Khai triển riêng phần và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ LAN KHAI TRIỂN RIÊNG PHẦN VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI - NGUYỄN THỊ LAN KHAI TRIỂN RIÊNG PHẦN VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Hào HÀ NỘI - 2015 Lời cảm ơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, giảng viên dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 12 năm 2015 Tác giả Nguyễn Thị Lan i Lời cam đoan Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hào Tôi xin cam đoan luận văn “Khai triển riêng phần áp dụng” không trùng với luận văn khác Nếu sai hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng 12 năm 2015 Tác giả Nguyễn Thị Lan ii Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 1.3 1.4 Chuỗi số 1.1.1 Một số khái niệm 1.1.2 Điều kiện để chuỗi hội tụ 1.1.3 Tính chất phép toán chuỗi hội tụ Dấu hiệu hội tụ chuỗi dương 1.2.1 Dấu hiệu so sánh 1.2.2 Dấu hiệu Cauchy 12 1.2.3 Dấu hiệu D’Alembert 13 1.2.4 Dấu hiệu tích phân 14 Chuỗi với số hạng có dấu tùy ý 15 1.3.1 Chuỗi đan dấu 15 1.3.2 Sự hội tụ chuỗi đan dấu 15 1.3.3 Chuỗi hội tụ tuyệt đối chuỗi bán hội tụ 17 1.3.4 Các tính chất chuỗi hội tụ 18 Chuỗi hàm hội tụ chuỗi hàm 20 1.4.1 20 Một số khái niệm iii 1.5 1.4.2 Sự hội tụ hội tụ chuỗi hàm 20 1.4.3 Một số tiêu chuẩn hội tụ chuỗi hàm 21 1.4.4 Tính chất tổng chuỗi hàm hội tụ 26 Chuỗi lũy thừa 28 1.5.1 Khái niệm chuỗi lũy thừa 28 1.5.2 Bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa 28 1.5.3 Khai triển thành chuỗi luỹ thừa số hàm sơ cấp Khai triển riêng phần áp dụng 2.1 2.2 31 34 Khai triển riêng phần số hàm lượng giác 34 2.1.1 Định lý Tannery cho chuỗi 34 2.1.2 Khai triển riêng phần hàm cotang 36 2.1.3 Khai triển riêng phần hàm tang 44 2.1.4 Khai triển riêng phần hàm sine 45 2.1.5 Khai triển riêng phần hàm cosine 47 Áp dụng khai triển riêng phần 48 2.2.1 Áp dụng khai triển riêng phần hàm cotang 48 2.2.2 Áp dụng khai triển riêng phần hàm sine 50 iv Mở đầu Lý chọn đề tài Khai triển riêng phần kỹ thuật tính toán giải tích toán học Minh họa cho điều đó, giới thiệu qua hai vấn đề Thứ (Tính nguyên hàm hàm hữu tỷ) Về mặt lý thuyết, nguyên hàm hàm hữu tỷ giải hoàn toàn triệt để qua việc biểu diễn hàm hữu tỷ dạng tổng hàm đa thức với hàm hữu tỷ có bậc đa thức tử nhỏ bậc đa thức mẫu Như vậy, vấn đề lại xử lý nguyên hàm lại Bằng việc phân tích đa thức mẫu thành tích nhị thức bậc tam thức bậc hai sử dụng phương pháp đồng hệ số người ta thu phân thức riêng phần Nguyên hàm phân thức riêng phần tính toán cách đơn giản qua nguyên hàm Thứ hai (Phương pháp tích phân phần) Ta biết công thức tích phân phần udv = uv − vdu Nhờ công thức này, việc tính tích phân số lớp hàm nói phức tạp chuyển sang dạng đơn giản Ngoài đề cập đây, Giải tích nhà Toán học đưa số khai triển riêng phần số hàm đặc biệt qua chuỗi để thu công thức biểu diễn tiếng đem lại số kết tính toán đẹp đẽ Được định hướng người hướng dẫn, chọn đề tài “Khai triển riêng phần áp dụng” để hoàn thành luận văn Thạc sỹ toán học chuyên ngành Toán Giải tích Luận văn cấu trúc thành 02 chương Chương Chúng trình bày số kiến thức chuẩn bị lý thuyết chuỗi số, lý thuyết chuỗi hàm Chương Trình bày cách hệ thống khai triển riêng phần số hàm đặc biệt áp dụng Mục đích nghiên cứu Chứng minh công thức khai triển riêng phần số hàm lượng giác Tính tổng số chuỗi số, chuỗi hàm Biểu diễn số π theo chuỗi hàm biến phức Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu khai triển riêng phần số hàm lượng giác thành tổng hàm phân thức chuỗi Tính tổng số chuỗi nhờ công thức khai triển riêng phần số hàm lượng giác Đặc biệt tính tổng Gregory - Leibniz – Madhava Biểu diễn số π theo chuỗi hàm biến phức Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu khai triển riêng phần số hàm lượng giác hàm cot πz; tan πz 1 ; ; sin πz cos πz qua chuỗi Tính tổng số chuỗi số, chuỗi hàm Phương pháp nghiên cứu Luận văn sử dụng số phương pháp công cụ giải tích bao gồm: Phương pháp phân tích tổng hợp kiến thức lý thuyết chuỗi số lý thuyết chuỗi hàm khai triển riêng phần số hàm đặc biệt Phương pháp phân tích, tổng hợp khai triển riêng phần số hàm lượng giác từ kết hợp xin ý kiến người hướng dẫn Đóng góp đề tài Luận văn trình bày hệ thống kiến thức khai triển riêng phần hàm lượng giác số áp dụng khai triển việc tính tổng số chuỗi đặc biệt Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Chuỗi số Một số khái niệm Định nghĩa 1.1.1 Cho dãy số {an} Tổng vô hạn ∞ a1 + a2 + + an + = an (1.1) n=1 gọi chuỗi số Trong chuỗi số người ta gọi an số hạng thứ n (và gọi số hạng tổng quát thứ n); tổng hữu hạn n sn = a1 + a2 + + an = ak (1.2) k=1 tổng riêng thứ n chuỗi số dãy {sn } gọi dãy tổng riêng chuỗi (1.1) Nếu tồn hữu hạn giới hạn dãy tổng riêng lim sn = s n→∞ chuỗi gọi hội tụ có tổng s Khi đó, ta viết Bằng cách đặt α = cot πk πz β = ta viết 2n 2n π(z + k) 2n + cot π(z − k) 2n = sin 2α sin α − sin2 β Bởi vì, với số nguyên dương n đủ lớn ta có đánh giá |α| = πz < n 2 Do đó, theo bổ đề 2.1.2 ta nhận bất đẳng thức sau |sin 2α| ≤ 6 |2α| ≤ |α| |sin α| ≤ |α| ≤ |α| 5 Mặt khác, ta có β= πk π < ; với k = 1, 2, , 2n−1 − 1; 2n cβ ≤ sin β; với số c > Do đó, ta có đánh giá sau c2 β ≤sin2 β ≤ sin2 α − sin2 β + sin2 α ≤ sin2 α − sin2 β + 4|α|2 Từ đó, ta nhận bất đẳng thức c2 β − 4|α|2 ≤ sin2 α − sin2 β Chọn k cho ck ≥ |z| ta 41 (2.9) 2 c β =c 2 πk 2n = πck 2n π |z| ≥4 2n = 4|α|2 ; hay c2 β − 4|α|2 ≥ (2.10) Từ hai bất đẳng thức (2.9) (2.10) ta nhận ≤ c2 β − 4|α|2 ≤ sin2 α − sin2 β Từ đó, ta suy |sin 2α| |α| ; ≤ sin2 α − sin2 β c2 β − 4|α|2 hay |sin 2α| ≤ sin2 α − sin2 β 3π |z| 2n c2 kπ 2n |z| π −4 2n 2n |z| π =3 2 c k − 4|z|2 Do đó, với ck ≥ |z| ta có nz 2n π(z + k) π(z − k) cot + cot 2n 2n Ta nhận thấy chuỗi k 3|z|2 ≤ c2 k − 4|z|2 3|z|2 |z| số k > c c2 k − 4|z|2 chuỗi dương hội tụ Tiếp theo từ giới hạn πz πz cot = 1; n→∞ 2n 2n lim z cot z = lim z→0 42 ta thu kết sau π(z + k) z πz π(z + k) πz π(z + k) 2n = lim n cot = lim cot n→∞ n→∞ 2n π(z + k) 2n 2n z+k 2n Tương tự ta có π(z − k) πz π(z − k) πz π(z − k) z 2n lim n cot = lim cot = n→∞ n→∞ 2n π(z − k) 2n 2n z−k 2n Từ kết ta nhận giới hạn sau π(z + k) z 2z πz π(z − k) z + cot + = cot = n→∞ 2n 2n 2n z−k z+k z − k2 lim Cuối áp dụng định lý Tannery cho tổng (2.8) ta khai triển hàm cotang ∞ πz cot πz = + 2z k=1 z − k2 (2.11) Công thức khai triển mấu chốt để nhận giá trị số chuỗi hội tụ trình bày phần sau luận văn Tiếp theo, giới thiệu số ứng dụng công thức khai triển để nhận khai triển hàm lượng giác khác 43 2.1.3 Khai triển riêng phần hàm tang Định lý 2.1.3 Ta có công thức sau πz πtan = ∞ n=0 4z (2n + 1)2 − z (2.12) Chứng minh Trước hết, để nhận công thức khai triển riêng phần hàm tang ta cần đến công thức sau πtan πz πz = π cot − 2π cot πz 2 Theo công thức khai triển riêng phần hàm cotang ta có ∞ 2 2π cot πz = πz cot πz = + 4z ; 2 z z z − n n=1 ∞ z z z ; π cot π = π cot π = + 4z 2 z 2 z z − 4n n=1 Thay hai khai triển riêng phần hàm cotang vào vế phải công thức ta nhận πz π cot − 2π cot πz = 4z ∞ n=1 1 − z − 4n2 z − n2 1 1 1 − + − + − + z − z − z − 16 z − z − 36 z − 1 1 = − 4z + + + + z − z − z − 25 z − 49 =4z 44 ∞ = n=0 4z (2n + 1)2 − z Từ kết ta có khai triển riêng phần với hàm tang πz πtan = ∞ n=0 4z (2n + 1)2 − z Định lý chứng minh 2.1.4 Khai triển riêng phần hàm sine Định lý 2.1.4 Ta có công thức ∞ π 2z = + (−1)n sin πz z n=1 z − n2 Chứng minh Để chứng minh công thức khai triển hàm (2.13) π sin πz cần đến đồng thức sau cot z + tan z = sin z Thật z z z cos z cos + sin z sin cos z sin z 2 = + = cot z + tan = z sin z cos z sin z sin z cos 2 Sử dụng đồng thức ta có π cot πz + π tan 45 πz π = sin πz Theo khai triển riêng phần hàm tang cotang ta có ∞ ∞ πz 1 4z π cot πz + πtan = + 2z + z (z − n2 ) n=0 (2n + 1)2 − z n=1 1 1 + + + = + 2z z z2 − z2 − z2 − 1 − 4z + + + z − z − z − 25 = 1 1 1 + 2z − + − + − + z z − z − z − z − 16 z − 25 Từ đó, ta nhận ∞ πz 2z π cot πz + πtan = + (−1)n 2 z n=1 z − n2 Hơn nữa, ta biết π cot πz + π tan πz π = sin πz Do đó, ta nhận công thức khai triển riêng phần hàm sine ∞ π 2z = + (−1)n ; sin πz z n=1 z − n2 với số phức z không nguyên 46 2.1.5 Khai triển riêng phần hàm cosine Định lý 2.1.5 Ta có công thức khai triển ∞ π πz = cos (−1)n n=0 (2n + 1) ; (2n + 1)2 − z (2.14) Chứng minh Trước hết ta viết khai triển sine dạng tường minh sau π = + sin πz z 1 − 1−z 1+z Tiếp theo ta thay z − 1 − 2−z 2+z + 1−z vào công thức ta công thức sau π 1−z sin π = + 1−z 2 − 1+z 3−z − 2 − 3+z 5−z Nhóm lại số hạng vế phải ta π sin π πz − 2 2 + 1−z 1+z = − 2 + 3−z 3+z 2 + − 5−z 5+z =4 − + − − z − z 25 − z + Từ đó, ta nhận công thức khai triển giới thiệu 47 + 2.2 Áp dụng khai triển riêng phần Các công thức khai triển riêng phần đây, ý nghĩa mang tính biểu diễn đẹp đẽ mặt biểu diễn toán học cho phép ta tính tổng số chuỗi số hội tụ Tuy nhiên, phải nhấn mạnh với kiến thức lý thuyết chuỗi số việc tính giá trị tổng chuỗi khó khăn nhiều chuỗi vấn đề mở quan tâm 2.2.1 Áp dụng khai triển riêng phần hàm cotang Để tiện theo dõi, ta viết lại công thức khai triển hàm cotang ∞ πz cot πz = + 2z k=1 z2 − k2 Từ công thức này, việc thay biến z số giá trị cụ thể ta nhận tổng số chuỗi điển hình lý thuyết Một số tổng thông thường Với z = , ta ∞ n=1 1 = 4n2 − Với z = , ta ∞ n=1 16n2 − 48 = 4−π Với z = , ta 2k ∞ n=1 4k n2 − 1− = π π cot 2k 2k Biểu diễn số pi qua chuỗi hàm biến phức Trong công thức khai triển riêng phần hàm cotang, thay z ta nhận z π π cot = + 2 z z z ∞ n=1 z2 − z n2 Từ đó, ta nhận công thức biểu diễn tuyệt đẹp số pi qua chuỗi hàm biến phức sau ∞ π= 1+ k=1 1 + − zk + zk π z tan ; z (2.15) Hay dạng tường minh π= 1− 1 1 π + − + − z tan z − z + 2z − 2z + z Đặc biệt, thay z = vào công thức (2.15) ta thu công thức tiếng tìm phương pháp khác Gregory - Leibniz Madhava π = ∞ (−1)n n=0 1 1 = − + − + 2n + Tương tự thế, thay z = z = ta nhận hai công thức tương ứng 49 √ 1 1 π − + − + − + = ; 2.2.2 √ 1 π 1 + − + = 1− + − 11 13 17 Áp dụng khai triển riêng phần hàm sine ∞ 2z π = + (−1)n sin πz z n=1 n − z2 Sử dụng công thức thay z số giá trị cụ thể ta thu tổng chuỗi số sau Với z = , ta ∞ (−1)n n=1 π−2 = 4n2 − Với z = , ta ∞ (−1)n n=1 Vớiz = 16n2 − √ = 2π − , ta 2k ∞ (−1)n n=1 π − 2k sin 4k n2 − 1 Với z = , ta 50 = 2.2k π 2k ∞ (−1)n n=1 Ngoài ra, thay z 36n2 − = π−3 công thức khai triển riêng phần hàm z sine ta có ∞ 2z (−1)n 2 π =z+ z n − sin n=1 z π Cuối cùng, ta nhận biểu diễn giá trị số pi tuyệt đẹp sau π = z sin 1 1 π 1− + + − − (2.16) z z − z + 2z − 2z + Tương tự thay z = 3, z = 4, z = vào công thức (2.16) ta nhận công thức tương ứng √ 3π 1 1 ; − + + − − = √ 2π 1 1 − + + − − = ; 1 1 π 1− + + − − = 11 13 51 Kết luận Luận văn trình bày 02 chương với nội dung sau Chương thứ dành cho việc trình bày cách hệ thống mang tính lý thuyết chuỗi số, chuỗi hàm Chương thứ hai phần luận văn trình bày khai triển riêng phần số hàm lượng giác sau ∞ πz cot πz = + 2z k=1 πz = πtan ∞ n=0 ; z − k2 4z ; (2n + 1)2 − z ∞ 2z π = + (−1)n ; sin πz z n=1 n − z2 ∞ π (−1)n πz = cos n=0 (2n + 1) (2n + 1)2 − z Đồng thời trình bày số áp dụng khai triển việc tính tổng số chuỗi số công thức biểu diễn tiếng lý thuyết số giới thiệu ứng dụng khai triển việc tính tổng số chuỗi ∞ n (−1) n=1 √ 16n2 −1 52 = 2π − ; ∞ (−1)n n=1 ∞ n=1 π = 36n2 − 1 4k n2 − ∞ (−1)n n=0 1− = = π−3 ; π π cot k k 2 ; 1 1 = − + − + 2n + Hay biểu diễn giá trị số pi tuyệt đẹp sau 1− 1 1 π ; + − + − z tan z − z + 2z − 2z + z π = z sin π 1 1 1− + + − − z z − z + 2z − 2z + π= 53 Tài liệu tham khảo [1] Rao K R and Ahmed N (1968), Recursive techniques for obtaining the partial fraction expansion of a rational function, IEEE Trans Educ 11 (2) p 152–154 [2] Henrici P (1971), An algorithm for the incomplete decomposition of a rational function into partial fractions, Z f Angew Mathem Physik 22 (4) p 751–755 [3] Chang F C (1973), Recursive formulas for the partial fraction expansion of a rational function with multiple poles, Proc IEEE 61 (8) p 1139–1140 [4] Kung H T and Tong D M (1977), Fast Algorithms for Partial Fraction Decomposition, SIAM Journal on Computing (3): 582 [5] Eustice D and Klamkin M S (1979), On the coefficients of a partial fraction decomposition, 86 (6) p 478–480 JSTOR 2320421 [6] Mahoney J J and Sivazlian B D (1983), Partial fractions expansion: a review of computational methodology and efficiency, J Comp Appl Math p 247–269 54 [7] Miller C D, Lial M L and Schneider D I (1990), Fundamentals of College Algebra, (3rd ed ed.) Addison-Wesley Educational Publishers, Inc p 364–370 ISBN 0-673-38638-4 [8] Westreich D (1991), Partial fraction expansion without derivative evaluation, IEEE Trans Circ Syst 38 (6) p 658–660 [9] Kudryavtsev L D (2001), Undetermined coefficients, method of, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 [10] Velleman D J (2002), Partial fractions, binomial coefficients and the integral of an odd power of sec theta, Am Math Monthly 109 (8) p 746–749 JSTOR 3072399 [11] Slota D and Witula R (2005), Three brick method of the partial fraction decomposition of some type of rational expression, Lect Not Computer Sci 33516 p 659–662 [12] Kung S H (2006), Partial fraction decomposition by division, Coll Math J 37 (2): 132–134 JSTOR 27646303 [13] Witula R and Slota D (2008), Partial fractions decompositions of some rational functions, Appl Math Comput 197 p 328–336 55 [...]... tổng lần lượt là n=1 ∞ (an ± bn ) và s và t thì các chuỗi n=1 (λan ) cũng hội tụ và có tổng n=1 lần lượt được xác định theo công thức dưới đây ∞ ∞ (an ± bn ) = s ± t; n=1 λan = λs n=1 Chứng minh Ký hiệu sn = a1 + a2 + + an ; tn = b1 + b2 + + bn ∞ Khi đó {sn ± tn} là tổng riêng của chuỗi (an ± bn ) và {λsn} là tổng n=1 8 ∞ (λan ) Theo tính chất của dãy số hội tụ ta có riêng của chuỗi n=1 lim (sn ± tn... (Tiêu chuẩn Cauchy) Chuỗi (1.1) hội tụ khi và chỉ khi với mọi ε > 0 tồn tại số nguyên dương N sao cho với mọi n ≥ N 6 và mọi số nguyên dương p ta có |an+1 + an+2 + + an+p | < ε; (1.3) Chứng minh Chuỗi (1.1) hội tụ khi và chỉ khi dãy tổng riêng {sn } hội tụ Theo tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của dãy số, với mọi ε > 0 tồn tại số nguyên dương N sao cho với mọi n ≥ N và mọi số nguyên dương p ta có |sn+p −... lim λsn = λs n→∞ n→∞ Vậy ta có điều cần chứng minh 1.2 Dấu hiệu hội tụ của chuỗi dương ∞ an được gọi là chuỗi dương nếu an ≥ 0 với mọi n Chuỗi số n=1 Định lý 1.2.1 Điều kiện cần và đủ để một chuỗi dương hội tụ là dãy tổng riêng của nó bị chặn ∞ an hội tụ nên dãy tổng riêng (sn ) của nó hội tụ Chứng minh Vì n=1 Do đó dãy (sn ) bị chặn Ngược lại, do dãy tổng riêng của chuỗi dương là dãy (sn ) tăng nên... 1.3.4 ∞ |sin nx| n2 n=1 Các tính chất của chuỗi hội tụ ∞ an hội tụ và có tổng Tính chất 1 (Tính chất kết hợp) Nếu chuỗi n=1 là s thì chuỗi (a1 + a2 + + an1 ) + (an1 +1 + an1 +2 + + an2 ) + +(ank−1 +1 + ank−1 +2 + + ank ) + ; (1.6) cũng hội tụ và có tổng là s Chứng minh Gọi tk là tổng riêng thứ k của chuỗi (1.6) và sn là tổng ∞ riêng thứ n của chuỗi an Khi đó, hiển nhiên rằng n=1 tk = snk Do đó,... mọi x ∈ X; ∞ Cn hội tụ thì chuỗi hàm đã cho hội tụ tuyệt đối và đều và chuỗi số n=1 trên X Chứng minh Với mọi x ∈ X theo dấu hiệu so sánh ta có các chuỗi số ∞ ∞ |un (x)| hội tụ un (x) và n=1 n=1 Đặt ∞ u(x) = ∞ |un (x)| un (x) và σn = n=1 n=1 ∞ Cn hội tụ nên với mọi số ε > 0 cho trước tồn tại số nguyên Vì chuỗi n=1 dương n0 sao cho khi n ≥ n0 và mọi số nguyên dương p ta có ε Cn+1 + Cn+2 + + Cn+p < 2... tuyệt đối và đều trên 2 2 n=1 n + x R Vì ta có cos nx 1 ≤ 2 ; ∀n, ∀x ∈ R; 2 2 n +x n ∞ và chuỗi số 1 hội tụ 2 n=1 n xn √ hội tụ tuyệt đối và đều trên Ví dụ 1.4.2 Chuỗi hàm số n=1 n n [ − 1; 1], vì ta có ∞ xn 1 √ ≤ √ ; ∀n, ∀x ∈ [ − 1; 1]; n n n n ∞ 1 n=1 n2 và chuỗi 3 hội tụ Định lý 1.4.3 (Dấu hiệu Dirichlet) Cho hai dãy hàm {an (x)} và {bn (x)} cùng xác định trên tập X Giả thiết ∞ (i) Dãy tổng riêng sn... {an (x)} và {bn (x)} cùng xác định trên tập X và |bn (x)| ≤ M ; ∀n ∈ N∗ , ∀x ∈ X Giả thiết thêm rằng ∞ (i) Chuỗi hàm an (x) hội tụ đều trên X n=1 (ii) Dãy hàm {bn (x)} đơn điệu với mọi x và bị chặn đều có nghĩa là 24 với mọi x ∈ X, dãy số bn (x) là dãy đơn điệu và tồn tại số M > 0 sao cho |bn (x)| ≤ M ; với mọi n = 1, 2, và với mọi x ∈ X ∞ an (x)bn (x) hội tụ đều trên X Khi đó, chuỗi n=1 Chứng minh... n ≥ n0 và mọi số nguyên dương p ta có |sn+p (x) − sn (x)| < ε; với mọi x ∈ X Chứng minh Thật vậy, chuỗi hàm hội tụ đều khi và chỉ khi dãy các tổng riêng {sn (x)} hội tụ đều Theo tiêu chuẩn Cauchy của dãy số hội tụ đều, điều này xảy ra khi và chỉ khi với mọi số ε > 0 cho trước tồn tại số nguyên dương n0 sao cho khi n ≥ n0 và mọi số nguyên dương p ta có 21 |sn+p (x) − sn (x)| < ε; với mọi x ∈ X ∞ un (x)... an phân kỳ của chuỗi n=1 an = k và 0 ≤ k < +∞ nên tồn tại số n→∞ bn nguyên dương n0 để với mọi n ≥ n0 ta có Chứng minh (i) Bởi vì lim an ≤ k + 1 ⇔ an ≤ (k + 1)bn bn ∞ an hội tụ Theo định lý 1.2.2, thì chuỗi n=1 ∞ (ii) Trường hợp 0 < k ≤ +∞ và chuỗi bn phân kỳ Khi đó, ta có n=1 10   1 khi k = +∞ bn k lim = k∗ = n→∞ an  0 khi k = +∞ tức là 0 ≤ k ∗ < +∞ Theo phần chứng minh trên, nếu chuỗi ∞ n=1 an... dãy tổng riêng sn và s2n phải cùng dần tới một giới hạn khi n → +∞ tức là lim (s2n − sn ) = 0 Tuy n→∞ nhiên, điều này mâu thuẫn với đánh giá trên Hệ quả 1.1.2 Chuỗi (1.1) và chuỗi nhận được từ chuỗi này bằng cách thêm vào hay bỏ bớt đi một số hữu hạn các số hạng cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ 1.1.3 Tính chất về các phép toán của chuỗi hội tụ ∞ ∞ an , Định lý 1.1.2 Nếu chuỗi ∞ n=1 bn hội tụ và có tổng