Luận văn khai triển riêng phần và ứng dụng

B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI NGUYN TH LAN KHAI TRIN RIấNG PHN V P DNG LUN VN THC S TON HC H NễI - 2015 00 B GIO DC V O TO 00 00 00 a riờng ca chui i^ n)Theo tớnh cht cas dóy shm hi t ta qua cú cỏc chui ỏnh giỏ sau (ii) Trng hp q = Khi ú, ta cú a a 1.4.2 mt s khai S trin hi t riờng v hi phn t ca u mt ca chui hm c bit 20 TRNG I HC s PHM H NI bnphõn v miNuchui s nguyờn271=1 dng p ta k cú thỡ kộotheo () n phn chui k ^ ^ 0"n S71=1 n= i tng v phm vi nghiờn cu M u 2n= din 1 hi rttni thu c 1.4.3 nhng cụng Mt s thc tiờubiu chun uting ca chui v em hm li mt s kt qu 21 Chng minh Nh ó núi h qu 1.1.2 mc 1.1, khụng mt tớnh lim (s t ớ; lim As = As n- n) = n + S2n s H + Nghiờn khai riờng ca nmt limn phn s n = lim = +s 00 hm lng giỏc nh hm (1-3) Lý docu chn trin ti l ^oo n^oo nhng + 1caca 71 +hm hi t2 ndn, tớnh 1.4.4 p Tớnh c s ca nh tng chui ngi tụi chn ti 26 71>00 n>OC tng toỏn quỏt ta cú th gi cht thit = Gi s v t n lnhng lt lu tng riờng n 1 Khai trin riờngs n phn mt khụng nhng k thut tớnh ca gii tớch toỏn 00 lim =phn 00l00 hoc tn ti gii hn2n ny, toỏn thỡ chui c Vy1.5 taNu cú Chui iu cn chng minh 7TZ c 1lun a Khai trin riờng ly tha v ỏp dng Khi hon thnh Thc s toỏn hc 28 2n 2n (Ui) Trng hp q = Dóy tng riờng xỏc nh nh sau th n ca cỏc chui n v ú, ta cú n>0o cot 7rz; -; ^ riờng {s n} hi t Chng minh Chui (1.1) hi tan; v ch dóy tng nt 1khi hc Minh cho iu ú, chỳng ta cú th gii thiu qua hai di n= n= sin 7TZ cos_ gi l phõn k Toỏn chuyờn 1.5.1 ngnh Khỏi Gii nim tớch v chui ly tha mi Ê > tn ti 28 2n Theo tiờu chun Cauchy hi t ca dóy s, vi s s n n - vi NGUYN TH LAN õy Li cam oan Li cm n 1, tkhi = 2k ly tha 1.5.2 Bỏn kớnh hi can chui 28 nguyờn dng N cho vi mi n > Ndóy v mi s nguyờn dng p K} tacựng cú Nh th, nu chui ny hi t thỡ cỏc tng riờng s n v v s 2nHo, phi dn qua cỏc chui Nh vy, nu dóy {t } b chn thỡ dóy {s } cng b chn nu dóy khụng n n Tỏc gi xin by t lũng bit n sõu sc ti TS Nguyn Vn ngi ó Lun c c hon thnh ti02khi trng hc phm H Ni di s Vớ d 1.1.1 Xột cu chui s 2, 77, =i 2kdng + S trỳc thnh 1.5.3 Khai trin thnh chui lu tha ca mt s hm 1.2Lun Du hiu hi t cachng chui M u ti mt gii hn nchui > +00 tc lhm limT (st), smt kt Tuylun Tớnh tng ca mt sti s, chui 2n n ) = Th nht nguyờn hm ca hm hu v lý thuyt, nguyờn b chn thỡ(Tớnh dóy {ớ cng khụng b chn ú tatụi suy cavn nhhm lý } nh hng chn v tn tỡnh hng dn hon thnh lun hng dn ca TS Nguyn Vn Ho n oc b v lý thuyt chui Chng 00Chỳngs tụi trỡnh by mt s kin thc chun 31 n cp n ^2q = + q + q + + q + Nh vy dóy (s ) khụng cú gii hn Do ú, vi |g| = qua thỡ chui ó cho phõn n nhiờn, iu ny mõu thun vi ỏnh giỏ trờn Chui s n c gi l chui dng nu a > vi mi n biu n ca hm hu t c gii quyt hon ton trit vic din mt l^rt+p Sn I Ê Kin chun bn=0 s, lýthc thuyt chui hm 1.1 Chui 71= dng slũng k 2HKhai trin riờng vbit ỏpca dng 34 hm hu ts di tng mt hm a ti thc vi mt hm hu t cú bc Phng phỏp nghiờn cu Tụi xin by tphn n chõn thnh phũng Sau iỏp hc, cỏc ging qu 1.1.2 Chui (1.1) v chui nhn c t chui ny bng cỏch xin cam lun Khai trin riờng phn dng 1.1 cng Chui iu ny ng vi nh lý Tụi 1.2.3 (Du hiu so sỏnh hai) Gi s lim v = k Khi Chng 2.tng Trỡnh byoan mt cỏch hth thng v khai trin riờng phn ca mt s4 Tng riờng ca iu chuikin ccn xỏcv nh nh sau chui nh lý 1.2.1 amt dng hi t dóy n- bhi nvn 2.1 Khai trin riờng phn ca mt scỏc hm lng giỏc bao 34 ca a thc trờn t nh hn bc ca thc di Nh vy, cũn Lun s dng mt s phng phỏp v cụng c ca gii tớch gm: viờn dy cao hc chuyờn ngnh Toỏn gii tớch, trng i hc S phm H thờm vo hay b bt i mt s hu hn smu hng cựng ttrỏch hoc Vớ khụng d 1.1.2 trựng Cho vi chui bt k lun no khỏc Nu sai tụi hon ton chu 1.1.1 Mt s khỏi nim c bn 1.1.1 Mt s khỏi nim c bn ú, ta cú cỏc khng nh sau hm c bit v ỏp dng ca nú \a + + aphõn < Ê tng ca nú b chn n+ i + a n+cho n +pI 00 a thc di mu thnh 2.1.1 lýv Tannery chui li l2 riờng x lý nguyờn hm cũn li.chui Bng vic tớch Phng phỏp tớch tng hp cỏc kin thc v lý thuyt chui s v 34 lý6 Ni ó giỳp nh tụi sut quỏ hc cựng phõn k.phõn 00 nhim trỡnh n l 1.1.2 iu kin hi t () Nu < < oothỡ t s hi t ca chui b n kộo theo s hi t s = + q + q + + q ~ n a dóy s {a n } Tng vụ hn nh ngha 1.1.1 Cho Chng minh Vỡ n hi t nờn dóy tng riờng (s n71=1 ) ca nú hi t 2.1.2 Khai trin riờng phn ca hm cotang 36 71=1 tớch cỏc nh 00 thc bc nht v tam thc bc hai v s dng phng thuyt chui hm v khai trin riờng phn ca mt s hm c bit 1.1.3 Tớnh cht v cỏc phộp toỏn ca chui hi t phỏp ng Mc ớch ^ n(n + 1) 00 Do dóynghiờn (s chn caú chui a nn.) b cu H Ni, thng 12 nm 2015 Tỏc gi i + v 2cỏc + phộp 4- n 4-toỏn = ' ca yca ] achui (1-1) n 1.1.3 Tớnh cht hiphn thm 2.1.3 trin riờng phn tang 44 nht h s ngi ta thu c cỏc phõn thc riờng phn Nguyờn cahm cỏc n= tụi Khai Ta Phng xột cỏc phỏp trng phõn hp tớch, tng hp v khai trin riờng ca mt s Nhõn dp ny cng xin c gi li cm nhm chõn thnh ti gia ỡnh, bn 1.2 Du hiu hi t ca chui dng 71=1 00 Chng minh c cụng thc khai trin riờng phn ca mt s hm lng H qu li, 1.1.1 kin cnca 00 chui00 dng hi t).lNu (1.1) Ngc (Diu dóy tng riờng dóy chui (s n) tng nờnhi nu () Nu 0hp < q sTht vp tnvy, thỡ (a cng v cú tng theo (1.3) thỡ vi p hi tatnhn c |a n+i| < Ê Do 1N+ -chn qn) úng gúp ca ti 1.2.1 Du hiu so sỏnh 2.2 2.3 3.4 n{n 1)71=1 2.2 dng khai trin riờng phn 48 71=1 Du hiu 13 n 71= DAlembert phc din s1.2.3 7T theo chui hm bin H Ni, thng 12 nm 00 00 ln lt c xỏc thc di y ú, || ta cú nnh Th hai (Phng phỏp tớch phn) Ta ó bit cụng thc tớch 2015 phõn Nguyn svỡ =theo aca , aphõn +cụng a=2 tng +trin +Th =cn ^< ^ +00 abn ca (1-2) n0 n Lan Lun trỡnh by h thng cỏc kin thc v khai trin riờng phn 1-V-è 2.2.1 p dng khai riờng phn hm cotang 48 Chng minh, () Bi lim v < nờn tn ti s Nu < thỡ lim q = Do ú = + Cho hai chui sn Ơ00 dng 2tớch n v 1.2.4 Du hiu phõn 14 2/ 00 \2 oo3/ b n \3 00 4/ \n n + k=1 tng phn ca hm lng giỏc v mt s ỏp dng ca nhng khai trin ny vic nguyờn dng vi mi > ta cú 2.2.2 p dng ca khai trin riờng phn ca hm Tỏc sine gi 50 n= n= lim a = 1du n 1.3 Chui vi s hng tựy=ý 15 Nhim v nghiờn cu cú (ôn K) s ớ; ^2 Xa = As n =1n>oo l tng riờng th nsnca chui s v n } c gi l dóy tng riờng ca 1+ n=1 n(Du 1=1chui lim s n dóy =th {snht) tớnh cav mt c bit nhtng lý 1.2.2 hiu so sỏnh Gi tn giỏc ti s nguyờn 1.3.1 Chui an du 15 Nghiờn cu khai trin riờng phn ca mt s khụng hm s lng thnh = uvkin cn vdu.ch L udv Chỳ ý: iu kin trờn CIch l +iu phi l iu kintng ^ n-> VN cho T ú, suy sS =vhi 1.chui 00 du q nhng 1.3.2 thng chui an 15 ca phõn thc Ngi dn khoa hc: TS Nguyn Vn Ho iuhm ú c ch qua cỏc vớ d di õy ằ00 Nu tn ti v hu hn gii hn ca dóy tng riờng lim s = s thỡ n 00phõn ca mt s lp hm Nhchui cụng ó thc ny, vic tớnh tớch cú th núi l khỏ Vy l hi thi v tng bng s ó cho l hi v cú tng l 1.3.3 Chui tuyt i v1.chui hiphn t ca mt 17 l ^oo Tớnh ca mt s chui nh thc trin bỏn riờng s tnt^cú Cb ;hi vi mi nkhai > Theo tng nh lýcho 1.2.2, thỡ chui nncụng t chui c gin ll hi l s Khi ú, ta cng vit + +t v cú tng + n\ t + &2 + + b 71= phc tp1c sang nhng dng1 n 00 gin hn Nguyn Th Lan 00 Ti chuyn Tớ 1.3.4 giỏc Cỏc tớnh lcht ca chui hiGregory t 18 hm lng c bit tớnh c tng -= Leibniz Madhava a) Chui Vcỏc phõn k, vỡ lim ô = T^Kh ú, ta cú khng nh sau 00 J chui () Trng hp < < +00 v bn phõn k Khi ú, ta cú 1.1.2 Ngoi iu kin2n + chui cphi " 2n + cỏc nh Toỏn hc ó nhng s trờn õy, 1trong Gii tớch ' t q 1.4 Chui s hi t ca chui hm 20 Khi ú {s nhm Ê7T l tng riờng ca chui ( 71=1 n ^i b n ) v {As n } l tng n }v Biu din s theo chui hm bin phc n=0 () Nu chui b n hi t thỡ kộo theo chui a n hi t 00 71=1 nh lý 1.4.1 1.1.1 (Tiờu chun Cauchy) Chui (1.1) hi n= t 1khi v ch vi 20 1s khỏi Mt nim c bn b) i vi chui Mc dự gii hn ca s hng tng quỏt lim = n- n Nu Ê|g|>>01tn thỡ ti lims sn=n lnguyờn =n00 nờndng chui ó cho cho l phõn mi N vi k mi n > N n >00 H NI 2015 nhng chui ny phõn k khng nh iu ú, trc ht ta cú |a n + i + an+2 + + n+p < e ; Chng Mc lc Kin thc chun b a KHAI TRIN RIấNG PHN V P DNG E a s = a a a = n n 00 a 5ii 10 iv 43281i 00 1.2.4 Du hiu tớch phõn 00 00 x 00 E mi X e X u < s ssin ;riờng vi n+J ,(x) n (x)| nx 1.2.3 Du DAlembert |s (đ) ibhi )\en < \iu vi mi >ti n n+ i{x n dóy 0bng Chng Vy lim minh snhiu = dóy s,Gi tc {s l l ó tng cho hi t ca v chui cú tng Bi vỡ)\Ms.> cho 1.5 ly tha ( nib )}~-chui \ +00 { b n + b ) a i + ( b ) o i + b I Y k vi mi X X, s (x) l dóy v tn s 1.4 Chui hm v s t ca chui hm a n n Vớ d Chui {) 00 cú2 n Ơ00 Khi ú 1.3.2 chui hm {) hi t u trờn X ú s n l riờng th n ca chui k T bt ng thc i vtng tng l s thỡ chui bn nhn c bng cỏch i ch tựy lim n= =1 nk* =71=1 -.(*)] (ửl ệ 2a)n+cng ( hi ) + t +v 2cú m-ltng , bng m) ýKhi cỏc s hng ca chui s Chng minh Ta cú th xem {b (x)} l dóy n iu gim v b (x)^0 Khi n Gi s f(x) l mt hm n iu gim v liờn tc trờn [;+oo) n n n+1 71=1 Gi s an tn du ti q hn lim = d Khi nh ú, talýcú cỏc khnq nh 0000 Leibniz nkin Chui tha iu ca (1.1.1) giblchn chui u x Do ú 2tớch phõn kộp (1.5) tavo thy rng dóy {s v f(x)dx cựng x ca IsinnaH nh lý 1.4.2 (Tiờu chun Weierstrass) Cho chui hm s Y2 ta n{cú )n }chng ph thuc giỏ tr X ta núi chui hm hi t u Chớnh xỏc hn ến , n lim = lim = 0; tc l < k* < + 00 Theo phn minh trờn, nu chui Y2 n hi nTi a ndiu \bn( )\ < vi mi nvi =tng 1,2, v vihp midy X E X iu Bõy gi ta gi0 s { ()} l dóy n (trng n gim 1.5.1 Chui ly tha l chui cú dng 71=1 < ; mi n = 1,2,3, 711 ngha 1.4.1 Cho dóy hm {u (x)} cựng xỏc nh trờn X c M Ta gi n-> 00 -L n-> 00 únh vi Ê > tn ti s t nhiờn = n (e) cho Vỡ chui hm s hi t2 u nờn vi mi Ê > tỡm c s nguyờn trờn [a,n b] {s Vy chui Leibniz lngoc nhi nchui t Cỏccho s Chng hng u khụng õm dóy }ú, n iu Nu vi mi s nguyờn dng taMt cú 2m minh Vỡ tnờn tuyt i nờn chui 2X) l atng n|a nnhi t, 00 00 t thỡ chui X)2 b2 n acng phi hi t Do chui phõn n hi 00 sau n n =1 n=1 hoc khụng cựng b chn nh ngha 1.4.2 Chui hivitmi un G trờn cú tng c chng minh tng ú vic mi n gi >X nl N*Xtavcú 00(1.7) v Khi chui Yl a nkhi (x)b (x)hm hi t u trờn k 2ú, tng vụ hn n> dng cho nt) nKhi oc ta00cú Isinnxl n n n ^~ a ( x x ) (1.8) n khỏc,khỏc, ta litacúcng th 00 Mt ó bit chui nờn lý vit < b\u nhit, ,Vx 0mi tn ti s nguyờn (i) nu d< thỡ chui ó {x)\ mt s nguyờn dng n = n 0nu (e) cho n n = Chỳ ý Khi ỏp dng du hiu DAlembert hay du hiu Cauchy lim 1.3.3 n= 1^ Chui hi t tuyt i n=1 v chui bỏn hi t s n (x) s(ổ)| < ~; vi moi X e [, ] 71=1 00 phõn Vớ d 1.2.1 chui vi mi hu hn F {n e N :=tuyt n> Ui} Gi sn () nu d >Xột 1lý thỡ chui ó cho l k COS hụi tu Võy chui-= hụi tu tuyờt 00 0i X Chng T gi thit () vi Ê(00 > ti+gỡ s t nhiờn saov cho nờn theo nh 1.2.3, chui hi t T ú, theo nh lý 1.2.2, vminh chui s X) Cn t thỡ chui ó cho hi t i u {e) Kh ú, ta cú cỏc khng nh sau hoc lim -ừn = thỡ cha lun c v s hi 2m l hi [( akt );a+thc atn ) +hm (a -2 0>2m -l )l + X 2tõm m]en - X n+m n im |s (x) u(x) I < Ê vi mi n > n v vi mi ú x , i, a , l cỏc s x c gi ca chui ly n Vớ d 1.4.1 Chui hm s Y^ 9 hi t tuyt i v u trờn n= n 711 iF nh ngha 1.3.2 Chui s n c gi l t tuyt i nu 1=1 n+m 2 n >00 d ng l >00thi l mt chui hm xỏc nh trờn X n + X T bt thc ny ng kt hp vi gi thit ca nh lý ta nhn 3^7 5^ l&fe(^) & f c + i ( ổ ) | + \ b ( x ) \ n= 00 00 n + m 71= Ê 71=1 dng m ta u cú úX (i) nu txn) b> ( a n hi t; n+1 trờn vi mi v mi s nguyờn Do ] a Chng minh d < thỡ tn ti d < p < Vỡ lim = d k (00 k x )Nu n=p100 Ê 00 ' n+1 rr tha lnca lt l tng riờng th^n+m n ca chui Y2 v chui Y2 bn- Gi> Vỡ phõn tav cút nk t chui Tuy nhiờn, nu tE ) mt s n (*nEno tri i nu oo am hay ~1.4.3 3M (* I gi I l^n+m )t I ) tuyt ^ú Ê Vx Ê -X\ nh Chui hm (1.7) c l 1.3.4 Cỏc tớnh cht ca chui hi t 4Hm (x) gi l schui hng th nn (x)dx ca chui 7r c Do n v COS nx tas cúlim chui Vs.n Khi tan _ mi , hụi tu = T-; G 00 ú < sỏnh X; chui s X) Chng Xti nX2atheo du hiu soM; s\ n00 tn >) U hõy ^ đn 00 s |s(nn < Ê2 wt 00 + lim 00 atan ó nhiờn, bit chui i ca phõn k.000Nh vy, 71 tr tuyt n=l 00 / n=l n-> 00 cht (Tớnh hoỏn) Nu s- a nn=hi ^ t tuyt n=1 ()Tớnh Chui hm n(cht ) higiao t 4"ề u trờn X chui ""bb ( k= [a, b^] ^cú0;()6;() cỏc s hng liờn tc trờn ú, vyn --2(c>2 s(ổ) liờn tcđl) trờnI[a, 6], 1nờn n + m {cx s(ổ) kh m tớchl) trờn Vy khụng cú lim n= a n = nờn chui phõn k n+1 chui (l) l bỏn hi t n=l Dy () hm {b (x)} n iu cú ngha l vi mi X G X dy b (x) l dóy n n ()n= Dóy hm {b^n (x)} n iu vi mi X v b chn u cú ngha l x n+2 n+ u n+3 / -(*) n = J n= no Ul+ a no k n a n0 + ^ fe a n0 + lQ < a n0Q j no J a k n= E/+1 ^n+1 ^n+2 I ^ n= a k a n0Q 71= n0+k \ k n 00 00 n= W j ( x ) \ = n n+1 a u{x) - ^ u ^ x ) = ^2 x u n+i{x) < ] \un+i(x) i=1 i= n= s n iu v dóy hm {b n (x)} hi t u trờn X n khụng 22 13 2624 27 11 21 28 16 18 20 23 17 19 25 15 12 00 00 TZ cot r2 22 7T Z - -2 cot -2 2 ýLi rng bi 2c= cot cú tn ti mtn s nguyờn vi mivỡ oo X tan < k+ 00 nh vi< vỡ mi limzka ^ ( n ) nờn = ta nờn n iu ú chng f(x) chn on [1 ú, minh Vỡ nờn lim aCauchy xo =Do 0.dựng Do ú >00 Vy chui cho cú bỏn kớnh hithi t Rt = v khong hihm t dóy ( -e1x , ) nr,r] (U i )Chng |jfe (ly nXột ) t \tha N ta cú Kh ú Ti X = chui tr thnh - l chui phõn k c khai trin thnh chui Taylor ti im Xo nh sau c)2 s Khai trin ca hm logarit chui dng 1Z cot 7Z = + 2z ; 'i z e c\z (2.1) Z 7T ( Z 1) n=02n + n z K ' a j f c ( n ) = V ' a f c S { a n x } b chn, tc00 l (l) tn ti00s00klim > 0y (2.5) cotX 7T Z =hi - [tcot - 1cot Leibniz n=0 2n + ' k=1 hiu Ti X = chui theo du n> oc ^ ^ ^ ^ 2V2 eX |aX (n) - a k I < \k Y'' f^K /_ \k n feo) ' x ;=l ;=l n\ o=) + \x lim |x| = p |x| f { x ) = e lim = Y ^\/|a x X ^ { x - x0) ln(l x); X > fc!n(|%o 3mi \ \ < k] vi mi n = 0,1,2, n Vy hi t nca chui ly tha < X < -Ơ 0o n> OC minh cụng khai trin ny, tami cnÊn s qu õychng lminh cụng thc cú tớnh c Cauchy, bn c s dng chng minh quy Chng Theo tiờuthc chun vi >trong 0mt tnvic ti kt mt s sau nguyờn k=0 ' fc=o b) Do Chui X] ú, nu > mi N thỡX m ta cú Khi ú,n vi |a;| < |rc 01, t q = thỡ || < Do ú, ta cú np ca bhin trờn din gii quỏ trỡnh ny phc nờn chỳng tụi Trc ht, nhiờn tas cúphc khai trin sau õy Trng hp p= chui hi t tuyt i vi mi X khỏ hay R = + 00 dng Tii cho B 2.1.1 Vi miVic khụng nguyờn xz v n G N* ta cú cụng thc 00 00 c bit, ti im x = ta nhn c khai trin Mac - Laurentz m a xn n n ch2 minh ú k tip Trc X +sau v + ( Xl )bc x0; +liquy = np -; vi moi ly sin(a; Vy R = (sina;)^ + ); vi mi n = 1, 2, V 2 J Chui n x lng thc khai cú nhng ng dng vic tớnh Chỳ ý giỏc Ta cúCỏc th cụng vit kt lun catrin nh00ny lý Tannery a n n=0nh sau pNu 71=1 \pan=0 k(n)\ +00 nờn R = 0, tc l chui t ti mt imlnh nht X \i n -> 00 ^ ^ ^ ^ i >00 k ti mi X m |x| > |xo| t vi mi < X < a w r nờn cho ta Xnhn c+oo) v vi mifc=l /c=l (sinx) vioo mi e (oo, 77, = 1,2, ^ T bng vic s s dng du cng cho hm thuyt chui 00 cotang th nht v du tr cho hm = t a n , (2.2) a n Nu Vylim ta cú khai trin ca hm ln(l + x) l p;R0=< sup p < {+00 n n%X m |x|thỡ : vin 2mi hi|x| t k\ < M k ; 2vi p Chỳ cotang ý rng tha rhai ta nhn c n=0mi k 71 n Chng 00 Khai trin riờng phn v ỏp dng n n n n v Ê x Q Q n_1 Chng Ta sớttrỡnh by chng minh ca cụng thc ny ln(l +chui x) minh = X f -phn - phộp +phn (l) b s 1theo < Xbng < giỏc quy 2.1.2 riờng ca hm cotang 1.5.3 Khai trin thnh chui lu tha ca cp 2.1Khai trin riờng ca mt s hm lng Vỡ luụn cú nht mt im hi t lmt Xvi =smoi 0hm nờn nguyờn lý n+1 S dng bt ng thc + sinO = 0;2/'(0) =3 sin| = 1; /"(0) = 0; /'"(0) = -1 n |x| < p = p lim = lim nptoỏn kim tra trng hp n = 1, chỳng ta cn Ơ Superimim, snm R hc tn ti f(x) (cú th bng x l+oo).a r cot7T2; = chớnh Mc ớch lun gii ng dng ca khai trin riờng(oo, phn Hm Hm =letrin cú thiu omt hm mi cp 00 ca d)a) Khai 2trin ca hm hyperbolic cú th trỡnh by c khai ca s cỏc hm nh ókhong núi trờn õy, Tng quỏt Ia (n) a \ < \a (n) \ + Ia \ < M + M = 2M k i vi k gúc nhõnk k k k n cụng thc xỏck nh ụic sau nh ngha 1.5.2 s thc Rt >theo trờn õy gi bỏn kớnh hi vic trỡnh by cỏch tớnh giỏ tr0xỏc ca mt s chui s l Vi lýa^l thuyt c +oo) v o hm ca nú c nh bi Do ú, chui hi du hiu DAlembert Nu > thỡ 2n+ l trc ht chỳng ta cn n kt qu sau n cot -/(cot )(0) sin sh +; - +nu -sin+ zn (R,R) = ++2k; gi ; l khong hi pt Z== ( rke += )1, ! +2, t chui s ly tha, cũn khong c cos2z 1Zcos 11d bnca v chui ngi ta cú th khng nh khỏ dng s hi t ca nhiu n x 2: /( )(X) , = 1,2, cot2 71+1 2: = = = -fcotz tanz); (2.3) ta c = e ] vi mi đn+1đ sin2z sinchui 2DAlembert cos nh 2; phõn > chui p.nh =n 1,tha nờn theo du2cho hiu chui lim ca ly n 2.1.1 lý Tannery chui00ps,/(nhng tớnh=2tng ca chỳng li +khụng d dng Trong phn )(0) =vic sin (l) ; nu n = 00 2k 1; k =hn 1, 2, l z Z z 00 7TZ a ta cú n Do ú, ^2lý k{n) nh 1.5.2 Cho ly tha 2- Cớ x++ Nu a+k n)nhn ^2 (a k { n ) - a k) k (n) = 1^thc + {al + Thay bin : bi chui vo cụng trờn ta n=0 k Vy bỏn 2kớnh hi t COShZ ca chui ny, chỳng tụi gii thiu mt s cụng thc khai trin ! ! ( nc )k=m ! + 12ca - -1 cỏc hm lng giỏc k k= 1lý 2.1.1 Gi rng , k= + 53 thit Vy ta cú khai trin T { z + 2) K{Z+1) ( Z 1)1 p 00n =7TZ y( n)(0)cot = e =1/7TZ 1; vi + micot 1,2, \m + cot k=1 a lim y/\ó^\ = p7TZ hoc=00lim cot I chui cot t ak{ nn I 2n+l ; t; (2.4) (i) vi mi s nguyờn dng n chui )n+l hi n aY2 Vớ d 1.5.1 ) Tỡm hi t ca ly tha 532K ) + K H - Qfc) ' 2(2 ' ) ~ f c k=1 *J rój z ++(-l) cotang ) ^ I r/ ( z Gi strin x l im bt khong (oo,+oo) Khi tn ti mt1 on) [ = z-^ + kỡ ^ca - (.hm Khai riờng phn s inx k= m fTcZ=lú, + () vi mi s nguyờn dng k ta cú / (2ra 7\ + l)! mi lyvi 00cụng cot -^ h 1-ca cotng ( thỡ bỏn kớnh hi t ca chui tha tớnh theo thc Nhõn hai v ca cụng thc (2.4) 7TZ ta nhn c kt qu nc ncot r, r ] , vi r > cho x G [ + , cú ỏnhthc giỏ { th, - l ) vi x mi X Ê [ r , r ] ta luụn ].) Nh |a (n) a 2| + ^ M k fc fc 2 V 2 / a k2(n) vi oo < X < 4-00 n += a k ; fc=TOi + l vi mi k lim n=1 >00 =0r saun = 1 ton + oo Hon tng t vi hm COS X ta cng cúvic nh lý v sina; > trờn / 7T"| 0; Do ú, theo nh lý giỏ tr ln nht, nh nht ta cú V vi mt s b G 0:2 f { x ) > f ( b ) > 0; trờn 0; ú c = f ( b ) > z - iu ny chng t rng c x < s i n x trờn Tip theo ta s chng minh rng Isin z\ < \z\ I I-5II T Zphc 7T2Nm 1^1 < 17Tta Z cú Trc ht, ta nhn xột vi mi/7s cot2 ^2 = tan ; V 2/ 39 38 \z\ k < \z\] vi mi s nguyờn dng k Thờm na, ta cú (2n+l)! = (2.3)(4.5) (2n.(2n + 1)) > (2.3)(2.3) (2.3) = (2.3) n = n T ú, ta cú ỏnh giỏ 00 I sin 2:1 = Z Ê 1 \%\ , , 2n+1 I I \z\ \z\ I I ^"l I + 11 1+ 6* < + - ,, \z\ = \z Vy b c chng minh Chng minh ca nh lý 2.1.2 Trc ht, vi mi s phc c nh z khụng nguyờn ta cú cỏc gii hn sau 7Z TZ 7T Z 7T Z lim cot =1 v lim tan = nToo n Trong cụng thc (2.2) 00 n n cho n > 00 ta n ~ l x z cot Z = + lim < n E Jfe=l nhn c nn zz (( , 7r(z + /c) A;) n cot 2n V x , 7r(z -|- cot -- - (2.8) Tip theo, ỏp dng nh lý Tannery cho tng (2.8) chỳng ta cn s dng n cụng thc sin2 n\ , cot(a + p ) + cot(cc p ) = -r~ừ -ế 7sin a sin p 40 Bng cỏch t a = v = ^ ta cú th vit 7k\2 = c [ \ z hay = , {Tck\2 ' 2n 2n ới\z\\2 n = 4M ; sin sin a; sin 2/3 Bi vỡ, vi mi s nguyờn dng n lnz >ta cú ỏnh giỏ c /3 4:\a\ (2.10) z T hai bt ng thc (2.9) v = (2.10) ta nhn c 2' Do ú, theo b1 btsin 2/?! ng thc 00 2r ^ z + k' Tng t nh th ta cng cú 7(z k Z ( z k ) , 7TZ 7r(z /c) ) 071 lim cot = lim cot - , z ,' n n n n nToo 2 nToo 2 7r(z A:) z k T cỏc kt qu trờn ta nhn c gii hn sau 7T Z lim Tl-> 00 7r(z k) 7(z + k) z cot - 1- cot- - -: z _ 2z2 z k ^ z + k z2 k2 Cui cựng ỏp dng nh lý Tannery cho tng (2.8) ta c khai trin ca hm cotang 00 Z cot Z = ^ z2 -k2 4- 2 z > (2.11) k= Cụng thc khai trin trờn õy l mu cht c bn nhn c giỏ tr ca mt s chui hi t s c trỡnh by phn sau ca lun Tip theo, chỳng tụi gii thiu mt s ng dng ca cụng thc khai trin ny nhn c nhng khai trin ca cỏc hm lng giỏc khỏc 43 2.1.3 Khai trin riờng phn ca hm tang nh lý 2.1.3 Ta cú cụng thc sau 00 4z tan = 2_J ;^(2rc + l f - z 7Z (2.12) Chng minh Trc ht, nhn c cụng thc khai trin riờng phn trờn ca hm tang ta cn n cụng thc sau 7T Z Z Ttan- - - = 7T cot Z7T cot T Z 2 Theo cụng thc khai trin riờng phn ca hm cotang ta cú 21 Z7T cot 7TZ = 7TZ cot 7TZ h 4z > ^ z -n 71= _z A ^ cot 7Ty z = 21-4z z ^ 7T 2 71=1 z 4n z 2 z 2z 7T cot 7T = z2 - Thay hai khai trin riờng phn ca hm cotang vo v phi cụng thc trờn ta nhn c M ,n= 7Z 7T cot Z7T cot Z =4z z2 (1111 = - 42; ( 22 x = 4z 4n z n z +^ z 36 z 16 _ - + - + - + z - l z - z 25 z 49 44 - + z2 + 00 Az Theo khai trin riờng phn hm ta cú = tang v cotang 2.1.5 Khai trin riờng phn ca n=0 hm cosine 2'2 iớ (2n + ir - * y2 nh 2.1.5 Ta cú cụng thc khai trin T lý cỏc kt qu trờn ta cú khai trin riờng phn vi hm tang (2 ) =x>i)" ; (2 z %l y ' 2n V> + A!) - * 7TQ,0èTZ + ltan =- n=0 + 2z > -(-1 ^v+> 2re T7x z ^ 7(z Z2 - 77, ) z ) ' ớrớ^ ( z 4cos v 7r t a n = > -ừ ' n=0 127 1 n=1 4z (2-14) ^ 00 - 00 00 + !)2 - 22 ốớ(2n+l ) -* " + 2zV3 + 34 + :r9 + " _4z (^ + Chng minh Trc ht ta vit^9 khai +trin sine+di dng tng minh nh sau ^25 nh lý c chng minh - 7T = / _\ sin 7T z z \1 z + 2/ / 1 1 _ { _1 \2 z + zJ 11 = - + z -1 - -H 4- 2 2: taKhai zbi zz2 thc 9cụng z thc 16 z 25 2.1.4 riờng 1phn cacụng hm sinetrờn ta zc Tip theo thay\ ztrin -vo sauT ú, ta nhn c nh lý 2.1.4 Ta cú cụng thc 7TZ , n 2^ _ 7T cot 7T2: / ( 1) -^ /2 ừ- + tan= h 2z = + (-!)^ 2; z n (2.13) \ / sin 7Z z z Tỡr 2 \ / 1Hn 2na, :\ ta cng ó bit 2~ * \ l + 2: z ) \ + z z ) ^ minh chng minh cụng thc khai trin ca hm sinChng 7T- sil 7T z 7Z 7T chỳng ta cn n ng nht thc sau 7TZ + 7T tan = Nhúm2li sin cỏc7s hng ca 7T vcotphi ta c Z z1 7r n= n=l cot z + tan = z nhn 7T c -ớ Do ú,sinta cụng thc khai trin riờng phn ca hm sine I , z + zj V3 - +z s m dn di vy õy V 22 22 / Tht 22 00 /2 7T + + z ^ 2z z Sin 1Z z ' z 2z n sin cos z cos b sin z sin z cos z 9 vicot mi s phc z khụng nguyờn z + tan = -7-I -|r = sin z cos _ g n sin z cos _ l- z2 9-z2 25 z2 ) z + p-ir 2 TS ú,dng ta nhn thc trờn khai ta trin cỏc c ng cụng nht thc cú ó gii thiu 7T Z 7T cot T Z + 7T tan = sin 7T Z 45 47 46 Vi z = , ta c k 2.2 p dng khai trin riờng phn 7r 7T 1 r cot Cỏc cụng thc khai trin riờng phn trờn õy, ngoi ý ngha mang tớnh biu _ 2k 2k din p v mt biuk din toỏn hc nú cũn cho phộp ta tớnh c tng ca n2 E mt s chui s hi t.71= Tuy1 nhiờn, phi nhn mnh rng vi nhng kin thc c bn caBiu lý thuyt chui s vic tớnh giỏbin tr tng ca chuicụng ny thc l rt khai khú din s pi qua chui hm phc Trong khn riờng v iphn vi nhiu chui cũn angc c rt quan tõm trin ca hm cotang, thaylz bi m ta nhn 2.2.1 oc 7r z hm cotang trin riờng1phnVca 21 2+ 2-T- > '1 n Tl= p dng z 7T ^ ca7Tkhai cot tin theo dừi, ta vit li cụng thc khai trin ca hm cotang n= T ú, ta nhn c cụng thc biu din tuyt p ca s pi qua chui hm bin phc sau " = l + =1+ 2z k= 7T Z cot 7T Z ^ ( ^ + T ^ ) ) z t a n z ; ^- ( ) T cụng thc ny, bng vic thay bin z bng mt s giỏ tr c th ta Hay di dng tng minh nhn c tng ca mt s chui in hỡnh lý thuyt ny 1 ớ, Vm Mt 7T s =tng thụng thng ( + -+ - - ) z tan ( ) Vi z V taZ c z + 2z 2z + J \zJ 1(2.15) ta thu c cụng thc ni ting ó c bit, thay z = vo cụng_ thc y =1 ^ 4n - c tỡm bng phng phỏpn=khỏc bi Gregory - Leibniz - Madhava Vi z = ta c ( - 1) - n n=0 + 1, 1 = 1- - + 1 - = > + y- 7T= - - - ' 16 Tng t nh th, thay z v z ta nhn c hai cụng thc tng 711 ng di õy 49 48 _ 00 7T 3_ y'(-i)" _ = -^6 lun n =1*-> v ' 36Kt n 1 1 1 _ 7T\/3 6n n=l +cụng Ngoi z bi khai trin riờng phn ca hm - + + 2by 7-02 thc "' - "" 97 vi ni dung chớnh nh sau Lun ra, vnthay c trỡnh chng cỏc z * cot v k 2_k Ty/ó sine ta cú ^ 11 1 21 o ~5 + ~ n +4fcn32~0071 + ' " ~ ~ế~' 7T ^ , _ n 2z Ti liu tham kho r _ = *+E(-i)' n= 1 * \71 1 =N D> khói ( - 1M 1=) (1968), - - 2.2.2[1] p phn có, hm sine =R Aca ( -' N = 1- - + - techniques - +thng O dng K AH Etrin D Recursive for obtaining riờng nvic + l trỡnh 71=1 ChngR-4Ath nht c dnh cho by mt cỏch h mang tớnh 71+ =0 2n 7 =0 Cui cựng, c bius, din v hm giỏ of tr aca s pi tuyt p nh sau Trans the fraction expansion rational function, IEEE cn bn vtapartial lýnhn thuyt chui chui Hay biu din v giỏ tr ca s pi tuyt p nh sau _ 9~ Educ 11 (2) p 7T 152-154 z Sin 7T Z n2-z2 71=11 1 Ihai m trin Chng l phn chớnh ca lun chỳng tụi trỡnhVby v khai [2]7H= Eth N R - C I P (1971), An algorithm the+ -incomplete + - - for - ) decompo z tan ( sition ) STT dng cụng thc (ny1v thay z bi mt +s giỏ tr c th ta cng thu (2.16) zVsin + z-l z + ^ z l z + l mt z + s function z sau + fractionsJ, Z f.\ zAngew / riờng phn hm2 zlng of aZca rational intogiỏc partial Mathem c tng ca mt chui s sau "\ p. 751-755 1 1 Physik 22 (4) _ H 1+ -= + 2z z ) I z Z + z ^2Z z2 _ + k 12 ; T Z cot T k= Z Tng nh trờn thay z , z =formulas 4, z vopartial cụng thc [3]tChang F C (1973), Recursive for 6the fraction = c z sin Vi z = ta 00 00i 1Z 4z ( - )thc " function = (2.16) cofcỏc cụng ng di aV rational with multiple poles, Proc IEEE 61 7T > taexpansion 2nhn _! 7xtan = tng > -5 ; õy n tớ n=l (8) p 1139-1140 Vi z - *2 (2re + !) , 1 1 +- + = ; = ta c [4] Kung H T and Tong D M (1977), Fast Algorithms for Partial * = - + Ê ( - 1) z 71=1 sin17T Z z1SIAM * ' '_ non 'Journal T z Fraction Decomposition, Computing (3): 582 + n + _ _ _ ; ( - I ) 7= ' " ^ V 00 V^TT [5] E U S TI C E D A^NvD116n K1LA1M K I N M 1S (1979),_ On = >1) T the coefficients of a 71=1 n=0 8' 4cos^ {- 2+n ++l z - I " ' " ' partial fraction decomposition, 86 (6) p 478-480 JSTOR 2320421 2 k V 12: = , ta c ng thi trỡnh by [6] M A H O N E Y J mt s ỏp dng ca cỏc khai trin ny vic tớnh J A N D S I V A Z L I A N B D (1983), Partial fractions tng ca mt s chui s bi cỏc cụng thc biu din rt ni ting lý expansion: a review -Iof computational methodology and efficiency, 7T sin 00 fc thuyt s v gii thiu ng Êdng ca cỏc khai trin ny vic tớnh tng _ J Comp Appl Math 49.fcnp.2 -247-269 2.2* n=l ca mt s chui nh K 00 71= Vi 2: = ta c 51 52 53 50 V2T 16 [...]...00 Az Theo khai triển riêng phần hàm ta có =Ệ tang và cotang 2.1.5 Khai triển riêng phần của n=0 hàm cosine 2'2 ií (2n + ir - * y2 Định 2.1.5 Ta có công thức khai triển Từ lý các kết quả trên ta có khai triển riêng phần với hàm tang (2 ) =x>i)" ; (2 7Ĩ z 1 %l y 2 ' 2n 1 V—> 7 + A!) - * 7TQ,0ÌTĨZ + lĩtan— =- n=0 +... sin z cos _ gị n sin z cos _ l- z2 9-z2 25 — z2 ) z ĩ + p-ir 2 2 TừSử đó ,dụng ta nhận thức trên khai ta triển các được đồng công nhất thức có đã giới thiệu 7T Z 7Ĩ 7T cot 7 T Z + 7T tan = 2 sin 7T Z 45 47 46 □ Với z = —, ta đươc 2 k 2.2 Áp dụng khai triển riêng phần 7r 7T 1 1 1 r cot — Các công thức khai triển riêng phần trên đây, ngoài ý nghĩa mang tính biểu 1 _ 2k 2k diễn đẹp đẽ về mặt... tổng của chuỗicông này thức là rất khai khó diễn số pi qua chuỗi hàm phức Trong khăn riêng và đốiphần với nhiều chuỗi vẫn còn đangđược được rất quan tâm triển của hàm cotang, thaylàz vấn bởi đề — mở ta nhận 1 2.2.1 3 2 oc 7r 1 z 2 hàm cotang triển riêng1 phầnVcủa — 21 2+ 2-T- > '1 — 2 n Tl= 1 Áp dụng z 7T ^ của7Tkhai cot Để tiện theo dõi, ta viết lại công thức khai triển của hàm cotang n= 1 Từ đó, ta... + Chứng minh Trước hết ta viếtỊ^9 khai +triển sine+dưới dạng tường minh như sau ĩ^25 Định lý được chứng minh - 7T = 1 / 1 Ị_\ sin 7T z z \1 — z 1 + 2/ 1 / 1 1 1 1 _ { _1 \2 — z 2 + zJ 11 □ = - + 2 z ị -1 - -H —— 4- 2 2 2: taKhai zbởi — 1— zz2 — 4 thức — 9công z 2 —thức 16 z 2 — 25 2.1.4 riêng 1phần củacông hàm sinetrên ta zđược Tiếp theo thay\ ztriển -vào 2... 1 ЛIhai m triển Chương là phần chính của luận văn chúng tôi trìnhVbày về khai [2]7ГH= Ethứ N R 1 -—— C I P (1971), An algorithm the+ -incomplete + ——— - - —for —- ) decompo z tan ( —sition ) SửTT dụng công thức (này 1và thay z bởi một +số giá trị cụ thể ta cũng thu (2.16) zVsin 1 — + z-l z + 1 ^ 2 z l 2 z + l — 1 một z + số 1 function — 1 2 z sau + 1 fractionsJ, Z f.\ zAngew / riêng phần hàm2... +công Ngoài z bởi khai triển riêng phần của hàm - trong + + 2bày 4 trong 5 7-02 8 thức "' - "" 97Г ”’với 7Г nội dung chính như sau Luận ra, vănthay được trình— chương các z * 1 cot — và k 2_k Tĩy/ã sine ta có 1 ^ 11 1 1 21 o ~5 + 7 ~ n +4Ĩfcn32~—Ĩ0071 + ' " ~ ~Õ~' 7T ^ , _ n 2z Tài liệu tham khảo r _ = *+E(-i)' n= 1 1 * 1 \71 1 1 1 =N DУ> khãi ( - 1M Г —1=) (1968), 1 - —-— 2.2.2[1] Áp phần củã, hàm sine... biết 2~ * \ l + 2: 3 — z ) \ 3 + z 5 — z ) ^ minh Để chứng minh công thức khai triển của hàm sinChứng 7T—-— siĩl 7T z 7ĨZ 7T chúng ta cần đến đồng nhất thức sau 7TZ + 7T tan — = — Nhóm2lại sin các7số hạng của 7T vếcotphải ta được ĨZ z1 7r — n= 1 n=l cot z + tan — = 2 z nhận 7T được -í Do 2 đó,sinta công thức khai triển riêng phần của hàm sine I , —z 1 + zj V3 - 2 3 +z s m dn... trình bày [6] M A H O N E Y J 2 một số áp dụng của các khai triển này trong việc tính J A N D S I V A Z L I A N B D (1983), Partial fractions tổng của một số chuỗi số bởi các công thức biểu diễn rất nổi tiếng trong lý expansion: a review -Iof computational methodology and efficiency, 7T — 2 sin — 00 fc 2 thuyết số và giới thiệu ứng dụng của các khai triển này trong việc tính tổng _ J Comp... đã Đặc biệt, thay z = 4 vào công_°° thức y 1 =1 ^ 4n 2 - 1 2 được tìm ra bằng phương phápn=khác 1 bởi Gregory - Leibniz - Madhava 1 Với z = ta được ( - 1) — - — ’ 2 n n=0 + 5 1, 1 1 1 = 1- - + 1 1 - = > + 4 3 7 y—-— 4 — 7T= - - - ' 16 Tương tự như thế, khi thay z — 3 và z — 6 ta nhận được hai công thức tương 71—1 ứng dưới đây 49 48 _°° 1 00 4 7T 1 — 3_ о y'(-i)" _Ị = ĩ-^ỉ6 luận n =1*-> v ' 36Kết n... 2z Tài liệu tham khảo r _ = *+E(-i)' n= 1 1 * 1 \71 1 1 1 =N DУ> khãi ( - 1M Г —1=) (1968), 1 - —-— 2.2.2[1] Áp phần củã, hàm sine =R Acủa ( -' N = 1- - + - techniques - +thống O dụng K AH Etriển D Recursive for obtaining 2 riêng nviệc + l trình 71=1 ChươngR-4Athứ nhất được dành cho bày một cách hệ mang tính 71+ =0 2n 1 3 5 7 7 1 =0 Cuối cùng, được biểusố, diễn về hàm giá of trị acủa số pi tuyệt đẹp