Khai triển riêng phần và ứng dụng

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ LAN KHAI TRIỂN RIÊNG PHẦN VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2015 NGUYỄN THỊ LAN KHAI TRIỂN RIÊNG PHẦN VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Hào Lời cảm ơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, giảng viên dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập hoàn thành luận văn Hầ Nội, tháng 12 năm 2015 Tác giả Nguyễn Thị Lan Lời cam đoan Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hào Tôi xin cam đoan luận văn “Khai triển riêng phần áp dụng” không trùng với luận văn khác Nếu sai hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, thấng 12 năm 2015 Tác giả Nguyễn Thị Lan Mue lue 1.1 1.1.1 Áp dụng khai triển riêng phần hàm cotang 48 Áp dụng khai triển riêng phần hàm sine 50 Mở đầu Lý chọn đề tài Khai triển riêng phần kỹ thuật tính toán giải tích toán học Minh họa cho điều đó, giới thiệu qua hai vấn đề Thứ (Tính nguyên hàm hàm hữu tỷ), mặt lý thuyết, nguyên hàm hàm hữu tỷ giải hoàn toàn triệt để qua việc biểu diễn hàm hữu tỷ dạng tổng hàm đa thức với hàm hữu tỷ có bậc đa thức tử nhỏ bậc đa thức mẫu Như vậy, vấn đề lại xử lý nguyên hàm lại Bằng việc phân tích đa thức mẫu thành tích nhị thức bậc tam thức bậc hai sử dụng phương pháp đồng hệ số người ta thu phân thức riêng phần Nguyên hàm phân thức riêng phần tính toán cách đơn giản qua nguyên hàm Thứ hai (Phương pháp tích phân phần) Ta biết công thức tích phân phần J udv = uv — J vdu Nhờ công thức này, việc tính tích phân số lớp hàm nói phức tạp chuyển sang dạng đơn giản Ngoài đề cập đây, Giải tích nhà Toán học đưa số khai triển riêng phần số hàm đặc biệt qua chuỗi để thu công thức biểu diễn tiếng đem lại số kết tính toán đẹp đẽ Được định hướng người hướng dẫn, chọn đề tài “Khai triển riêng phần áp dụng” để hoàn thành luận văn Thạc sỹ toán học chuyên ngành Toán Giải tích Luận văn cấu trúc thành 02 chương Chương Chúng trình bày số kiến thức chuẩn bị lý thuyết chuỗi số, lý thuyết chuỗi hàm Chương Trình bày cách hệ thống khai triển riêng phần số hàm đặc biệt áp dụng Mục đích nghiên cứu Chứng minh công thức khai triển riêng phần số hàm lượng giác Tính tổng số chuỗi số, chuỗi hàm Biểu diễn số Ĩ theo chuỗi hàm biến phức Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu khai triển riêng phần số hàm lượng giác thành tổng hàm phân thức chuỗi Tính tổng số chuỗi nhờ công thức khai triển riêng phần số hàm lượng giác Đặc biệt tính tổng Gregory - Leibniz - Madhava Biểu diễn số Ĩ theo chuỗi hàm biến phức Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu khai triển riêng phần số hàm lượng giác hàm 7ĨZ cot T Z ; t a n —; —- sin7TZ 7TZ cos qua chuỗi Tính tổng số chuỗi số, chuỗi hàm Phương pháp nghiên cứu Luận văn sử dụng số phương pháp công cụ giải tích bao gồm: Phương pháp phân tích tổng hợp kiến thức lý thuyết chuỗi số lý thuyết chuỗi hàm khai triển riêng phần số hàm đặc biệt Phương pháp phân tích, tổng hợp khai triển riêng phần số hàm lượng giác từ kết hợp xin ý kiến người hướng dẫn Đóng góp đề tài Luận văn trình bày hệ thống kiến thức khai triển riêng phần hàm lượng giác số áp dụng khai triển việc tính tổng số chuỗi đặc biệt Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Chuỗi số 1.1.1 Một số khái niệm Định nghĩa 1.1.1 Cho dãy số {a„} Tổng vô hạn 00 = QỊ + Ũ2 + ••• + ữn + ••• 'y ] Qn 1) (1 - n =1 gọi chuỗi số Trong chuỗi số người ta gọi an số hạng thứ n (và gọi số hạng tổng quát thứ n); tổng hữu hạn n sn = + Ũ2 + ■■■ + an = 'y ] ữfc 2) fc=i (1 - tổng riêng thứ n chuỗi số dãy {sn} gọi dãy tổng riêng chuỗi (1 ) Nếu tồn hữu hạn giới hạn dãy tổng riêng lim sn = s n—¥ữ o c2ß2 — 4\a\2 > (2.10) Từ hai bất đẳng thức (2.9) (2.10) ta nhận < c2ß2 — 4|a|2 < |sin2a — sin2/31 Từ đó, ta suy |sin2a| |CŨ| sin a — sin /31 — 2 c ß — 4|a|2’ hay 37Ĩ 2n \z\ I sin \Z7r(z \ — k) = -nz ( 2a 7T(Z + k) 3|z| - — I cot b cot Q I < I 2 2 k 7f\ c2 k2c— k 4\z\ — 4\z\ |sin a n— sin < /? n I n é\ 41 -41 V 2 n Do đó, với ck >2 \z\ ta có 3\z\2 , , 2\z\ Ta nhận thấy chuỗi Ỵ] —- - -ñ số k > —— k c2k2 — 4\z\2 c chuỗi dương hội tụ Tiếp theo từ giới hạn ĨĨZ ĨĨZ lim z cot z = lim —— n cot —— n = 1; ¡-To ta thu kết sau 7T Z 7ĩ ( z + k ) lim — cot -n 71-100 2n nToo 2 7ĩ ( z + k ) 7T Z , K ( Z + k ) ộ n lim — cot———-■ , ,' TW00 2" 2n 7ĩ(z + k) z + k n Tương tự ta có 7ĩ(z — k ) 'KZ ,K(Z — k) 7ĨZ 7ĩ(z — k ) ộ n z lim — cot— = lim — cot— ■ , ■' n-Too 2" 2" nToo 2" 2n 7r(z - k) 2n Từ kết ta nhận giới hạn sau 7T Z 7ĩ(z — k) 7r(z + lim —— k ) 2n n 2n n-¥ 00 cot - - + cot + z + k z — k 2z2 z2 — k2 Cuối áp dụng định lý Tannery cho tổng (2.8) ta khai triển hàm cotang 00 ^ 7TZcot 7ĨZ = + 2Z2J2 ■ (2-n) f c=l Công thức khai triển mấu chốt để nhận giá trị số chuỗi hội tụ trình bày phần sau luận văn Tiếp theo, giới thiệu số ứng dụng công thức khai triển để nhận khai triển hàm lượng giác khác 7T Z 4z ĩĩtan— = 2_^ tỉ(2n+l ) -z! (2.12) Chứng minh Trước hết, để nhận công thức khai triển riêng phần hàm tang ta cần đến công thức sau 7T Z 7T Z ĩ ĩ t a n — = 7Ĩ cot -27Ĩ cot 7T Z 2 Theo công thức khai triển riêng phần hàm cotang ta có 27Ĩ cot 7T Z _-A = -7T Z cot Ĩ Ĩ Z = - + 4z > — z z ' ZL — n‘ 71= z z z 7Ĩ cot 7Ĩ- = -7Ĩ- cot 7Ĩ- = h 4z y z 2 z ^ 71=1 00 / I 71=1 =4 z x z2 — z2 — z2 — 25 z — 49 1 ' z — 4n2 z — n2 11 11 + z2 — z — z — z+2 — 16 z — z — 36 + 4z E „“í i2n + !) - Từ kết ta có khai triển riêng phần với hàm tang 7ĨZ 4z ĩĩtan— = 2_^ tỉ (2n + l)2 Định lý chứng minh □ 2.1.4 Khai triển riêng phần hàm sine 00 7Ĩ sin7TZ +E (-!)“■ 2z (2.13) n= 7Ĩ Định lý 2.1.4 Ta có công thức Chứng minh Để chứng minh công thức khai triển hàm — sin7TZ cần đến đồng thức sau z1 cot z + tan — = sin z Thật cos z sin I cot z + tan - —— -4 Sinz c o s ị z z cos z cos —h sin z sin z sin z cos Sử dụng đồng thức ta có 7TZ 7Ĩ 7Ĩ cot 7ĨZ T 7Ĩ tan — = sin z sin T Ĩ Z 'KZ 1 4z cotĩĩz + ĩĩtan—=- +2z >2 — — + > -2 z ^ (z -n ) £^(2n + l) 71 = ' v 71=0 ' ' - „ ,1111 — 1/1 ỉ” 2z Ị — — H—- - H—- — + z \z2 - 1z2 - 4z2 - À ( 1 + + r “ T^Ĩ ^9 ĩ ^ + / 1 = + -— z V z 1 z i -H -—2 — z 2 z -9 z -16 z - z2 — n2 7Ĩ Từ đó, ta nhận _ 00 7TZ 7Ĩ cot 7ĨZ + ĩĩtan— = - + 2_^ (—1) íi % 71=1 2z Hơn nữa, ta biết TZ 7ĩ 7Ĩ cot Ĩ Ĩ Z T 7Ĩ tan — = sin7ĩz Do đó, ta nhận công thức khai triển riêng phần hàm sine sin 7T Z z 00 với số phức z không7Ĩ nguyên1 + Ẻ(-1)’ 71= 2z □ 7Ĩ {2n+ ] = Ể(-1)” J (2.14) “ ĩt~z tí (2n + l ) - z cos — Chứng minh Trước hết ta viết khai triển sine dạng tường minh sau 1—z „ 1 =-+ sin7ĩz z V1 — z + zj \2 — z + Tiếp theo ta thay z vào công thức ta công thức 7ĩ sau 7Ĩ + z — zJ sin ( 7Ĩ + Nhóm lại số hạng vế phải ta 7Ĩ TTT 7fzV sin 22 + + =4 22 22 + V2 2/ — z 5++ z — z2 — z2 ^ 25 — z □ Từ đó, ta nhận công thức khai triển đa giới thiệu + 2.2 Áp dụng khai triển riêng phần Các công thức khai triển riêng phần đây, ý nghĩa mang tính biểu diễn đẹp đẽ mặt biểu diễn toán học cho phép ta tính tổng số chuỗi số hội tụ Tuy nhiên, phải nhấn mạnh với kiến thức lý thuyết chuỗi số việc tính giá trị tổng chuỗi khó khăn nhiều chuỗi vấn đề mở quan tâm 2.2.1 Áp dụng khai triển riêng phần hàm cotang Để tiện theo dõi, ta viết lại công thức khai triển hàm cotang 00 f c=l Từ công thức này, việc thay biến z số giá trị cụ thể ta nhận tổng số chuỗi điển hình lý thuyết Một số tổng thông thường Với z = ta đươc n =1 Với z = ta đươc 00 E 16n 7Ĩ— n=1 — Với Z = —7k-, ta đươc n= Biểu diễn số pi qua chuỗi hàm biến phức Trong công thức khai „ x triển riêng phần hàm cotang, thay z - ta nhận Từ đó, ta nhận công thức biểu diễn tuyệt đẹp số pi qua chuỗi 7Ĩ 7Ĩ — cot — =Z z 71 = 1 — z2n2 hàm biến phức sau '= ( + Ẻ(ĩib + ĩT]rit))-2t“*: (2 15) ' Hay dạng tường minh / 1 1 \ /7T\ Đặc biệt, thay Z = A vào công thức (2.15) ta thu công thức tiếng tìm phương pháp khác Gregory - Leibniz - Madhava 00 7Ĩ n =0 2n T 1- + Tương tự thế, thay z = z = ta nhận hai công thức tương ứng 7Ĩ\/3 11 11 1 — b — —- 1- — -b ■■■ 7Ĩ-\/3 11 11 1 —- - -b — — b — — — + 57 11 13 17 2.2.2 Áp dụng khai triển riêng phần hàm sine —— + ¿(-1)"^sin7ĩz z ' 71= nz — Zz Sử dụng công thức thay z số giá trị cụ thể ta thu E(-ư n 1— 7T - 71=1 Với z : , ta 00 Ẻ(-ư n = 1 16n — y/2Tĩ — 8' tổng chuỗi số sau Với z = -, ta đươc 2’ Vớiz = —,k ta đươc 7Ĩk— sin — 2.2 k 11 n=1 kn2 — Với z = -, ta đươc 00 ^ 71 = 7T — ^ K ’ 36n2 - Y i - i r —-—= Ngoài ra, thay z — công thức khai triển riêng phần hàm z sine ta có 00 2z 7Ĩ1 7Ĩ = z sin (2.16) “ Tz — l ~ ^ z + l ~ ^ 22 z2— z z n — sin — n=1 z + Cuối cùng, ta nhận biểu diễn giá trị số pi tuyệt đẹp sau Tương tự thay z = , z = , z = vào công thức (2.16) ta nhận công thức tương ứng Kết luận Luận văn trình bày 02 chương với nội dung sau Chương thứ dành cho việc trình bày cách hệ thống mang tính lý thuyết chuỗi số, chuỗi hàm Chương thứ hai phần luận văn trình bày khai triển riêng phần số hàm lượng giác sau 00 7T Z cot i r z = + 2z ^ y —- ' z2 — k k=1 7Ĩ Z 7ĩ t a n 2— = > ¿í(2n + l ) - * 2^ 71=0 = ; + £(-!)" 7Ĩ sin7TZ z n= 00 E(-1) lĩ 1ĨZ n =0 cos — 22 n2 — z2 (2 n + 1) (2n + 1) — z Đồng thời trình bày số áp dụng khai triển việc tính tổng số chuỗi số công thức biểu diễn tiếng lý thuyết số giới thiệu ứng dụng khai triển việc tính tổng số chuỗi 00 16n2 — 1y/2iĩ — n=1 ; Eí-ư 71=1 E 00 n= 7Ĩ — 6; 7r 7r u cot —r 2fc 2fc, 36n2 — 1 I 4fcn2 — 1, 1 -— — - | - -2 n + l Hay biểu diễn giá trị số pi tuyệt đẹp sau 71 = E(1)" 11 z — + 2+1 7Ĩ = sin ©■ — — 11 22—1 +22+1 111 -— + —+ 2—1 2+1 22 —1 22 + Gb tan I — ■2 Tài liệu tham khảo [1] RAO K R AND AHMED N (1968), Recursive techniques for obtaining the partial fraction expansion of a rational function, IEEE Trans Educ 11 (2) p 152-154 [2] HENRICI P (1971), An algorithm for the incomplete decomposition of a rational function into partial fractions, Z f Angew Mathem Physik 22 (4) p 751-755 [3] CHANG F C (1973), Recursive formulas for the partial fraction expansion of a rational function with multiple poles, Proc IEEE 61 (8) p 1139-1140 [4] KUNG H T AND TONG D M (1977), Fast Algorithms for Partial Fraction Decomposition, SIAM Journal on Computing (3): 582 [5] EUSTICE D AND KLAMKIN M S (1979), On the coefficients of a partial fraction decomposition, 86 (6) p 478 480 JSTOR 2320421 [6] MAHONEY J J AND SIVAZLIAN B D (1983), Partial fractions expansion: a review of computational methodology and efficiency, J Comp Appl Math p 247 269 - z + Z'