Luận văn khai triển riêng phần và ứng dụng

B ộ■ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO * • TRƯỜNG ĐẠI HỌC s PHẠM HÀ NỘI • • • • NGUYỄN THỊ LAN KHAI TRIỀN RIÊNG PHẦN VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC • • • HÀ NÔI - 2015 B ộ■ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO * • TRƯỜNG ĐẠI HỌC s PHẠM HÀ NỘI • • • • NGUYỄN THỊ LAN KHAI TRIỂN RIÊNG PHẦN VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TO ÁN HỌC • • • Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Hào HÀ NỘI - 2015 ■ Lời cảm ơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới T S N g u y ễn V ăn H ào, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, giảng viên dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, thấng 12 nẫm 2015 T ác g iả N g u y ễn T h ị L an Lời cam đoan Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn T S N g u y ễn V ăn H Tôi xin cam đoan luận văn “K h a i tr iể n riên g p h ầ n p d ụ n g ” không trùng với luận văn khác Nếu sai hoàn toàn chịu trách nhiệm Hầ Nội, thắng 12 năm 2015 T ác giả N g u y ễn T h ị L an M ục lục M đầu K iến th ứ c ch u ẩ n b ị 1.1 1.2 Chuỗi s ố 1.1.1 Một số khái niệm b ả n 1.1.2 Điều kiện để chuỗi hội t ụ 1.1.3 Tính chất phép toán chuỗi hộitụ Dấu hiệu hội tụ chuỗi dương Dấu hiệu so s n h 1.2.2 Dấu hiệu C a u c h y 12 1.2.3 Dấu hiệu D’A lem b ert 13 1.2.4 Dấu hiệu tích p h â n 14 Chuỗi với số hạng có dấu tùy ý 15 1.3.1 15 1.2.1 1.3 Chuỗi đan dấu 1.3.2 Sự hội tụ chuỗi đan d ấ u 15 1.3.3 Chuỗi hội tụ tuyệt đối chuỗi bán hội tụ 17 18 Chuỗi hàm hội tụ chuỗi h m 20 1.4.1 20 1.3.4 Các tính chất chuỗi hội tụ 1.4 Một số khái niệm b ả n iii 1.5 1.4.2 Sự hội tụ hội tụ chuỗi h m 20 1.4.3 Một số tiêu chuẩn hội tụ chuỗi hàm 21 1.4.4 Tính chất tổng chuỗi hàm hội tụ 26 Chuỗi lũy t h a 28 1.5.1 Khái niệm chuỗi lũy t h a 28 1.5.2 Bán kính hội tụ chuỗi lũy t h a 28 1.5.3 Khai triển thành chuỗi luỹ thừa số hàm sơ c ấ p K h a i tr iể n riê n g p h ầ n áp d ụ n g 2.1 34 Khai triển riêng phần số hàm lượng giác 34 34 2.1.2 Khai triển riêng phần hàm c o t a n g 36 2.1.3 Khai triển riêng phần hàm tang 44 2.1.4 Khai triển riêng phần hàm sine 45 47 Áp dụng khai triển riêng p h ầ n 48 2.2.1 Áp dụng khai triển riêng phần hàm cotang 48 2.2.2 Áp dụng khai triển riêng phần hàm sine 50 2.1.1 Định lý Tannery cho chuỗi 2.1.5 Khai triển riêng phần hàm cosine 2.2 31 iv M đầu Lý ch ọ n đ ề tà i Khai triển riêng phần kỹ thuật tính toán giải tích toán học Minh họa cho điều đó, giới thiệu qua hai vấn đề T h ứ n h ấ t (Tính nguyên hàm hàm hữu tỷ), mặt lý thuyết, nguyên hàm hàm hữu tỷ giải hoàn toàn triệt để qua việc biểu diễn hàm hữu tỷ dạng tổng hàm đa thức với hàm hữu tỷ có bậc đa thức tử nhỏ bậc đa thức mẫu Như vậy, vấn đề lại xử lý nguyên hàm lại Bằng việc phân tích đa thức mẫu thành tích nhị thức bậc tam thức bậc hai sử dụng phương pháp đồng hệ số người ta thu phân thức riêng phần Nguyên hàm phân thức riêng phần tính toán cách đơn giản qua nguyên hàm T h ứ h (Phương pháp tích phân phần) Ta biết công thức tích phân phần I udv = uv — Ị vdu Nhờ công thức này, việc tính tích phân số lớp hàm nói phức tạp chuyển sang dạng đơn giản Ngoài đề cập đây, Giải tích nhà Toán học đưa số khai triển riêng phần số hàm đặc biệt qua chuỗi để thu công thức biểu diễn tiếng đem lại số kết tính toán đẹp đẽ Được định hướng người hướng dẫn, chọn đề tài “K h a i tr iể n riên g p h ầ n p d ụ n g ” để hoàn thành luận văn Thạc sỹ toán học chuyên ngành Toán Giải tích Luận văn cấu trúc thành 02 chương Chương Chúng trình bày số kiến thức chuẩn bị lý thuyết chuỗi số, lý thuyết chuỗi hàm Chương Trình bày cách hệ thống khai triển riêng phần số hàm đặc biệt áp dụng M ụ c đ ích n g h iê n u Chứng minh công thức khai triển riêng phần số hàm lượng giác Tính tổng số chuỗi số, chuỗi hàm Biểu diễn số 7T theo chuỗi hàm biến phức N h iệ m v ụ n g h iê n u Nghiên cứu khai triển riêng phần số hàm lượng giác thành tổng hàm phân thức chuỗi Tính tổng số chuỗi nhờ công thức khai triển riêng phần số hàm lượng giác Đặc biệt tính tổng Gregory - Leibniz Madhava Biểu diễn số 7T theo chuỗi hàm biến phức Đ ối tư ợ n g p h m vi n g h iê n u Nghiên cứu khai triển riêng phần số hàm lượng giác hàm 7TZ 1 cot 7rz; ta n — ; - ; - ^ sin 7TZ cos_ qua chuỗi Tính tổng số chuỗi số, chuỗi hàm P h n g p h p n g h iê n u Luận văn sử dụng số phương pháp công cụ giải tích bao gồm: Phương pháp phân tích tổng hợp kiến thức lý thuyết chuỗi số lý thuyết chuỗi hàm khai triển riêng phần số hàm đặc biệt Phương pháp phân tích, tổng hợp khai triển riêng phần số hàm lượng giác từ kết hợp xin ý kiến người hướng dẫn Đ ó n g góp c ủ a đ ề tà i Luận văn trình bày hệ thống kiến thức khai triển riêng phần hàm lượng giác số áp dụng khai triển việc tính tổng số chuỗi đặc biệt Chương K iến thứ c chuẩn bị 1.1 1.1.1 C huỗi số M ộ t số k h n iệm b ả n Đ ịn h n g h ĩa 1.1.1 Cho dãy số {an} Tổng vô hạn 00 ữi + Ũ2 + 4- ữn 4- = 'y ] an (1 -1 ) 71=1 gọi chuỗi số Trong chuỗi số người ta gọi an số hạng thứ n (và gọi số hạng tỗng quát thứ n); tổng hữu hạn n s n = a,ị + a + + ữn = ^ ^ aỵ (1 -2 ) k= tổng riêng thứ n chuỗi số dãy {sn} gọi dãy tổng riêng chuỗi (1.1) Nếu tồn hữu hạn giới hạn dãy tổng riêng lim sn = s ĩl—^oo chuỗi gọi hội tụ có tổng s Khi đó, ta viết \z\k < \z\] với số nguyên dương k Thêm nữa, ta có (2n+l)! = (2.3)(4.5) (2n.(2n + 1)) > (2.3)(2.3) (2.3) = (2.3)n = 6n Từ đó, ta có đánh giá 00 Z 2n+ I I \z \ \z \ I I í 1 —I^I "l” —ĩ— I — ĩ — ••• — \% \ 1 — 3! 5! V 3! Isin 2:1 = £ < + 6* + + — 5! , , II , , \z\ =56 — I \z I - Vậy bổ đề chứng minh □ Chứng m inh định lý 2.1.2 Trước hết, với số phức cố định z không nguyên ta có giới hạn sau 7Ĩ Z ĨTZ nToo n 2n 7TZ 7TZ lim —— cot ——= 1vàlim ——tan ——= 00 n n Trong công thức (2.2) cho n —>00ta 2n~ 1—l nhận E , 7r(z —A;) n z ( , 7r(z + /c) -— Ị cot -|- c o t - — 7xz cot 7ĨZ = + lim < n —¥ 2n 2n V Jfe=l x o (2.8) Tiếp theo, để áp dụng định lý Tannery cho tổng (2.8) cần sử dụng đến công thức ỉ n\ s in ữ , cot(a + p) + cot(cc — p) = -r~õ - —Õ7 Ĩsin a —sin p 40 Bằng cách đặt a = ' в = ^ ta viết 2n 2n sin 2а sin2a; —sin2/3 Bởi vì, với số nguyên dương n đủ lớn ta có đánh giá а = ĩĩ z 2' Do đó, theo bổ đề2.1.2 ta nhận bất đẳng thức sau .6 sin 2a < - 2a < a sin cc < — Cü < а 5 Mặt khác, ta có 7ГА/ 7Г ß = — < —; với moi к = 1, , 2n_1 — 1; 2n ' cß < sin /3; với số с > Do đó, ta có đánh giá sau c2ß \z\ ta 41 (2.9) 7ĩk\2 = cz [ — \ 2n J = ,V{ T2nĩ c k \ íiĩ\z\\2 2n = M 2; hay (2 10) c2/32 —4:\a\z > Từ hai bất đẳng thức (2.9) (2.10) ta nhận < c2/32 —4|a;|2 < |sin20! —sin2/?! Từ đó, ta suy |sin2aíỊ \a\ |sin2a —sin2/3| — C2Ị32 —4|o;|2’ hay 2n UI 3tĩ ui |sin 2a\ |sin2a - s i n 2/3| < 7T ĩ = r\ c2k —A\z\ 2n c2^ y _ 4| Do đó, với ck > \z\ ta có nz ( ^ 2n V cot Tĩ(z + k) Tĩ(z — k) v o ’ + cot 2n 2n < 3\z \ 2■ c2k2 — A\z U|2 Ta nhận thấy chuỗi Y - kắt k (? ^ — |z | c chuỗi dương hội tụ Tiếp theo từ giới hạn 7ĨZ 7ĨZ lim z cot z = lim —- cot —7 = 1; zhTo nToo 2n 2n 42 \z\ số k > ta thu kết sau 7r(z + k ) 7TZ 7r(z + k ) , r ( /z “+ k) 1“ /ty 7TZ lim -r- cot— - = lim -r- cot v l->00 2r ' 2n 2n z '7r(z + Ả:) ^ z + k' Tương tự ta có 7ĩ(z — k 7Ĩ Z 7ĩ(z — k ) , 7TZ r ( z — /c) ) 071 lim — cot — - - = lim — cot — - -■ , z , ' nToo 2n 2n nToo 2n 2n r ( z - A:) z — k Từ kết ta nhận giới hạn sau 7TZ 7r(z — k ) 7ĩ(z + z k) lim —— c o t — 1- c o t —: -Tl->00 2n z z — k ^ z + k _ 2z2 z2 — k2 Cuối áp dụng định lý Tannery cho tổng (2.8) ta khai triển hàm cotang 00 1Ĩ Z cot 1Ĩ Z = 4- 2z > ^ k= 1 — -— z2 - k (2 11) Công thức khai triển mấu chốt để nhận giá trị số chuỗi hội tụ trình bày phần sau luận văn Tiếp theo, giới thiệu số ứng dụng công thức khai triển để nhận khai triển hàm lượng giác khác 43 2.1.3 K hai triển riêng phần hàm tang Đ ịnh lý 2.1.3 Ta có côn g th ứ c sa u 00 4z ĩĩtan— = 2_J ; ^( 2r c + l f - z 7Ĩ Z (2 12) Chứng minh Trước hết, để nhận công thức khai triển riêng phần hàm tang ta cần đến công thức sau 7TZ 7Ĩ Z Tĩtan - = 7Tc o t Z7Tcot 7TZ 2 Theo công thức khai triển riêng phần hàm cotang ta có 7TZ cot 7TZ — h 4z > — Z7Tcot 7TZ = — 2 ^71=1 z - n z z _ zz 22 A ^ 7Tcot 7T— = —7T— cot 7T- = — 1-4z y —— z 22 zz ^71=1 22 z -—4n ’ Thay hai khai triển riêng phần hàm cotang vào vế phải công thức ta nhận 7ĨZ 7T c o t Z7Tc o t 7ĨZ = 4z —4n2 Ỉ,Mn = =4z z —4 22 — 1 z2 —n x + z — ^ z — 36 z — 16 ( 1 1 = - 42; ( „ - + „ - + - — + - + z2 - l z - z —25 z —49 _ 44 z2 —9 + 00 Az -y2 = nỆ i=í0 (2n + ir' - *2 Từ kết ta có khai triển riêng phần với hàm tang 00 7Ĩ Z 7r t a n — = A 4z > -õ - è í ( n + l )2- * Định lý chứng minh □ 2.1.4 K hai triển riêng phần hàm sine Đ ịnh lý 2.1.4 Ta có công thức 2z ( -zÁ ! )— ”^Tìr sin 7ĨZ = Ỉz + Ể n = l (2.13) — Chứng minh Để chứng minh công thức khai triển hàm s i ĩ l 7Tz cần đến đồng thức sau cot z z + ta n — = sin z - T hật z z z sin — cos z cos — b sin z sin — 9 cot z + tan - = -7 -— I |r = — sin z cos _ gịn z cos _ sin z z cos z 2 Sử dụng đồng thức ta có 7TZ 7T c o t 7TZ + 7T t a n - = 45 7Ĩ - sin 7TZ Theo khai triển riêng phần hàm tang cotang ta có 00 ^ 00 - 7Ĩz % V—> 4z 7TQ,0ÌTĨZ + lĩtan— = - + 2z > -ị- ^ v + > z ^n=1 (z2 v - 77, )') ' ^írí n=0 (2re + !)21 „ 1 22 " ĩ + zVĩĩ ĩ + ĩ ĩ + ĩ ĩ: r + ’" _4z ( ĩ ^ / 1 + Ị ^ + ĩ^ + 1 - = - + 2z ị - H - —— 42: \ z — z —4 z — z — 16 z2 —25 Từ đó, ta nhận 7TZ ,n 2^ 7Tcot 7T2: + ĩĩtan— = — h / ( —1) —^ - õ2 2; z —n n = Hơn nữa, ta biết 7Ĩ Z 7T c o t 7TZ + 7T t a n — = 7T — sin 7Ĩ Z Do đó, ta nhận công thức khai triển riêng phần hàm sine 7T S in 1ĨZ 11 z 00 ^“ 2z ' ■ ■ z2 — n2 ’ 71=1 ĩ +p -ir với số phức z không nguyên □ 46 2.1.5 K hai triển riêng phần hàm cosine Đ ịnh lý 2.1.5 Ta có công thức khai triển 7T 7xz = x > i ) " ( (2; ly 4cos — ) 2' (2n + !) - * n=0 Chứng minh Trước hết ta v iết khai tr iể n (2-14) sine dạng tường minh sau 7T = sin 7Tz / _Ị _ \ z \1 —z 1+ 2/ _ { _ \2 — z + zJ — z Tiếp theo ta thay z -vào công thức ta công thức sau 7r / _ — 2: \ — ~ * \ l + 2: sin 7T—-— —z ) \3 + z 2/ 2 —z ) ^ Nhóm lại số hạng vế phải ta 7T - í sm dn I _, V2 22 / —z + / 1+ zj + l - z V3 - 3+ z - z 25 — z Từ đó, ta nhận công thức khai triển giới thiệu 47 ) □ \ / 22\ 2.2 Á p dụng khai triển riêng phần Các công thức khai triển riêng phần đây, ý nghĩa mang tính biểu diễn đẹp đẽ m ặt biểu diễn toán học cho phép ta tính tổng số chuỗi số hội tụ Tuy nhiên, phải nhấn mạnh với kiến thức lý thuyết chuỗi số việc tính giá trị tổng chuỗi khó khăn nhiều chuỗi vấn đề mở quan tâm 2.2.1 Á p dụng khai triển riêng phần hàm cotang Để tiện theo dõi, ta viết lại công thức khai triển hàm cotang 7TZ cot 7TZ = + 2zĩ k=1^ - Từ công thức này, việc thay biến z số giá trị cụ thể ta nhận tổng số chuỗi điển hình lý thuyết M ột số tổn g th ôn g thường Với z — Với z = ta đươc _°° 1 y =1 ^n = 4n2 - ta 4— y '— 16n2- — —1 = 71— 48 7T Với z = — , ta đươc 2k 7r 7T - r cot — _ 2k 2k 71=1 4kn — 00 E B iểu diễn số pi qua chuỗi hàm biến phức Trong công thức khai triển riêng phần hàm cotang, thay z —ta nhận z oc 77Tr ^ 11 V z2 cot — + 2-T- > 2 ' —22n Tl=1 n= 7T Từ đó, ta nhận công thức biểu diễn tuyệt đẹp số pi qua chuỗi hàm biến phức sau " = l + ^ ( ^ + Ĩ T ^ ) ) z t a n z ; ( ) Hay dạng tường minh í, 1 V Z —1 z + 7T = ( -— — + ——— - — - + 2z — 1 V m 2z + J \zJ — - - ) z ta n ( — ) Đặc biệt, thay z = vào công thức (2.15) ta thu công thức tiếng tìm phương pháp Gregory - Leibniz - khác Madhava , 1 - = > ( - 1) — -— = - - + ’ 2n + n=0 - - - + 57 Tương tự thế, thay z — z — ta nhận hai công thức tương ứng 49 1 1 _ T \/3 - + - + - + " ' - ""9” ’ 1 1 _ Tĩy/ã ~ + ~ n + Ĩ ~ Ĩ + ' " ~ ~Õ~' 2.2.2 Á p dụng khãi triển riêng phần củã hàm sine 7T S i n 7TZ _°° z 9~ ’ 71=1 n - z S d ụ n g c ô n g th ứ c n y v th a y z b i m ộ t số g iá t r ị c ụ th ể t a c ũ n g th u đ ợ c tổ n g c ủ a m ộ t c h u ỗ i số s a u V ới z = ta đươc 00 V ( - )>" — n2 7T — — _ ! = n = l V ới z = ta V ( - I ) n— ị — = ^71=1 v ’ 16n2 - V Ớ 12: = — , ta đươc 2k 00 n=l V ới 2: = V^TT —4 ' 6’ -I £ 4fcn - ta đươc 50 7T — K s i n — _ 2fc _ 2.2* _°° n= 1 7T 36n2 — —3 Ngoài ra, thay z —trong công thức khai triển riêng phần hàm z sine ta có 00 7T ^ , _.n o2z _ =*+E(-i)' 71=1 Cuối cùng, ta nhận biểu diễn giá trị số pi tuyệt đẹp sau TT — z sin ( 1 — + z -l + z+ 1^2z-l 2z + l (2.16) Tương tự thay z — 3, z = 4, z — vào công thức (2.16) ta nhận công thức tương ứng , 1 1 - - + - + - - - - = ự ĩĩ ; 9’ 1 1 _ Ự tĩ + + _ _ '"_ ^ ; 1 1 _ 7T - + + Ĩ I - Ĩ - "'- 51 3"' K ết luận Luận văn trình bày 02 chương với nội dung sau Chương thứ dành cho việc trình bày cách hệ thống mang tính lý thuyết chuỗi số, chuỗi hàm Chương thứ hai phần luận văn trình bày khai triển riêng phần số hàm lượng giác sau _°° 7TZ cot 7TZ = + 2z ^ Z2 _ k2 ; k= 00 1ĨZ 7xtan— = > * = — - ; tí (2re + !) s i n 7TZ i 4z - + £ ( z *— ' ' 71=1 - ) ” ' - *2 z n — z2’ 00 4cos^ = Ỉ> ) n= {2n+lỴ-z2 Đồng thời trình bày số áp dụng khai triển việc tính tổng số chuỗi số công thức biểu diễn tiếng lý thuyết số giới thiệu ứng dụng khai triển việc tính tổng số chuỗi 00 71=1 16n2 - - 52 V2ĩT - ; 00 _ о y ' ( - i ) " _Ị _= ĩ - ^ ỉ *n=l -> v ^ ' 36n - 1 4fcn — n = _ ’ 7Г 7Г r cot — 2k 2k 1 \7 ( ) * , 1 = У > ( - 11Г — -— = 1- - + - ' 2n n ++ l1 = - 71 = - - + H a y b iể u d iễ n v ề g iá t r ị c ủ a số p i tu y ệ t đ ẹ p n h s a u 7Г = Л1 V 1 — — + — — — Z — z + "К\ 7Ĩ = z s i n — z) Г - - — - + 2z — 1 - H -—— + I z — Z+ 53 - — 2z + - V m ) z t a n ( — ) \ z / J 1 2z — 2z + Tài liệu th am khảo * [1] R a o K R and A h m e d N (1968), Recursive techniques for obtaining the partial fraction expansion of a rational function, IEEE Trans Educ 11 (2) p 152-154 [2] H e n r i c i P (1971), An algorithm for the incomplete decompo­ sition of a rational function into partial fractions, Z f Angew Mathem Physik 22 (4) p 751-755 [3] C h a n g F C ( ) , Recursive formulas for the partial fraction expansion of a rational function with multiple poles, Proc IEEE 61 (8) p 11 39- 1140 [4] K u n g H T a n d T o n g D M ( 7 ) , Fast Algorithms for Partial Fraction Decomposition, SIAM Journal on Computing (3): 582 [5] E u s t i c e D a n d K l a m k i n M S ( 9 ) , On the coefficients of a partial fraction decomposition, 86 (6) p - JSTOR 2320421 [6] M a h o n e y J J and S i v a z l i a n B D (1983), Partial fractions expansion: a review of computational methodology and efficiency, J Comp Appl Math p 247-269 [...]... UCL co tong n= 1 Ỉữĩỉ ỉĩ£ỡt ỈCL n=1 oo oo s và t thì các chuỗi Ỵ2 (an ± bn) và Ỵ2 71=1 an) cũng hội tụ và có tổng 71=1 lần lượt được xác định theo công thức dưới đẫy 00 00 («n ± K ) = s ± í; ^ 2 Xan = As n= 1 n= 1 Chứng minh Ký hiệu sn = a l + a2 + + a n\ t n = + &2 + + bn 00 Khi đó {sn ± £ n} là tổng riêng của chuỗi Ỵ2 (a n i bn) và {Asn} là tổng 8 00 riêng của chuỗi Ỵ2 i^ an)- Theo tính chất của... hội tụ và có tổng chuỗi ( ữ i + a 2 + + a n i ) + ( a U l + 1 + a U l + 2 + + a n2) + + ( a n k- 1 + 1 + ữ n fe_ i + 2 + + a nk) + (1-6) cũng hội tụ và có tổng là s Chứng minh Gọi tỵ là tổng riêng thứ k của chuỗi (1.6) và sn là tổng 00 riêng thứ n của chuỗi Ỵ2 an Khi đó, hiển nhiên rằng n = 1 tk — &nk• Do đó, từ lim sn = s suy ra lim= lim sHk = s.Vậy ta có điều ĩ l —>00 n —¥ 00 k —to c phải chứng minh... ĩl—^oo n —^oo Vậy ta có điều cần chứng minh □ 1.2 D ấu hiệu hội tụ của chuỗi dương 00 Chuỗi số Ỵ2 a n được gọi là chuỗi dương nếu an > 0 với mọi n 71=1 Đ ịn h lý 1.2.1 Điều kiện cần và đủ để một chuỗi dương hội tụ ỉà dãy tổng riêng của nó bị chặn 00 Chứng minh Vì Ỵ2 an hội tụ nên dãy tổng riêng (sn) của nó hội tụ 71=1 Do đó dãy (sn) bị chặn Ngược lại, do dãy tống riêng của chuỗi dương là dãy (sn) tăng... chuẩn Cauchy) Chuỗi (1.1) hội tụ khi và chỉ khi với mọi £ > 0 tồn tại số nguyên dương N sao cho với mọi n > N và mọi số nguyên dương p ta có | a n + i + a n + 2 + + ữ n + p Ị < e ; (1-3) Chứng minh Chuỗi (1.1) hội tụ khi và chỉ khi dãy tổng riêng {sn} hội tụ Theo tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của dãy số, với mọi £ > 0 tồn tại số nguyên dương N sao cho với mọi n > N và mọi số nguyên dương p ta có l^rt+p... tại số nguyên dương n ữ sao cho khi n > n 0 và mọi số nguyên dương p ta có \sn+p(x) — s n(x)| < e; với mọi X £ X Chứng minh T hật vậy, chuỗi hàm hội tụ đều khi và chỉ khi dãy các tổng riêng {sn(a;)} hội tụ đều Theo tiêu chuẩn Cauchy của dãy số hội tụ đều, điều này xảy ra khi và chỉ khi với mọi số £ > 0 cho trước tồn tại số nguyên dương TiQ sao cho khi n > n 0 và mọi số nguyên dương p ta có 21 Ịsn+J,... đối và đều trên Ш Vì ta có COS nx < —T-; V t ì , У х G M ; n 2 4- X2 00 2 và chuỗi số X) о bôi tu 71=1 п 2 00 J -п V í d ụ 1.4.2 Chuỗi hàm số Y^ỉ /— hội tụ tuyệt đối và đều trên n=1 ny/n [ — 1; 1], VÌ ta CÓ X < — ^;V n,V a: G [ - 1;1]; Пу/П riy/n oo ^ và chuỗi X) 3 hội tụ Đ ịn h lý 1.4.3 (Dấu hiệu Dirichlet) Cho hai dẫy hàm {ап(ж)} và {&п(ж)} cùng xác định trên tập X Giả thiết 00 (г) Dãy tổng riêng. .. {an(x)} và {òn(:c)} cùng xác định trên tập X và |Ò„(5C)| < M ;Vn 0 sao cho \bn(x )\ < với mọi n = 1,2, và với mọi X €E X 00 Khi đó, chuỗi Yl an(x)bn(x) hội tụ đều trên X n = 1 Chứng minh... 1.1.2 mục 1.1, không m ất tính tổng quát ta có thể giả thiết Щ = 1 Gọi sn và tn lần lượt là tổng riêng 00 00 thứ n của các chuỗi Ỵ2 an và Ỵ2 Ъп- Khi đó, ta có n= 1 n= 1 sn < c t n- với mọi n > 1 Như vậy, nếu dãy {tn} bị chặn thì dãy {sn} cũng bị chặn và nếu dãy K } không bị chặn thì dãy {íra} cũng không bị chặn Từ đó ta suy ra kết luận của định lý □ Đ ịn h lý 1.2.3 (Dấu hiệu so sánh thứ hai) Giả sử lim... \un{x)\ < Cn\ với mọi X G X ; 00 và chuỗi số X) Cn hội tụ thì chuỗi hàm đã cho hội tụ tuyệt đối và đều 71—1 trên X Chứng minh Với mọi € X theo dấu hiệu so sánh ta có các chuỗi số X X) un(x) và X) \un{x)I hội tụ n=1 n=1 Đặt u ix ) = u n{x) v à ơn = ^ 2 \un (x )\ n= 1 71=1 00 Vì chuỗiCn hội tụ nên với mọi số £ > 0 cho trước tồn tại số nguyên n = dương nữ 1 sao cho khi > 77,0 và mọi số nguyên dương n Cn+1... 00 đối và có tổng là s thì chuỗi Ỵ2 bn nhận được bằng cách đổi chỗ tùy 71=1 00 ý các số hạng của chuỗi số Ỵ2 an cũng hội tụ và có tổng bằng s 71=1 00 00 Chứng minh Vì chuỗi Ỵ2 an hội tụ tuyệt đối nên chuỗi Ỵ2 lan| hội tụ, n= 1 n= 1 nên theo định lý 1.1.1, với mọi £ > 0 tồn tại số nguyên dương 711 để i€F ỊaịỊ < 2 với mọi tập con hữu hạn F с {n e N : n > Ui} Gọi sn 00 00 và tn lần lượt là tổng riêng thứ