1 'S VtiVOl LÚY THỪA CHƯƠÍSG MỘ Tb 'ố lílẾN THỨC CtiVẨn Uị
1.3. VtiVÙl LÚY THỪA CHƯƠÌSG 1 MỘ Tb 'ố KIỀN THỨC CH VÂN Uị
Ir3r3 K hai triển. thành, chuôi Lũy thừa, uủct m ột »6 hàm sơ cấp
Ta. chí trình bày đ ii tiết v i ệ c khai triều của. hàm f ( x ) = e3;? điúug toi
chí giới thiêu khai triển thành dm ổì lũy thừa của. một số hàm sơ cấp khác; mà không cầu d ií rõ í>ự tườug tậii.
K h a i tr ie ii h à m eX' Hàm f ( x ) = ex đạo hàm II1ỰL cấp trong khoàug (—oo, + o c ) và đạo hàm của 11Ố được xác định bởi
Do CĨ6, tò n tạ i í>6 r > 0 để khoáng [ — r, r] chứa đỉểiu gốc và ta
đ á n h , g i á
với mại X e [ — r, 7*] và 71 = 1 ,2 ,..., Như vậy, các điều kiệu cửa định. Lý
trêu được thòa. mãn và ta có khai. triển Mcidciuiiii của hàm f ( x ) = ex
Iiliư sau
Tương tự iiliư thế ta uhậii được; khai triển của mạt í>6 iiàiii sơ cấp dưới
đậy
oc
sin x = (— 1V‘--- với IỈ1ỰL X E (—o o ,+ o c )
f ( n)(x) = ex; với inựi n = 1 , 2 , . . . .
| / M (0)| = I e° I = 1;
o ,o s X = ^ " í — 1 ì " --- : v ớ i m o i T, G ( — n o . - 1- 0 0 ì
c. os X =
Chương 2
K H A I T R IỀ N R IÊ N G PH A N v à
Á P D ỤN G♦
2 ,1 K h a i tr iể n r iê n g p h ầ n của. h à m ¡>6 Lương g iá c
Trong ptiầii Iiàv tôi ỉ>ẽ giới th iệu các công thứ c kticù triếii củci kìuler đối với một số hàm Lượng giác, Một trong những uôiig tiiức qud.il trựiig p liài kể đ ế n CĨ6 là
Đ ịnh Lí 2,1, -La. có công' thức klicũ triển.
7TZ 1 °°
_ = - + 2 o »; với- Ui^ 2 G ' sin7T2: 2? n=1 nz — Zz
Dể chứng minh uôiig thức này, trước hết ta. bắt đầu bằng; việc khai
triển riêng phần của. liàm Euler đối với hàm cotcUig,
2,1,1 K hai trlếii riêng ph.au uua. hàm cotaug
D in h lí 2,2, IU công thức khai triển sau
7TZCOt7TZ = 1 + 2z2 “T--- TỈ LlL° l z £ c \ z .
n=ĩ z 2 - n 2
Dể chứng minh CÔI1R, thức trẽn, ta. cần tới bồ đề sau B ổ đ ề 2 ,1 , Với bất kì i>6 phức; z và n G N, ta cớ 7TZ cot 7TZ = 7Ĩ Z 7Tz 2” v ^_ 1 7T2; / — cot — + V — I cot 2 n 2 n ,“ i 2n V 7 rz 2 ‘ - 1 7T2; / 7ĨÍ2; + k ) 7t(z — k ) \ 7TZ 7YZ ---- I-c o t--- --- — —^ ta n —- 2n 2n J 2n 2n 33
2,1. LÍUAL TtiiẾiS H ÍẼ M K tíẨ iN ' cSứãĩBÃ M 5.Ô KQẵM'(ĨỈUỂẾVHiẼXG t*UẦN V À Át* ữỤISG
Chứng m inh, Sữ dụng cỡiig thức gớc 11h.au đôi ta cò
co s 2 z Wi>22 — sin2z 2 cot 22; = 2- sin 2 2: cot 2 — ta n z. Do đó I cot 2 2; = - ( c o t z — ta n Z), 7TZ
Thay z = — ta. Iitiậu được
1 ( 7TZ
cot 7YZ = — cot ---
2 V 2 ta n n z (2.1)
Nh.au heil vế của. đẳng thức trêu với 7r z tel iihậii đượu công thức trong trường h.Ợp n — 1, Dể tiếp tục quá trình, quy Iiệtp với Lưu ỹ rằng
ta. iiliặii đưọ\:
7Ĩta n 2; = — c o t[z ± — ).