Giáo trình xác xuất thống kê

Giáo trình xác xuất thống kê Giáo trình xác xuất thống kê Giáo trình xác xuất thống kê Giáo trình xác xuất thống kê Giáo trình xác xuất thống kê Giáo trình xác xuất thống kê Giáo trình xác xuất thống kê Giáo trình xác xuất thống kê Giáo trình xác xuất thống kê Giáo trình xác xuất thống kê Giáo trình xác xuất thống kê Giáo trình xác xuất thống kê

. . DO NONG NGHIEP vA PIlAT TRIEN NONG THON TRUONG CAO DANG CONG NGH-t: - KINH TE vA THiry LQl MIEN TRUNG -------- --------~-----~ .. --~--------------------_._------------ ~--_.- DJ! an Khoa hQccong ngh~ nong nghi~p - Giai do~n 2010-2012 Ti~u hQcph An3.1 H~ng ml}c: Bien so~n Giao trinh h~ Cao ding Ngimh Cong ngh~ Ky thu~t xay dl}'ng GIAOTRINH xAc SUAT -THONG KE Bien so~n: P~M VANTIEN (Chii bien) LE THJ KIM OANH A H{)iAn 11/2012 Xlic suAt - TheSng ke la miln hQCnghien CUu cacsP,r ki~n, cac d(li lugng ngiu nhien va (mg d\lllg chung vao thP,rcut Nht'lng thanh tP,ru(ilia xac su&t deu c6 (mg d\lng trong hau hSt cac Iinh VP,rC kinh tS, IcY thu~t, qulin SP,r,nong nghi~p, lam nghi~p, ngu nghi~p, ... ho~c xli' Iy cac kSt qua thl nghi~m bAng phuang phap theSng ke toan hQC, ho~c biSu di~n cac quy lu~t ngl1u nhien bAng mo hlnh toan hQC. Do v~y, Xac suAt • theSng ke la mQt trong nht'lng mon . hQC CI1ban duQC dua vao giang d(lY tAt ca cac tTuemg cao dAng, d(li hQC. Day la mQt chuyen nganh cua toan hQCnen deSivai sinh vien cac nganh IcY thu~t, kinh tS b~c cao ding mon hQC nay duQ'c cho la mon hQCkh6. Til nht'lng thP,rctS d6 va nht'lng kinh nghi~m qua qua trinh giang d(lY, chung toi bien SO(lncueSn giao trlnh nay nhAnt giup cho sinh vien h~ cao dAng hQc teSthan. Giao trinh Xac sudt - theSng ke duQ'c bien SO(lnCM cli' vao chuang trlnh hQCphan dil duQ'c phe duy~t g6m 6 chuang: Chuang I: mAl 11CH T() HQP Chuang II: BI~N C() NGA u NHI~N vA xAc SUAT Chuang III: D~I UfQNG NGAU NHI~N V A pHAN PH()I xAc SUAT Chuang IV: MAu NGAU NHI~N Chuang V: VOC LUQNG THAM S() Chuang VI: KI~M DlNH mA THI~T TH()NG Iffi ChUng toi dil ceSgAng trinh bay nQi dung mon hQc nay mQt cach day du, $ ke, ngAn gQn va d~ hieu. Nhieu khai ni~m duQC trinh bay C\l the kern theo cac vi d\l th\l'c tS de minh hQa. CueSimal chuang deu c6 phdn bai t~p va huang din giai hay dap ses giup sinh vien c6 the tP,rluy~n ~p va kiem tra. De c6 the nAm vt'lng cac kian thilc duQ'c trinh bay trong giao trlnh sinh vien phai hQCxong mon Toan d(li cuang cua b~c cao dAng. M~c dil cac tac gia dil rAt ces gAng trong vi~c bien SO(lngiao trinh nhung chilc chAn khong tranh duQ'c nht'lng khiam khuyat nhAt djnh. ChUng toi rAt mong nh~n duQ'c mQi y kiSn d6ng g6p cua quy dQc gia. Chung toi xin trlin trQng cam an Ban giam hi~u, cac dan vi chilc nMg cua tTuemg Cao dAng Cong ngh~ - Kinh tS va Thuy lqi mien Trung, TS. Cao VM Nuoi tTuemg D(li hQc Su ph(lm Da Nang dil c6 nhieu d6ng g6p de cueSngiao trinh sam duQ'c ra mAt b(ln dQC. a Cae tae gia MVCLVC LID N61 DAu MVC LVC ChU'01lgI. :~ , GW TicH T6 H • Tan suat 0,5069 0,5016 0,5005 Qua bang k~t qua tflln ta thAy s6 IAn giee cling tang thi tAn suAt xuA! hi~n miit sAp cang gAn v~ gia tri 0,5. 14 --------------I)-in~b~n-g-b-la~1£~.J~. -K~Ji-~lin thf!C i1ifo pile" thir 0 kM 100,oSu tin suAtcila biSo-e6--A-&!--- dinh ddn ve 56 p xac diOOnao d6 thl 56 p gQi la xac sudt cua biSn c6 A, ky hi~u la peA). Tlic la: peA) = lim m 0 ....•00 n • Nhugc dii!m cua diOOnghia xac sudt theo th6ng ke la chi ap d\lng cho cae hi~n tugng c6 tdo sudt 6n diOO.D6ng thOi de xacdiOO gia tri chfnh xae cua xac sudt thi pMi th\lc hi~n 56 ldo thli tuang d6i Ian. Trong th\lc te vi nhieu Iy do, mQt s6 bai toan khong the tien hanh phc!pthli OOuv~y de til d6 ta c6 the dnh dugc xac sudt cua mQtbien c6. 1.1.3. Binb ngbla xae suit theo hlnh hQC Trong th\lc te doi khi ta thulmg g~p cac bai toan dimg: Cho mQt mien hiOOhQc G (c6 the la mQt dOilnth~ng, mQtmien ph~ng, mQtmanh m(it cong hay mQt kh6i khong gian) va mQt mien con S cua G. Ldy ngdu OOienmQt diem M thuQc mien G. Tfnh xac sudt de diem M d6 rai vao mien S. M6i cach ldy ngdu OOienmQt diem M thuQc mien G se cho ta mQt bien c6 cua phep thli. Do v~y phep thli nay c6 khong gian mdu g6m vo hilDket qua d6ng kha nang. GQi A la bien c6 "Diem M rai vao mien S" Nhu v~y m6i cach Idy diem M trong mien S la mQt ket qua thu~n 19icho bien c6 A. Khi d6 phc!pthli nay cling c6 vo hiln cac ket qua thu~n Igi cho bien c6 A. Do d6, ta khong the ap d\lng diOOnghia c6 dien cua xac suilt de dnh xac sudt cua biSn c6 A. Trong trulmg hgp nay nguOi ta xiiy d\lDgdiOOnghia xac sudt theo hinh hQc. V6i nhihlg gia thiSt OOutren, xac sudt Clla bien c6 A dugc tfnh nhu sau: "D6do" cuaS P(A)--'--- "D(>do cua G Tuy theo G la dOilnth~ng, mien ph~ng hay kh6i khong gian rna khai ni~m "dQ do" cua G dugc hieu la dQ dai, di~n tfch hay the tfch. Vi d\l 2.18. Cho mQtkhu dilt hinh chii' OO~tva mQt vulm hoa hinh thoi nQitiep trong hiOO chii' nh~t d6. MQt em be da b6ng mQtqua b6ng rai vao khu ddt. Tfnh xac suilt de qua b6ng rai vao trong vulm hoa. Giai: . Di~n tich hlnh thoi MNPQ la: ~MP.NQ Di~n tfch hlnh chii'nh~t ABCD la: AB.BC GQi A la bien c6 qua b6ng rai vao trong vulm hoa hlnh thoi MNPQ. Xac suilt cua bien c6 A la: A M peA) = Di~n Hch hlnh thoi MNPQ Di~n tfch hlnh chii'OO~tABCD Q !MP.NQ 1 2 = AB.BC 2 D P B C Hinh 2.1. 15 '''''i'~dlr2;19;tfuj-ngum h~n ~ nha:u-~~ia diem trong kholin-g-tlKrigian tlti-gicr d~n8 gia. Nguai d~n tnrac sl! cha ngum d~n sau trong kholing thai gian 15 pMt n~u khong g~p sl! di. Tfnh xac suAt d~ hai ngum g~p nhau tlli diem ht:n, biet r~g mili ngum co the d~n chil ht:n trong kholing thai gian dli quy dinh m~t cach ng~u nhien va khong ph\) thu~c VaG nguai kia. Giai: y Ta thAy: n~u gQi x, y IAnluqt la thm diem ngum tht'r nhAt, ngum tht'r hai d~n chil ht:n thi hai nguai g~p nhau khi va chi khi: Ix-yl::::15pMt. X x - y :s;15 { I I -y:S; 15 60 / / x-y~-15 y:S;x+15 )/ / {y ~ x -15 1/ 15 Bieu di8n X, y nhu tQa d~ cac diem tren m~t ph~g tQa d~ De-cac vuong goc 0 1/ 15 60 x Hinh 2.2. Dan vi cua cac trvc la phut. Khong gian m~u n la hinh vuong co Cllnh la 60, con A la bi~n c6 hai ngum g~p nhau duQ'c bieu di8n bm mien gllch cheo. Khi do, xac suAt de hai nguai co the g~p nhau la: 2 peA) = 60 2 - 45 2 60 = J.- "" 0,44 16 2.2.4. Binh nghia xac sudt theo tien d@ M~c du ra dai tir the ki XVII, nhung do ngu6n g6c xuAt phat va cac khai ni~m duQ'c neu ra thi~u nhUng lu~n ct'r khoa hQCnen ca quling thm gian dili tir the ki XVII d~n tmac nhUng nam 30 cua the ki XX xac suAt khong duQ'c coi Ia nganh toao hQc chfnh th6ng. Mlii t6'i nlim 1933 khi nba toan hQCngum Nga A.N Kolmogorop xily d\ffig h~ tien de cho Iy thuy~t xac suAt thi xac suAt mai duQ'Ccong nh~n la m~t nglinh khoa hQc chfnh th6ng sanh ngang hang v6"i nhieu nglinh toan hQCkhac nhu s6 hQc, hinh hQc, dlli s6, giai tich, ... Binh nghia 2.4. Cho m~t phep thfr co khong gian m~u la n. D~t t~p w(O) = {A I A c O} (w(Q) gQi la t~p tAt ca cac bi~n c6 cua phep thir dli cho). M~t anh XliP: w(Q) ~ lR A HP(A) duQ'c gQi la m~t bam xac suAt xac dinh tren t~p w(Q) n~u no thOa mlin cac tiende sau: i) VA E w(n): 0:;; peA) :;;I; Ii) pen) = I; iii) N~uA],A2, ... ,An E w(Q) vaAjnAj=0(Vi,j=l,n, i;"'j) thi P(AI U A2 U ... U An) = P(AI) + P(A2) + ... + P(An) 2.2.5. Y nghia cua xac sudt Tir cac dinh nghia cua xac suM ta thdy xac sudt cua m~t bien c6 la dlli lugng d~c trung cho kha nling khach quan xudt hi~n bi~n c6 do khi th\l"c hi~n phep thir. Bi~n c6 co xac sudt 16 -----------lmr(gan-biing-11-thi-kM-nW1g-x-uAt-hi~n-cua-bien-c5-d6-c3ng_nhien, bien c8-c6-xac-sl!At-nh6--(gAn b~ng 0) thi kM nling xudt hi~n cUa no cling it. Chu Xac sudt ph\! thuc;lc vao dieu ki~n cua phep thir. Neu cac dieu ki~n nay thay d6i xac sudt cling sl! thay d6i. v: 2.3. Cac tinh chAt cua xac suAt Cho A, B la hai bien c5 cua cling mc;ltphep thir co khong gian milu n. Ta co: (i) Neu A c B thi P(A)::; PCB) (ii) V6'i bien c5 A bdt kY ta co 0::; P(A)::; I (iii) peA) = 1- peA) (iv) P(0) = 0 Chrmgminh: (i) Vi A c B nen B = AU BA M~tkhac: A va BA xung kh~c nhau nen theo tien de 3 ta co: - - PCB) = peA U BA)= peA) + P(BA) Vi P(BA) ~ 0 nen PCB) ~ peA) (li) Theo tien de I ta co peA) ~ O. Neu peA) < I thi theo tien de 3 peA) < 0, dieu nay trlii vm tien de I. Do d6 P(A)::; I. - - (iii) Vi AUA = rl nen P(AUA) M~t khac: AnA= Do d6: peA) = P(rl) = I 0 + peA) = I V~y peA) = 1- peA) (iv) VI 0 = rl nen P(0) = P(rl) = I-P(rl) = I-I = 0 2.4. Cac phep thfr dqc I~p va hlQ'C d6 Bernoulli Oily n phep thir rna sg xudt hi~n hay khong xudt hi~n cUa mc;lt bien c5 trong phep thir nay khong anh hUOng den sg xay ra hay khong xay ra cua bien c5 do trong cac phep thir con l(li cua day dugc gQi la day phep thir dge I~p. Ch~ng h(ln: Tung mc;lt d6ng xu nhieu I~n sl! t(lo nen mgt day phep thir dgc I~p, hay ldy nhieu IAn bong den til mgt 10 bong den theo phuang thirc co holm l(li cling sl! t(lO nen mc;lt day phep thir dgc l~p, ... Lugc d6 Bernoulli la day n phep thir gi5ng h~t nhau thOa man cac dieu ki~n sau: - Oily do dgc I~p. - Trong m6i phep thir chi co hai bien c5 A va A . peA) =p khong d6i 6 tdt ca n phep thir da cho (do do peA) = q = 1- p) Vi dy 2.20. Gieo 10 I~n mc;lt d6ng xu din d5i va d6ng chdt la day g6m 10 phep thir thoa man lugc d6 Bernoulli. Bai toan d(it ra la: Tinh xac sudt de trong lugc d6 Bernoulli bitln c5 A xudt hi~n dung k IAn, ky hi~u xac sudt do la Pn(k). 17 Baltoan nRy(1ugc riM bac hQCngum ThWST Bernoulli glaiTiflli~lcTxvnnendugc gQi la hai toan Bernoulli. Xac sudt tren duQCxac djnh nhu sau: Pn(k) = C~pkqn-k (v6i q = 1 - P ) Ch,mgminh: GQi Hk la bi~n c6 xay ra k bi~n c6 A trong dlly n phep thl'rd{icI~p. Trong n phep thl'rd{icI~pco C~ truimg hgp bi~n c6 A xay ra k Idn. M6i Idn k bi~n c6 A xay ra co xac suAt la pkqn-k . Pn(k) la xac suAt de Hk xay ra, va ta co P(Hk) = Pn(k) = C~pkqn-k do cac bi~n c6 de k Idn A xay ra la d{icI~p. Vi d\l 2.21. Gieo 10 Idn lien ti~p m{itd6ng xu can d6i va d6ng chAt.Tinh xac suAtde trong 10 Idn gieo co 6 Idn xuAthi~n m(it sAp. Giai: Gieo 10 Idn lien ti~p m{it d6ng xu can d6i va d6ng chAt dugc xem la th\i"chi~n day 10 phep thl'rthoa man lugc d6 Bernoulli. Khi do ta co: n = 10, k = 6. . . (1)6[ 1-"21)4 "" 0,205 Do do xac suilt ciin tim la: PIO(6)= C~0"2 Vi d\l 2.22. Ty l~ nay mdm cua h\lt ngo la 90%. Tinh xac suAtde khi gieo 100 hilt ngo co SOhilt nay mdm. Giai: Ta co: n = 100, k = SO,P = 90%. Theo cong thuc Bernoulli xac suAtcdn tim la: PIOO(SO) = cfgo (0,9 )80 (1- 0,9 )'0 "" 0,0012 2.5. Cong tblic Hnb xac suit 2.5.1. Cong tbuc cQng xac suit Dinb Iy 2.1. N~u A va B la hai bi~n c6 xung khik nhau thi P(A + B ) = P(A) + P(B) Chu-ngminh: Xet phep thl'rco n k~t qua d6ng kha nang trong do co nJ k~t qua thu~ 19icho bien c6 A va n2 ket qua thu~ 19i cho bien c6 B. Do A va B xung khdc nhau nen khong co ket qua thu~n Igi cho ca A va B cimg xay ra. V~y s6 ket qua thu~n Igi cho bien c6 A + B la n, + n2. Theo djnh nghia c6 dien cua xac suAtta co: n, +n, -~+E.L n n n P(A+B)= n P(A)=-L; n P(B) = E.L n V~y P(A + B) = P(A) + P(B) Vi d\l 2.23. M{it lap co 30 sinh vien trong do co 20 nam va 10 nit. GQing&unhien hai sinh vien. Tinh xac suAtde dugc hai sinh vien cung gi6i tinh. Giai: GQiA la bi~n c6 hai sinh vien dugc gQideu la nam. IS ------------ B hi biSn ell hai sinh vi~n ~ gQi dtu la 1Ii\";----~-----------~ C la biSn c5 hai sinh vi~n duqc gQi cling gim Khi do: C = A + B Vi A va B Iii hai biSn c5 xung khAc nhau n~n P(C) = peA + B) = peA) + PCB) = Clo + C~o = 190 +~= C30 C30 435 435 47 87 VI dy 2.24. Mi)t 10 hang chua 10 Hnh ki~n di~n tlr trong do co 2 Hnh ki~n bi hong. Tlnh xac sudt de khi Idy ng&u nhi~n ra 5 Hnh ki~n thi co khong qua I Hnh ki~n bi hOng. Giili: GQi Alia biSn c5 trong 5 Hnh ki~n Idy ra khong coHnh ki~n Olio bi hong. Az Iii biSn c5 trong 5 Hnh ki~n Idy ra co I Hnh ki~n bi hOng. A Iii biSn c5 trong 5 Hnh ki~n ldy ra co khong qua I Hnh ki~n bi hong. Khi do: A = A, + Az Vi Al va Az Iii hai biSn c5 xung khAc nhau n~n C' C1C4 -++~=-+-=- P(A)= P(AI +Az)=P(A,)+P(Az)= CIO CIO 56 252 140 252 7 9 VI dy 2.25. Mi)t hQp phdn co I 0 vi~n phdn trong do co 7 vi~n phdn mllU do vii 3 vi~n phdn mau trdng. Ldy ng&u nhi~n tit hi)p 3 vi~n phdn. Tlnh xac sudt de duqc It nhdt I vi~n phdn milu do. Giili: GQi A Iii biSn c5 Idy duqc it nhdt 3 vi~n phdn milu do. Khi do: A Iii biSn c5 3 vi~n phdn Idy ra khong co vi~n phdn do nilo, tlrc Iii cil 3 vi~n phdn deu Iii phdn milu trdng. I I I 119 Vi P(A)=-=n~n P(A)=I-P(A)=I--=- cio 120 120 120 H~qua 2.1. NSu n biSn c5 A" Az, •.. , An xung khAc tUng doi thi P(AI + Az + ... + An) = peA,) + P(Az) + ... + P(An) Binb Iy 2.2. NSu A vii B Iii hai biSn c5 bdt ky (khong nhdt thiSt phili xung khlic) cua cling m(\t phep thie thi peA + B) = peA) + PCB) - P(AB) Chu-ngminh: Ta co: AU B = (A B) U (AB) U (AB) Vi AB,AB,ABxungkhlictitngdoin~n - M(\t khac: A =ABUAB, P(AUB)=P(AB)+P(AB)+P(AB) - B=ABUAB - peA) = P(AB) + P(AB) {o} - PCB) = P(AB) + P(AB) n~n - P(AB) = peA) - P(AB) - {o} P(AB) = PCB) - P(AB) Thay (2) vii (3) vilo (I) ta co: P(AUB) (I) (2) (3) = P(A)+P(B)-P(AB) VI dy 2.26. Mi)t lap co 35 sinh vi~n trong do co 15 sinh vi~n biSt tiSng Anh , 10 sinh vi~n biSt tiSng Nh~t vii 5 sinh vi~n biSt cil hai thu tiSng tr~n. ChQn ng&u nhi~n mi)t sinh vi~n. Tlnh "ac sudt de sinh vi~n do biSt it nhdt m(\t ngo0 P(AJA,). peAl) P(AJA,A,) P(A,A,) ... P(A,A, ...An) P(AJA, ...An_tl nen theo cong thuc xac sudt c6 di6u ki~n ta c6: P(AJA, ...An) = P(AJ)P(A, I A,)P(A, I AJA,) ...P(An I AJA, ...An_,) b) 811allc ltjp clIa cac biln cli Djnh nghia 2.6. Hai bien c6 A va B duqc gQi la dQc I~p nhau neu vi~c xay ra hay khong xay ra cua bien c6 A khong anh hu6ng den xae sudt xay ra cua bien c6 B va nguqc I\li. Nhu v~y: peA I B) = peA) va PCB I A) = PCB) Vi dy 2.30. Hai X\l thu cung biin vao mQt tdm bia. GQi A la bien c6 XIIthu thli' nhdt bAn trung bia va B la bien c6 X\l tM thu hai bAn trung bia. Vi hal X\Ithu biin trUng va tmgt bia khong anh hu6ng den ket qua cua nhau. Do d6 hai bien c6 A va B dQCI~p v6'i nhau. Vi dy 2.31. MQt hQp c6 5 qua cdu trAng va 3 qua du xanh. Ldy ngAu nhien I qua du tir hQp. GQi A la bien c61dn thu nhdt Idy duqc qua cdu trAng, khi d6 peA) = i. Qua cdu duqc tra I\li vao hQp va tiep tl,tc Idy I qua cdu nua tir hQp d6. GQi B la bien c6 Idn thu hai ciing Idy duqc qua cdu trAng, khi d6 PCB) = PCB I A) = PCB I A) = i. Nhu v~y xac sudt ldy duqc 22 thir hai (bi8H ~kl\('lng pIW-tht$:-vtle k8t qua coo 1~-1Ay-tM-nMt(bi8n cd A). Do d6hai bi8n cd A va B d(\c I~p vrn nhau. Binb ngbis 2.7. Day bi8n cd AI. A2, ... , An dugc gQiIa d(\c I~p timg doi vrn nhau neu timg doi m(\t trong day d6 dQc l~p vai nhau. Vi dy 2.32. Gieo m(\t con xuc sAcdin ddi va dang chAtba liln. GQi Ai la bien cd con xuc s~c xudt hi~n m~t 5 chdm trong Ilin gieo thu i (i = I, 2, 3). Khi d6 ba bien cd AI. A2, A3 d(\c l~p timg doi vai nhau. Binb ngbis 2.8. Day bien cd AI. A2, ... , An dugc gQi la dQc I~p toan philn vai nhau neu m~i bien cd trong chung d(\c l~p vai m(\t t6 hgp my y cua cae bien cd con I\li. CMf: - Neu day bien cd AI. A2, ... , An d(\c I~ptoan philn thi chung dQc I~p timg doi nhung neu chUng d(\c I~ptimg doi th! chua the ket Iu~n chUng d(\c I~ptoan philn. - Trong Iy thuyet va tinh toan ngum ta nh~ biet tinh d(\c I~p cua cac bien cd bdng cong thuc, con trong th\l'Cte tinh d(\c I~pcua cac bien cd dugc nh~ biet bdng tf\l'Cgiac. Binb If 2.4. Neu A va B Ia hai bien cd d(\c I~p vai nhau th! P(AB) = P(A)P(B) Chu-ngminh: Til dinh Iy 2.3. ta c6: P(AB) = P(A)P(B / A) = P(B)P(A / B) --~--~----~quiI-~ Vi A va B Ia hai bien c6 d(\c l~p nen P(A / B) = P(A) va P(B / A) = P(B) Suy ra P(AB) = P(A)P(B) Vi dy 2.33. M(\t thj trdn nho c6 m(\t xe cdI' CUuva m(\t xe cUu hoa sdn sang dUng cho cac truOng hgp khAn cdI'. Xac suAt de chiec xc CUuhOa slin c6 de dung cho truOng hgp khAn cdI' Ia 0,95 va xac suAtde chiec xe cdI' CUudugc dung khi dugc gQi la 0,9. C6 m(\t ngucri bi thucrng do m(\t toa nbit dang cMy. Tlnh xac sudt de hal chiec xe cdI' CUuva CUuhOa deu slin sang th\l'c hi~n nhi~m V\!. Giai: GQi AlIa bien c6 chlec xe cdI' CUuslin sang th\l'Chi~n nhi~m V\!. A2 Ia bien c6 chiec xe CUuhOa slin sang th\l'c hi~n nhl~m V\I. va A Ia bien c6 ca hai xe deu slin sang th\l'c hl~n nhi~m V\!. Khi d6: A = A!A2 Vi hai bien cd A! va A2 d(\c I~p nhau nen P(A! A2) = P(AdP(A2) = 0,95.0,9 = 0,855 M(\t cach t6ng quat ta c6: Neu day bien c6 AI. A2, ... , An d(\c I~ptoan phlin vai nhau thi P(Al A2... An) = P(A!)P(A2) ... P(An) H~ qua 2.3. Neu A va B Ia hai bien c6 d(\c I~p vai nhau thi cac c~p bien c6 A va B, A va B cling d(\c I~pvai nhau. Chu-ngminh: Tac6: AB=A\AB B, A va va ABcA P(AB) = PEA)- P(AB) Vi A va B d(\c l~p nhau nen P(AB) = P(A)P(B) Vi v(iy 23 P(AB) = P(A) - P(AB) = P(A) - P(A)P(B) = P(A)[I- P(B)] = P(A)P(B) Sinh vi/!n t\l chUng minh hai c~p bien c6 A va B dQCI~p , A va B dQc I~p xem nhu bai ~p. Trong th\lc te khi de giai cac bai toan tinh xac sudt clla cac bien c6 phuc t;lp ta phai bieu di~n cae bien c6 do duai d(lllg t6ng (hQ'P) hay tfch (giao) clla clla bien c6 don gian dli biet xac sudt. Vi dy 2.34. Hai thg san cung biin dQc I~p vao mQt con thu. Xac sudt biin trUng clla thg san thu nhdt va thu hai tuong Ung la 0,7 va 0,8. Biet ling con thu sl! bi biin trUng neu co it nhdt mQt thg san bim trUng no. Tinh xac sudt de con thu do bi biin trung. Giai: GQi At la bien c6 thg san thU nhdt biin trung con thu. A2 la bien c6 thg san thu hai biin trung con thU. A la bien c6 con thu bi b4n trung. Khi do: A = A,A2 Vi A va B kh6ng xung kh4c nhung chUng dQc I~p vai nhau n/!n P(A) = P(A,A,) = P(A,) + P(A,)- P(A,A,) = P(A,)+P(A,)-P(A,)P(A,) = 0, 7 +0,8-0, 7.0,8= 0,94 Vi dy 2.35. Xac sudt de dQng co thu nhdt clla mQt may bay chien ddu bi trung d(lllia 0,2, dQng C 0) (vai i = I,n) va A la bi~n e6 bdt ky xay ra d6ng thai vai m(Jt trong cae bi~n e6 BI, B2,... , Bn• Khi d6 xae sudt eua bi~n e6 A duge tinh theo eong thue sau: n peA) = L P(Bj)P(A/Bj) j=\ Cong thue tren duge g(}i la eong thue xae sudt toan phAn (hay eong thue xae sudt dAy du) Chimgminh: Vi BI, B2, ... , Bn l~p thanh h~ dAy du cae bi~n e6 nen A=Afl=A(BI +B2 + ... +Bn) M(it khae cae bi~n e6 AB 1, =AB\ +ABz + ... +ABn AB2, ... , ABn xung khl1e timg doi nen peA) = P(AB\ +AB2 + ... +ABn) = P(AB\)+ P(AB2)+ ... + P(ABn) Ap d\lng eong thue nhlin xae sudt ta e6: n peA) = P(B\)P(A IB\)+ P(B2)P(A/Bz)+ ... +P(Bn)P(A/Bn) = L: P(Bj)P(A/Bj) j=\ Vi dl} 2.38. MQt nha may g6m 3 phiin xuang. Phiin xuang I dam nh~n san xudt 50% san phdm eua nba may vai ti l~ ph~ phdm la 5%. Phiin xuang II dam nh~n san xudt 30% san 25 phdJlnlilrnlIlr-mliy-v&hli~he-phdmia-j%-;-PhfunuemgiIh!lim-nl$l-slhnuftt-20% san phdm eua nha may vo; tll~ phe phdm la.1 %. Ldy ng~u nhien 1 san phdm til kho hang eua nha may. Tinh xae sudt de sim phdm lAy ra la phe phdm. Til d6 suy ra ti I~ phe phdm eua nha may. Giai: GQi Bj la bien ell san phdm Idy ra do phfuI xuemg thu i san xuftt (i = 1, 2, 3) A la bien ell san phdm Idy ra la phe phdm. Ta e6: Bt, B2, B3 I~p thanh h~ dAy du eae bien ell. Theo cllng thue xac suAt toan phAn ta e6: peA) = PCB!) P(AIB!) + P(B2) P(AlB2) + P(B3) P(AlB3) = 0,5.0,05+0,3.0,03+0,2.0,01= 0,036 V~y ti I~ phe phAm eua nha may la 3,6%. Vi dl} 2.39. C6 hai ehu6ng gao Chu6ng I e6 4 ga trllng va 5 ga mai. va 5 ga maio B~t ng~u nhien 1 eon ga til ehu6ng I b6 sang ehu6ng bAt ng~u nhien 1 eon gao Tinh xae suAt de eon ga d6 la ga mai. Giai: GQi B! la bien ell eon ga b~t ra til ehu6ng I b6 sang ehu6ng II la ga B2 la bien ell eon ga bAt ra til ehu6ng I b6 sang ehu6ng II la ga A la bien ell eon ga bAt ra til ehu6ng II la ga mai. Ta e6: Bt, B2 I~p tMnh h~ dAy du eae bien ell. P(B1) 4 ="9; P(B2) 5 ="9; P(AI B1) Khi d6 xae suAt eAn tim la: peA) 5 = 12; P(A/B2) 6 Chu6ng II e6 6 ga trllng II. Sau d6 til ehu6ng II trllng. mai. 1 = 12="2 = P(BJ) P(AIB!) + P(B2) P(AlB2) = i.~+~.~=25 9 12 9 2 54 b) C6ng thUe Bayes Binb JY 2.6. Cho M dAy dJi eae bien ell Bt, B2,... , Bn sao ebo P(Bj > 0) (vcri i = l,n) va A 1a bien ell bAt ky xay ra d6ng thiri vcri m{lt trong eae bien ell Bt, B2, ... , Bn• Khi d6: P(B I A) k P(Bk)P(A/Bd (k n 2: P(Bj}P(A = l,n) I Bj) i=1 C6ng thue tren duge gQi la e6ng thue Bayes. Chlmg minh: Ap d\mg e6ng thue xae suAt eo di8u ki~n ta e6: P(B I A) k P(Bk)P(A/Bd peA) P(Bk)P(A/Bd n 2: P(Bj)P(A/Bj) j=1 Vi dl} 2.40. Tra Illi vi d\l 2.38 neu gia thiet san phAm lAy ra la phe phdm, dnh xae suAt de san phAm do do phan xuemg I san sudt. Gil'ii: Theo e6ng thue Bayes ta eo xae suAt eAn tim 1a: 26 ~5-;, 0 694 P(B\I A) = ;-{.BIjP(A-/~1 L: P(Bj )P(A 9, 0,036 I Bi) ., ;=\ Vi dV2.41. Ba ki~n hang deu e6 20 san phdm vai s6 san phdm t6t luang img hll8, 20, 17. Lay ngdu OOien I ki~n hang tit d6 lay ra m()t san phdm. a) TiOO xae sud! de san phdm lay ra Iii san phdm t6t. b) Giil sir siln pham lay ra Iii siln phdm t6t, Hnh xae sudt de siln phdm d6 thu()e ki~n Mng tbu haL Giili: a) GQi Bj Iii bien c6 siln phdm lay ra tbu()e ki~n hilng thu i (i = I, 2, 3) A Iii bi~n c6 siln phdm lay ra Iii siln phdm t6t. Ta e6: Bj, B2, B3 I~p tMOO M dAy du cae bi~n e6. P(Bj) P(A/Bj) = P(B2) = P(B3) ="3I 18 9 = 20 =10; P(A/B2) 20 = 20 = I; Theo eilng thuc xae sudt toan phdn ta co: P(A) = P(Bt} P(AIB}) + P(B2) P(AlB2) I 9 I I 17 11 P(A/B3) 17 = 20 + P(B3) P(AlB3) = _.-+-.1+-._=- 3 10 3 3 20 12 b) Theo eilng th(rc Bayes ta c6 P(B21 A) P(B2)P(A I B2) 3 L: P(Bj)P(A/B;) ;=1 .!..I _3_ II 12 .i. 11 2.1. Gieo mQt con XliCsAc can d6i vii d6ng chat hai Idn. a) Hay mil til khilng gian mdu eua phep thir tren. b) Hay bieu di8n cac bi~n c6: A: "T6ng s6 ehdm xudt hi~n tren m(it con XliCsAc bAng 8" B: "it nhat mQt Idn xudt hi~n m(it 5 ehdm" c: "s6 cham trong eil hai Idn gieo bllng OOau" 2.2. Ba X(Ithu A, B, C m6i nguiYi blln mQt vien d(ln vilo mQt m\lc tieu. Giil sir M, N vii P Iii cae bi~n e6 sau: M: "X(I thit A blln trung m\lc tieu" N: "X(I thu B blin trUng m\le tieu" P: "X(I thu C blin trUng m\lC tieu" a) Hay mil til cae bien e6 sau: MUNUP,MNP, MNP 27 ------o)-Xercacoianc"6--sl11r-~---------------------------C: "C6 it nhllt mQt X\I tM bAn trUng m\lc Heu" D: "C6 dung mQt X\I thu bAn trUng m\lc tieu" E: "C6 nhi~u nhllt mQt X\I thu blln trUng tieu" F: "Chi c6 X\I thu A blln trUng m\lC tieu" G: "C6 dUng hai X\I thu blln trUng m\lc tieu" Hay bi~u di~n cac bi~n c3 fillYtheo cac bien c3 M, N va P. 2.3. Ki~m tra IAn lUg! ba san phllm. GQi Ai la bien c3 san phAm thu i la san phllm t3t (i = 1,3). Hay bi~u di~n cac bien c3 sau theo cac bien c3 Ai: a) eli ba san phllm d~u la san phAm xllu. b) C6 it nhAt mQt san phAm xllu. c) C6 dung mQt san phllm t3t. d) C6 it nhllt hai san phllm t3t. 2.4. Til mQt tili chUa nam tAm the dUQ"cdlinh s3 1, 2, 3, 4, 5, Illy ng1l:unhien lien ti€p hai Ian m6i IAnmQt tAm the va x€p chung theo thu l\r til tnii sang pMi. a) Hay mo ta khong gian m1l:u. b) Xac djnh cac bien c3 sau: A: "Chi! s3 sau nh6 han chi! s3 tmac" B: "Chi! s3 truac gllp doi chi! s3 sau" C: "Hai chi! s3 bllng nhau" c) Hay tinh xac sudt cua cac bien c3 A, B va C. 2.5. MQt em be chai tra x€p chi! til cac chi! cai A, I, M, V, N, E, T. Tinh xac sullt d~ em be x€p dUQ"cchi! VIETNAM. 2.6. Trong mQt hinh tam giac & ba dinh c6 ba con ki€n. M6i con blit dau chuy~n dQng theo mQt huang bilt ky theo c\lnh tam giac den mQt g6c khac. Xac sullt clia sg vi~c khong c6 con ki€n nao d\lng nhau la bao nhieu? 2.7. MQt 10 hang c6 100 san phAro, trong d6 c6 10 ph€ phAm. Llly ng1l:unhien til 10 hang 5 san phAm. Tinh xac sullt d~: a) Llly dUQ"c5 chinh phllm. b) Llly dUQ"c2 chinh phAm va 3 ph€ phAm. c) LAy dUQ"cit nhllt mQt ph€ phAm. 2.8. MQt hQp c6 5 qua cau trling va 7 qua cau den. Tinh xac sullt d~ khi lily ng1l:unhien 2 qua cau til hQp thi dUQ"chai qua cau clmg mau. 2.9. Gieo mQt d6ng xu can d3i va d6ng chilt ba Ian. Tinh xac suilt d€ c6 it nhilt mQt Ian xuilt hi~n m~t silp. 2.10. S3 Iugng sinh vien cua mQt tmang d\li hQc dUQ"cphan theo nganh hQc va gi6i tinh nhu sau: 28 -- .. . . Nam Nit KTtoan 45 Quan tri kinh doanh Nganhang 90 90 115 120 100 Nganh~ Tinh xac sudt d~ chQn ngau nhien mQt sinh vien thl dUQ"c: a) MQt nam sinh vien. b) MQt sinh vien nit hQc nganh k€ toano c) MQt sinh vien hQc nganh quan tli kinh doanh. d) MQt nam sinh vien hQc nganh ngan hang. 2.11. Bay nguOi A, B, C, D, E , M , N cling ng61 ngau nhien vao mQt gh€ dai c6 bay chi'i ng6i. Tinh xac sudt d~ M va N ng6i 6 hai ddu gh€. 2.12. MQt nh6m c6 9 hQc sinh trong d6 c6 3 nit dUQ"cchia thanh 3 tll d~u nhau. Tinh xac sudt d~ mi'ii tll c6 mQt hQc sinh nit. 2.13. Gieo ngau nhien mQt chdm di~m vao manh bla hinh vuong C(lnh a, trong d6 c6 ve mot hinh trim ban kinh r . = .l:. 4 Tinh xac sudt de chdm diem rai vao trong hinh trim. 2.14. MQt em be chai tro ph6ng ngau nhien mQt mlii ten vao mQt tAm bla hinh trim ban kinh 20cm (gia sir mQI Idn ph6ng d~u trling tdm bia). Tinh xac sudt de em be ph6ng hung diem: a) Ndm trong hinh vuong nQi ti€p hlnh tron tdm bla. b) Niim cach tam khong qua 5cm. 2.15. Hai tau thllY cling den b6c hang t(ii mQt b€n cang trong cling mQt ngay. Bi€t riing thOi gian b6c hang clla tau tbUy thu nhdt la 1 gio, clla tau tbUy thu hai la 2 gio va hai tau khong cling b6c hang. Tinh xac sudt de mQt trong hai tau phai cho tau kia. 2.16. Trong mQt kl thi tuyen sinh c6 30% thi sinh trung tuy~n. Rut ngau nhien 15 h6 sa clla cac thi sinh. Tinh xac sudt de trong 15 h6 sa d6 c6 5 h6 sa trling tuy~n. 2.17. Xac sudt thanh cong clla mQt ca phau thu~t tim la 0,7. Ti€n hanh phau thu~t tim mQt cach dQc l~p cho 10 em be. Tinh xac sudt d~ trong 10 ca phau thu~t d6: a) C6 dung 3 ca thanh congo b) C6 tir 2 d€n 5 ca thanh congo 2.18. Theo doi k~t qua di~u tra v~ b~nh lao clla mQt vling nQ thdy ti I~ nguoi bi lao la 0,002. Tinh xac sudt de khi kham 15 nguoi thdy: a) Khong c6 nguoi nao bi lao. b) C6 dung 5 nguoi bi lao. c) it nhdt I nguoi bi lao. 2.19. MQt lap c6 100 sinh vien trong d6 c6 40 sinh vien gi6i Tin hQc , 30 sinh vien gi6i Toan, 20 sinh vien gi6i ca Tin hQc Ian Toan. Sinh vien nao gi6i it nhdt mQt trong hai mon 29 ---~------seduqe khen thuOilg vilo eubi hQe kyoChQnngl\unnien mQt sii!lrvientrofiglOp. Tijj!fXii-e--------suAtd~ sinh vien d6 duge khen thu6ng vao cuM hQe kYo 2.20. MQt eong ty sir d\lng hai hinh thire quang eao la quang eao tren dili phllt thanh va quang eao tren truyen hlnh. Gia sir e6 30% khaeh hang bi~t duge thOng tin quang eao qua dai phat thanh, 20% khaeh hang bi~t duqc thong tin quang eao tren truyen hinh va 10% khaeh hang bi~t duge thong tin quang eao qua ea hai hinh thire tren. Ph6ng vAnmQt khaeh hang. Tinh xae suA!d~ ngum d6 bi~t duge thong tin quang eao eua eong ty. 2.21. MQt 10 hang e6 50 san phdm, trong d6 e6 10 san phdm 10(li2. LAyngl\u nhien lien ti€p ba san phdm d~ ki~m tra. Tinh xae suAtd~ ea ba san phdm deu la 10(li2. 2.22. M(\t thu kho co chUmehia kh6a g6m 10 ehi€e trong d6 chi e6 m(\t ehi€e rna duqe eira kho. NguOi d6 thir ngl\u nhien timg ehia kh6a mQt, ehi€e nao duqc tM r6i thi khong thir I(li.Tinh xae suAtd~ nguai d6 rna duge eira kho a lfintM thir 4. 2.23. C6 hai ehu6ng ga. Chu6ng thfr nhAte6 3 ga trbng va 3 ga mai. Chu6ng thir hai e6 4 ga trbng va 2 ga mai. BAtngl\u nhien tir mbi ehu6ng m(\t con gaoTinh xae suAtd~ hai con ga bAtduge deu la ga tr6ng. 2.24. Be duge xem la thi d~u m(\t thi sinh phai vug! qua duge ea ba vong thi d(\e I~p nhau. Xae suAtde thi sinh d6 vugt qua 3 vong thi mang irng la 0,9; 0,8; 0,8. Tinh xae suAtde thi sinh d6 thi d~u. 2.25. Hai X(Ithu cimg bAnvao m(\t tAmbia. Xae suAtbAntrug! eua X(lthu thfr nhdt la 0,2 va eua X(ItM thfr hai la 0,3. Tinh xae suAt: a) Chi co mQt nguai bAntrung bia. b) Ca hai deu bAntrugt. c) C6 nguai bAntrung bia. 2.26. M(\t cAutM nem b6ng vao r6 eho den khi triIng r6 thi dirng. Tinh xae suAtde cAuthu d6 dirng nem a lfin nem thfr 5, bi€t xae sudt trung r6 a mbi lfinnem deu bdng 0,7. 2.27. C6 hai hQp bi. HQp I e6 3 bi trAng, 5 bi do.. HQPII e6 5 bi trAng,6 bi do. LAyrtgl\u nhien tlr mbi h(\p ra m(\t bi. a) Tinh xae sudt de duqc hai bi lAyra deu la bi trAng. b) Tinh xae sudt de duge m(\t bi mau trAngva bi con I(lila mau do. c) Tinh xae sudt de duqc hai bi cimg mau. 2.28. Ba nguai eho b6ng r6, nem d(\e l~p mbi nguai mQt qua vao r6. Xae sudt nem trung r6 eua mai nguai lfin lug! la 0,5; 0,6; 04. Tinh xae suAtde: a) Ce6 dung I nguai nem trung r6. b) Ca ba ngum deu nem trung r6. c) C6 it nhAtm(\t nguai nem triIng r6. d) C6 dung hai nguai nem trung r6. 30 ---------- ----2.29.-Hai-ngtWi-Glmg-san~a ml}t10\li-sim-pllfun-vui86 Iyqng Rim Riulli. Xac-su.it~----- ngum thu nhdt va ngum thu hai san xudt ra phe phdm tuang (eng la 0,03 va 0,04. Rut ngdu nhien I san phAm cua hai ngucri. Tinh xlIc suAt de san phdm d6 khong pMi la phe phAm. 2.30. M{\t nh6m sinh vien c6 20 nam va 15 nii'. Trong d6 ti I~ nam sinh bi c~ thi la 25% va ti l~ nii' sinh bi c~ thj III 30%. ChQn ngdu nhien I sinh vien til nh6m d6. Tinh xac sudt de sinh vien d6 bi c~n thi. 2.31. M{\t kho hang chua cac chi tiet may 10\li I va 10\li II do hai cong ty san xud!, trong d6 s6 chi tiet may do cong ty A san xudt gAp 3 Idn s6 chi tiet may do cong ty B san xuAt. Ti I~ chi tiet may 10\li I clla cong ty A la 80%, clla cong ty B la 90% . LAy ngdu nhien I chi tiet may clla kho hang. a) Tinh xac suAt de dugc chi tiet may 10\li I. b) Gia Slr chi tiet may lAy ra thuQc 10\li I, tinh xac suAt de chi tiet may d6 do cong ty A san xudt. 2.32. M{\t hQp d\ll1g 20 qua b6ng ban trong d6 c6 15 qua b6ng m6i va 5 qua b6ng dii qua Slr d\mg. MQt ngucri Idy ra 3 qua de thi ddu, sau d6 tm l\li vao hQp. Sau d6 ngum d6 tiep !Vc Idy ra til hQp 2 qua nii'a. Tinh xac suAt de 2 qua Idy ra lfin sau deu m6i 2.33. Ti I~ oto tili va oto con qua ducrng c6 tr\lIn bam ddu la %. Khi qua ducrng d6, xac sud! de m{\t oto tili vao tr\lIn nh~n dfiu la 0,3 va xac sudt de mQt oto con vao tr\lm nh~n dau la 0,4. C6 mQt oto di qua ducrng ducrng tren va vao tr\lIn nh~n dfiu. Tinh xac sudt de oto d6 la oto con. a a 2.34. Theo th6ng ke mQt vimg c6 65% dan ong bi beo phi va 55% ph\! nii' bi beo phi. s6 dan ong va ph\! nii' vllng d6 coi nhu bAng nhau. Xac sudt de m{\t ngucri wng d6 dugc chQn ngiiu nhien la nguai beo phi biing bao nhieu? HUB = {SN} ho\ic bien cf>C = {NS} cho sf> 1 E IR. X = 2 neu trong 2 IAn gieo d6ng xu xuA! hi~n m\it NN. Di~u nAy c6 nghia IAt'rng voi bien cf>D= ISS} chosf>2EIR. Qua vi d\l tren ta thAy r~g d(li IUQ'IlgX lien quan den phep tht'r rnA t'rng v6i m6i bien cf> sa cAp cua phep tht'r cho mQt gia trj nAo d6 thuQc t~p sf>th1,fCIR. D(li IUQ'Ilgnhu v~y dUQ"c gQi IAd(li lUQ'IlgngAu nhien (hay bien ngAu nhien). Til d6 ta c6 khai ni~m d(li lUQ'IlgngAu nhien nhu sau: Binh nghia 3.1. cr - d(li sf> Cho t~p n~0 .LOp IF cac t~p con cua n duQ"CgQi IAmQt cr - d(li sf>neu: -nElF - A E IF thi ACE IF - {An} ElF, n E rf thi U An ElF n=1 Tren IR, cr - d(li sf>nh6 nhAt cht'ra lOp cac t~p c6 d(lng [a;b) dUQ"cgQi IA cr - d(li sf>Borel cua IR vAky hi~u 9l(IR). Binb nghia 3.2. MQt anh X(lX til khong gian mAu !l vAo t~p sf>th1,fc IR: x: n~IR (O~X«(O) duqc gQi IA d(li IUQ'IlgngAu nhien (hay bien ngAu nhien) neu voi mQi A E 9l(1R) thi X-I (A) ElF. Trong d6 IF IA cr- d(li sf>cac t~p con cua n. Hay n6i cach khac: D(li IUQ'IlgngAu nhien IA mQt quy tAc cho luang t'rng m6i phdn til trong khong gian mAu voi duy nhA! mQt sf>th\lc. D(li IUQ'IlgngAu nhien thuOng dUQ"cky hi~u IAX, Y, X, ... ; XI, X2, ... , Xn; VI, Y2, ... , Y n; ,;, TJ, ••• con gia trj cua chUng thi dUQ"cky hi~u IAx" X2, ... , xn; y" Y2, ... , Yn; ... T~p tAt ca cac gia trj rna d(li lUQ'IlgngAu nhien c6 the nh~n dUQ"CgQi la t~p gia trj cua d(li IUQ'Ilg ngAu nhien. Cac vi d\l minh hQa v~ d(li lUQ'IlgngAu nhien: 33 GQi-X1asa-)j\lCgi6ng nay mam KIllgleo 3 h\ll g16ng.lG11db X la mQrd(ll hIQ11gng!u nhien va X co ~p giatrj la {0,1,.2,3}. - GQi Y la s6 be trai dugc sinh ra trong 50 be s&pdugc chao dm cr mQt ~nh vi~n. Y ciing la mQt d\li IUQ11g ngdu nhien, ~p gia trj CllaY la {O, 1,2, ... , 50}. - MQt binh chUa 5 qua Mng do va 3 qua Mng xanh. Lay lfulluQ'! khang hOM I\li 2 qua bong til binh. N~u gQi Z la s6 bong do lay dugc thi Z la mQt d\li IUQ11g ngdu nhien vm t~p gia trj la {O, 1, 2}. • GQi Xl la "sai s6 khi do luang mQtdIIilUQ11g v~y Iy" thi XI la mQtd\li IUQ11g ng!u nhien. - GQi X2 la tu6i thQcua mQtthi~t bi dang hO\ltdQngthi X2 la mQtdIIiIUQ11g ngdu nhien. Tir tfnh chat cua t~p gia tri cua d\li IUQ11g ng~u nhien ngm'yita chia d\li IUQ11g ngdu nhien thanh hai 10\li:B\li IUQ11g ngdu nhien rm fIICva d\li lUQ11g ngdu nhien lien t\lC. Be xac dinh mQtd\li IUQ11g ng~u nhien Wac h~t ta cful xac djnh t~p gia trj cua no. Song tren th\l"Ct~ dieu d6 la chua du, vi c6 nhUng d\li IUQ11g ngdu nhien khac nhau rat nhieu nhung t~p gia tri cua no I\li gi6ng nhau. Vi v~y dieu quan trQng la ta cful phfli xac dinh dugc xac suat de dIIi IUQ11g ngdu nhien d6 nh~ cac gia trj trong t~p gia tri Clla no la bao nhieu. Cach rna ta bieu di~n m6i lien h~ giua cac gia trj trong ~p gia trj cua d\li IUQ11g ngdu nhien va cac xac suat Wong iing vm cac gia trj do dugc gQi la quy lu,t phlln ph6i xac suit cua d,i hrQ1lgngAu nbien. Nguai ta thuang dUng ba pbuong phap de rna til quy lu~t phan ph6i xac suat cua mQt dIIi IUQ11g ngll.unhien la: Bang phan ph6i xac suat, ham m~t dQxac suat va ham phan ph6i xac suat. Ta se IAnluQ'!tim hieu cac phuong phap do. 3.1.2.Ham pblln pb6i xac suit a) Khtii ni~m ham phon ph6i xae sudt Ham phan ph6i xac suat dugc ap d\lng cho cft hai 10\lidIIi IUQ11g ngll.unhien rm r\lCva d\li IUQ11g ngdu nhien lien tl,lc.Cho X 1ftd\li lUQ11g ngdu nhien bat IcY va x E IR. Xet bien c6 " d\li lUQ11g ngdu nhien X nh~n gia tri nho hon x", IcY hi~u 1ft(X < x). R5 rang khi x thay d6i thi (X < x) ding thay d6i, cho nen P(X < x) cling thay d6i theo. Nhu v~y P(X < x) la mQt ham s6 cua x. Dinb ngbia 3.3. Hftm phan ph6i xac suat (hay ham phan ph6i) cua d\li lUQ11g ngll.unhien X, IcY hi~u 1ftF(x) vft dugc xac dinh nhu sau: F(x) = P(X < x); x E JR b) Tinh eMt ella ham phOnph6i (i) 0 :::::F(x) :::::1 (ii) Hftm phan ph6i F(x) 1fthftm don di~u tang va lien tl,lcben trAl,nghia la: N~u XI < X2thi F(xt}:::::F(X2) (iii) N~u a < b thi P(a < X < b) = F(b) - F(a) (iv) lim F(x) = 0 lim F(x) = 1 (v) (vi) N~u f(x) lien t\lCt\li x E JR thi F.(x) = f(x). N~u ham phan ph6i cua X lien tl,lc!\Ii Xo thi P(X = Xo) = O. Do do P(a ~ X ~b)=P(a ~X 1 Tinh D(X) trong mili truemg hgp. a) Truac het ta tinh ky v 0=4,2373 Suy ra P(X c Xma cac sf>oiic trung clla chung cling bdng cac s6 oiic trung clla Xnhu: E(Xl) = E(X2) = ... = E(Xn) = E(X) D(XI) = D(X2) = ." = D(Xn) = D(X) Gia sir XI nh~ gia trj la x" X2 nh~n gia trj la X2, ... , Xn nh~n gia trj la xn• T~p hgp n gia tri Xl, X2, . '" Xn t\lO thanh mQt gia trj clla mdu ngdu nhien hay con oUQ'c gQi la mdu thITc nghi~m hay mdu C\!the, ky hi~u (Xl, X2, ... , xn). Vi dy 4.1. Diem mon Toan clla mQt lap g6m 50 sinh vien oUQ'ccho bang sau: a a Diem 6 7 8 9 86 sinh vien 10 17 15 8 GQi X la o\li lugng ngdu nhien chi oiem mon Toan cua mQt sinh vien oUQ'c chQn ngdu nhien tif lap tren. Khi 06 phan ph6i clla X co d\lng: 69 ---------xP ----0---7----8-----9---0,2 0,34 0,3 0,16 ChQn ng1iu nhH!n 3 sinh vien til lap tren de xem diem. GQi Xi hi s6 diem cua sinh vien thir i. Nhu v!iy ta c6 m1iu ng1iu nhien (XI, X2, X3) c6 kich thuke O=f(Xl'X"""xn) sf, e n~u: duge gQi Iii uae lugng hi~u qua ella tham +E(0)=8 + D (0) ~ D( 01), vai 0, Iii uae lugng khong eMeh bdt IS'ella e. 5.2. lJ 6"clU'Q1lgkhoang Nguai ta xay d\lllg khoang uae lugng ella tham sf, ella mQt d(li lugng ng~u nhien ehU y~u dva tren nguyen Iy xae sudt Ian. Nguyen If xac suiIt 16?l: MQt bien ef, co xae sudt Ian thi co the xem n6 nhdt dinh xay ra trong mQt ldo ho~e viii ldo thu. 5.2.1. Khoang u6"clU'Q1lgva ilq tin c~y Gia su (X], Xl, ... , Xn) Iiim~u ng~u nhien ella d(li lugng ng~u nhien X. Binb ngbia 5.5. V6'i sf, a kha be (thuang 0 < a ~ 0,1). Ta tim duge hai d(li lugng ng~u nhien 0, =f(Xl'X"""Xn) vii 8, =g(Xl'X" ...,Xn)sao eho: 84 . . ---P(9,'dl a = 0,05 => (x) = 1- a = 1- 0,05 = 0,975 => Xa= 1,96 • a 2 2 Khoilng uae lugng nllng su~t trung blnh ella gi6ng Ilia tren trong toiln vimg lil: o 0 x-x -s ",0,62 24 Ta c6: I - ex = 96% =:>ex = 0,04 VI n = 25 < 30 nen 10 tra a bimg Student vm n - I = 24 b~c t\l do va mlrC y nghIa ex = 0,04 ta dUQ"C: t~~ = 2,172 Khoang uac lugng clla mlrc hao phi nhien li~u trung blnh cho mQt dO'llvi san phdm la: • x-t 19,546-2,172 s -xa t h'I b'ac b'oglat let H o. cr (rong d6: Xa tra a bilng gia trj ham phan ph6i chudn N(O, I) sao cho (Xa) ~ 1 - a. N~u m~u ng~u nhien (XI, X2, ... , Xn) c6 m~u th\l'c nghi~m (x], X2,... , xn) thi ta ding co quy t~c ki~m djnh bal toan nay theo cac bu6'c: (ao -~).Jrl • Tinh z ~-,----cr • V6'i muc y nghia a, xac djnh Xa. • So sanh z va Xa. + N~u z < xa thi chdp nh~n Ho. + N~u z;?:Xa thi bac b6 Ho hay chdp nh~n HI. Til do suy ra k~t lu~n theo yeu cAucua bili toano 103 ---~-~v"hll}--()-:2;-M~y-ooidl:i-quy1ljntlchieU(x.)=I--=0,975 2 - =>x.= 2,5 1,96 Nh~n thdy Izl = 2,5 > x. = 1,96 nen bac b6 gia thiSt Ho va chftp nh~n d6i thiSt HI vai muc y nghia 0,05. V~y 1m nh~n djnh cua ban giam d6c la dung a muc y nghia 0,05. Vi d\l 6.3. Tr9ng Iuqng trung binh mili con Iqn khi xudt chu6ng mQt trI;Iichan nuoi trong nam truac ia 60 kg. Nlim nay sau khi ap d\lng chS dQ chan nuoi moo, khi xudt chu6ng nguai ta can 50 con Iqn va tinh dUQCtr9ng luqng trung binh cUa chUng la 70 kg. a Gia sli tr9ng luqng cua Iqn la dl;li luqng ng~u nhien c6 dl;lng phan ph6i chudn N(a, (}"2) vai ()"= 15. C6 the kSt lu~n rAng chS dQ chan nuoi mai dil. lam tang tr9ng luqng trung binh cua Iqn khi xuftt chu6ng khong, Vai muc y nghia 0,01? Giai: G9i a la tr9ng luqng trung binh cua Iqn khi xuftt chu6ng. KiSm djnh gia thiSt Ho: a = 60 kg vai d6i thiSt HI: a> 60 kg a muc y nghia a = 0,01 Ta c6: ()"= 5; ao = 60; n = 50, i = 70 dii biSt nen ta t1nh: (70-60).J50 (i-ao)..rn z= M~tkhac: -~-~-'" ()" (x.)=I-a=0,99 Nh~n thfty z = 4,714 > muc y nghia 0,05. V~y chS dQ chan nuoi muc y nghia 0,01. Xu 15 4,714 =>x.=2,33 = 2,33 nen bac b6 gia thiSt Ho va chftp nh~ d6i thiSt HI vai mai dii lam tang trQng luqng trung binh cua Iqn khi xuftt chu6ng a b) Tnrang h(Y[Jif chua biit * Kiim ainh hai phia vai a Kiem djnh gift thiSt Ho: a = ao HI: a '1= ao mlic y nghia a. Ch9n th6ng ke sau lam tieu chudn kiem dinh d6i vai hai toan nay 1ft: 104 ,v6i S'2 = _1_~)X,_X)2 n-l '01 -(~ S (x-a )v'i1 NSu He dung thi y nghia lX S~ .. c6 phful ph3i Student vai n - 1 b~c t\l do. Khi d6 vai mirc ta xet xac sud! sau: trong d6 ta tra bang nhu sau: + NSu n > 30 thi ta tra a bang gia tri ham phan ph3i chuAn N(O, 1) sao cho ao a mirc y nghia lX. Tuang iI.rnhu trong tru-Sll-thi-ta-trln'rbang-gia-mhallrphfurph5j-chuIl1I N(ll, I) sao cho--(f>(ta)- 1 u. + N~u n :s 30 thl ta tra a bang phan ph5i Student v6i n - 1 b~ctl,r do va muc y nghia 2u ta dUQ'C to = t.-1 20 N~u mdu ngdu nhien (XI, X2, ... , x.) c6 mdu thgc nghi~m (XI, X2, ... , X.) thl ta c6 guy t~c ki~m djnh nhu sau: • Tinhz= (x-a.)~ • s • V6i muc y nghia ct, xac djnh tao • So sanh z va tao + N~u z < to thl chllp nh~n Ro. + N~u z 30 thl ta tra a bang gia trj ham phan ph5i chulln N(O, I) sao cho (ta)= 1- ct. + N~u n :s 30 thl ta tra a bang phan ph5i Student v6'i n - I b~c tg do va muc y nghia 2ct ta duQ'c to = t;~1 N~u mdu ngdu nhien (XI, X2, .. " X.) c6 mdu thgc nghi~m (XI, X2, , .. , xn) thi ta c6 guy t~c ki€m djnh nhu sau: • Tinh z = (ao-x)~ • s • V6'i muc y nghia ct, xac dinh tao • So sanh z va tao + N~u z < to thl chllp nh~ Ho. + N~u z t~~= 1,703 nen hac b6 Ro, chApnh~n d6i thi~t HI. V~y h~ th6ng mai c6 t6t han h~ th6ng cii a muc y nghia 5%. Vi d\l 6.6. MQt nha san xuAt 1 IO(lithi~t bi di~n tuyen b6 tubi thQ trung binh cua thi~t bi Iii 6500 giO'.Nghi ngO'IO'ituyen b6 tren, nguO'Ita kiem tra 100 thi~t bi IO(lid6 thu dugc bang s6Ii~u: Tuoi thQ (gia) 1000- 3000 3000 - 5000 5000 -7000 So thiet bi 20 23 30 107 1"5 12 7000 - 9000 9000 -11000 V6i mue y nghia a = I%. Hay ket 1u~n v~ Uri tuyen b6 tren. Biet rAng tubi thQ eua thiet bi di~n tren e6 d~g phan ph6i ehuAn N(a, Gilii: GQi a 1a tubi thQ trung binh eua thiet bj di~n tren. Kiem dinh gia thiet Ho: a = 6500 v6i d6i thiet HI: a < 6500 6" mue y nghia a = 1% if). Tae6: x x~ 2000 4000 6000 8000 10000 ni 20 23 30 15 12 1 = -(2.30+4.23+6.30+8.15+10.12) 100 S2= 6409600 Tatinh: Vi n = 5520 => S'2 '" 6474343 => s' = 2544,5 z_(ao-x)~ s' _(6500-5520)v'lOO"'3 2544,5 851 ' = 100> 30 nen (ta)= I - a. = 0,99 => ta = 2,33 Nh~n th~y: z > ta nen Me b6 gia thiet Ho va eh~p nh~n d6i thiet HI. V~y lOi tuyen b6 tren eua nha san xu~t khong dung voi th,!e teo 6.2.2. Kiem djnh giii thiet v~ phllO'l1g sal tAng the Gla tbng thS e6 d~e tinh edn nghien eCru1a d(li hrQ11gngau nhien e6 d~g phiin ph6i ehu~n N(a, (2) trong d6 phucrng sai D(X) = a2 chua biet. su ChQn mau ngau nhien (XI, X2, ... , Xn) va e6 mau th,!e nghi~m (Xl. X2, ... , xn); Ta edn kiem djnh gia thiet Ho: a' = a; (ao eho biet woe) 6" mue y nghia a.. * Kiirn ainh hai phia KiSm djnh gia thiet Ho: voi d6i thiet HI: a' = a; a' ;t a; 6" mue y nghia ChQn th6ng ke Z = (n -1;S" a.. lam lieu ehudn kiSm djnh, v6i S., = -I-I (Xi - X)' n-1 j"'l 0'0 Neu Ho dung thi Z e6 phan ph6i khi binh phucrng voi n - I b~e W do. Voi mue y nghia (n-I)S" < Neu X' a ~ 0-1;1-"2 A a. ta xay dgng quy tile kiSm djnh sau: Neu (n - ?S" 0'0 2 0'0 < X' ~ X' . < .< thl chap nh~ gla thlet Ho. A a •• n~1;2 a 0-1,1-"2 ho~e (n - ?S" > X' 0'0 a thi bae b6 Ho. 0-1;"2 Voi mau th,!e nghi~m (XI, X2, ... , xn) ta e6 Cae buoe kiSm dinh d6i voi e~p gia thiet va d6i thiet tren la: 108 • 1 T'nh I \fl-t)s Z=--- ., a2 • 2 • Tim X a 0-1;1-"2 Va x' a 0-1;2" • Sosanh z vai cac gia trj X' Va a x' 0-1;1-'2 + N~u X' a n-l'2 a::; z::; X' a thi chApnh~ gia thi~t Ho. 0-1;1-"2 + N~u z < X' 0-1;2" ho(l.cz > X' a 0-1;1-'2 a 0-1;'2 thi Mc b6 Ho hay chApnh~n HI. • K~t lu~n. * Ki€m ainh phia phili Ki~m djnh gia thi~t Ho: a' = a~ vai d6i thi~t HI: a' > a~ cr muc y nghia a. k'e Z - (n -1)S" Ch 9n tong h' , I~-"' , Xn-Iu th'b'~b'H 1 m.; 0 ' Tir mau thgc nghi~m (x" • x,) ta co cac bu6c ki€m dinh nhu sau: ' h (n-1)s" T In z 2 a. • Tim • X2, •.. , o. X~-l;a 'h z va' X ,-1"c1 S0 san n + N~u z::; X;-l;a thi chApnh~n gia thi~t Ho. + N~u z > X;-Ia thi bac b6 Ho hay chApnh~n HI . • K~t lu~n. * Kidm ainh phia frai Ki€m dinh gia thi~t Ho: a' = a~ v6i d6i thi~t HI: a' < a~ cr muc Ch9n th6ng ke Z - (n -1;S" y nghia a. lam tieu chudn ki€m djnh, v6i S., = _1_ ~ N~u Ho dung thi Z - X' (n -I). Vai muc t(Xi - X)' n-1i_1 y nghia a ta xay d\ffig quy tdc ki€m dinh sau: ' (n -1)S" ,. h' h' h' H - N eu , 2 X,-l;l-a tiC ap n (In o. a. 109 ' (n -1)S'" , h' b~ b6 H - N eu 2 < 'Xn-l"l-a t I 4C O. 0" • o Til mdu th\l'Cnghi~m (Xl, X2,.. " Xn) ta co cac bucrc ki~m djnh nhu sau: • T'nh 1 Z= (n-l)s" 0"' o • T' , • S0"h'san z va 1m Xn-t'l-a. , Xn-l;l-a + N~u z ~ X;-ll~ thi chdp nh~n gia thi~t Ho, + N~u Z < X;-I;l-athi Mc bo Ho hay chdp nh~n H, . • K~tlu~. Vi dy 6.7. D~ ki~m tra dQ chinh xac clla mQt may ngum ta do ngdu nhien kich thucrc Clla 25 chi ti~t do may do san xudt va tinh duQ'cS'2 = 15,3. Vo; muc y nghia a = 1%, hay k~t !u~ may co hOiltdQngblnh thuOng khong? BI~t rfuIg kich thucrc clla chi ti~t may la dili IUQ'Og ngdu nhien X co phan ph6i chudn N(a, ~) vo; dQ I~ch chudn quy djnh la 4. Ta dn ki~m djnh gia thi~t Ho: 0"' = 16 vai d6i thi~t H,: 0"' '" 16 Taco: z (n-I)s" a muc y nghia a _ (25-1)15,3 =2295 0": 16 Doa=l%nenX' ' a=X;,.o.",=9,886 0-1;1-"2 Ta thdy x' = 1%. va x' a=X;,.ooo,=45,559 n~I'2 a < Z < X' a nen chdp nh~ Ho 0-1;1- 2 0-1;"2 Nhu v~y may vdn hOiltdQng binh thuOng. Vi dy 6.8. DuOng kinh clla mQt 10ilisan phdm do mi;\tnha may san xudt la dili IUQ'Ogngdu nhien co dilng philn ph6i chudn N(a, 0"2).Do dUOngkinh clla 10 san phdm ngum ta thu duQ'ck~t qua sau: (dcrnvi: cm) 4,97 4,95 4,96 4,98 5,00 5,01 5,05 5,01 5,02 5,03 Cac silOphdm duQ'ccho la san xudt dung quy djnh n~u phucrng sai cho phep khong vuQ'l qua 0,09 cm2• Vai muc y nghia 0,01 co th~ k~t lu~n r~ng cac san phdm clla nba may d~u duQ'csan xudt dung quy djnh? Giai: Ta dn ki~m djnh gia ~hi~tHo: 0"' = 0,09 vo; d6i thi~t H,: 0"' > 0,09 Taco: x=4,998; a muc y nghia a = 0,01. s'2=0,00104 110 - ---------::--{II---l}s"-----{lG-l)G,{lGHl4 z=~~--~~----0,104 cr~ 0,09 Vi a.= 0,05nen X~-I;a = X;;o.os = 16,919 Ta thAy z < X~-I;a nen chAp nh~n Ho. V~y cac san phfun cua nba may d~u duQ'c san xudt dung quy dinh. 6.2.3. Ki@m djnh gill thi@t vi ti I~ tAng the Gia sir trong m{\t t6ng the, ti I~ cae phfuJ ttl mang tinh chAt A nao d6 la p chua bi~t. LAy mdu ngdy nhien c6 kich thuac n trong d6 c6 k phdn ttl mang tinh chAt A. Hay kiem dinh gia thi~t Ho: p = Po (vo; Po la m{\t 56 cho truac). * KiJm ajnh hai phia Kiem dinh gia thi~t Ho: p = po vai HI: p * Po a mirc y nghia a.. Xet th6ng ke (; - Po).Ji1 ~Po(l-po) (~-Po).Ji1 N~u Ho dung thi n ~Po(l-po) c6 phiin ph6i chuAn tAc. Vai mirc y nghia a. tra bang gia trj ham phan ph6i chufuJ N(O, 1) va tim duQ'c Xa sao cho ( xa) = 1- ~ . Khi d6 ta c6 quy tl1c ki@m dinh sau: . I I Neu Z J Ik-npol • < xa thi chiip nh~n Ho. \lnPo(l-po) - Ik-np 0 I ~npo(l-po) N~u IZI. xa thi bac b6 Ho. ~ Vai mdu th\fc nghi~m (x" X2, ,., xn) cua mdu ngdu nhien (X" X2, tiic kiem djnh vai gia thi~ Ho va d6i thi~t HI tren la: 'II Neu z - N~u = J Ik-npol •• " Xn) ta tim duQ'c quy ' < Xa thi chiip nh~ Ho. \lnPo(l-po) Izi = ,lk - npol ~ Xa thi bac b6 Ho hay chAp nh~n HI' \lnPo(l-po) * KiJm ajnh phia phili a Kiem djnh gia thi~t Ho: p = po vo; HI: p > Po muc y nghia a.. V6'i c~p gia thi€! va dili thi€! tren ta co quy lAcki6m djnh sau: N~u z k - npo ~npo(l-po) < Xa thi chAp nh~ Ho. - N~u z k - npo ~npo(l-po) ~ trong d6 tra Xa a bang X a thi bac b6 Ho hay chAp nh~n HI, gia trj ham phan ph6i chufuJ N(O, 1) sao cho (xa) = I-a., 111 --- ----",-pc': -"'-h P hi'~T~'''-'-----------------------------L\.--rern-UIII a IU, Ki@mdjnh gill thi~t Ho: p = po vai HI: p < po a mue y nghia a. Vm eij.pgilithi~ va dal thillttren ta eo quy t~ekillm djob sau: - N~u Z = npo - k Jnpo(l-po) < xa thi eh&pnh~n Ho. N~u Z= nPo-k Jnpo(l-po) >xa thibaeb6Hohayeh&pnh~HI. a bang gia trj hilm phan ph6i ehu&nN(O, I) sao eho c1>(xa)= I-a. Vi dl} 6.8. MQt dang ehinh trj trong mQt eUQebdu eu t6ng th6ng a My tuyen b6 rfulg 45% trong d6 Xa tra eu tri S15 b6 phi~u eho irng eu vien A eua h. Ph6ng v&nng&unhien 300 eu tri d~ tham d6 y ki~n eho th&ye6 120 nguai trong s6 d6 S15 b6 phi~u eho irng eu vien A. Vai mue y nghia a = 5%, hay ki~m djnh xem d\l dO/ineua dang tren e6 dung khong? Giai: Gi p IIIti I~ eu tri b6 phi~u eho irng ell vien A. Ta ki~m djnh gia thi~t Ho: p = 0,45 vai d6i thi~t HI: p 0,45 a mue y nghia a = 5%. (Bai vi khong e6 co sa nao d@eho rfulg d\l doan eua dang tren la eao han 0,45 hay th&p han 0,45) Ta e6: n = 300, k = 120. * Tinh: !k-npol II = Jnpo(l- 1120-300.0,451 Z Po) ----,======="'174 J300.0,45(l-0,45) , a = 0,975 => Xa = 1,96. 2 Ta th&y: Z = 1,74 < Xu = 1,96 nen eh&pnh~n gia thi~t Ho. Nhu v~y d\l doan eua dang tren e6 th~ dung. Vi dl} 6.9. MQt may t¥ dQng gia eong cae chi ti~t may, lue ddu ti I~ cae chi ti~t 10\liI III 40%. Sau khi ap d\lng eai ti~n ky thu~t, nguOi ta ki@mtra 100 chi ti~t may th&ye6 55 chi ti~t may 10\liI. Vai mue y nghia a = 0,05, hay k~t lu~n xem vi~e eai ti~n ky thu~t e6 th\le s\llam tang ti I~ chi ti~t may 10\liI hay khong? Giai: Gi P IIIti I~chi ti~t may 10\liI do may t\l dQngtren gia eong. Ta ki~m djnh gia thi~t Ho: p = 0,4 vai d6i thi~t HI: p> 0,4 a mue y nghia 0,05. Tae6:n= 100,k=55 M(it khlic: Tinh z= c1>(xa)= 1-- k-npo Jnpo(l-po) M(it khae: c1>(xa)= I-a - 55-100.0,4 JI00.0,4(l-0,4) = 1-0,05 = 0,95 -3,06 => Xu = 1,65 Nh(in th&yz = 3,06 > Xu = 1,65 nen bae b6 gia thi~t Ho hay eh&pnh(in d6i thi~t HI' V(iy vi~e eai ti~n ky thu(it da th\le s\llam tang ti I~chi ti~t may 10\liI. 112 -----YLd¥-6.10.MQLcong-ty-tuyen-b6-ting-eo-4S'Vo-dful-chuog-ua-thieh-sfm-pMm-cua-cong-ty. --M{\t cu{\c dieu tra 400 ngllai tieu dung thAy co 170 nguai Ila thlch san phfun cua cong ty. Vm mfrc y nghia I%, My ki6m djnh lai tuyen b6 tren? Giai: GQi p la ti l~ dan chUng Ila thlch san phAmcua cong ty tren. Ta ki6m dinh gia thiet Ho: p = 0,45 vm d6i thiet HI: p < 0,45 (J muc y nghia 1%. Ta co: n = 400, k = 170 Tlnh z- nPo-k ~npo(l-po) - 400.0,45-170 ~400.0,45.(l-0,45) = 1-0,01 = 0,99 M~t kMc: (xa) = I-a ",1,005 => Xa = 2,33 Nh~ thAyz = 1,005 < Xa = 2,33 nen chApnh~n gia thiet Ho. V~y 1mtuyen b6 cua cong ty la dung vai th\l'c teo 6.2.4. So sanh hal trung bloh Cho hai d X. thi hac b6 gia thiet Ho hay chApnMn d3i thiet HI. • Ket lu~. • Kiirn ilinh rn(itphia Ki€m dinh gia thiet Ho:a I = a2 vai d3i thiet HI: al > a2 a mirc y nghia a. Tuang tn,!truOng hgp tren ta chQnth3ng ke Z = x-y lam tieu chuful kiBm dinh. 0'2 0'2 _1+_2 n m Neu Ho dung thi Z c6 philn ph3i chuftn tic N(O, I). Vai mirc y nghia a cho truac ta tim duQ'cgia tr! Xab~ng cach tra biing gia tr! hiim phan ph3i N(O, I) sao cho (x.)= 1- a. Khi d6 ta c6 quy t~c ki€m dinh sau: - N'eu Z = X- Y $ 0'2 0'2 n m h' h'ap n;m h' Ho. x. tiC _, +_2 - Ne'u Z = X- Y 2 ~+ n 2 > Xa thob' 1 ac b'0 HO. 0'2 m Tir hai mllu th\lc nghi~m (XI, X2,... , xn) vii (YI. Y2,... , Ym)ta ,c6 quy t~c ki€m dinh nhu sau: • Tinh z = x-y ,,- I~ , VO'lX=-L"Xi 0'2 n i=1 _, +_2 02 n ,- I~ va Y=-L"Yi m i=l m • TimXa. • So sanh z vii Xa + Neu z $ x. thi chApnh~n giii thiet Ho. + Neu z > X. thi hac b6 giii thiet Ho hay chApnh~n d3i thiet HI' • Ket lu~n. Vi dy 6.11. Theo doi 9 IAnthiYigian liim vi~c cua mQtmay san xuAtvii tinh duQ'cthai gian lam vi~c trung binh cua may di~n til d6 Iii3 pMt. Vm cling diBu ki~n nhu v~Yta tien himh theo doi II IAnkhi may d6 chua duQ'ccai tien thi thai gian lam vi~c trung binh cua n6 Iii2 114 p,"'h"u"tB 'Ki,~eTt rr.i'"ngn nG"1 = ~c(),S pMt vA-G2=-G,4-jlMt-H6i~-ea~~-s\l'-c6i3c-d\IDg-kh6ng--vai muc y nghia a = 0,005? Giai: GQi alia thm gian lam vi~c trung binh ella may di~n ttl sau khi cai tien, a2 la thm gian lam vi~c trung binh ciIa may di~n ttl truac khi eM tien. Tacdn kiem djnh gia thiet Ho: al = a2 vai d6i thiet HI: al > a2 (y muc - - y nghia a = 0,005. Ta c6: n = 9, m = 11, x = 3, Y = 2, al = 0,5 va a2 = 0,4 x-y a' a' Khi do: z= = -' +-' n V6'i muc y ngbia m 3-2 =4,86 0,25 0,16 --+-9 11 (xa) = I-a = 1- 0,005 = 0,995 => Xa = 2,58 Ta thAy: z = 4,86 > Xa = 2,58 nen hac bo gia thiet Ho hay chAp nh~ d6i thiet HI, V~y vi~c dll th\l'c s\I' co me d\mg vai muc y nghia 0,005. a~va a; chua hiit nh'ung kich thu6'c mdu n ;::30 va m ;::30 b) Truang h(1JJ * Kiim dinh hai phia Kiem djnh gia thiet Ho: al = a2 vai d6i thiet HI: al ;t a, ChQn th6ng ke Z = X-Y S., S., _1_+_'_ n m (y muc y nghia a. lam tieu chuAn kiem djnh. Vai S;' va S;' la phUbng sai hi~u chinh ciIa X va Y. NgUC1ita chUng minh dugc rllng tiln t{li quy tk kiem dinh gia thiet Ho: al = a2 vai d6i thiet HI: al ;t a2 va quy cic do dugc phat bieu nhu sau: , - Neu IZI= IX-yl S.2 S*2 ,n m _1_+_'_ - Neu Izl= Ix-yl ::::ta thi chAp nhiln gia thiet Ho. . > ta s" s., _1_+_'_ n thi bac bO giil thiet Ho. m Trong do ta tra bang giii trj ham philn ph6i chuAn N(O, 1) sao cho (ta) = 1- ~ . Tir hai mdu th\l'c nghi~m (XI, X2, ... , xn) va (Yt, Y2, ,. " Ym)ta co quy tile sau: • Tfnh Izl= 1;Z *2 yl *2 _SI_+_S,_ n • Tim • m Xa. So siinh Izi va ta 115 + R8ulZl + N~u ,,;t. Izi > t. tfilClilp nfi~ gI1i1Iii~rno. thl bac b6 gia thi~t Hohay chdp nh~n dbi thi~t HI. VI dy 6.12. Ngum ta nghien cUu nang sud! lua a m IIUJ "'''''P tth,,' 10 nen bac b6 gia thi~t Ho hay chApnh~ d3i thi~t HI. V~y dUOngkinh trung blnh clia cae tf\lCmay do hai may san xuAtla khac nhau. * Kiirn ainh rn9t phia Ki~m djnh gia thi~t Ro: al = a2 vai d3i thi~t HI: at > a2 a muc y nghia (J.. Tuong t\T, vm hai mAu th\Tcnghi~m (XI, X2, ... , Xn) vii (yI, Y2,... , Ym)nguai ta chiing minh duQ'crdng t6n t(li quy tAcki~m djnh sau: • ~-y 'nh TI Z ~ s n .' 2 (n-l)s;2+(m-l)s;2 ,vat sn= n+m-2 I I -+- n m • Tim t. bAng cach tra bang Student vm n + m - 2 b~c tITdo vii muc y nghia 2(J.ta duQ'c t .= ,. tD+m-2 • So sanh z va ta + N~u z 5: t. thl chApnh~n gia thi~t Ro. + N~u z> t. thi hac bo gia thi~t Ro hay chApnh~n d3i thi~t H, . • K~t lu~n. Vi dy 6.15. Kh3i hrqng trung blnh clia 15 trai dua hAu do xii A tr6ng Iii 7,12 kg vm phuong sai mAu hi~u chinh la 0,75 (kgf Kh3i luqng trung blnh clia II trai dua hAu do xii B tr6ng Iii 6,41 kg vai phuong sai mAuhi~u chinh Iii 0,92 (kg)2. Vm muc y nghia 1%, xet xem kh3i luqng trung blnh trai dua hAuclia xii A n~g hon clia xii B khong? Bi~t rAng kh3i luqng cac trlii dua hAu a hai xii la d(li luqng ngAu nhien co philn ph3i chulln vai phuong sai bAngnhau. Giai: GQi aI, a2 Illn luQt Iiikh3i luqng trung blnh trai dua hAu a xii A va xii B.. Ki8m djnh gill thi8t Ho: a, = a2 val d3i thit!t HI: a, > a2 a muc y nghia (J.. Xii A: n= 15; ~ =7,12; s;' =0,75 XiiB: m=ll' Tinh dugc: s' n Suy ra: Sn , -y =641' "2 s., =092 , (n-I)s;' +(m-I)s;' n+m-2 (15-1)0,75+(11-1)0,92 15+11-2 "'0,82 = ,)0,82 '" 0,91 119 x- y z - 15 11 nghia 1%, tra bimg Student vm n + m - 2 = 24 b~c 1\£do va m(rc y nghia 0,02 n y H 7~r2-=-6;41 '" 1,97 -+- I091 ~I -+- s Wti m(rc _ n m ' ta dugc to = t~~2 = 2,492 Ta thAy: z < 10 nl!n chAp nh~n dAi thiet Ho. V~y khAi lugng trung binh trai dua hAu cua hai xii bAng nhau. 6.2.5. So sanh hai ti I~ Gia s(r co hai tAng the khac nhau, gQi PI va P2 tuang Ung la ti l~ cac phdn t(r mang tfnh chAt A tir 2 tAng the. Neu PI va P2 chua biet song ta dii co CCI SCI de gia thiet rAng gia trj cua chUng bAng nhau. Ta se kiem dinh gia thiet Ho: PI = P2 Tir tfmg the th(r nhAt ta chQn mQt milu co klch thuac nl trong do co kl phdn t(r mang tfnh chAt A. Tuang tv"t(r t6ng the thu hai ta chQn mQt milu co klch thuac n2 trong do co k2 phdn t(r co tfnh chAt A. * Kiirn iJinh hai phia '* Kiem djnh gia thiet Ho: PI = P2 vai dAi thiet HI: PI P2 CImuc y nghia a. Nguiri ta chUng minh dugc rAng t6n t;li quy tAc de kiem dinh gia thiet Ho vai dAi thiet HI trl!n la: - Neu Izl= - Neu Izl= trong do * Kiirn Xa tra CIbang gia tri ham phan phAi chudn N(O, I) sao cho (x~)= 1- ~ . iJinh phia phai Kiem djnh gia thiet Ho: PI = P2 vai dAi thiet HI: PI > P2 CIm(rc y nghia a. NguiYi ta chUng minh dugc ding t6n t!li quy tdc de kiem dinh gia thiet Ho vai dAi thi€t HI trl!n la: 120 ------------------k., _k,,----------------------< - Neu z = n n I' ~ Xu thi Mc bo Ho hay chAp nMn HI' U :J(~::~:)(I-~::~:) + trong do Xa tra (ybang gia trj ham phan ph6i chudn N(O, I) sao cho ( xu) * Kidm ilinh phia = 1- ex . mii Ki~m djnh gili thiet Ho: PI = P2 v(yi d6i thiet HI: PI < P2 (ymuc y nghia ex. N gmJi ta chUng minh dUQc rdng t6n !{Ii quy lAc d~ kiem djnh gia thiet Ho vm d6i thiet HI tren la: - Neu z= n, - Neu z= nl k,+k,) ~ Xu thi Mc bO Ho hay chAp nh~ HI. nl +n, trong do Xa tra a bang gia trj hilm phan ph6i chudn N(O, I) sao cho ( xu) = 1- ex . Vi dy 6.16. Ki~m tra 350 san phdm cua kho hang thu nhAt thAy co 40 phe phAm. Ki~m tra 400 san phAm cua kho hang thu hal thAy co 45 phe phdm. V oi muc y nghia Ta co: = 350, kl = 40; 5%, My xet xem chAt Iugng hang (yhal kho hang co khac nhau khong? Giai: GQi PI va P2 Idn lug! la tl I~ phe phdm (yhai kho hang. Ta cdn ki~m djnh gia thiet Ho: PI = P2 vm d61 thiet HI: PI 7' P2 a muc y nghia 5%. nl Izl= n2 = 400, k2 = 45 ~Lhl In n2 t U, :J(~::~:)(I-~::~:J + 40 1350 = 451 400 (3~0 + 4~0)(3:~::~0)(1ex (xu)=1-"2=0,975 Ta thAy: Izi = 0,27 < '" 0,27 3:~::~0) =>Xa= 1,96. Xa = 1,96 nen chAp nh~n Ho. V~y chAt lugng hang (yhal kho hang la nhu nhau. 121 Hili ti-P chaong VI 6.1. Tre;>nglugng clla bao g\lo duqc d6ng bao bAng may t\l dQng v6i quy dinh la 55 kg. Nghi nga may d6ng bao khong dll trQng lugng quy dinh. Nguai ta IdY ra 81 bao va tlnh duqc trQng lugng trung binh clla chUng la 54,5 kg. V6i muc y nghia a = 0,05 My kSt lu~n v~ y kiSn nghi nga tren. BiSt ding trQng lugng bao g\lo d6ng g6i t\l dQng c6 phiin ph6i chudn N(a, 4). 6.2. MQt may san xudt mQt 10\li san phdm duqc coi la hO\lt dQng blnh thuang nSu dQ dai trung blnh clla san phAro la 27 mm. Nghi nga may hO\lt dQng khong blnh thuang, ngum ta ki8m tra 25 san phdm va tlnh dUQ"CdQ dal trung blnh clla san phAro la 27,5 mm. V &i muc y nghia I % hay kSt lu~n v~ di~u nghi nga tren? BiSt r~ng dQ dai clla san phAro la d\li lugng ng~u nhien tuan theo quy lu~t phiin ph6i chudn N(a, 4). 6.3. Giam d6c mQt cong ty san xudt nu&c giai khat cho biSt rAng muc luang trung blnh clla mili cong nhan lam vi~c trong cong ty la 250 nghin d6ng/thang. Khao sat 500 cong nhan clla cong ty thdy muc luang trung binh la 230 nghin d6ng/thang va dQ I~ch chudn m~u la 50 nghin d6ng/thang. V&i muc y nghia 2% hay ki8m dinh 1m tuyen b6 clla giam d6c cong ty tren. 6.4. Ki~m tra cac g6i duang 10\li I kg trong mQt sieu thi ta c6 kSt qua: Kh6i lugng (kg) So g6i V &i muc y nghia 0,90 5 a = 0,92 7 0,95 8 0,97 16 0,99 19 1,01 15 1,03 9 1,05 2 1% c6 the ket lu~n vi~c d6ng g6i dam bao yeu cdu hay khong? 6.5. Sau mQt dgt b6i duong nghi~p V\l su ph\lm nguai ta kiem tra ng~u nhien 70 hQc vien. KSt qua cho bang sau (thang diem 10): a f>iem s6 hQc vien I 5 5 I 6 10 I 7 15 I 8 20 I 9 12 I 10 8 Gia SLr di8m Clla cac hQc vien la d\li lugng ng~u nhien tuiin theo lu~t phiin ph6i chudn N(a, cr2). Hay kiem dinh gia thiSt Ho: a = 8 v&i HI: a", 8 6 muc y nghia a = 0,05. a 6.6. Nang sudt trung binh cua mQt gi6ng ngo mQt vung trong V\ltru&c la40 tw'ha. V\I nay nguai ta ap d\lng bi~n phap ky thu~t m&i tren toan be>di~n tlch ngo clla toan vung. Be ki8m tra hi~u qua cua bi~n phap ky thu~t mai nguai ta thu hO\lch ngo tren 100 ha va thu duqc bang s6 li~u sau: Nang suat (tw'ha) 25 - 30 Di~n tlch (ha) 6 Nang suat (tw'ha) 45 - 50 30-35 9 50 - 55 15 35 -40 13 55 -60 6 40-45 27 60 - 65 2 Di~n tlch (ha) 22 122 __ -.---YCtim{rc y nghia -l%, hay kiSm-djnh-y-kiSn-cho-rAng-~-pMIl kY thu~t mm-dA-lam-taRg'--nang sudt trung blnh clla ngo a vimg fillY. BiSt r~g nang suM trung blnh clla giang ngo tr~n la d(li lugng ng~u nhi~n c6 d(IDgpMn phai chudn. ' 6.7. Djnh muc thiJi gian hoan thanh mQt san phdm la 20 pMt. Theo diii thm gian hoan tMnh san phdm a 36 cong nhlin, thu dugc kSt qua sau: ThiJi gian hoan,thanh mQt san phfun 14- 16 16- 18 18-20 20 -22 22 -24 24 -26 So cong nhlin 2 5 8 11 7 3 Hay cho biet c6 cdn thay dbi dinh muc khong, vm muc y nghia a = 0,0 I. Biet thm gian hoan tMnh mQt san phdm clla cong nhan la bien chudn. 6.8. TrQng lugng ga con Illc mm n6' la d(li lugng ng~u nhi~n c6 pMn phai chudn. Nghi ngiJ dQ d6ng dSu vS trQng lugng ga con giam sut ngum ta can thir 16 con va tim dugc phuang sai m~u S'2 = 12,41 (gain)2. Vai muc y nghia 5%, hay ket lu~ vS diSu nghi ngiJ tr~n. Biet &g blnh thuiJng dQphiln tim clla trQng lugng ga con la ci = 10 (gam)2. 6.9. Cho biet duiJng kinh clla mQttn,Icmay do mQt nM may san xudt la d(li lugng ng~u nhi~n c6 d(lng phan phai chudn vm phuang sai cho pbep la 02 = 0,04 (mmi. Do duiJng kinh clla 16 tn,Ic may va tinh dl1gc phuang sai hi~u chinh S'2 = 0,15 (mml Vm muc y nghia 5% hay kiSm djnh gia thiet cho r&ngdQ phlin tan clla duiJng kinh Ia qua cao so vm quy dinh khong? 6.10. TrQng lugng clla mQt 10(litrai ciiy cr mQt nong tf(li la d(li Iugng ng~u nhi~n c6 d(lng phan phai chudn N(a, (2). Clin thir mQt sa trai cay va thu dugc sa li~u sau: , TrQng lugng (gam) 50-60 60-70 70- 80 801-90 90 -100 100-110 So trai 2 4 12 7 2 2 C6 tai li~u cho r&ngphuang sai clla trQng lugng trai cily la 320. Cho nh\ln xet vS sa li~u clla tai li~u nay. 6.11. Vai day chuySn san xudt cii ti I~ phe phdm la 3%. Sau khi cai tien day chuySn san xudt, nguiJi ta Idy ngdu nhi~n 400 ~an phdm thdy c6 10phe phdm. 123 -----Voi mucyngllTa a = 0;05;1J1Wx-etxern vi~cdl:ili-en dAy chuy@nsan xu!t-co-tmn-giam-tl Ie ph~ phfun kMng? 6.12. Ti Ie ph~ phdrn eho phep crm~t nha may la 2%. Qua ki~m tra ngau nhien 400 san phfun nguOi ta thdy e6 12 ph~ phfun. Vm mue y nghia 5%, hay eho bi~t ti Ie ph~ phdm th\lC S\le6 vuqt qua dinh mue eho phep hay khilng? 6.13. D~so sBnh ehi~u eao trung binh eua nam thanh nien hai vung dan eu A va B, nguOi ta ehQn 10 nam thooh nien eua vimg A va 10 nam thanh nien eua vting B. S6 do ehi~u eao eua hai nh6m nguOi nay duge eho nhu sau: (dem vi: em) VungA VimgB 165 172 167 170 174 167 165 169 172 171 167 167 168 173 172 165 170 163 173 174 v m mue y nghia 1%, hay so sanh ehi~u eao trung binh eua nam thooh nien hai vung A va vting B. 6.14. Ti Ie m~e benh s6t ret crm~t huyen mi~n nui la 6%. Trong Idn ki~m tra sue kh6e, ehQn ngau nhien 390 nguOi thdy e6 28 nguOi mang vi trimg s6t ret. Vm mue y nghia 0,05 e6 th~ khfulg djnh ti Ie m~e benh s6t ret trong vting da tang len hay khilng? 6.15. D~ki~m tra hieu qua eua bien pMp ddi mai ky thu(it eua m~t day ehuy~n san xudt cr eilng ty A, ngucri ta ti~n hanh ki~m tm san phfun eua eilng ty truae va sau khi ddi mai ky thu(it va thu duge k~t qua sau: ThOi di~m ki~m tra S6 san phdm ki~m tra S6 ph~ phfun Truae khi d6i mm Sau khi ddi mai 300 450 50 54 Qua bang s6 li~u tren e6 th~ eho rling viee ddi mai day ehuy~n san xudt da th\le moog I(lihi~u qua san xudt, vm mue y nghia I%? S\l l(li 6.16. Trong m~t eu~e tham do truae ngay bdu eu, 42 trong s6 100 eu tri nam duge hOi eho bi~t se b6 phi~u eho irng eu vien A. Trong khi 92 trong s6 200 eu tri nit eho bi~t se b6 phi~u eho irng eli vien A. VCrimue y nghia 5%, hay ki~m dinh xem ti l~ eli tri nam b6 phi~u eho irng eli vien A vCri ti I~ nit b6 phi~u eho irng eu vien A e6 nhu nhau hay khilng? 6.17. D~so sanh trQng lugng trung blnh eua tn: sa sinh a thanh thi va nong thon ngucri ta can thli trQng lugng eua 500 eMu va thu duge k~t qua sau: Vung S6 ehau duge can NongtMn Thanh thi 300 200 TrQng lugng trung binh (kg) 2,8 3,1 D~I~eh ehuan hi~u ehinh 0,8 0,5 ,. • Vai mue y nghia 5%, co th~ eoi trQng lugng trung binh eua tre sa sinh crthilnh thi eao hem crnong thiln khilng? Gia thi~t riing trQng lugng tn: sa sinh la d(li lugng ngau nhien e6 d(lDgphan ph6i ehudn. 124 ________ ~6~_1~8~K~i,em_1rachdtJugng-2jo-Slin phim ill :2 xi nghi~1' Glilly~n~n ta llidy: Trong 100 san phfun a xi nghi~p I c6 67 san phdm lo~i A. Con trong 120 san phfun cr xi nghi~p II c6 82 san phfun lo~i A. Hoi vai muc y nghia 0,01 c6 th~ coi hai ngudn hang c6 cilng ti 1~hang 10(liA hay khong? 6.19. Nguai ta thi nghi~m hai phuang phap chan nuoi ga khac nhau. Sau m~t thang k~t qua tang trucrng nhu sau: Phuangphap I II So ga dUQ"c theo dol 100 150 Muc tang trQng trung binh (kg) 1,1 1,2 DQ I~ch chuan m&u(kg) 0,2 0,3 Vai muc y nghia 5%, co the k~t lu~n phuang phap II hi~u qua han phuang phap I hay khong? 6.20. De nghien Clru thai gian l\I' hQc trong m~t ngaycua cac sinh vien cr hai truang D~i hQc A va D(li hQC B, nguai ta ti~n hanh khao sat cac sinh vien cUa hai truang thi thu dUQ"c k~t qua sau: Truang D(li hQc A: Thai gian tv hQC(gia) s6 sinh vien 0 26 0 39 1 12 2 23 3 27 1 27 2 19 3 23 4 39 5 18 6 16 7 9 8 5 9 5 5 19 6 20 7 7 8 7 9 6 Truang D(li hQc B: Thai gian l\I' hQC(gia) So sinh vien 4 33 C6 the k~t lu~n rdng sinh vien truang D(li hQCA cham hQc han sinh vien truang D(li hQC B hay khong, vai muc y nghia 1%? 6.21. X (dan vi: %) la d(li Iugng ng&u nhien chi chi tieu cua mQt 10(li san phdm. meu tra 100 san phdm thu due;rcs6 Ii~u sau: X 5-7 7-9 9 - 11 11-13 13 - 15 15 - 17 17-19 19 - 21 So san phdm nj 3 9 17 18 26 15 8 4 Nhiing san phdm nao co chi tieu nho han 11 va 16'0 han 17 dugc coi la san phfun 10(li II. a) Uac lugng trung binh chi tieu X vai dQ tin c~y 95%? b) Hay uac lugng ti I~ slm phdm 10(li II vo; d~ tin c~y 90%? c) C6 tai Ii~u cho rdng trung binh chi lieu X cua cac san phdm 10(liII Ia 14%. Cho nMn xet ve s6 li~u rna tai Ii~u do da dua ra vai muc y nghia 5%? 125 --------(j;22;-ffam'tm;mg-vitamin-e-mmgiJinirtrong mQt 10\li hai cayiuc:UAlriA-ti%:-N.~g~u-o~i-ta.----.--- chlim b6n theo phuong phap ky thu~t A va sau m(ltthOi gian, ki~m tra m(lt s6 trlii duge k6t qua sau: s6 trai Ham lugng vitamin C (%) 3-4 6 4-5 5-6 6-7 7-8 8-9 9 -10 8 14 25 23 15 9 a) Hay uae lugng ham lugng vitamin C !rung binh sau khi cham b6n theo phuong pMp ky thu~t A vOi d(l tin e~y 95%? b) Hay uae lugng ti I~ trai 10\li 1 vai d(l tin e~y 95%. Biet rAng trai 10\li I la nhilng trai e6 ham lugng vitamin C tir 8% tra len. c) C6 th~ eho rAng ehlim bOn theo phuong pMp ky thu~t A da lam tang ham lugng vitamin C trung binh ella 10\litrlii cay nay khong? V 6i mue y nghia 5%. d) C6 th~ xem phuong sai ella ham lugng vitamin C ella cae trai 10\li I la 0,3% duge khong, vai mue y nghia 1%? 6.23. San phfun ella m(lt xi nghi~p dlle eho phep s6 khuyet ~t !rung binh eho m(lt san phdm la 3 khuy6t t~t. Sau khi d5i mai thiet bi, ki~m tra ngdu nhien 36 san phdm ket qua thu duge: S5 khuyet ~t tren m(lt san phdm o 1 2 3 4 5 6 s6 san phdm 5 6 4 8 7 5 1 a) Vai d(l tin e~y 0,90 hay uae lugng s6 khuyet t~t !rung binh ella m6i san phdm sau khi d5i mai thiet bi. b) C6 Y kien eho'rAng vi~e d5i mai thiet bi da lam giam s6 khuyet trung binh ella san phfun. V6i mue y nghia I %, hay ket lu~n v8 y kien d6. * 126 WONG DAN GIM-- IMP 6.1. z = 2,25; djnh. 6.2. Xc. Izi = 1,25; Xc. 59- -- = 1,65. Bac b6 Ho, tue IIImay d6ng bao khong du tr(x) =-1 fe'dt v6iX-N(O, I) 21t~ x 0.00 0.01 0.02 0.03. 0,04 0.05 0.06 0.07 0.0 0.50000 0.50399 0.50798 0.51197 0.51595 0.51994 0.52392 0.52790 0.53188 0.53586 0.1 0.53983 0.54380 0.54776 0.55172 0.55567 0.55962 0.56356 0.56749 0.57142 0.57535 0.2 0.57926 0.58317 0.58706 0.59095 0.59483 0.59871 0.60257 0.60642 0.61026 0.61409 0.3 0.61791 0.62172 0.62552 0.62930 0.63307 0.63683 0.64058 0.64431 0.64803 0.65173 0.4 0.65542 0.65910 0.66276 0.66640 0.67003 0.67364 0.67724 0.68082 0.68439 0.68793 0,5 0.69146 0.69497 0.69847 0.70194 0.70540 0.70884 0.71226 0.71566 0.71904 0.72240 0.6 0.72575 0.72907 0.73237 0.73565 0.73891 0.74215 0.74537 0.74857 0.75175 0.75490 0.7 0.75804 0.76115 0.76424 0.76730 0.77035 0.77337 0.77637 0.77935 0.78230 0.78524 0.8 0.78814 0.79103 0.79389 0.79673 0.79955 0.80234 0.80511 0.80785 0.81057 0.81327 0.9 0.81594 0.81859 0.82121 0.82381 0.82639 0.82894 0.83147 0.83398 0.83646 0.83891 1.0 0.84134 0.84375 0.84614 0.84849 0.85083 0.85314 0.85543 0.85769 0.85993 0.86214 1.1 0.86433 0.86650 0.86864 0.87076 0.87286 0.87493 0.87698 0.87900 0.88100 0.88298 1.2 0.88493 0.88686 0.88877 0.89065 0.89251 0.89435 0.89617 0.89796 0.89973 0.90147 1.3 0.90320 0.90490 0.90658 0.90824 0.90988 0.91149 0.91309 0.91466 0.91621 0.91774 1.4 0.91924 0.92073 0.92220 0.92364 0.92507 0.92647 0.92785 0.92922 0.93056 0.93189 1.5 0.93319 0.93448 0.93574 0.93699 0.93822 0.93943 0.94062 0.94179 0.94295 0.94408 1.6 0.94520 0.94630 0.94738 0.94845 0.94950 0.95053 0.95154 0.95254 0.95352 0.95449 1.7 0.95543 0.95637 0.95728 0.95818 0.95907 0.95994 0.96080 0.96164 0.96246 0.96327 1.8 0.96407 0.96485 0.96562 0.96638 0.96712 0.96784 0.96856 0.96926 0.96995 0.97062 1.9 0.97128 0.97193 0.97257 0.97320 0.97381 0.97441 0.97500 0.97558 0.97615 0.97670 2.0 0.97725 0.97778 0.97831 0.97882 0.97932 0.97982 0.98030 0.98077 0.98124 0.98169 2.1 0.98214 0.98257 0.98300 0.98341 0.98382 0.98422 0.98461 0.98500 0.98537 0.98574 2.2 0.98610 0.98645 0.98679 0.98713 0.98745 0.98778 0.98809 0.98840 0.98870 0.98899 2.3 0.98928 0.98956 0.98983 0.99010 0.99036 0.99061 0.99086 0.99111 0.99134 0.99158 2.4 0.99180 0.99202 0.99224 0.99245 0.99266 0.99286 0.99305 0.99324 0.99343 0.99361 2.5 0.99379 0.99396 0.99413 0.99430 0.99446 0.99461 0.99477 0.99492 0.99506 0.99520 2.6 0.99534 0.99547 0.99560 0.99573 0.99585 0.99598 0.99609 0.99621 0.99632 0.99643 2.7 0.99653 0.99664 0.99674 0.99683 0.99693 0.99702 0.99711 0.99720 0.99728 0.99736 2.8 0.99744 0.99752 0.99760 0.99767 0.99774 0.99781 0.99788 0.99795 0.99801 0.99807 2.9 0.99813 0.99819 0.99825 0.99831 0.99836 0.99841 0.99846 0.99851 0.99856 0.99861 3.0 0.99865 0.99869 0.99874 0.99878 0.99882 0.99886 0.99889 0.99893 0.99896 0.99900 3.1 0.99903 0.99906 0.99910 0.99913 0.99916 0.99918 0.99921 0.99924 0.99926 0.99929 3.2 0.99931 0.99934 0.99936 0.99938 0.99940 0.99942 0.99944 0.99946 0.99948 0.99950 3.3 0.99952 0.99953 0.99955 0.99957 0.99958 0.99960 0.99961 0.99962 0.99964 0.99965 3.4 0.99966 0.99968 0.99969 0.99970 0.99971 0.99972 0.99973 0.99974 0.99975 0.99976 0.08 0.09 133 ~_ IX n 0.2 0.12 0.1 0.08 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 I 3.078 5.242 6.314 7.916 10.579 12.706 15.895 21.205 31.821 63.657 2 1.886 2.620 2.920 3.320 3.896 4.303 4.849 5.643 6.965 9.925 2.951 3.182 3.482 3.896 4.541 5.841 3 1.638 2.156 2.353 2.605 4 1.533 1.971 2.132 2.333 2.601 2.776 2.999 3.298 3.747 4.604 5 1.476 1.873 2.015 2.191 2.422 2.571 2.757 3.003 3.365 4.032 6 1.440 1.812 1.943 2.104 2.313 2.447 2.612 2.829 3.143 3.707 7 1.415 1.770 1.895 2.046 2.241 2.365 2.517 2.715 2.998 3.499 8 1.397 1.740 1.860 2.004 2.189 2.306 2.449 2.634 2.896 3.355 9 1.383 1.718 1.833 1.973 2.150 2.262 2.398 2.574 2.821 3.250 10 1.372 1.700 1.812 1.948 2.120 2.228 2.359 2.527 2.764 3.169 II 1.363 1.686 1.796 1.928 2.096 2.201 2.328 2.491 2.718 3.106 12 1.356 1.674 1.782 1.912 2.076 2.179 2.303 2.461 2.681 3.055 13 1.350 1.664 1.771 1.899 2.060 2.160 2.282 2.436 2.650 3.012 14 1.345 1.656 1.761 1.887 2.046 2.145 2.264 2.415 2.624 2.977 15 1.341 1.649 1.753 1.878 2.034 2.131 2.249 2.397 2.602 2.947 16 1.337 1.642 1.746 1.869 2.024 2.120 2.235 2.382 2.583 2.921 17 1.333 1.637 1.740 1.862 2.015 2.110 2.224 2.368 2.567 2.898 18 1.330 1.632 1.734 1.855 2.007 2.101 2.214 2.356 2.552 2.878 19 1.328 1.628 .1.729 1.850 2.000 2.093 2.205 2.346 2.539 2.861 20 1.325 1.624 1.725 1.844 1.994 2.086 2.197 2.336 2.528 2.845 21 1.323 1.621 1.721 1.840 1.988 2.080 2.189 2.328 2.518 2.831 22 1.321 1.618 1.717 1.835 1.983 2.074 2.183 2.320 2.508 2.819 23 1.319 1.615 1.714 1.832 1.978 2.069 2.177 2.313 2.500 2.807 24 1.318 1.612 1.711 1.828 1.974 2.064 2.172 2.307 2.492 2.797 25 1.316 1.610 1.708 1.825 1.970 2.060 2.167 2.301 2.485 2.787 26 1.315 1.608 1.706 1.822 1.967 2.056 2.162 2.296 2.479 2.779 27 1.314 1.606 1.703 1.819 1.963 2.052 2.158 2.291 2.473 2.771 28 1.313 1.604 1.701 1.817 1.960 2.048 2.154 2.286 2.467 2.763 29 1.311 1.602 1.699 1.814 1.957 2.045 2.150 2.282 2.462 2.756 30 1.310 1.600 1.697 1.812 1.955 2.042 2.147 2.278 2.457 2.750 134 a n 0.995 0.99 0.98 0.975 0.97 0.95 0.05 0.03 0.025 0.02 0.01 0.005 1 0.00004 0.0002 0.0006 0.0009 0.0014 0.0039 3.841 4.709 5.024 5.412 6.635 7.879 2 0.010 0.020 0.040 0.051 0.061 0.103 5.991 7.013 7.378 7.824 9.210 10.597 3 0.072 0.115 0.185 0.216 0.245 0.352 7.815 8.947 9.348 9.837 11.345 12.838 4 0.207 0.297 0.429 0.484 0.535 0.711 9.488 10.712 11.143 11.668 13.277 14.860 5 0.412 0.554 0.752 0.831 0.903 1.145 11.070 12.375 12.833 13.388 15.086 16.750 6 0.676 0.872 1.134 1.237 1.330 1.635 12.592 13.968 14.449 15.033 16.812 18.548 7 0.989 1.239 1.564 1.690 1.802 2.167 14.067 15.509 16.013 16.622 18.475 20.278 8 1.344 1.646 2.032 2.180 2.310 2.733 15.507 17.010 17.535 18.168 20.090 21.955 9 1.735 2.088 2.532 2.700 2.848 3.325 16.919 18.480 19.023 19.679 21.666 23.589 10 2.156 2.558 3.059 3.247 3.412 3.940 18.307 19.922 20.483 21.161 23.209 25.188 11 2.603 3.053 3.609 3.816 3.997 4.575 19.675 21.342 21.920 22.618 24.725 26.757 12 3.074 3.571 4.178 4.404 4.601 5.226 21.026 22.742 23.337 24.054 26.217 28.300 13 3.565 4.107 4.765 5.009 5.221 5.892 22.362 24.125 24.736 25.472 27.688 29.819 14 4.075 4.660 5.368 5.629 5.856 6.571 23.685 25.493 26.119 26.873 29.141 31.319 15 4.601 5.229 5.985 6.262 6.503 7.261 24.996 26.848 27.488 28.259 30.578 32.801 16 5.142 5.812 6.614 6.908 7.163 7.962 26.296 28.191 28.845 29.633 32.000 34.267 17 5.697 6.408 7.255 7.564 7.832 8.672 27.587 29.523 30.191 30.995 33.409 35.718 18 6.265 7.015 7.906 8.231 8.512 9.390 28.869 30.845 31.526 32.346 34.805 37.156 19 6.844 7.633 8.567 8.907 9.200 10.117 30.144 32.158 32.852 33.687 36.191 38.582 20 7.434 8.260 9.237 9.591 9.897 10.851 31.410 33.462 34.170 35.020 37.566 39.997 10.283 10.601 11.591 32.671 34.759 35.479 36.343 38.932 41.401 21 8.034 8.897 9.915 22 8.643 9.542 10.600 10.982 11.313 12.338 33.924 36.049 36.781 37.659 40.289 42.796 23 9.260 10.196 11.293 11.689 12.030 13.091 35.172 37.332 38.076 38.968 41.638 44.181 24 9.886 10.856 11.992 12.401 12.754 13.848 36.415 38.609 39.364 40.270 42.980 45.559 25 10.520 11.524 12.697 13.120 13.484 14.611 37.652 39.880 40.646 41.566 44.314 46.928 26 11.160 12.198 13.409 13.844 14.219 15.379 38.885 41.146 41.923 42.856 45.642 48.290 27 11.808 12.879 14.125 14.573 14.959 16.151 40.113 42.407 43.195 44.140 46.963 49.645 28 12.461 13.565 14.847 15.308 15.704 16.928 41.337 43.662 44.461 45.419 48.278 50.993 29 13.121 14.256 15.574 16.047 16.454 17.708 42.557 44.913 45.722 46.693 49.588 52.336 30 13.787 14.953 16.306 16.791 17.208 18.493 43.773 46.160 46.979 47.962 50.892 53.672 135 ----------T-A~I ~'--'fHAM KHAo [1] Dinh Van Gling (2006). Bal tqp xac sudt va th6ng k€ - NXBGD. [2] D~g Han (2004). Xac sudt th6ng k€ - NXB Th6ng ke. [3] D~g Han (1996). Bal tqp xac sudt th6ng k€ - NXB Th6ng ke. [4] Nguyen ViiI!HQ (2009). Xac sudt th6ng k€ - NXBGD. [5] Ph(lll1Van Kieu (2005). Ly thuy€t xac sudt va thang ke toan h(JC- [6] D~g Hung Thling (1997). Mil ildu NXBGD. Iy thuy€t xac sudt va rmg dlmg - NXBGD. [7] D~g Hung Thling (2009). Th6ng k€ va rmg d!mg - NXBGD. [8] Nguy~n Cao Van, Trful Thai Ninh (2008). Glao trinh Ly thuy€t xac sudt va thang k€ toan NXB DcKinh t€ qu6c diiI!. [9] Nguy~n Cao ViiI!,Tnln Thai Ninh, Nguyen Th€ H~ (2002). Bal tqp xac sudt va th6ng k€ toan NXBGD. [10] B.V. GNEDENKO. The theory of probability - Mir Publishers Moscow (Translated from the Russian by George Yankovsky) 136