Định nghĩa và tính chất hàm delta Dirac và áp dụng để chứng minh công thức

Hiện nay bộ môn Vật lí lí thuyết hiện đang được rất nhiều bạn đọc yêu thích Vật lí và đặc biệt là sinh viên Khoa Vật lí quan tâm. Nó là một phần không thể thiếu của Vật lí học. Sinh viên sau khi học xong Vật lí đại cương được tiếp xúc và tìm hiểu học tập với các học phần Vật lí lí thuyết như: Điện động lực học, Vật lí thống kê, Cơ lượng tử, … Việc sử dụng các phép toán trong các môn học trên là điều rất quan trọng. Để học tốt các môn học này sinh viên cần nắm vững một số kiến thức toán như: Các hệ tọa độ, đa thức Hermite, đa thức Legedre, Hàm Delta Drirac, … Hiện nay các giáo trình chuyên ngành đều có phần trình bày ngắn gọn các phép toán trên. Đặc biệt hàm Delta Dirac được sử dụng rất nhiều và là phần không thể thiếu trong các môn Vật lí chuyên ngành. Việc tìm hiểu và xây dựng thành một đề tài đầy đủ và chi tiết giúp người đọc dễ dàng hơn trong việc học tập và nghiên cứu. Chính vì những lý do trên mà em chọn đề tài tiểu luận “Định nghĩa và tính chất hàm delta Dirac và áp dụng để chứng minh công thức div(r/r3)=4πδ3(r)”

MỤC LỤC

PHẦN A: PHẦN MỞ ĐẦU 2

I Lý do chọn đề tài 3

II Mục đích nghiên cứu 3

III Nhiệm vụ nghiên cứu 3

IV Phương pháp nghiên cứu 4

V Đối tượng nghiên cứu 4

VI Phạm vi giới hạn của đề tài 4

VII Bố cục tiểu luận 4

PHẦN B: PHẦN NỘI DUNG 5

CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ THUYẾT 5

1.1 Định nghĩa của hàm Delta Dirac 5

1.1.1 Hàm bước và hàm Delta Dirac 5

1.1.2 Biểu diễn hàm Delta Dirac trong các hệ trục tọa độ 8

1.2 Tính chất của hàm Delta Dirac 9

1.3 Dạng lượng giác của hàm Delta Dirac 14

1.4 Áp dụng hàm Delta Dirac để chứng minh công thức   3 3 4          r div r r 15

CHƯƠNG II: MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ HÀM DELTA DIRAC 17

Bài tập 1 17

Bài tập 2 18

Bài tập 3 21

Bài tập 4 22

Bài tập 5 28

Bài tập 6 32

Bài tập 7 33

PHẦN C: KẾT LUẬN 35

PHẦN D: TÀI LIỆU THAM KHẢO 36

PHẦN A: PHẦN MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài

Hiện nay bộ môn Vật lí lí thuyết hiện đang được rất nhiều bạn đọc yêu thích Vật lí và đặc biệt là sinh viên Khoa Vật lí quan tâm Nó là một phần không thể thiếu của Vật lí học Sinh viên sau khi học xong Vật lí đại cương được tiếp xúc và tìm hiểu học tập với các học phần Vật lí lí thuyết như: Điện động lực học, Vật lí thống kê, Cơ lượng tử, … Việc sử dụng các phép toán trong các môn học trên là điều rất quan trọng

Để học tốt các môn học này sinh viên cần nắm vững một số kiến thức toán như: Các hệ tọa độ, đa thức Hermite, đa thức Legedre, Hàm Delta Drirac, … Hiện nay các giáo trình chuyên ngành đều có phần trình bày ngắn gọn các phép toán trên Đặc biệt hàm Delta Dirac được sử dụng rất nhiều và là phần không thể thiếu trong các môn Vật lí chuyên ngành Việc tìm hiểu và xây dựng thành một đề tài đầy đủ và chi tiết giúp người đọc dễ dàng hơn trong việc học tập và nghiên cứu

Chính vì những lý do trên mà em chọn đề tài tiểu luận “Định nghĩa và tính

chất hàm delta Dirac và áp dụng để chứng minh công thức div(r/r 3 )=4πδ 3 (r)”

II Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu xây dựng định nghĩa tính chất và một số ví dụ minh họa về hàm Delta Dirac góp phần nâng cao hiệu quả học tập đồng thời làm phong phú thêm tư liệu học tập cho các bạn sinh viên

III Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu về định nghĩa và tính chất của hàm Delta Dirac và áp dụng để

chứng minh công thức div(r/r3)=4πδ3(r)

Đưa ra một số ví dụ minh họa về hàm Delta Dirac

IV Phương pháp nghiên cứu

Tích cực, tự giác và chủ động trong học tập và nghiên cứu lý thuyết

Nghiên cứu và phân tích các tài liệu giáo khoa, các lý thuyết có liên quan Phương pháp tổng hợp thu thập tài liệu

Tranh thủ sự hướng dẫn của thầy giáo và sự góp ý của các bạn sinh viên để hoàn thành đề tài

V Đối tượng nghiên cứu

Định nghĩa và các tính chất, bài tập áp dụng của hàm Delta Dirac

VI Phạm vi giới hạn của đề tài

Đưa ra một số tính chất và định nghĩa của hàm Delta Dirac Áp dụng để giải một số bài tập liên quan

VII Bố cục tiểu luận

Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo tiểu luận gồm 2 phần:

Chương I: Cơ sở lí thuyết

1.1 Định nghĩa của hàm Delta Dirac

1.2 Tính chất của hàm Delta Dirac

1.3 Dạng lượng giác của hàm Delta Dirac

1.4 Áp dụng hàm Delta Dirac để chứng minh công thức div(r/r3)=4πδ3(r).

Chương II: Một số ví dụ về hàm Delta Dirac

PHẦN B: PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ THUYẾT 1.1 Định nghĩa của hàm Delta Dirac

1.1.1 Hàm bước và hàm Delta Dirac

Hàm bước đơn vị Heaviside được định nghĩa:

 trong khoảng x và o xo  ; và bằng không ở các vị trí 

khác Đồ thị được biểu diễn trên hình 2

Hình 1: Hàm bước đơn vị Heaviside

Hàm Delta Dirac hoặc hàm xung đơn vị được định nghĩa:

Thật vậy, điều này suy ra trực tiếp từ định nghĩa đạo hàm:

0 lim

o o

1.1.2 Biểu diễn hàm Delta Dirac trong các hệ trục tọa độ

Hàm Delta Dirac này có thể biểu diễn trong các hệ trục tọa độ khác nhau

Ví dụ nếu chuyển sang hệ tọa độ cực:

cos

.sin

Nếu có tính chất đối xứng đối với biến  thì hàm xx o  y y o biến

thành hàm  

2

o

r r r





 Trong trường hợp 3 chiều, hàm Delta Dirac được biểu diễn trong cá hệ tọa độ cong như sau:

o

r r r







1.2 Tính chất của hàm Delta Dirac

Nói một cách đơn giản, hàm Delta Dirac  x một chiều là hàm, bằng không tại điểm x 0, còn tại x 0 nó phải như thế nào đó, sao cho:

Giá trị của hàm  x tại x  phải bằng vô hạn, bởi vì nếu không, do độ 0

đo của một điểm bằng không, tích phân đó sẽ bằng không

Ta thấy rằng trong định nghĩa của hàm Delta Dirac điều kiện tích phân (14)

là có vai trò quan trọng chứ không phải giá trị của nó tại gốc tọa độ

Ta sẽ thấy rằng đồ thị của các hàm này, ngày càng tiến gần tới đồ thị có dạng “nửa đường thẳng dựng đứng” của hàm Delta Dirac (hình 3)

Đối với điều kiện tích phân ta có:

Bởi vì xuất phát từ khai triển Fourier của hàm arctan x:

x x

1.3 Dạng lượng giác của hàm Delta Dirac

Có thể chứng minh rằng x tương đương với giới hạn sau:

Trong trường ba chiều thì hàm  

r bằng tích của ba hàm Delta theo ba

Trong trường ba chiều thì hàm  

r bằng tích của ba hàm Delta theo ba

r xi yj zk là vectơ tọa độ, kéo dài từ gốc tọa độ đến điểm có

tọa đô (x,y,z) Hàm delta dirac 3 chiều bằng 0 tại mọi điểm trừ gốc tọa độ (0,0,0) Tích phân khối của nó là bằng 1

r bằng 0 tại mọi điểm trừ gốc tọa độ

nhưng tích phân của nó lấy trên toàn bộ thể tích chứa gốc tọa độ là một hằng số

(4 ) Điều này là hoàn toàn chính xác với điều kiện của hàm delta dirac, rõ ràng:

CHƯƠNG II: MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ HÀM DELTA DIRAC

Bài tập 1: Xét một hạt khối lượng m với thế năng là hàm:

V x V  x Hãy chỉ ra rằng nếu V có giá trị âm thì sẽ tồn tại một trạng thái liên kết, và o

năng lượng liên kết là

2 22

o

mV

 (Bài 1021, trang 33, Bài tập và lời giải Cơ học lượng tử, Yung  Kuo Lim, Nhà xuất bản Giáo dục)

Lời giải:

Trong phương trình Schrodinger:

 

2 2

2

0

m E V x d

Với  0 , biểu thức này trở thành  0  0 U o   0 Đối với 0

x  phương trình Schrodinger có nghiệm hình thức  x expk x với k dương dẫn đến:

, 0

kx kx

2

o b

mV

E  E

 Hàm sóng của trạng thái liên kết này là:

  2 2

1

,2

2

ixk E

với  là một số dương vô cùng nhỏ G E x là hàm Green của hạt tự do đối với

phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian với năng lượng E và các điều kiện biên của sóng đi ra

(Bài 6016a, trang 498, Bài tập và lời giải Cơ học lượng tử, Yung  Kuo Lim, Nhà xuất bản Giáo dục)

Lời giải: Để giải phương trình Schrodinger một chiều không phụ thuộc

vào thời gian:

1

2

ikx E

hay:   2 2

1.2

f k

k E m





Vì điểm kì dị của f k nằm trên đường lấy tích phân và tích phân Fourier  

có thể xem như một tích phân lấy trong mặt k phức, ta có thể thêm i , trong đó

 là một số dương nhỏ, vào mẫu số của f k Sau khi lấy tích phân ta lại cho  

   Xét:

2

2

ixk E

ik z

me k





 

Công thức tích phân Cauchy cho ta:

Đây là giá trị của k sẽ được sử dụng trong biểu thức của 1 G E x Tương

tự, khi x  , ta có thể lấy tích phân theo đường cong kín trên nửa mặt phẳng 0dưới và thu được:

Tính động năng và thế năng trung bình của

hạt trong các trạng thái trên

(Bài 2.7, trang 39, Bài tập Cơ học lượng tử,

Hoàng Dũng, NXB Đại học Quốc Gia TP Hồ

2 2

được thêm vào tại tâm hố, hãy vẽ dạng hàm sóng mới và cho biết năng lượng của hệ sẽ tăng lên hay giảm đi Nếu năng lượng ban đầu là E , thì nó sẽ bằng o

bao nhiêu khi ?

2 2 22

Đồ thị biểu diễn hàm sóng đó được vẽ ở Hình 6

Khi thêm hàm thế delta, phương trình Schrodinger sẽ trở thành:

Schrodinger và tính liên tục của  x tại xL/ 2

Các nghiệm với xL/ 2 thỏa mãn:

 

1 2

sin k , 0 L/2,cos k L , 0 L/2

sóng của trạng thái cơ bản trở thành:  

  âm nên, /2 k L/2o , hay  /Lko2 / L Hàm sóng

trạng thái cơ bản mới được mô tả trên Hình 7

Năng lượng tương ứng là:

2

o o

Bài tập 5: Chứng minh rằng: Mật độ dòng xác suất của hạt chuyển động tự

do trong không gian ba chiều

12

p j

là xung lượng của hạt

và m là khối lượng của nó

(Bài 48, trang 15, Bài tập Vật lí lí thuyết (tập 2), Nguyễn Hữu Mình (chủ biên), Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam)

p j

Bài tập 6: Đối với hạt tự do mà chuyển động của nó bị giới hạn bởi một

bức tường không xuyên qua được (hình 8), nghĩa là:

(Bài 2.14, trang 41, Bài tập Cơ học lượng tử, Hoàng Dũng, NXB Đại học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh)

x  Nghiệm của phương trình

Schrodinger đối với hạt tự do trong

Lời giải:

Biên độ tán xạ f  ,  có dạng:

Bài tập 7: Một hạt có khối lượng m tương tác với một thế đối xứng cầu

trong không gian ba chiều có dạng V r  C r a

Nói cách khác, thế là một hàm Delta, luôn bằng 0 chỉ trừ khi hạt cách tâm thế một khoảng đúng bằng

“a” (Ở đây C là một hằng số dương)

a Tìm giá trị nhỏ nhất của hằng số C để có thể tồn tại trạng thái liên kết

b Xét một thí nghiệm về tán xạ trong đó hạt tiến tới thế với vận tốc nhỏ Trong trường hợp này, tiết diện tán xạ bằng bao nhiêu? Phân bố góc sẽ như thế nào?

(Bài 6004, trang 472, Bài tập và lời giải Cơ học lượng tử, Yung  Kuo Lim, Nhà xuất bản Giáo dục)

Lời giải:

a Giả sử hàm riêng của một trạng thái liên kết của hệ một hạt có dạng:

 r R r Y  lm , 

Khi đó hàm sóng xuyên tâm R r thỏa mãn phương trình:  

 Chú ý rằng E < 0 đối với trạng thái liên kết Nếu r  , a

phương trình trên sẽ trở thành phương trình Bessel cầu với biến ảo Với r , a

nghiệm hữu hạn tại r  là: 0

R r A j ikl , trong đó j là hàm cầu Bessel loại một bậc l Với l r nghiệm hữu hạn khi a

Giả sử có ít nhất một trạng thái Xét trạng thái cơ bản l 0 Với trạng thái này ta có:

o

kr o

C

a

  hay

2 min 2

C

ma

 

Đây là giá trị nhỏ nhất của C để tồn tại trạng thái liên kết

b Ta sử dụng phương pháp sóng riêng phần Khi hạt tới thế với vận tốc nhỏ, chỉ có sóng riên phần với l  là có vai trò quan trọng Phương trình 0tương ứng cho hàm sóng xuyên tâm là:

2 2

ka  ka   Khi k  , phương trình trên trở thành: 0

o

ka mCa





Nghĩa là,

2

2 2

2 2

2 2

2

21

Chú ý rằng, với vận tốc nhỏ thì chỉ cần xét sóng s l  0 và tiết diện tán xạ

vi phân đơn giản là:

và không phụ thuộc vào góc Vì vậy, sự phân bố góc là đẳng hướng

Bài tập 8: Đối với hệ hạt đồng nhất, hãy tìm trong biểu diễn số lấp đầy

Trong một hệ Vật lí cổ điển, mật độ hạt tại r

trong không gian bằng:

Sự mở rộng biểu thức trên sang cơ học lượng tử cho ta toán tử mật độ hạt

Toán tử trên có dạng tổng quát của các toán tử một hạt ˆf  r r 

và dạng của nó trong biểu diễn số lấp đầy được xác định theo quy tắc :

Bài tập 9: Một chùm hạt spin ½ và khối lượng m tán xạ trên một bia gồm

các hạt nhân nặng cũng có spin ½ Tương tác giữa một hạt tới và một hạt nhân

là cs s1 2 x1x2, trong đó c là một hằng số nhỏ, s và 1 s lần lượt là spin của 2

hạt tán xạ và hạt nhân, còn x và 1 x tương ứng là các tọa độ của chúng 2

a Hãy tính tiết diện tán xạ vi phân, lấy trung bình theo các trạng thái spin ban đầu Tiết diện tán xạ toàn phần bằng bao nhiêu?

b Nếu các hạt tán xạ đi tới đều có spin hướng lên dọc theo trục z nhưng spin các hạt nhân lại định hướng ngẫu nhiên thì xác suất để sau tán xạ các hạt tán xạ vẫn có spin hướng lên dọc theo trục z là bao nhiêu?

(Bài 6035, trang 536, Bài tập và lời giải Cơ học lượng tử, Yung  Kuo Lim, Nhà xuất bản Giáo dục)

Lời giải:

a Vì bia hạt nhân nặng có vai trò như một tâm tán xạ cố định, nên hệ quy chiếu khối tâm và hệ quy chiếu phòng thí nghiệm trùng nhau Vậy phương trình của chuyển động tương đối là:

 

3 2

PHẦN C: KẾT LUẬN

Việc học tập nghiên cứu môn điện động lực và các môn Vật lí lí thuyết có

ý nghĩa hết sức quan trọng trong lý thuyết lẫn thực tiễn

Ý nghĩa của đề tài khi đưa ra hàm Delta Dirac có thể nâng cao hiệu quả học tập của các bạn sinh viên và các bạn đọc yêu thích Vật lí

Tuy nhiên do Tiểu luận làm trong thời gian ngắn, mặt khác do hạn chế về kiến thức bản thân nên việc trình bày không tránh khỏi những sai sót về nội dung và bài tập Vậy em mong nhận được sự chỉ bảo và hướng dẫn của thầy, cùng sự góp ý của các bạn để em rút ra bài học kinh nghiệm để vận dụng cho sau này

PHẦN D: TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Lê Đình, Giáo trình Cơ học lượng tử, NXB Đại học Huế, 2012

2 Hoàng Dũng, Bài tập Cơ học lượng tử, NXB Đại học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh, 2002

3 Yung  Kuo Lim, Bài tập và lời giải Cơ học lượng tử, Nhà xuất bản Giáo dục

4 Đỗ Đình Thanh (chủ biên) – Vũ Văn Hùng, Phương pháp toán lý, NXB Giáo dục, 2006

5 Nguyễn Hữu Mình (chủ biên) – Tạ Duy Lợi – Đỗ Đình Thanh – Lê Trọng Tường, Bài tập Vật lí lí thuyết (tập 2), NXB Giáo dục Việt Nam

6 Phạm Thúc Tuyền, Cơ học lượng tử, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội,

2007

7 D.J Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 3rd edition, Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, 1999