22. Á r UỤÌSG KHAI m i Ế i \ KIẼÌ\WƯBẲ& m t m i A i i Ệ u ầ i i m M ấ m Ậ M iM c Á v QỤi\G K Ế r LUẬIN Trẽn đầy Là toàn bạ I1ỘL ciuiig' của kh.6a luậii 'rKhciL triển riêng phần và éi\> dụng chứng minh, công thức E u ler", 1, Khóa. Luận Iiày đã trình bày mật cách hệ thống" kiến thức; cơ bail về chuồi số? (ÌIUQĨ hàm , 2, Giới thiệu khai triều riêng phần của. một số hàm đặc biệt với các cồng thức; biểu diễu Iiồi tiếng trong [ỷ thuyết điuổL í>6 và giới thiệu ứng dụng của. các khai triếii Iiày trong việc; tính, tống uủa. mật số điuQÌ. liàiii Song ỉ>ưiig với việc làm khóa. luận tốt nghiệp với đề tài; ,TKhcù triển riê n g p h ầ ii và áp d ụ n g chứ n g minh, c ô n g th ứ c EuLer", tôi. CÒI1 tìm hiểu. về phần Iiiềui soạn th-ảo Latex, Khóa Luậii được hoàn thành, bằng ph.au niềm soạn thảo Lcitex, 45 [...]... thc klic trin 7TZ 1 _ = - + 2 o ằ; vi- Ui^ 2 G sin7T2: 2? n=1 nz Zz ' D chng minh uụiig thc ny, trc ht ta bt u bng; vic khai trin riờng phn ca lim Euler i vi hm cotcUig, 2,1,1 K hai trlii riờng ph.au uua hm cotaug D in h lớ 2,2, IU cụng thc khai trin sau 7TZCOt7TZ = 1 + 2 z2 T T n= z 2 - n 2 LlL l z Ê c \ z D chng minh CễI1 R, thc trn, ta cn ti b sau B 2,1, Vi bt kỡ i>6 phc; z v n G N, ta... 22 I 22 22 22 V 22 2 M 2,1 LUAL TtiiiS H M K tớ iN ' cSóBM 5.ễ KQM'(UVHiXG t*UN V t* ISG v b a c i i i g 2 HLiih vi 11 2r Bng quy iip ta iug minh c b vi trng Tuy nhiờu, s hang cui chớnh bng tan hp tng quỏt II Tip theo, tci s chng niLiih khai trin Euler dio tiiii wtcuig, Vi II10 L z c iih ta cú 7T2: 7YZ w lim - cot = lim w cot w = lim COS w = 1 z ^oo 2n 2n w >oo XẽOO sin ?/> (2.3) v ~7TZ... r > 0 khoỏng [ r, r] cha iu gc v ta ỏ n h , g iỏ 0 | / M ( )| = Ie I = 1; vi mi X e [ r, 7*] v 71 = 1 ,2 , , Nh vy, cỏc iu kiu ca nh Lý trờu c thũa món v ta cú khai trin Mcidciuiiii ca hm f ( x ) = ex Iili sau Tng t iili th ta uhii c; khai trin ca mt ớ>6 iiiii s cp di y oc sin x = co.,ooss X X = = (1V - vi I 1 L X E (o o ,+ o c ) ^ " ớ 1 ỡ " - : v i m o i T, G n=1 ^ ( n o - 1- 0 0 ỡ... Oni) + (flni + i + m+2 + + (ln-2) + + ( ^ n fc_ 1 + l + nfe- i + 2 + + nJ + (*) cng hi t v cú tng L s Chng' minh. , GL t L tng riiig th k cci chui (*) v sn l tng +00 riờng th n ca iui an l a n= 1 tk s nk' L)o ú, t lim sn = s suy ra lim tk = lim Snk = s Vy ta cú iu cu n Ơ00 n ỡoo n - ỡo c chng minh, T ớn h cht 2 r (tớnh, cht giao hoỏn), Nu chui s an hi- t tuyt n= 1 i v c tng' l s thỡ iui ^ bn nhn c... tc l chui, hi t ti mt im duy nht X = 0 CHèSG 1 MT b ' KIN THC CH VN U 1.3 VtiVl LY THA Ir3r3 K hai trin thnh, chuụi Ly tha, uct m t ằ6 hm s cp Ta chớ trỡnh by ii tit v i c khai triu ca hm f ( x ) = e3;? iỳug toi chớ gii thiờu khai trin thnh dm ỡ ly tha ca mt s hm s cp khỏc; m khụng cu diớ rừ ớ> tug tii o hm II1 L cp trong K h a i tr ie ii h m eX' Hm f ( x ) = ex khoug (oo, + oc) v o hm ca 11 c xỏc... p liõ ti k , T r n g p liõ ii k L )o h p v i 6 0 R < X = p m chui tha l y (1 1 0 ) 0, < |x | + O C > c h u i , Ly Vy th a , h i t v ú i X m |x | < R = p T r n g li p p = lim p c diiig minh tng t, Q/n+1 Nu lim = p; 0 < p < +00 th ỡ vi mi X m |x| < - th i ta c lim n>oo 7Z+1 đn+1 a nÊ' v , p 0*11+1 a, TL H 1 lim n--oc 'ềU a? 1 X < /9. = 1 p 1 'S VtiVOl LY THA CHSG 1 MT b ' lớlN THC CtiVn... )6n Theo nh il L L 4 thỡ iuoi X] an hi t, 71= 1 (zz) Trng lip 0 < k < +OG v chui bn ph.au kỡ, Khi ú ta cú n=l lim ^ = f c - = ớ n ->oo an ^ 0 khi k +00 khi k = + 0 G tc L 0 < k* < +oo, Theo phn chng' minh trờu, Iiu diuQL hi t thi chui X] K n=l an ph-- hi t, L)o ũ, dmi ^ an phõn kL n= 1 n=1 +OQ ^ V ớ du 1 ,1 ,4 , Xột chui n= n 2 Vi ini n ta c6 1 , 1 , 1 1 sn 1 + + H - < 1 + + + + 22 14 n 2 21... (n i frn) v {Asn} L tng riờng cua iui (Aan), Theo tớiili cht cci day ớ>6 hi t ta cú n= 1 12 1,1 Vt VễI s CHNG 1 MT S KIN THC CHUIS B lim (sn =b tn) = s t\ lim Xsn = As n >oc n >oo Vy c iu uii hiit, minh 1 ,1 ,2 D u h i u h i t c a ch.uL d n g a n c gt>i L chui dng Iiu a n > 0 vi II1è n n=l inh lớ 1 , 1 , ô5 Diu kiu cu v mt chui dng h-pL t L day Chui s tng," riờng ca I1 b diii C hng m inh,... lii t tuyt i kill v diớ kiii vi Ê > 0 dio trc tu ti s t iiliiờii n0 = n 0(e) i>ciD diL> vi ini n > n 0 v vi ini p G N* tel | s n + p ( x ) s n ( x ) | < Ê; v ú i I l l i X Ê X Vy ta cú iu phi diiig minh. , inh Lý 1,2 ,2 (tiờu diuii Weierstrass), Cho iui iim s un(x )' n= 1 Nu vi lớii i>6 nguyờn dng n tei \un(x)\ < Cn; vi II1 .X E X v iui ỡ>6 Cn hụi t thỡ chui hm ó dio hụi t tuyt i v u n=l trờu X C... lim jfc (ra) = ak, tũii ti mt s Ar cho vi moi n >oo k = 1, 2, TO v vi n > N, ta c6 |jfc(n) jfc| < L)i> ú, nu n > N, thỡ oo oo E M ô) - ô * m1 < k= 1 k= \ 5^7 + 2 f = Ê *= 1 Vy ta c6 ddieeuớ phi chng minh. , C h ỳ ý, 1 & tú tti vit kt Luii uci nh lý Tctiiiiery Iiti >ctu oc oc lim ^2 a(n) = lim dn), n-ằoo k= 1 1,3 C hui ly tha 1.5,1 K hỏi nim v chui Ly thửfci k = 1 n >oo Dinh ngha, Chui iy thcb L chui ... a 1.'S.'ụ Khai triu thnh chui ly tha cct mt s hm -32 KHAI TRIN R1ấJNG PH.AJN V P DUJNG Khai 22 SS triu riờng ph.au diel hm s Lng giỏc; 2,L I Khc trin riờng phn ca hm cotcUg Khai trin riiig,... Zz ' D chng minh uụiig thc ny, trc ht ta bt u bng; vic khai trin riờng phn ca lim Euler i vi hm cotcUig, 2,1,1 K hai trlii riờng ph.au uua hm cotaug D in h lớ 2,2, IU cụng thc khai trin sau... h thng v khc triu riờng ptLii v ỏp ng chng mỡnh cụng thc Euler, M c; l V MC LV 2r Mc ớch v nhim v nghiờn cu -h Chng minh c cng thc khai trin riờng phn ca mt $6 hm ltig giỏc, + Tớnh tng ca mt