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❞➣② tê♥❣ r✐➯♥❣ ❤ë✐ tö✳ ❚❤❡♦ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ❈❛✉❝❤② ✈➲ sü ❤ë✐ tö ❝õ❛ ❞➣② sè✱ ✈î✐ ♠å✐ tç♥ t↕✐ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ ❞÷ì♥❣ p ✈➔ t❛ ❝â |an+1 + an+2 + ... + an+p | < ε ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ 1. N s❛♦ ❝❤♦ ✈î✐ ♠å✐ n≥N {sn } ε>0 ✈➔ ♠å✐ sè ♥❣✉②➯♥ t❛ ❝â |sn+p − sn | < ε✳ ✣✐➲✉ ♥➔② t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ✈î✐ |an+1 + an+2 + ... + an+p | < ε ❍➺ q✉↔ ✶✳✶✳✶ ✭✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✤➸ ❝❤✉é✐ ❤ë✐ tö✮✳ ◆➳✉ ❝❤✉é✐ (1.1) ❤ë✐ tö t❤➻ lim an = 0 n→∞ ❚❤➟t ✈➟②✱ t❤❡♦ (1.3) t❤➻ ✈î✐ ♠å✐ n≥N ❝❤å♥ |an+1 | < ε ❉♦ ✤â t❛ ❝â lim an = 0 n→∞ ✶✶ p=1 t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ✶✳✶✳ ❈❍❯➱■ ❙➮ ❈❤ó þ✳ ❈❍×❒◆● ✶✳ ▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ tr➯♥ ❝❤➾ ❧➔ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ❝❤ù ❦❤æ♥❣ ♣❤↔✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ✳ ❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✸ +∞ n 1 n ♣❤➙♥ ❦➻ ✈➻ lim = ✳ n→∞ 2n + 1 2 n=1 2n + 1 +∞ 1 1 b) ❳➨t ❝❤✉é✐ ✳ ▼➦❝ ❞ò lim = 0 ♥❤÷♥❣ ❝❤✉é✐ ♥➔② ♣❤➙♥ ❦➻✳ ❚❤➟t n→∞ n n=1 n a) ❈❤✉é✐ ✈➟②✱ t❛ ❝â 1 1 1 + + ... + s2n − sn = n+1 n+2 2n 1 1 1 n 1 > + + ... + = = . 2n 2n 2n 2n 2 ◆➳✉ ❝❤✉é✐ ♥➔② ❤ë✐ tö t❤➻ ❝→❝ ❞➣② tê♥❣ r✐➯♥❣ {sn } ✈➔ {s2n } ♣❤↔✐ ❞➛♥ tî✐ ♠ët ❣✐î✐ ❤↕♥ ❦❤✐ n → +∞✱ tù❝ ❧➔ lim (s2n − sn ) = 0✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ n→∞ ✤✐➲✉ ♥➔② ♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈î✐ ✤→♥❤ ❣✐→ tr➯♥✳ ❍➺ q✉↔ ✶✳✶✳✷✳ ❈❤✉é✐ (1.1) ✈➔ ❝❤✉é✐ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ tø ❝❤✉é✐ ♥➔② ❜➡♥❣ ❝→❝❤ t❤➯♠ ✈➔♦ ❤♦➦❝ ❜ît ✤✐ ♠ët sè ❤ú✉ ❤↕♥ ❝→❝ sè ❤↕♥❣ ❝ò♥❣ ❤ë✐ tö ❤♦➦❝ ❝ò♥❣ ♣❤➙♥ ❦➻✳ ✶✳✶✳✶✳✷✳ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ✈➲ ❝→❝ ♣❤➨♣ t♦→♥ ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❤ë✐ tö +∞ +∞ ✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✶✳✷✳ an , bn ◆➳✉ ❝→❝ ❝❤✉é✐ ❤ë✐ tö ✈➔ ❝â tê♥❣ ❧➛♥ ❧÷ñt n=1 n=1 +∞ +∞ ❧➔ (an ± bn ) ✈➔ s ✈➔ t t❤➻ ❝→❝ ❝❤✉é✐ n=1 (λan ) ❝ô♥❣ ❤ë✐ tö ✈➔ ❧➛♥ ❧÷ñt n=1 ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ t❤❡♦ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❞÷î✐ ✤➙② +∞ +∞ (an ± bn ) = s ± t; ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ n=1 λan = λs. n=1 ❑➼ ❤✐➺✉ sn = a1 + a2 + ... + an ; tn = b1 + b2 + ... + bn . ❑❤✐ ✤â {sn ± tn } +∞ (an ± bn ) ❧➔ tê♥❣ r✐➯♥❣ ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ✈➔ {λsn } ❧➔ tê♥❣ r✐➯♥❣ ❝õ❛ ❝❤✉é✐ n=1 +∞ (λan )✳ ❚❤❡♦ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❞➣② sè ❤ë✐ tö t❛ ❝â n=1 ✶✷ ✶✳✶✳ ❈❍❯➱■ ❙➮ ❈❍×❒◆● ✶✳ ▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚ lim (sn ± tn ) = s ± t; lim λsn = λs. n→∞ n→∞ ❱➟② ❝â ✤✐➲✉ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✶✳✶✳✷ ❉➜✉ ❤✐➺✉ ❤ë✐ tö ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❞÷ì♥❣✳ +∞ an ❈❤✉é✐ sè ✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✶✳✸✳ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝❤✉é✐ ❞÷ì♥❣ ♥➳✉ an ≥ 0 ✈î✐ ♠å✐ n. n=1 ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ✤õ ✤➸ ♠ët ❝❤✉é✐ ❞÷ì♥❣ ❤ë✐ tö ❧➔ ❞➣② tê♥❣ r✐➯♥❣ ❝õ❛ ♥â ❜à ❝❤➦♥✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❉♦ ✤â ❞➣② +∞ an ❱➻ ❤ë✐ tö ♥➯♥ ❞➣② tê♥❣ r✐➯♥❣ (sn ) ❝õ❛ ♥â ❤ë✐ tö✳ n=1 (sn ) ❜à ❝❤➦♥✳ ◆❣÷ñ❝ ❧↕✐✱ ❞♦ ❞➣② tê♥❣ r✐➯♥❣ ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❞÷ì♥❣ ❧➔ ❞➣② (sn ) t➠♥❣ ♥➯♥ ♥➳✉ +∞ ❞➣② (sn ) an ❜à ❝❤➦♥ t❤➻ tç♥ t↕✐ ❣✐î✐ ❤↕♥✳ ❉♦ ✤â ❝❤✉é✐ ✶✳✶✳✷✳✶✳ ❉➜✉ ❤✐➺✉ s♦ s→♥❤✳ ✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✶✳✹✳ ❤ë✐ tö✳ n=1 +∞ +∞ an ❈❤♦ ❤❛✐ ❝❤✉é✐ sè ❞÷ì♥❣ bn ✈➔ n=1 n=1 ✭❉➜✉ ❤✐➺✉ s♦ s→♥❤ t❤ù ♥❤➜t✮✳ ●✐↔ sû tç♥ t↕✐ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ n0 ✈➔ ♠ët ❤➡♥❣ sè C>0 an ≤ Cbn ; s❛♦ ❝❤♦ ✈î✐ ♠å✐ n ≥ n0 . ❑❤✐ ✤â t❛ ❝â ❝→❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ s❛✉ +∞ (i) +∞ bn ◆➳✉ ❝❤✉é✐ n=1 +∞ (ii) ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ +∞ ♣❤➙♥ ❦➻✳ n=1 ◆❤÷ ✤➣ ♥â✐ tr♦♥❣ ❤➺ q✉↔ ✶✳✶✳✷✱ ❦❤æ♥❣ ♠➜t t➼♥❤ tê♥❣ n0 = 1✳ +∞ ●å✐ n=1 bn ✳ ✈➔ ✈➔ tn ❧➛♥ ❧÷ñt ❧➔ tê♥❣ r✐➯♥❣ t❤ù {tn } ❑❤✐ ✤â t❛ ❝â n=1 sn ≤ Ctn ; ◆❤÷ ✈➟② ♥➳✉ ❞➣② sn +∞ an ❝õ❛ ❝→❝ ❝❤✉é✐ {sn } bn ♣❤➙♥ ❦➻ t❤➻ ❦➨♦ t❤❡♦ ❝❤✉é✐ n=1 q✉→t t❛ ❝â t❤➸ ❣✐↔ t❤✐➳t n ❤ë✐ tö✳ n=1 an ◆➳✉ ❝❤✉é✐ an ❤ë✐ tö t❤➻ ❦➨♦ t❤❡♦ ❝❤✉é✐ ✈î✐ ♠å✐ ❜à ❝❤➦♥ t❤➻ ❞➣② ❦❤æ♥❣ ❜à ❝❤➦♥ t❤➻ ❞➣② {tn } n ≥ 1. {sn } ❝ô♥❣ ❜à ❝❤➦♥ ✈➔ ♥➳✉ ❞➣② ❝ô♥❣ ❦❤æ♥❣ ❜à ❝❤➦♥✳ ❚ø ✤â t❛ s✉② r❛ ✶✸ ✶✳✶✳ ❈❍❯➱■ ❙➮ ❈❍×❒◆● ✶✳ ▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚ ❦➳t ❧✉➟♥ ❝õ❛ ✤à♥❤ ❧þ✳ ✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✶✳✺ an = k. n→∞ bn lim ✭❉➜✉ ❤✐➺✉ s♦ s→♥❤ t❤ù ❤❛✐✮✳ ●✐↔ sû ❑❤✐ ✤â t❛ ❝â ❝→❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ s❛✉ +∞ (i) ◆➳✉ 0 ≤ k < +∞ an t❤➻ tø sü ❤ë✐ tö ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❦➨♦ t❤❡♦ sü n=1 +∞ an . ❤ë✐ tö ❝õ❛ ❝❤✉é✐ n=1 +∞ (ii) ◆➳✉ 0 < k ≤ +∞ an t❤➻ tø sü ♣❤➙♥ ❦➻ ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❦➨♦ t❤❡♦ n=1 +∞ an . sü ♣❤➙♥ ❦➻ ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ (i) ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ n0 n=1 an =k n→∞ bn ♠å✐ n ≥ n0 ❇ð✐ ✈➻ ✤➸ ✈î✐ lim ✈➔ 0 ≤ k < +∞ ♥➯♥ tç♥ t↕✐ sè an ≤ k + 1 ⇔ an ≤ (k + 1)bn . bn +∞ an ❚❤❡♦ ✤à♥❤ ❧➼ ✶✳✶✳✹ t❤➻ ❝❤✉é✐ ❤ë✐ tö✳ n=1 +∞ (ii) ❚r÷í♥❣ ❤ñ♣ 0 < k ≤ +∞ bn ✈➔ ❝❤✉é✐ ♣❤➙♥ ❦➻✳ ❑❤✐ ✤â t❛ ❝â n=1 1 bn lim = k∗ = k n→∞ an 0 tù❝ ❧➔ khi k = +∞ khi k = +∞ +∞ ∗ 0 ≤ k < +∞✳ an ❚❤❡♦ ♣❤➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ tr➯♥✱ ♥➳✉ ❝❤✉é✐ n=1 +∞ bn ❤ë✐ tö t❤➻ ❝❤✉é✐ ❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✹✳ ❱î✐ ♠å✐ n +∞ an ❝ô♥❣ ♣❤↔✐ ❤ë✐ tö✳ ❉♦ ✤â✱ ❝❤✉é✐ n=1 ♣❤➙♥ ❦➻✳ n=1 +∞ ❳➨t ❝❤✉é✐ 1 . 2 n=1 n t❛ ❝â sn = 1 + 1 1 1 1 1 + ... + ≤ 1 + + + ... + 22 n2 1.2 2.3 (n − 1)n ✶✹ ✶✳✶✳ ❈❍❯➱■ ❙➮ ❈❍×❒◆● ✶✳ ▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚ 1 1 1 1 1 = 1 + 1 − + − + ... + − 2 2 3 n−1 n 1 = 2 − < 2. n ❱➻ ❞➣② tê♥❣ r✐➯♥❣ ❜à ❝❤➦♥ ♥➯♥ ❝❤✉é✐ ❤ë✐ tö t❤❡♦ ✤à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳✸✳ ❚ø ❦➳t q✉↔ tr➯♥ ✤➙② ❝ò♥❣ ❞➜✉ ❤✐➺✉ s♦ s→♥❤ t❤ù ♥❤➜t✱ t❛ ❝ô♥❣ s✉② r❛ ♥❣❛② ❤➔♠ ❘✐❡♠❛♥♥✲③❡t❛ ∞ ζ(s) = 1 ; s n=1 n ✈î✐ s≥2 ❧➔ ♠ët ❝❤✉é✐ ❤ë✐ tö✳ ❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✺✳ +∞ n=1 ❉➵ ❞➔♥❣ ❦✐➸♠ tr❛ r➡♥❣ ♥➳✉ n≥1 π n tan ❳➨t ❝❤✉é✐ 2n+1 π x ∈ 0, 4 . t❤➻ tan x ≤ 2x✳ ❉♦ ✤â✱ ✈î✐ ♠å✐ t❛ ❝â n tan π ≤ n. 2π n = π. . 2n+1 2n 2n+1 +∞ 1 ❤ë✐ tö✳ ▲↕✐ ✈➻ ❚❤❡♦ ✈➼ ❞ö ✶✳✶✳✹✱ ❝❤✉é✐ 2 n=1 n n n n2 2 lim = lim n = 0, n→∞ 1 n→∞ 2 n2 +∞ n ♥➯♥ t❤❡♦ ✤à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳✺✱ ❝❤✉é✐ ❤ë✐ tö✳❚ø ✤â t❤❡♦ ✤à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳✹✱ n n=1 2 +∞ π ❝❤✉é✐ n tan n+1 ❤ë✐ tö✳ 2 n=1 ∞ 1 ✈➔ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ s♦ s→♥❤ t❤ù ♥❤➜t✱ t❛ ❝ô♥❣ ❚ø sü ❤ë✐ tö ❝õ❛ ❝❤✉é✐ 2 n=1 n ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ t➼♥❤ ❤ë✐ tö ❝õ❛ ❤➔♠ ③❡t❛❘✐❡♠❛♥♥ ❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✻✳ ❍➔♠ ③❡t❛❘✐❡♠❛♥♥ ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ∞ ζ(s) = ❤ë✐ tö ❦❤✐ 1 s n=1 n s≥2 ✶✳✶✳✷✳✷✳ ❉➜✉ ❤✐➺✉ ❈❛✉❝❤② ✶✺ ✶✳✶✳ ❈❍❯➱■ ❙➮ ❈❍×❒◆● ✶✳ ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳✻✳ √ n lim n→∞ an = c ✳ ▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚ +∞ an ✳ ✭❉➜✉ ❤✐➺✉ ❈❛✉❝❤②✮✳ ❈❤♦ ❝❤✉é✐ ❞÷ì♥❣ ●✐↔ sû n=1 ❑❤✐ ✤â✱ t❛ ❝â ❝→❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ s❛✉ (i) ◆➳✉ c < 1 t❤➻ ❝❤✉é✐ ✤➣ ❝❤♦ ❤ë✐ tö✳ (ii) ◆➳✉ c > 1 t❤➻ ❝❤✉é✐ ✤➣ ❝❤♦ ♣❤➙♥ ❦➻✳ (i) ◆➳✉ c < 1 t❤➻ tç♥ t↕✐ √ lim n an = c ♥➯♥ tç♥ t↕✐ n0 ✤➸ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ p sè ✤➸ c < p < 1✳ ❱➻ n→∞ √ n +∞ ❱➻ ❝❤✉é✐ an < p ⇔ an < pn ; +∞ pn ◆➳✉ an ❤æ✐ tö✱ ♥➯♥ ❝❤✉é✐ n=1 (ii) n ≥ n0 ✳ ✈î✐ ♠å✐ ❤ë✐ tö t❤❡♦ ✤à♥❤ ❧➼ ✶✳✶✳✹✳ n=1 c>1 t❤➻ tç♥ t↕✐ √ n n0 ✤➸ an > 1 ⇔ an > 1; ✈î✐ ♠å✐ n ≥ n0 . ◆❤÷ ✈➟② ❝❤✉é✐ ♣❤➙♥ ❦ý t❤❡♦ ❤➺ q✉↔ ✶✳✶✳✶✳✶ ❝õ❛ ✤à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳✶✳ ✶✳✶✳✷✳✸✳ ❉➜✉ ❤✐➺✉ ❉✬❆❧❡♠❜❡rt ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳✼✳ +∞ an . ❈❤♦ ❝❤✉é✐ ❞÷ì♥❣ an+1 = d✳ ❑❤✐ ✤â t❛ ❝â ❝→❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ n→∞ an (i) ◆➳✉ d < 1 t❤➻ ❝❤✉é✐ ✤➣ ❝❤♦ ❤æ✐ tö✳ lim (ii) ◆➳✉ d>1 ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû tç♥ t↕✐ ❣✐î✐ ❤↕♥ n=1 s❛✉ t❤➻ ❝❤✉é✐ ✤➣ ❝❤♦ ♣❤➙♥ ❦ý✳ ◆➳✉ an+1 =d n→∞ an d < 1 t❤➻ tç♥ t↕✐ p ✤➸ d < p < 1✳ ❱➻ lim ♥➯♥ tç♥ t↕✐ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ n0 ✤➸ ♠å✐ n ≥ n0 ✈➔ an+1 < p ⇔ an+1 < pan . an ❚ø ✤â✱ t❛ ❝â an0 +1 < an0 q an0 +2 < an0 +1 q 2 < an0 q 2 ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ an0 +k < an0 q k +∞ ❱➻ ❝❤✉é✐ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ an 0 q k +∞ an ❤æ✐ tö✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔ ❝❤✉é✐ n=1 n=1 ✶✻ ❤ë✐ tö t❤❡♦ ✤à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳ ❈❍❯➱■ ❙➮ ❈❍×❒◆● ✶✳ ▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚ ✶✳✶✳✶✳ ◆➳✉ d>1 t❤➻ tç♥ t↕✐ n0 an+1 >1 an ❱➟② ❦❤æ♥❣ ❝â n ≥ n0 ✤➸ ♠å✐ lim an = 0 ✈➔ an+1 > an ≥ an0 . ❤❛② ♥➯♥ ❝❤✉é✐ ♣❤➙♥ ❦ý✳ ✶✳✶✳✷✳✹✳ ❉➜✉ ❤✐➺✉ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ❈❛✉❝❤② +∞ ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳✽✳ an n→∞ ❈❤♦ ❝❤✉é✐ sè ❞÷ì♥❣ ✳ ●➾❛ sû f (x) ❧➔ ♠ët ❤➔♠ n=1 ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❣✐↔♠ ✈➔ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ f (n) = an ; [1; +∞) ✈î✐ ♠å✐ n = 1, 2, ... ∞ +∞ an ❑❤✐ ✤â✱ ❝❤✉é✐ s❛♦ ❝❤♦ f (t)dt ❝ò♥❣ ❤ë✐ tö ❤♦➦❝ ❝ò♥❣ ♣❤➙♥ ✈➔ t➼❝❤ ♣❤➙♥ n=1 1 ❦ý✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚ø ❣✐↔ t❤✐➳t ❝õ❛ ✤à♥❤ ❧þ✱ ✈î✐ ♠å✐ ♥❤✐➯♥ k ≥ 1✱ x ∈ [k, k + 1] ✈➔ sè tü t❛ ✤➲✉ ❝â ak+1 = f (k + 1) ≤ f (x) ≤ f (k) = ak . (1.4) ❚ø ✤â✱ t❛ ❝â k+1 ak+1 ≤ f (x)dx ≤ ak . k ▲➜② tê♥❣ ❝→❝ ✈➳ ❝õ❛ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥ t❤❡♦ k+1 n ak+1 ≤ k=1 k tø 1 ✤➳♥ n t❛ ✤÷ñ❝ n f (x)dx ≤ ak k=1 1 ❤❛② n+1 sn+1 − a1 ≤ f (x)dx ≤ sn ; (1.5) 1 +∞ tr♦♥❣ ✤â ❦➨♣ (1.5) sn ❧➔ tê♥❣ r✐➯♥❣ t❤ù t❛ t❤➜② r➡♥❣ ❞➣② n {sn } ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ak ✳ ❚ø ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ k=1 n+1 f (x)dx ✈➔ t➼❝❤ ♣❤➙♥ 1 ✶✼ ❝ò♥❣ ❜à ❝❤➦♥ ✶✳✶✳ ❈❍❯➱■ ❙➮ ❈❍×❒◆● ✶✳ ▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚ ❤♦➦❝ ❝ò♥❣ ❦❤æ♥❣ ❜à ❝❤➦♥✳ ✣✐➲✉ ✤â ❝❤♦ t❛ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ❝õ❛ ✤à♥❤ ❧þ✳ ❈❤óaþ✳ lim ❑❤✐ →♣ ❞ö♥❣ ❞➜✉ ❤✐➺✉ ❉✬❆❧❡♠❜❡rt ❤❛② ❞➜✉ ❤✐➺✉ ❈❛✉❝❤② ♥➳✉ n+1 n→∞ an =1 ❤♦➦❝ lim √ n n→∞ an = 1 t❤➻ ❝❤÷❛ ❦➳t ❧✉➟♥ ✤÷ñ❝ ❣➻ ✈➲ sü ❤ë✐ tö ❤❛② ♣❤➙♥ ❦ý ❝õ❛ ❝❤✉é✐✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ ♥➳✉ tø ♠ët sè ♠➔ an+1 ≥1 an n0 ♥➔♦ ✤â trð ✤✐ t❤➻ ❝â t❤➸ s✉② r❛ am ≥ an0 ; ∀m ≥ n0 . ✣✐➲✉ ✤â ❝❤♦ t❛ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ❞➣② an ❦❤æ♥❣ t✐➳♥ ✤➳♥ n → +∞ ✈➔ tr♦♥❣ ✤â ❝→❝ sè an 0 ❦❤✐ +∞ an ♥❤÷ ✈➟② ❝❤✉é✐ ♣❤➙♥ ❦ý✳ n=1 ✶✳✶✳✸ ❈❤✉é✐ ✈î✐ sè ❤↕♥❣ ❝â ❞➜✉ tò② þ ✶✳✶✳✸✳✶✳ ❈❤✉é✐ ✤❛♥ ❞➜✉ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ +∞ ▼ët ❝❤✉é✐ sè ❝â ❞↕♥❣ (−1)n−1 an n=1 ❝ò♥❣ ❞➜✉ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝❤✉é✐ ✤❛♥ ❞➜✉✳ ✶✳✶✳✸✳✷✳ ❙ü ❤ë✐ tö ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳✾ ✭❉➜✉ ❤✐➺✉ ▲❡✐❜♥✐③✮✳ ●✐↔ sû ❞➣② ✈➔ lim an = 0. n→∞ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ +∞ ❑❤✐ ✤â✱ ❝❤✉é✐ (−1)n−1 an {an } ❧➔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❣✐↔♠ ❤ë✐ tö✳ n=1 ●å✐ {sn } ❧➔ ❞➣② tê♥❣ r✐➯♥❣ ❝õ❛ ❝❤✉é✐✳ ❇ð✐ ✈➻ s2m = (a1 − a2 ) + (a3 − a4 ) + ... + (a2m−1 − a2m ) ❝→❝ sè ❤↕♥❣ tr♦♥❣ ♥❣♦➦❝ ✤➲✉ ❦❤æ♥❣ ➙♠ ♥➯♥ ❞➣② {s2m } ✤ì♥ ✤✐➺✉ t➠♥❣✳ ▼➦t ❦❤→❝✱ t❛ ❧↕✐ ❝â t❤➸ ✈✐➳t s2m = a1 − [(a2 − a3 ) + (a4 − a5 ) + ... + (a2m−2 − a2m−1 ) + a2m ]. ❉♦ ✤â✱ s2m ≤ a1 ✤✐➺✉✳ ❚ø ✤â✱ ❞÷ì♥❣ N1 ✤➸ m✳ ❱➟② {s2m } ❤ë✐ tö t❤❡♦ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ✤ì♥ ♥➳✉ lim s2m = s t❤➻ ✈î✐ ♠å✐ ε > 0 tç♥ t↕✐ sè ♥❣✉②➯♥ m→∞ N1 t❛ ✤➲✉ ❝â ✈î✐ ♠å✐ m ≥ 2 ε |s2m − s| < . 2 ✈î✐ ♠å✐ ✶✽ ✶✳✶✳ ❈❍❯➱■ ❙➮ ▲↕✐ ✈➻ ❈❍×❒◆● ✶✳ lim an = 0 n→∞ ✈î✐ ♠å✐ n ≥ N2 ♥➯♥ ✈î✐ ♠å✐ ε>0 ▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚ tç♥ t↕✐ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ N2 ✤➸ ❝ô♥❣ ❝â ε |an | < . 2 ✣➦t N = max{N1 , N2 } t❤➻ ✈î✐ ♠å✐ n ≥ N t❛ ❝â ε |sn − s| < ; ✈î✐ n ❝❤➤♥✳ 2 ❱î✐ n ❧➫ t❤➻ n + 1 ❝❤➤♥ ♥➯♥ t❛ ❝ô♥❣ ❝â |sn − s| = |sn+1 − s − an+1 | ≤ |sn+1 − s| + |an+1 | < ◆❤÷ t❤➳✱ ✈î✐ ♠å✐ n≥N ε ε + = ε. 2 2 t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ 1 |sn − s| < ε . 2 ❱➟② lim sn = s✱ n→∞ tù❝ ❧➔ ❝❤✉é✐ ✤➣ ❝❤♦ ❤ë✐ tö ✈➔ ❝â tê♥❣ ❜➡♥❣ ✤❛♥ ❞➜✉ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝õ❛ ✤à♥❤ ❧➼ 1.1.9 s✳ ❈❤✉é✐ ❣å✐ ❧➔ ❝❤✉é✐ ▲❡✐❜♥✐③✳ ❱➟② ❝❤✉é✐ ▲❡✐❜♥✐③ ❤ë✐ tö✳ ✶✳✶✳✸✳✸✳ ❈❤✉é✐ ❤ë✐ tö +∞ t✉②➺t ✤è✐ ✈➔ ❝❤✉é✐ ❜→♥ ❤ë✐ tö ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ an ❈❤✉é✐ sè ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤ë✐ tö t✉②➺t ✤è✐ ♥➳✉ ❝❤✉é✐ n=1 +∞ +∞ |an | n=1 +∞ an ❤ë✐ tö✳ ❑❤✐ ❝❤✉é✐ |an | ❤ë✐ tö ♥❤÷♥❣ ❝❤✉é✐ n=1 ♣❤➙♥ ❦ý n=1 +∞ an t❤➻ ❝❤✉é✐ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❜→♥ ❤ë✐ tö✳ ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳✶✵✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ n=1 ▼ët ❝❤✉é✐ ❤ë✐ tö t✉②➺t ✤è✐ ❧➔ ❤ë✐ tö✳ +∞ |an | ❤ë✐ tö t❤➻ t❤❡♦ ✤à♥❤ ❧þ 1.1.1✱ ✈î✐ ♠å✐ ◆➳✉ ❝❤✉é✐ ε>0 n=1 tç♥ t↕✐ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ N ✤➸ ✈î✐ ♠å✐ n≥N ✈➔ ♠å✐ p ∈ N∗ t❛ ❝â ✤→♥❤ ❣✐→ |an+1 + an+2 + ... + an+p | ≤ |an+1 | + |an+2 | + ... + |an+p | < ε. +∞ an ◆❤÷ ✈➟②✱ ❝❤✉é✐ ❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✼✳ ❤ë✐ tö t❤❡♦ ✤à♥❤ ❧þ 1.1.1✳ n=1 +∞ ❈❤✉é✐ n=1 (−1)n+1 1 n ❤ë✐ tö t❤❡♦ ❞➜✉ ❤✐➺✉ ▲❡✐❜♥✐③ ✭✤à♥❤ ✶✾ ✶✳✶✳ ❈❍❯➱■ ❙➮ ❈❍×❒◆● ✶✳ ▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚ +∞ +∞ ❧þ 1 n=1 n 1.1.9✮ ♥❤÷♥❣ ❝❤✉é✐ ♣❤➙♥ ❦ý✳ ❉♦ ✤â ❝❤✉é✐ (−1)n+1 n=1 1 n ❧➔ ❜→♥ ❤ë✐ tö✳ ❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✽✳ +∞ ❈❤✉é✐ sin nx . 2 n=1 n +∞ 1 +∞ |sin nx| |sin nx| 1 ≤ , t❛ ✤➣ ❜✐➳t ❝❤✉é✐ ❤ë✐ tö ♥➯♥ ❝❤✉é✐ 2 n2 n2 n2 n=1 n n=1 +∞ sin nx ❤ë✐ tö t✉②➺t ✤è✐✳ tö✳ ❱➟② ❝❤✉é✐ 2 n=1 n ❚❛ ❝â ❤ë✐ ✶✳✶✳✸✳✹✳ ❈→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❤ë✐ tö ❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳ +∞ an ✭t➼♥❤ ❝❤➜t ❦➳t ❤ñ♣✮✳ ◆➳✉ ❝❤✉é✐ ❧➔ s ❤ë✐ tö ✈➔ ❝â tê♥❣ n=1 t❤➻ ❝❤✉é✐ (a1 + a2 + ... + an1 ) + (an1 +1 + an1 +2 + ... + an2 ) + ... +(ank−1 +1 + ank−1 +2 + ... + ank ) + ...; ❝ô♥❣ ❤ë✐ tö ✈➔ ❝â tê♥❣ ❧➔ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ r✐➯♥❣ t❤ù n ●å✐ tk (∗) s. ❧➔ tê♥❣ r✐➯♥❣ t❤ù k ❝õ❛ ❝❤✉é✐ (∗) ✈➔ sn ❧➔ tê♥❣ +∞ an ✳ ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❚❛ ❝â n=1 tk = snk . ❉♦ ✤â✱ tø lim sn = s s✉② r❛ lim tk = lim snk = s. ❱➟② t❛ ❝â ✤✐➲✉ ❝➛♥ n→∞ n→∞ n→∞ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ✷✳ +∞ an ✭t➼♥❤ ❝❤➜t ❣✐❛♦ ❤♦→♥✮✳ ◆➳✉ ❝❤✉é✐ sè ❤ë✐ tö t✉②➺t n=1 +∞ ✤è✐ ✈➔ ❝â tê♥❣ ❧➔ s bn t❤➻ ❝❤✉é✐ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ✤ê✐ ❝❤é tò② n=1 +∞ an þ ❝→❝ sè ❤↕♥❣ ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ s✳ +∞ an ❱➻ ❝❤✉é✐ tö✳ ❉♦ ✤â✱ t❤❡♦ ✤à♥❤ ❧þ n1 ❝ô♥❣ ❤ë✐ tö ✈➔ ❝â tê♥❣ ❜➡♥❣ n=1 +∞ n=1 1.1.1✱ |an | ❤ë✐ tö t✉②➺t ✤è✐ ♥➯♥ ❝❤✉é✐ ❤ë✐ n=1 ✈î✐ ♠å✐ ✤➸ ✷✵ ε>0 tç♥ t↕✐ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ ✶✳✷✳ ❈❍❯➱■ ❍⑨▼ ❙➮ ❈❍×❒◆● ✶✳ |ai | < i∈F ✈î✐ ♠å✐ t➟♣ ❝♦♥ ❤ú✉ ❤↕♥ ●å✐ sn ✈➔ tn ▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚ ε 2 F ⊂ {n ∈ N : n > n1 }. ❧➛♥ ❧÷ñt ❧➔ tê♥❣ r✐➯♥❣ t❤ù n +∞ an ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ✈➔ ❝❤✉é✐ n=1 +∞ bn ✳ n=1 ●✐↔ sû lim sn = s✳ n→∞ ❑❤✐ ✤â tç♥ t↕✐ n2 ≥ n1 s❛♦ ❝❤♦ ✈î✐ ♠å✐ n ≥ n2 ε |sn − s| < . 2 n3 ≥ n2 s❛♦ ❝❤♦ ❝→❝ sè ❤↕♥❣ a1 , a2 , ..., an2 ❝â ❤↕♥❣ b1 , b2 , ..., bn3 . ❑❤✐ ✤â ✈î✐ ♠å✐ n ≥ n3 ✱ t❛ ❝â ❈❤å♥ sè ✤õ ♠➦t tr♦♥❣ ❝→❝ |tn − s| = |tn − sn0 + sn0 − s| ≤ |tn − sn0 | + |sn0 − s| < lim tn = s✳ ❱➟② t❛ ❝ô♥❣ ❝â n→∞ ε ε + = ε. 2 2 ✣à♥❤ ❧þ tr➯♥ ❝❤➾ ✤ó♥❣ ✈î✐ ❝❤✉é✐ ❤ë✐ tö +∞ an t✉②➺t ✤è✐✳ ❈á♥ ♥➳✉ ❝❤✉é✐ sè ❜→♥ ❤ë✐ tö t❤➻ t❛ ❝â t❤➸ t❤❛② ✤ê✐ n=1 t❤ù tü ❝õ❛ ❝→❝ sè ❤↕♥❣ ❝õ❛ ♥â ✤➸ t❤✉ ✤÷ñ❝ ❝❤✉é✐ ❤ë✐ tö ✈➔ ❝â tê♥❣ ❜➡♥❣ ♠ët sè ❜➜t ❦➻ ❝❤♦ tr÷î❝ ❤♦➦❝ trð ♥➯♥ ♣❤➙♥ ❦ý✳ ✶✳✷ ❈❤✉é✐ ❤➔♠ sè ✶✳✷✳✶ ▼ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❝ì ❜↔♥ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ ❈❤♦ ❞➣② ❤➔♠ {un (x)} ❝ò♥❣ ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ t➟♣ X ⊂ R✳ ●å✐ tê♥❣ ✈æ ❤↕♥ +∞ u1 (x) + u2 (x) + ... + un (x) + ... = un (x), (1.7) n=1 X ❍➔♠ un (x) ❣å✐ ❧➔ sè ❤↕♥❣ t❤ù n ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❤➔♠✳ ❍➔♠ sn (x) = u1 (x) + u2 (x) + ... + un (x) ❣å✐ ❧➔ tê♥❣ ❧➔ ♠ët ❝❤✉é✐ ❤➔♠ ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ ✰ ✰ ❝❤✉é✐ ❤➔♠✳ ✷✶ r✐➯♥❣ t❤ù n ❝õ❛ ✶✳✷✳ ❈❍❯➱■ ❍⑨▼ ❙➮ ❈❍×❒◆● ✶✳ ▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚ x ∈ X ❣å✐ ❧➔ ✤✐➸♠ ❤ë✐ tö ❤❛② ♣❤➙♥ ❦ý ❝õ❛ ❝❤✉é✐ (1.7) ♥➳✉ ❞➣② tê♥❣ r✐➯♥❣ {sn (x)} ❝õ❛ ♥â ❤ë✐ tö ❤❛② ♣❤➙♥ ❦ý t↕✐ ✤✐➸♠ ♥➔②✳ ◆➳✉ X0 ❧➔ ♠✐➲♥ ❤ë✐ tö ❝õ❛ ❞➣② {sn (x)} t❤➻ t❛ ❝ô♥❣ ❣å✐ X0 ❧➔ ♠✐➲♥ ❤ë✐ tö ❝õ❛ ❝❤✉é✐ (1.7)✳ ◆➳✉ sn (x) → u(x) tr➯♥ X0 t❤➻ t❛ ❝ô♥❣ ✈✐➳t ✰ ✣✐➸♠ +∞ un (x) = u(x); x ∈ X0 n=1 ✈➔ ❣å✐ u(x) ❧➔ tê♥❣ ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❤➔♠✳ ❙ü ❤ë✐ tö ✈➔ ❤ë✐ tö ✤➲✉ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ (1.7) ❈❤✉é✐ ❤➔♠ ♠é✐ x∈X ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤ë✐ tö tr➯♥ ♠✐➲♥ X ♥➳✉ ✈î✐ ε > 0 ✤➲✉ tç♥ t↕✐ ♠ët sè tü ♥❤✐➯♥ n0 = n0 (ε, x) x s❛♦ ❝❤♦ ✈î✐ ♠å✐ n > n0 ✈➔ ✈î✐ ♠å✐ ε ♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦ ✈➔ +∞ uk (x) < ε. ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ k=n+1 ❈❤✉é✐ ❤➔♠ (1.7) ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤ë✐ tö ✤➲✉ tr➯♥ ♠✐➲♥ X X ✳ ◆â✐ ❝→❝❤ ❦❤→❝✱ ❝❤✉é✐ ❤➔♠ sè (1.7) ❤ë✐ tö ✤➲✉ tr➯♥ X ♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐ ε > 0 ✤➲✉ tç♥ t↕✐ ♠ët sè tü ♥❤✐➯♥ n0 = n0 (ε) ♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦ x s❛♦ ❝❤♦ ❦❤✐ n > n0 ♥➳✉ ❝→❝ ❞➣② tê♥❣ r✐➯♥❣ ❝õ❛ ♥â ❤ë✐ tö ✤➲✉ tr➯♥ +∞ uk (x) < ε, ✈î✐ ♠å✐ x ∈ X. k=n+1 ✶✳✷✳✷ ❈→❝ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ❤ë✐ tö ✤➲✉ ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❤➔♠ sè ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✷✳✶ ✤➲✉ tr➯♥ t➟♣ ♥❤✐➯♥ +∞ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ✈î✐ sè n0 = n0 (ε) p x✮ ❝❤♦ tr÷î❝ tç♥ t↕✐ sè tü s❛♦ ❝❤♦ ✈î✐ ♠å✐ n > n0 ✈➔ un (x) ❤ë✐ t❛ ❝â |sn+p (x) − sn (x)| < ε; X ε > 0 ✭❦❤æ♥❣ ♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦ ♠å✐ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ tö ✤➲✉ tr➯♥ ❤ë✐ tö n=1 X ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ un (x) ✭❚✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ❈❛✉❝❤②✮✳ ❈❤✉é✐ ❤➔♠ sè ✈î✐ ♠å✐ x ∈ X. +∞ ❚❤➟t ✈➟②✱ t❤❡♦ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝❤✉é✐ ❤➔♠ n=1 ✤➳♥ tê♥❣ S(x) ❝õ❛ ♥â ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ❞➣② ❤➔♠ tê♥❣ ✷✷ ✶✳✷✳ ❈❍❯➱■ ❍⑨▼ ❙➮ ❈❍×❒◆● ✶✳ ▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚ n r✐➯♥❣ Sn (x) = uk (x) ❤ë✐ tö ✤➲✉ tr➯♥ X ✤➳♥ S(x)✳ ❚❤❡♦ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ k=1 n ❈❛✉❝❤② ✈➲ ❞➣② ❤➔♠ sè t❛ ❝â ❞➣② ❤➔♠ tê♥❣ r✐➯♥❣ Sn (x) = uk (x) k=1 ❤ë✐ tö t✉②➺t ✤è✐ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ✈î✐ ε>0 n0 = n0 (ε) ✈➔ ✈î✐ ♠å✐ s❛♦ ❝❤♦ ✈î✐ ♠å✐ n > n0 |sn+p (x) − sn (x)| < ε; ❝❤♦ tr÷î❝ tç♥ t↕✐ sè tü ♥❤✐➯♥ p ∈ N∗ ✈î✐ ♠å✐ t❛ ❝â x ∈ X✳ ❱➟② t❛ ❝â ✤✐➲✉ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✷✳✷ +∞ un (x)✳ ✭t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ❲❡✐❡rstr❛ss✮✳ ❈❤♦ ❝❤✉é✐ ❤➔♠ sè n=1 ◆➳✉ ✈î✐ ♠å✐ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ n t❛ ❝â |un (x)| ≤ Cn ; ✈î✐ ♠å✐ x∈X +∞ Cn ✈➔ ❝❤✉é✐ sè ❤ë✐ tö t❤➻ ❝❤✉é✐ ❤➔♠ ✤➣ ❝❤♦ ❤ë✐ tö t✉②➺t ✤è✐ ✈➔ ✤➲✉ n=1 tr➯♥ X. ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ +∞ +∞ ❱î✐ ♠å✐ un (x) sè |un (x)| ✈➔ n=1 x∈X t❤❡♦ ❞➜✉ ❤✐➺✉ s♦ s→♥❤ t❛ ❝â ❝→❝ ❝❤✉é✐ ❤ë✐ tö✳ ✣➦t n=1 +∞ u(x) = +∞ un (x) ✈➔ n=1 +∞ Cn ❱➻ ❝❤✉é✐ ❤ë✐ tö ♥➯♥ |un (x)|✳ σn = n=1 ∀ε > 0, ∃N : ∀n ≥ N, ∀p ∈ N∗ ✱ t❛ ❝â n=1 Cn+1 + Cn+2 + ... + Cn+p < ε. ❈❤♦ p→∞ t❛ ✤÷ñ❝ +∞ Cn+1 = Cn+1 + Cn+2 + ... < ε. n=1 ❚ø ✤â✱ ✈î✐ ♠å✐ n≥N n u(x) − +∞ un+i (x) ≤ uk (x) = k=1 +∞ i=1 ✷✸ |un+i (x)| i=1 ✶✳✷✳ ❈❍❯➱■ ❍⑨▼ ❙➮ ❈❍×❒◆● ✶✳ ▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚ +∞ n |un+i (x)| ≤ = σ(x) − ❉♦ ✤â Cn+i < ε. i=1 i=1 n uk (x) ❈❤✉é✐ u(x) ❤ë✐ tö ✤➲✉ ✤➳♥ tr➯♥ X k=1 n |uk (x)| ❈❤✉é✐ σ(x) ❤ë✐ tö ✤➲✉ ✤➳♥ tr➯♥ X✳ k=1 ❱➼ ❞ö ✶✳✷✳✶✳ R✳ +∞ ❈❤✉é✐ ❤➔♠ sè cos nx 2 2 n=1 n + x ❤ë✐ tö t✉②➺t ✤è✐ ✈➔ ✤➲✉ tr➯♥ ❱➻ t❛ ❝â 1 |cos nx| ≤ ; ∀n, ∀x ∈ R n2 + x2 n2 +∞ ✈➔ ❝❤✉é✐ 1 2 n=1 n ❱➼ ❞ö ✶✳✷✳✷✳ [ − 1; 1]✱ ❤ë✐ tö✳ xn √ n=1 n n +∞ ❈❤✉é✐ ❤➔♠ sè ❤ë✐ tö t✉②➺t ✤è✐ ✈➔ ✤➲✉ tr➯♥ ✈➻ t❛ ❝â |x|n 1 √ ≤ √ ; ∀n, ∀x ∈ [ − 1; 1] n n n n +∞ ✈➔ ❝❤✉é✐ 1 ❤ë✐ tö✳ 3 n2 ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✷✳✸ n=1 {bn (x)} ✭❞➜✉ ❤✐➺✉ ❉✐r✐❝❤❧❡t✮ ❈❤♦ ❤❛✐ ❞➣② ❤➔♠ ❝ò♥❣ ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ t➟♣ X✳ {an (x)} ✈➔ ●✐↔ t❤✐➳t +∞ (i) sn (x) ❉➣② tê♥❣ r✐➯♥❣ an (x) ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❤➔♠ ❜à ❝❤➦♥ ✤➲✉ tr➯♥ n=1 X ❝â ♥❣❤➽❛ ❧➔ tç♥ t↕✐ sè M >0 s❛♦ ❝❤♦ n |sn (x)| = ak (x) ≤ M ; ∀n, ∀x ∈ X. k=1 (ii) ❉➣② ❤➔♠ {bn } ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝â ♥❣❤➽❛ ❧➔ ✈î✐ ♠é✐ ❞➣② sè ✤ì♥ ✤✐➺✉ ✈➔ ❞➣② ❤➔♠ {bn } ❤ë✐ tö ✤➲✉ tr➯♥ x ∈ X ❞➣② bn (x) X ✤➳♥ 0✳ ❧➔ +∞ an (x)bn (x) ❑❤✐ ✤â ❝❤✉é✐ ❤➔♠ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ {bn } ❚❛ ❝â t❤➸ ①❡♠ ❤ë✐ tö ✤➲✉ tr➯♥ ❑❤✐ ✤â ✈î✐ ❤ë✐ tö ✤➲✉ tr➯♥ X✳ n=1 ε>0 X ✤➳♥ {bn } ❧➔ ❞➣② ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❣✐↔♠ ✈➔ ❞➣② ❤➔♠ 0✳ tç♥ t↕✐ sè tü ♥❤✐➯♥ ✷✹ n0 = n0 (ε) s❛♦ ❝❤♦ ✶✳✷✳ ❈❍❯➱■ ❍⑨▼ ❙➮ ❈❍×❒◆● ✶✳ 0 < bn (x) < ▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚ ε ; ∀n > n0 , ∀x ∈ X. 2M ❚ø ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ♥➔② ✤ç♥❣ t❤í✐ ❦➳t ❤ñ♣ ✈î✐ ❣✐↔ t❤✐➳t ❝õ❛ ✤à♥❤ ❧þ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ n+m n+m bk (x)[sk (x) − sk−1 (x)] bk (x)ak (x) = k=n k=n = |−bn (x)sn−1 (x) + [bn (x) − bn−1 (x)]sn (x)| + ...+[bn+m−1 (x)−bn+m (x)]sn+m−1 (x)+bn+ (x)sn+m (x) ≤ M [bn (x)+(bn (x)−bn+1 (x))+...+(bn+m−1 (x)−bn+m (x))+bn+m (x)] = +∞ ∗ 2M bn (x) < ε; ∀x ∈ X, ∀n > n0 , ∀m ∈ N . ❱➟② ❝❤✉é✐ ❤➔♠ an (x)bn (x) n=1 X✳ ❤ë✐ tö ✤➲✉ tr➯♥ ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✷✳✹ ✭❉➜✉ ❤✐➺✉ ❆❜❡❧✮✳ ❈❤♦ ❤❛✐ ❞➣② ❤➔♠ ❝ò♥❣ ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ t➟♣ X✳ {an (x)} ✈➔ {bn (x)} ●✐↔ t❤✐➳t +∞ (i) an (x) ❈❤✉é✐ ❤➔♠ ❤ë✐ tö ✤➲✉ tr➯♥ X✳ n=1 (ii) ❉➣② ❤➔♠ ♥❣❤➽❛ ❧➔ ✈î✐ ♠å✐ M >0 {bn (x)} ✤ì♥ ✤✐➺✉ ✈î✐ ♠å✐ x ∈ X✱ ❞➣② sè bn (x) x∈X ✈➔ ❜à ❝❤➦♥ ✤➲✉✳ ❈â ❧➔ ❞➣② ✤ì♥ ✤✐➺✉ ✈➔ tç♥ t↕✐ sè s❛♦ ❝❤♦ |bn (x)| ≤ M ; ∀n ∈ N∗ , ∀x ∈ X. +∞ an (x)bn (x) ❑❤✐ ✤â ❝❤✉é✐ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❤ë✐ tö ✤➲✉ tr➯♥ X✳ n=1 s❛♦ ❝❤♦ (i) ✈î✐ ε > 0 tç♥ t↕✐ sè tü ♥❤✐➯♥ n0 = n0 (ε) ✈î✐ ♠å✐ n > n0 ✈➔ ♠å✐ sè tü ♥❤✐➯♥ m t❛ ✤➲✉ ❝â n+m ε |sn+m (x) − sn (x)| = ak (x) < ; ∀x ∈ X. 3M k=n+1 ❚ø ❣✐↔ t❤✐➳t tr♦♥❣ ✤â n sn = ak (x)✳ k=1 ✣➦t σ1 (x) = an+1 (x) = sn+1 (x) − sn (x) σ2 (x) = an+1 (x) + an+2 (x) = sn+2 (x) − sn (x) ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✷✺ ✶✳✷✳ ❈❍❯➱■ ❍⑨▼ ❙➮ ❈❍×❒◆● ✶✳ ▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚ σm (x) = an+1 (x) + ... + an+1 (x) = sn+m (x) − sn (x) ❑❤✐ ✤â |σj (x)| < ε ; ∀j = 1, 2, ..., m 3M ✈➔ +∞ ak (x)bk (x) = bn+1 α1 + bn+2 (α2 − α1 ) + ... + bn+m (αm − αm−1 ) n=1 = (bn+1 −bn+2 )α1 +(bn+2 −bn+3 )α2 +...+(bn+m−1 −bn+m )αm−1 +bn+m αm ❇➙② ❣✐í t❛ ❣✐↔ sû {bn } ❧➔ ❞➣② ✤ì♥ ❞✐➺✉ t➠♥❣ ✭tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ❧➔ ❞➣② ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❣✐↔♠ ✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ t÷ì♥❣ tü✮✳ ❑❤✐ ✤â ✈î✐ ♠å✐ ♠å✐ n ∈ N∗ n > n0 ✈➔ ✈î✐ t❛ ❝â n+m ak (x)bk (x) ≤ k=n+1 ≤ ε 3M n+m |bk (x) − bk+1 (x)| + |bn+m (x)| k=n+1 ε (|bn+1 (x) − bn+m (x)| + |bn+m (x)|) < ε; ∀x ∈ X. 3M +∞ an (x)bn (x) ❉♦ ✤â ❝❤✉é✐ ❤➔♠ ❤ë✐ tö ✤➲✉ tr➯♥ X✳ n=1 ✶✳✷✳✸ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❤➔♠ sè ❣✐î✐ ❤↕♥ ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❤➔♠ ❤ë✐ tö ✤➲✉ ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✷✳✺✳ +∞ ❝→❝ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣ I✱ n=1 ❤ë✐ tö ✤➲✉ ✈➔ ❝â tê♥❣ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ un (x) ◆➳✉ ❝❤✉é✐ s(x) t❤➻ ❤➔♠ s(x) ❝ô♥❣ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ I✳ n ❳➨t ❞➣② ❤➔♠ tê♥❣ r✐➯♥❣ sn (x) = uk (x), t❤❡♦ ❣✐↔ k=1 sn (x) ❤ë✐ tö ✤➲✉ tr➯♥ X ✤➳♥ s (x) , ♥➯♥ t❤❡♦ t➼♥❤ ❧✐➯♥ tö❝ ❝õ❛ ❞➣② ❤➔♠ t❤➻ s (x) ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ t❤✐➳t ❝õ❛ ✤à♥❤ ❧þ ❝❤ó♥❣ ❧➔ ♥❤ú♥❣ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝ ✈➔ X✳ ❍➺ q✉↔✳ ◆➳✉ ❝❤✉é✐ ❤➔♠ sè ❝â ❝→❝ sè ❤↕♥❣ ❧✐➯♥ tö❝ ♠➔ ❤ë✐ tö tî✐ ♠ët ❤➔♠ sè ❣✐→♥ ✤♦↕♥ tr➯♥ ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✷✳✻✳ X t❤➻ ❝❤✉é✐ ❤➔♠ ❤ë✐ tö ❦❤æ♥❣ ✤➲✉ tr➯♥ X✳ +∞ un (x) ❈❤♦ ❝❤✉é✐ ❝→❝ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ [a, b]✳ ◆➳✉ n=1 ❝❤✉é✐ ❧➔ ❤ë✐ tö ✤➲✉ ✈➔ ❝â tê♥❣ ❧➔ s(x) t❤➻ s(x) ❝ô♥❣ ❦❤↔ t➼❝❤ tr➯♥ [a, b] ✈➔ ✷✻ ✶✳✷✳ ❈❍❯➱■ ❍⑨▼ ❙➮ ❈❍×❒◆● ✶✳ b b +∞ a n=1 s(x)dx = a ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ +∞ b un (x)dx ❚❤❡♦ ❣✐↔ t❤✐➳t ▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚ = un (x)dx. n=1 a s(x) ❧➔ tê♥❣ ❝õ❛ ♠ët ❝❤✉é✐ ❤➔♠ sè ❤ë✐ [a, b] ❝â ❝→❝ sè ❤↕♥❣ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ ✤â✱ [a, b]✱ ♥➯♥ s(x) ❦❤↔ t➼❝❤ tr➯♥ [a, b]✳ ❳➨t ❤✐➺✉ tö ✤➲✉ tr➯♥ tr➯♥ b b s(x)dx − a n0 a s❛♦ ❝❤♦ ❦❤✐ s(x) ❧✐➯♥ tö❝ b [s(x) − sn (x)]dx. sn (x)dx = a [a, b]✱ ♥➯♥ ∀ε > 0✱ t➻♠ ✤÷ñ❝ sè ♥❣✉②➯♥ ❱➻ ❝❤✉é✐ ❤➔♠ sè ❤ë✐ tö ✤➲✉ tr➯♥ ❞÷ì♥❣ ❞♦ ✈➟② n > n0 ε ; ∀x ∈ [a, b]. b−a |sn (x) − s(x)| < ❉♦ ✤â b b s(x)dx − a b sn (x)dx < a a ε dx = ε. b−a ❱➟② b b s(x)dx = lim n→∞ a a n sn (x)dx = lim n→∞ k=1 b = ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✷✳✼✳ s(x)✱ b uk (x)dx a b u1 (x)dx + ... + a un (x)dx + .... a +∞ un (x) ❈❤♦ ❝❤✉é✐ ❤➔♠ sè ❤ë✐ tö ✤➲✉ tr➯♥ (a, b) tî✐ n=1 ❝→❝ sè ❤↕♥❣ un (x) ❧✐➯♥ tö❝ ❝ò♥❣ ✈î✐ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ tr➯♥ +∞ (a, b)✳ u n (x) ❑❤✐ ✤â ♥➳✉ ❝❤✉é✐ ✤↕♦ ❤➔♠ ❤ë✐ tö ✤➲✉ tr➯♥ n=1 tê♥❣ s(x) ❦❤↔ ✈✐ tr➯♥ (a, b) ✈➔ t❛ ❝â +∞ s (x) = +∞ un (x) = n=1 ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✷✳✽✳ u n (x). n=1 ✭✣à♥❤ ❧þ ❚❛♥♥❡②✮ ●✐↔ sû r➡♥❣ (i) ❱î✐ ♠é✐ sè tü ♥❤✐➯♥ ∞ n✱ ak (n) ❝❤✉é✐ k=1 ✷✼ ❤ë✐ tö✳ (a, b) t❤➻ ✶✳✸✳ ❈❍❯➱■ ▲Ô❨ ❚❍Ø❆ (ii) ❱î✐ ♠é✐ ❈❍×❒◆● ✶✳ ▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚ k ✱ lim ak (n) = ak ✳ n→∞ (iii) |ak (n)| ≤ Mk ∞ ✈î✐ ♠å✐ n Mk tr♦♥❣ ✤â ❝❤✉é✐ ❤ë✐ tö✳ ❑❤✐ ✤â k=1 ∞ ∞ lim ak (n) = n→∞ k=1 ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❈❤♦ ❝❤✉é✐ tç♥ t↕✐ ♠ët sè ak . k=1 ε > 0✳ ❑❤✐ m1 s❛♦ ❝❤♦ ✤â t❤❡♦ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ❈❛✉❝❤② ❝❤♦ ♠é✐ Mm1 +1 + Mm1 +2 + ... < 3ε . ❚ø ✈î✐ n, k ❜➜t ❦➻✱ |ak (n)| ≤ Mk ✱ n → ∞✱ ❝❤♦ t❛ ❝ô♥❣ ❝â✱ ✈î✐ ♠é✐ |ak | ≤ Mk ✳ ❉♦ ✤â✱ sû ❞ö♥❣ |ak (n) − ak | ≤ |ak (n)| + |ak | ≤ Mk + Mk = 2Mk ✱ ∞ ∞ k=1 m1 |ak (n) − ak | + k=1 k=1 k ✱ lim ak (n) = ak ✱ n→∞ k = 1, 2, ..., m1 n > N✱ 2Mk < k=m1 +1 ❚ø ✈î✐ ♠é✐ ✈➔ ✈î✐ (ak (n) − ak ) k=m1 +1 ∞ m1 ≤ (ak (n) − ak ) + ak = k=1 t❛ ❝â ∞ m1 ak (n) − k=1 n > N✱ |ak (n) − ak | + 2 3ε . tç♥ t↕✐ ♠ët sè t❛ ❝â N |ak (n) − ak | < s❛♦ ❝❤♦ ✈î✐ ♠é✐ ε 3m1 ✳ ❉♦ ✤â✱ ♥➳✉ t❤➻ ∞ ∞ ak (n) − k=1 m1 ak < k=1 k=1 ε 3m1 + 2 3ε = ε. ❱➟② t❛ ❝â ❞❞✐❡❡✉❢ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❈❤ó þ✳ ❚❛ ❝â t❤➸ ✈✐➳t ❦➳t ❧✉➟♥ ❝õ❛ ✤à♥❤ ❧þ ❚❛♥♥❡r② ♥❤÷ s❛✉ ∞ lim n→∞ k=1 ∞ ak (n) = lim ak (n), k=1 n→∞ ✶✳✸ ❈❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛ ✶✳✸✳✶ ❑❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➲ ❝❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ k✱ ❈❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛ ❧➔ ❝❤✉é✐ ❝â ❞↕♥❣ ✷✽ ✶✳✸✳ ❈❍❯➱■ ▲Ô❨ ❚❍Ø❆ ❈❍×❒◆● ✶✳ +∞ ▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚ an (x − x0 )n (1.8) n=0 tr♦♥❣ ✤â x0 , a1 , a2 , ... ❧➔ ❝→❝ sè t❤ü❝✳ ✣✐➸♠ x0 ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ t➙♠ ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛✳ ◆❤➟♥ ①➨t 1) 2) ❈❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛ ❧✉æ♥ ❤ë✐ tö t↕✐ ✤✐➸♠ y = x − x0 ◆➳✉ ✤➦t x = x0 ✳ t❤➻ t❛ ❝â t❤➸ ✤÷❛ ❝❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛ ✈➲ ❞↕♥❣ +∞ an y n (1.9) n=0 +∞ y = 0✳ ❉♦ ✤â✱ t❛ ❝❤➾ ❝➛♥ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝❤✉é✐ ❝❤✉é✐ ❝â t➙♠ t↕✐ an xn ❧➔ n=0 ✤õ✳ ✶✳✸✳✷ ❇→♥ ❦➼♥❤ ❤ë✐ tö ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛ ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✸✳✶ ✭✤à♥❤ ❧þ ❆❜❡❧✮✳ ❈❤♦ ❝❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛ +∞ an xn = a0 + a1 x + a2 x2 + .... (1.10) n=0 (1.10) ❤ë✐ tö t↕✐ x ♠➔ |x| < |x0 | . ◆➳✉ ❝❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛ ✤è✐ t↕✐ ♠å✐ ✤✐➸♠ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❞➣② sè {an x0 n } +∞ ❱➻ ❝❤✉é✐ an x 0 n x ♠➔ x0 = 0 ❤ë✐ tö ♥➯♥ n=0 ❜à ❝❤➦♥✱ tù❝ ❧➔ tç♥ t↕✐ sè |an x0 n | ≤ k; ❱î✐ ♠å✐ ✤✐➸♠ |x| < |x0 |✱ ✤➦t ✈î✐ ♠å✐ q= x x0 k>0 t❤➻ ♥â ❤ë✐ tö t✉②➺t lim an x0 n = 0, n→∞ ❞♦ ✤â ✤➸ n = 0, 1, 2, ... t❤➻ |q| < 1.✳ ❑❤✐ ✤â |an xn | = |an (x0 q)n | = |an x0 n | .|q|n ≤ k.|q|n . +∞ ❱➻ ❝❤✉é✐ k|q|n +∞ ❤ë✐ tö ♥➯♥ ❝❤✉é✐ n=1 an x n ❤ë✐ tö t✉②➺t ✤è✐ ✈➔ ✤➲✉ n=0 t❤❡♦ ✤à♥❤ ❧þ ✶✳✷✳✶ ❍➺ q✉↔✳ +∞ ❚ø ✤à♥❤ ❧þ ❆❜❡❧ s✉② r❛ ♥➳✉ ❝❤✉é✐ n=0 ✷✾ an xn ♣❤➙♥ ❦ý t↕✐ x1 ✶✳✸✳ ❈❍❯➱■ ▲Ô❨ ❚❍Ø❆ ❈❍×❒◆● ✶✳ t❤➻ ♥â ♣❤➙♥ ❦ý t↕✐ ♠å✐ x ♠➔ ❚ø ❝→❝ ❦➳t q✉↔ tr➯♥ ✈➔ ❞♦ x = 0, |x| > |x1 |✳ ❝❤✉é✐ (1.10) ❝â ▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚ ➼t ♥❤➜t ♠ët ✤✐➸♠ ❤ë✐ tö ❧➔ ♥➯♥ ♥❣÷í✐ t❛ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ s❛✉ ✈➲ ❜→♥ ❦➼♥❤ ❤ë✐ tö ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ +∞ R = sup |x| : ❙è t❤ü❝ an xn ❤ë✐ tö ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❜→♥ n=0 ❦➼♥❤ ❤ë✐ tö ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛ (1.10) ✈➔ ❦❤♦↔♥❣ (−R, R) ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤♦↔♥❣ ❤ë✐ tö ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛ ✤â✳ ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✸✳✷✳ +∞ ❈❤♦ ❝❤✉é✐ ❧ó② t❤ø❛ an x n . ◆➳✉ n=0 lim |an | = ρ n lim ❤♦➦❝ an+1 = ρ, an t❤➻ ❜→♥ ❦➼♥❤ ❤ë✐ tö ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛ ✤÷ñ❝ t➼♥❤ t❤❡♦ ❝æ♥❣ t❤ù❝ 1 ρ R= +∞ 0 ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ khi0 ❝❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛ ❤ë✐ tö ✈î✐ 1 ✳ ρ ❱➟② R = 1 ✳ ρ x ❚r÷ì♥❣ ❤ñ♣ 1 ✈➔ ρ an+1 ρ = lim an ♠➔ |x| < ✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ t÷ì♥❣ tü✳ ◆➳✉ lim an+1 = ρ; 0 < ρ < +∞ an lim n→∞ t❤➻ ✈î✐ ♠å✐ x ♠➔ |x| < an+1 xn+1 an+1 1 = lim |x| < ρ. =1 n→∞ an an x n ρ ✸✵ 1 ρ t❤➻ t❛ ❝â ✶✳✸✳ ❈❍❯➱■ ▲Ô❨ ❚❍Ø❆ ❈❍×❒◆● ✶✳ ▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚ ✳ ❉♦ ✤â✱ ❝❤✉é✐ ❤ë✐ tö t❤❡♦ ❞➜✉ ❤✐➺✉ ❉✬❆❧❡♠❜❡rt✳ ◆➳✉ |x| > 1 ρ t❤➻ lim n→∞ 1 an+1 xn+1 > ρ. = 1. an xn ρ ❉♦ ✤â✱ t❤❡♦ ❞➜✉ ❤✐➺✉ ❉✬❆❧❡♠❜❡rt ❝❤✉é✐ ♣❤➙♥ ❦ý✳ ❱➟② ❜→♥ ❦➼♥❤ ❤ë✐ tö ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❧➔ 1 ✳ ρ ❱➼ ❞ö ✶✳✸✳✶✳ ❚➻♠ ♠✐➲♥ ❤ë✐ tö ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛ +∞ n=0 (−1)n xn . 2n + 1 ❚❛ ❝â lim n |an | = lim √ n n→∞ n→∞ 1 = 1. 2n + 1 ❱➟② ❝❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛ ✤➣ ❝❤♦ ❝â ❜→♥ ❦➼♥❤ ❤ë✐ tö R=1 ✈➔ ❦❤♦↔♥❣ ❤ë✐ tö (−1, 1)✳ +∞ 1 ❧➔ ❝❤✉é✐ ♣❤➙♥ ❦ý✳ n=0 2n + 1 +∞ (−1)n ❤ë✐ tö t❤❡♦ ❞➜✉ ❤✐➺✉ ▲❡✐❜♥✐③✳ ❚↕✐ x = 1 ❝❤✉é✐ trð t❤➔♥❤ n=0 2n + 1 ❱➟② ♠✐➲♥ ❤ë✐ tö ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛ −1 < x ≤ 1✳ +∞ xn ❈❤✉é✐ . n=0 n! an+1 1 ❚❛ ❝â = → 0 ♥➯♥ ❜→♥ ❦➼♥❤ ❤ë✐ tö ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❧➔ R = +∞, an n+1 tù❝ ❧➔ ❝❤✉é✐ ❤ë✐ tö t↕✐ ♠å✐ ✤✐➸♠ x ∈ R✳ ❚↕✐ x = −1 ❝❤✉é✐ trð t❤➔♥❤ ❱➼ ❞ö ✶✳✸✳✷✳ ❱➼ ❞ö ✶✳✸✳✸✳ ❈❤✉é✐ nn xn . n=1 |an | = n → +∞ ♥❤➜t x = 0. ❚❛ ❝â ❞✉② +∞ n ♥➯♥ R = 0✱ ✸✶ tù❝ ❧➔ ❝❤✉é✐ ❤ë✐ tö t↕✐ ♠ët ✤✐➸♠ ✶✳✸✳ ❈❍❯➱■ ▲Ô❨ ❚❍Ø❆ ❈❍×❒◆● ✶✳ ▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚ ✶✳✸✳✸ ❑❤❛✐ tr✐➸♥ t❤➔♥❤ ❝❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛ ❝õ❛ ♠ët sè ❤➔♠ sì ❝➜♣ ❚❛ ❝❤➾ tr➻♥❤ ❜➔② ❝❤✐ t✐➳t ✈✐➺❝ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ ❝õ❛ ❤➔♠ f (x) = ex ✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ❝❤➾ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ t❤➔♥❤ ❝❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛ ❝õ❛ ♠ët sè ❤➔♠ sì ❝➜♣ ❦❤→❝ ♠➔ ❦❤æ♥❣ ❝➛♥ ❝❤➾ rã sü t÷í♥❣ t➟♥✳ ❑❤❛✐ tr✐➸♥ ❤➔♠ ex✳ ❦❤♦↔♥❣ (−∞, +∞) ❍➔♠ f (x) = ex ✈➔ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝õ❛ ♥â ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ f (n) (x) = ex ; ❉♦ ✤â✱ tç♥ t↕✐ sè ❝â ✤↕♦ ❤➔♠ ♠å✐ ❝➜♣ tr♦♥❣ r > 0 ✈î✐ ♠å✐ ✤➸ ❦❤♦↔♥❣ n = 1, 2, .... [ − r, r] ❝❤ù❛ ✤✐➸♠ ❣è❝ ✈➔ t❛ ❝â ✤→♥❤ ❣✐→ f (n) (0) = e0 = 1; ✈î✐ ♠å✐ x ∈ [ − r, r] ✈➔ n = 1, 2, ...✳ ◆❤÷ ✈➟②✱ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝õ❛ ✤à♥❤ ❧þ tr➯♥ ✤÷ñ❝ t❤ä❛ ♠➣♥ ✈➔ t❛ ❝â ❦❤❛✐ tr✐➸♥ ▼❛❝❧❛✉r✐♥ ❝õ❛ ❤➔♠ f (x) = ex ♥❤÷ s❛✉ ex = f (n) (0) n +∞ xn x = . n! n! n=0 n=0 +∞ ❚÷ì♥❣ tü ♥❤÷ t❤➳ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ ❝õ❛ ♠ët sè ❤➔♠ sì ❝➜♣ ❞÷î✐ ✤➙② x2n+1 (−1) ; sin x = (2n + 1)! n=1 2n ∞ n x cos x = (−1) ; ✈î✐ (2n)! n=1 n ∞ n−1 x ; ln(1 + x) = (−1) n n=1 ∞ n ✈î✐ ♠å✐ ♠å✐ x ∈ (−∞, +∞) ✈î✐ ♠å✐ ✸✷ x ∈ (−∞, +∞) x ∈ (−1, 1). ❈❤÷ì♥❣ ✷ ❑❍❆■ ❚❘■➎◆ ❘■➊◆● P❍❺◆ ❱⑨ ⑩P ❉Ö◆● ✷✳✶ ❑❤❛✐ tr✐➸♥ r✐➯♥❣ ♣❤➛♥ ❝õ❛ ❤➔♠ sè ❧÷ñ♥❣ ❣✐→❝ ❚r♦♥❣ ♣❤➛♥ ♥➔② tæ✐ s➩ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ❝→❝ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ ❝õ❛ ❊✉❧❡r ✤è✐ ✈î✐ ♠ët sè ❤➔♠ ❧÷ñ♥❣ ❣✐→❝✳ ▼ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ❝æ♥❣ t❤ù❝ q✉❛♥ trå♥❣ ♣❤↔✐ ❦➸ ✤➳♥ ✤â ❧➔ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✶✳ ❚❛ ❝â ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ ∞ πz 1 2z ; = + 2 sin πz z n=1 n − z 2 ✈î✐ ♠å✐ z ∈ C\Z ✳ ✣➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ♥➔②✱ tr÷î❝ ❤➳t t❛ ❜➢t ✤➛✉ ❜➡♥❣ ✈✐➺❝ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ r✐➯♥❣ ♣❤➛♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ❊✉❧❡r ✤è✐ ✈î✐ ❤➔♠ ❝♦t❛♥❣✳ ✷✳✶✳✶ ❑❤❛✐ tr✐➸♥ r✐➯♥❣ ♣❤➛♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ❝♦t❛♥❣ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✷✳ ❚❛ ❝â ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ s❛✉ πz cot πz = 1 + 2z 2 ∞ 1 ; 2 2 n=1 z − n ✈î✐ ♠å✐ z ∈ C\Z. ✣➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝æ♥❣ t❤ù❝ tr➯♥✱ t❛ ❝➛♥ tî✐ ❜ê ✤➲ s❛✉ ❇ê ✤➲ ✷✳✶✳ ❱î✐ ❜➜t ❦➻ sè ♣❤ù❝ πz cot πz = n−1 πz πz 2 −1 πz cot + n 2n 2n k=1 2 cot z ✈➔ n ∈ N✱ t❛ ❝â π(z + k) π(z − k) + cot 2n 2n ✸✸ − πz πz tan 2n 2n ✷✳✶✳ ❑❍❆■ ❚❘■➎◆ ❘■➊◆● P❍❺◆ ❈Õ❆ ❈❍×❒◆● ❍⑨▼ ✷✳ ❙➮ ▲×Ñ◆● ❑❍❆■ ❚❘■➎◆ ●■⑩❈❘■➊◆● P❍❺◆ ❱⑨ ⑩P ❉Ö◆● ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❙û ❞ö♥❣ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❣â❝ ♥❤➙♥ ✤æ✐ t❛ ❝â 2z = 2 cot 2z = 2 sin 2z ❝♦s z − sin2 z = cot z − tan z ✳ sin z cos z 2 ❝♦s ❉♦ ✤â 1 cot 2z = (cot z − tan z). 2 ❚❤❛② z= πz 2 t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ cot πz = 1 πz πz cot − tan . 2 2 2 ◆❤➙♥ ❤❛✐ ✈➳ ❝õ❛ ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥ ✈î✐ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ n = 1✳ πz (2.1) t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ❝æ♥❣ t❤ù❝ tr♦♥❣ ✣➸ t✐➳♣ tö❝ q✉→ tr➻♥❤ q✉② ♥↕♣ ✈î✐ ❧÷✉ þ r➡♥❣ π tan z = − cot(z ± ). 2 t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ cot πz = 1 πz π(z ± 1) cot + cot . 2 2 2 (2.2) ✣➙② ❧➔ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ✤÷ñ❝ sû ❞ö♥❣ ❝❤➼♥❤ tr♦♥❣ ✈✐➺❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ q✉② ♥↕♣ ❜ê ✤➲ tr➯♥✳ ❈❤➥♥❣ ❤↕♥ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ n = 2✳ ❚r÷î❝ ❤➳t t❛ ①➨t ❞➜✉ ❞÷ì♥❣ tr♦♥❣ ❣â❝ ❝♦t❛♥❣ ❝õ❛ ❝æ♥❣ t❤ù❝ tr➯♥✳⑩♣ ❞ö♥❣ ❝æ♥❣ t❤ù❝ (2.2) ❝❤♦ ♠é✐ ❤➔♠ ❝♦t❛♥❣ tr♦♥❣ ✈➳ ♣❤↔✐ ❝õ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ♥➔②✱ sû ❞ö♥❣ ❞➜✉ ❝ë♥❣ ❝❤♦ ❤➔♠ t❤ù ♥❤➜t ✈➔ ❞➜✉ trø ❝❤♦ ❤➔♠ t❤ù ❤❛✐✱ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ cot πz= z π +1 1 πz π (z + 1) π ( z+1 2 −1) 2 cot + cot + cot + cot 22 2 2 2 2 2 2 2 2 = 1 22 cot πz π(z + 2) π (z + 1) π(z − 1) + cot + cot + cot . 2 2 2 2 2 2 22 ❚❛ ✈✐➳t ❧↕✐ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ♥❤÷ s❛✉ cot πz = 1 πz π(z + 1) π (z − 1) πz π cot + cot + cot + cot + 22 22 22 22 22 2 ✸✹ . ✷✳✶✳ ❑❍❆■ ❚❘■➎◆ ❘■➊◆● P❍❺◆ ❈Õ❆ ❈❍×❒◆● ❍⑨▼ ✷✳ ❙➮ ▲×Ñ◆● ❑❍❆■ ❚❘■➎◆ ●■⑩❈❘■➊◆● P❍❺◆ ❱⑨ ⑩P ❉Ö◆● ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ sè ❤↕♥❣ ❝✉è✐ ❝❤➼♥❤ ❜➡♥❣ − tan πz 22 ✈➔ ❜ê ✤➲ ✤➣ ✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✈î✐ ♥ ❂ ✷✳ ❇➡♥❣ q✉② ♥↕♣ t❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷ñ❝ ❜ê ✤➲ ✈î✐ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ tê♥❣ q✉→t ♥ ❚✐➳♣ t❤❡♦✱ t❛ s➩ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ ❊✉❧❡r ❝❤♦ ❤➔♠ ❝♦t❛♥❣✳ ❱î✐ ♠é✐ z ❝è ✤à♥❤ t❛ ❝â πz πz w cot = lim w cot w = lim . cos w = 1 z→∞ 2n ✇→∞ x→∞ sin w 2n lim (2.3) ✈➔ lim n→∞ ❈❤♦ n→∞ πz πz tan 2n 2n = 0.0 = 0✳ tr♦♥❣ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❝õ❛ ❜ê ✤➲ tr÷î❝✱ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ 2n−1 −1 πz cot πz = 1 + lim n→∞ k=1 πz 2n cot π(z − k) π(z + k) + cot n 2 2n . (2.4) ❚❛ s➩ →♣ ❞ö♥❣ ✤à♥❤ ❧➼ ❚❛♥♥❡r② ✈î✐ tê♥❣ ♥➔②✳ ✣è✐ ✈î✐ ♠é✐ sè ❤↕♥❣ tr♦♥❣ tê♥❣✱ t❛ sû ❞ö♥❣ ❝æ♥❣ t❤ù❝ cot(α + β) + cot(α − β) = sin 2α . sin α − sin2 β 2 ❈æ♥❣ t❤ù❝ ♥➔② t❤✉ ✤÷ñ❝ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ ❤➔♠ cot(α ± β) ❞÷î✐ ❞↕♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ s✐♥✱ ❝♦s✐♥ ✈➔ sû ❞ö♥❣ ❝→❝ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❝ë♥❣ ❣â❝ ❝❤♦ πz πk ✈➔ β = t❛ ✤÷ñ❝ 2n 2n π(z + k) π(z − k) sin 2α cot + cot = . 2n 2n sin2 α − sin2 β ❝→❝ ❤➔♠ ♥➔②✳ ✣➦t α= ❚❤❡♦ ❦➼ ❤✐➺✉ ð ✤➙② α= πz 2n ✈➔ β= 1 πk πz ✳ ❈❤♦ n ✤õ ❧î♥ ✤➸ |α| = < ✱ 2n 2n 2 t❛ ❝â |sin 2α| ≤ 6 |2α| ≤ 3 |α| 5 ✈➔ ✸✺ |sin α| ≤ 6 |α| ≤ 2 |α| 5 ✷✳✶✳ tø ❑❍❆■ ❚❘■➎◆ ❘■➊◆● P❍❺◆ ❈Õ❆ ❈❍×❒◆● ❍⑨▼ ✷✳ ❙➮ ▲×Ñ◆● ❑❍❆■ ❚❘■➎◆ ●■⑩❈❘■➊◆● P❍❺◆ ❱⑨ ⑩P ❉Ö◆● β= π πk < n 2 2 k = 1, ....2n−1 − 1 ❝❤♦ ✈î✐ ♠å✐ ❝❃✵ cβ ≤ sin β ✳ ❉♦ ✤â c2 β 2 ≤ sin2 β ≤ sin2 α − sin2 β + sin2 α ≤ sin2 α − sin2 β + 4|α|2 ⇒ c2 β 2 − 4|α|2 ≤ sin2 α − sin2 β . ❈❤å♥ k s❛♦ ❝❤♦ 2 2 2 c β =c ck > 2 |z| πk 2n n = t❤➻ πck 2n 2 = 4|α|2 ⇒ c2 β 2 − 4|α|2 > 0✳ ❑➳t ❤ñ♣ ✈î✐ ❦➳t q✉↔ tr➯♥✱ t❛ t❤✉ ✤÷ñ❝ 0 < c2 β 2 − 4|α|2 < sin2 α − sin2 β ❉♦ ✤â 3 |α| |sin 2α| = ≤ 2 sin α − sin β c2 β 2 − 4|α|2 3π 2 c2 πk 2n 2 |z| 2n π |z| −4 2n 2 = |z| π 3 2 2 c k − 4|z|2 2n ck > 2 |z|✱ t❛ ❝â πz π(z + k) π(z − k) cot + cot 2n 2n 2n ◆❤÷ ✈➟②✱ ✈î✐ ≤ 2 3|z| 2. c2 k 2 −4|z| ◆❤➟♥ ①➨t r➡♥❣ tê♥❣ s❛✉ k ❜➢t ✤➛✉ tø 1 ✈➔ tø k> (2.3) 2 |z| c ❧➔ ❝❤✉é✐ ❞÷ì♥❣ ❤ë✐ tö✳ ❇➙② ❣✐í sû ❞ö♥❣ lim z cot z = z→0 t❛ t❤➜② πz π (z + k) lim n cot x→∞ 2 2n z ✳ z+k 3|z|2 c2 k 2 − 4|z|2 πz π(z + k) π(z + k) 2n = lim . cot = x→∞ π (z + k) 2n 2n 2n ✸✻ ✷✳✶✳ ❑❍❆■ ❚❘■➎◆ ❘■➊◆● P❍❺◆ ❈Õ❆ ❈❍×❒◆● ❍⑨▼ ✷✳ ❙➮ ▲×Ñ◆● ❑❍❆■ ❚❘■➎◆ ●■⑩❈❘■➊◆● P❍❺◆ ❱⑨ ⑩P ❉Ö◆● ❇➡♥❣ ❝→❝❤ t÷ì♥❣ tü✱ t❛ ❝â πz π (z − k) cot x→∞ 2n 2n = z z−k π(z − k) 2n = lim ✳ ◆❤÷ ✈➟② πz x→∞ 2n lim cot π(z + k) 2n + cot z z + = z+k z−k 2z 2 ✳ z 2 − k2 (2.4) ∞ 1 πz cot πz = 1 + 2z 2 2 2 k=1 z − k ❈✉è✐ ❝ò♥❣ →♣ ❞ö♥❣ ✤à♥❤ ❧➼ ❚❛♥♥❡r② ❝❤♦ tê♥❣ t❛ ✤÷ñ❝ ✣➙② ❧➔ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ ❝õ❛ ❊✉❧❡r ✤è✐ ✈î✐ ❤➔♠ ❝♦t❛♥❣ ✷✳✶✳✷ ❑❤❛✐ tr✐➸♥ r✐➯♥❣ ♣❤➛♥ ❝õ❛ ♠ët sè ❤➔♠ ❧÷ñ♥❣ ❣✐→❝ ❦❤→❝ ❙û ❞ö♥❣ ❝æ♥❣ t❤ù❝(2.1) cot πz = πz πz 1 cot − tan 2 2 2 ✈➔ t❤❛② t❤➳ ✈➔♦ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ r✐➯♥❣ ♣❤➛♥ ❝õ❛ ❝♦t❛♥❣✱ t❛ ✤÷ñ❝ π tan ∞ 4z πz = 2 2 n=0 (4n + 1) − z 2 z ∈ C ❦❤æ♥❣ ♥❣✉②➯♥✳ ✣➸ s✉② r❛ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ π ✱❝❤ó♥❣ t❛ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ✤ç♥❣ ♥❤➜t t❤ù❝ s❛✉ sin πz 1 z = cot z + tan ✳ sin z 2 ✈î✐ ♠é✐ sè ♣❤ù❝ ❝õ❛ ❤➔♠ ✣➸ t❤➜② ✤✐➲✉ ♥➔② ❝❤ó♥❣ t❛ ♥❤➟♥ ①➨t r➡♥❣ (2.5) r✐➯♥❣ ♣❤➛♥ z z z cos z cos + sin z sin z cos z 2 = 2 2 + cot z + tan = z z 2 sin z cos sin z cos 2 2 z z cos z − cos 1 2 2 = = = ✳ z z sin z sin z cos sin z cos 2 2 sin ✸✼ ✷✳✷✳ ζ(2) ⑩P ❉Ö◆● ❑❍❆■ ❚❘■➎◆ ❘■➊◆● ❈❍×❒◆● P❍❺◆ ❚❘❖◆● ✷✳ ❑❍❆■ ❱■➏❈ ❚❘■➎◆ ❚➑◆❍ ❘■➊◆● ●■⑩ P❍❺◆ ❚❘➚ ❈Õ❆ ❱⑨ ⑩P ❉Ö◆● ❚ø ❝→❝ ✤ç♥❣ ♥❤➜t t❤ù❝ tr➯♥✱ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ ∞ 1 π 2z = + ; 2 sin πz z n=1 n − z 2 ✈î✐ ♠é✐ sè ♣❤ù❝ z (2.6) ❦❤æ♥❣ ♥❣✉②➯♥✳ ❚÷ì♥❣ tü ♥❤÷ tr➯♥✱ t❛ ❝ô♥❣ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ ✤è✐ ✈î✐ ❤➔♠ s♦s✐♥ ∞ (2n + 1) = (−1)n πz (2n + 1) − z 2 n=0 4 cos 2 π ✈î✐ ♠é✐ sè ♣❤ù❝ z (2.7) ✳ ❦❤æ♥❣ ♥❣✉②➯♥✳ ✷✳✷ ⑩♣ ❞ö♥❣ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ r✐➯♥❣ ♣❤➛♥ tr♦♥❣ ✈✐➺❝ t➼♥❤ ❣✐→ trà ❝õ❛ ζ(2) ✷✳✷✳✶ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❣è❝ ❝õ❛ ❊✉❧❡r ❈❤ó♥❣ t❛ s➩ ❜➢t ✤➛✉ ❜➡♥❣ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ ❝õ❛ ❊✉❧❡r ✤è✐ ✈î✐ ❤➔♠ s✐♥❡ ∞ sin πx x2 = 1− 2 ; πx n n=1 ❚❛ ❝â sin πx = eL(x) ✱ πx ✈î✐ ♠å✐ 0 ≤ x < 1✳ tr♦♥❣ ✤â x2 L(x) = log 1 − 2 . n n=1 ∞ sin πx = eL(x) ✳ ❚❛ ❝â πx ∞ x2 = 1 − 2 ; ✈î✐ ♠å✐ n n=1 ▲➜② ❧♦❣ ❤❛✐ ✈➳ ❝õ❛ ✤➥♥❣ t❤ù❝ log ❚❤❛② x2 x=− 2 n sin πx πx ①❁✶ (−1)m−1 m log (1 + x) = x m m=1 ∞ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❝❤✉é✐ ✈æ ❤↕♥ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ log sin πx πx 1 x2m ;0≤x 0 ✈➔ sin x > 0 ✈î✐ 2 π π 0 < x ≤ ✳ ❉♦ ✤â✱ ✈î✐ ♠é✐ b ∈ 0, t❛ ❝â 2 2 ✳ ❚ø lim ✹✷ ✷✳✷✳ ζ(2) ⑩P ❉Ö◆● ❑❍❆■ ❚❘■➎◆ ❘■➊◆● ❈❍×❒◆● P❍❺◆ ❚❘❖◆● ✷✳ ❑❍❆■ ❱■➏❈ ❚❘■➎◆ ❚➑◆❍ ❘■➊◆● ●■⑩ P❍❺◆ ❚❘➚ ❈Õ❆ ❱⑨ ⑩P ❉Ö◆● f (x) ≥ f (b) > 0 tr➯♥ 0, π 2 ✳ ✣✐➲✉ ♥➔② ❝❤ù♥❣ tä r➡♥❣ cx < sin x tr♦♥❣ ✤â c = f (b) > 0. 0, tr➯♥ ✣➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ π 2 ✱ |sin z| ≤ |z| ≤ 1 ✈➔ ✈î✐ ♠å✐ k t❛ ❝â |z|k ≤ |z| ✈➔ (2n + 1)! = (2.3) . (4.5) ... (2n. (2n + 1)) 6 |z|✱ 5 t❛ ♥❤➟♥ ①➨t ✈î✐ ≥ (2.3) . (2.3) ... (2.3) = (2.3)n = 6n . ❉♦ ✤â z 2n+1 |z|3 |z|5 |sin z| = ≤ |z| + + + ... 3! 5! n=0 (2n + 1)! ∞ ≤ 1+ 1 + 3! 1 5! + ... |z| ≤ 1 + 1 1 6 + 2 + ... |z| = |z| . 6 6 5 ❱➟② ❜ê ✤➲ ✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❇➙② ❣✐í ❝❤♦ 0≤k≤m= n−1 2 t❛ ❝â kπ π < ✳ n 2 ❉♦ ✤â✱ ✈î✐ ♠é✐ ✈➟② t❛ ❝â c. kπ kπ ≤ sin ✳ n n ✣✐➲✉ ✤â ❝❤♦ t❛ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ 1 . n2 1 n2 1 1 ≤ 2. = . n (cπ)2 k 2 c2 π 2 k 2 1 sin2 kπ n ✳ ❚❤➳ ♥❤÷♥❣✱ ❝❤✉é✐ ❤ë✐ tö n sin ∞ 1 k=1 c2 π 2 x → x✱ n → ∞ n . 1 k2 ♥➯♥ t❛ s✉② r❛ ✹✸ k ♥❤÷ ✷✳✷✳ ζ(2) ⑩P ❉Ö◆● ❑❍❆■ ❚❘■➎◆ ❘■➊◆● ❈❍×❒◆● P❍❺◆ ❚❘❖◆● ✷✳ ❑❍❆■ ❱■➏❈ ❚❘■➎◆ ❚➑◆❍ ❘■➊◆● ●■⑩ P❍❺◆ ❚❘➚ ❈Õ❆ ❱⑨ ⑩P ❉Ö◆● 1 1 = . n→∞ n2 sin2 (kπ/n) k 2 n2 lim ❈❤♦ m→∞ tr♦♥❣ ❝æ♥❣ t❤ù❝ (2.14)✱ ✤à♥❤ ❧➼ ❚❛♥♥❡r② ❝❤♦ t❛ ∞ ∞ 1 1 1 π2 − =0⇔ = 2 6 k=1 k 2 π 2 6 k=1 k ✹✹ ✳ ✷✳✷✳ ζ(2) ⑩P ❉Ö◆● ❑❍❆■ ❚❘■➎◆ ❘■➊◆● ❈❍×❒◆● P❍❺◆ ❚❘❖◆● ✷✳ ❑❍❆■ ❱■➏❈ ❚❘■➎◆ ❚➑◆❍ ❘■➊◆● ●■⑩ P❍❺◆ ❚❘➚ ❈Õ❆ ❱⑨ ⑩P ❉Ö◆● ❑➌❚ ▲❯❾◆ ✧❑❤❛✐ tr✐➸♥ r✐➯♥❣ ♣❤➛♥ ✈➔ →♣ ❞ö♥❣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❊✉❧❡r✧ ❚r➯♥ ✤➙② ❧➔ t♦➔♥ ❜ë ♥ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ✳ ✶✳ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔② ✤➣ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët ❝→❝❤ ❤➺ t❤è♥❣ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ ❝❤✉é✐ sè✱ ❝❤✉é✐ ❤➔♠ ✳ ✷✳ ●✐î✐ t❤✐➺✉ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ r✐➯♥❣ ♣❤➛♥ ❝õ❛ ♠ët sè ❤➔♠ ✤➦❝ ❜✐➺t ✈î✐ ❝→❝ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ♥ê✐ t✐➳♥❣ tr♦♥❣ ❧þ t❤✉②➳t ❝❤✉é✐ sè ✈➔ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ ♥➔② tr♦♥❣ ✈✐➺❝ t➼♥❤ tê♥❣ ❝õ❛ ♠ët sè ❝❤✉é✐ ❤➔♠ ✧❑❤❛✐ tr✐➸♥ r✐➯♥❣ ♣❤➛♥ ✈➔ →♣ ❞ö♥❣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❊✉❧❡r✧ ❙♦♥❣ s♦♥❣ ✈î✐ ✈✐➺❝ ❧➔♠ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✈î✐ ✤➲ t➔✐✿ ✱ tæ✐ ❝á♥ t➻♠ ❤✐➸✉ ✈➲ ♣❤➛♥ ♠➲♠ s♦↕♥ t❤↔♦ ▲❛t❡①✳ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ ✤÷ñ❝ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❜➡♥❣ ♣❤➛♥ ♠➲♠ s♦↕♥ t❤↔♦ ▲❛t❡①✳ ✹✺ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❬✶❪ ❚r➛♥ ✣ù❝ ▲♦♥❣✲ ◆❣✉②➵♥ ✣➻♥❤ ❙❛♥❣✲❍♦➔♥❣ ◗✉è❝ ❚♦➔♥✱ ●✐→♦ tr➻♥❤ ❣✐↔✐ t➼❝❤✱t➟♣ ✷✱ ◆❳❇ ✣❍◗● ❍➔ ◆ë✐✱ ✷✵✵✷✳ ❬✷❪ ◆❣✉②➵♥ ❱➠♥ ❑❤✉➯✲ ✣➟✉ ❚❤➳ ❈➜♣✲ ❇ò✐ ✣➢❝ ❚➢❝✱ ❚♦→♥ ❈❛♦ ❝➜♣✱ ◆❳❇ ❑❤♦❛ ❤å❝ ✈➔ ❑ÿ t❤✉➟t✱ ✶✾✾✽ ✹✻