Vidy 5.4. Dieu tra nllng sũt Ilia tren dien tieh 100 ha elia gi6ng Ilia trong rnỉt vimg. Ta thu duge s6 lieu:
NlIng sũtX (Wha) 21 24 25 26 28 32 34 . Dien tieh nj (ha) 10 20 30 15 10 10 5
Gili sirX - N(a, (2) vai 0 = 3 tWhạ Hay uae lugng nllng sũt trung blnh elia gi6ng Ilia tren trong toiln vimg v6i dỉtin e(iy 95%?
Gilil:
GQi a lil nllng sũt trung blnh ella gl6ng Ilia tren trong toiln vllng. Ta co: 0= 3 Whạ n = 100.
- 1
x =-(21.10+24.20+25.30+26.15 +28.10+32.10+34.5) = 26 100
Mlit kMe: 1- a = 95% => a = 0,05 => <I>(x) = 1- a = 1- 0,05 = 0,975 => Xa= 1,96
• a 2 2
Khoilng uae lugng nllng sũt trung blnh ella gi6ng Ilia tren trong toiln vimg lil:
o 0 x-x -<a<x+x - a -In a -In 3 3 ~26-I,96 =<a<26+I,96 = ,,100 ,,100 ~ 5,412 < a < 26,588
V(iy nllng sũt trung blnh ella gi6ng Ilia tren trong toiln vimg nfun trong kholing tir 5,142 Wha den 26,588 tWhạ
Vi dy 5.5. TuAI thQ ella rnỉt 101libong dim do rnỉt xi nghiep siln xũt lil dlli lugng ng~u nhien tuan theo quy lu(it philn ph6i ehudn vai dỉleeh ehudn0= 200 gicr.
ạ ChQn ng~u nhien 400 bong dim de thir nghiern, th~y rn6i bong tuAithQtrung blnh lil 800 gicr. Hay uae lugng tuAi thQ trung blnh ella bong dim do xi nghiep tren san xũt vai dỉ tin e(iy 90%?
b. Vai dỉehinh xae lillO gicr. Hay xae djnh dỉtin e(iy ella uae lugng?
ẹ Vaidỉehinh xae lil 16 gicrvil dỉtin e(iy lil 95% thl dn thir nghĩrn bao nhieu bong? Giili:
ạ GQi álil tuAithQtrung blnh ella bOngden do xi nghiep tren siln xũt. Ta co: x = 800, 0= 200, n = 400
a 01
M~tkhae: l-a=90%=>a=O,1 => <I>(Xa)=I-"2=I--t=O,95 =>Xa= 1,65 Khoilng uae lugng tuAithQ trung blnh ella bong den do xi nghĩp tren san xũt lil:
o 0
x - xa -In < a < x + xa -In
. 200 200
~800-1,65 =<a <800+1,65 =
Vi v~y ---~~=---~7~3,_X_a4M.,~5~--- b. Ta c6: e= 10 giiỴ e=x ~<=>x = eJll = 10,J400 =1 • Jll • a 200 ~ cI>(x.) = 0,84134 ~ a = 2(l-cI>(x.» = 0,31732
V~y d{ltin c~y cuauac luqng ill: I - a = 0,68268 = 68,268 %. c. Ta c6:e=16
a 005
l-a=95%~a=0,05 ~ cI>(x.)=I--=I--'-=0,975 ~Xa= 1,96
2 2
Nen s5 b6ng cAnlAyde thfr nghĩm lil:
e=x ~ ~Jll = x.a = 1,96.200 -24 5~n",601
• vn e 16 '
V~y vai d{lchfnh xac lill6 giiYvil d{ltin c~y lil95% thi cdn thfr nghĩm 601 b6ng.
h) Truirng h(1JJd chilo biit
De tim khoanguac luqng cua a trong trucrng hgp nily ta cdn dva vilo dinh Iy sau:
Biob Iy 5.1. Giil sfr X - N(a,á) vil XỊ X2, ••• , Xnlil cac d(li luqng ngdu nhien d{lc Ĩp vil c6 cimg philn ph5i xac suAtv6i X. Khi d6 d(liluqng ngdu nhien
(X-a)Jll Tn= S'
co phan ph5i Student vai n - I b~c tv dọ Trong do: S' =.J?Z , vm S., =lt(Xi _ X)'
n i=l
Tren ccrsadinh Iy do ta tim khoang uac luqng cua a nhu sau: Xet xac suAt p(IX-al <e) = I-a
( - ) ((x-a)Jll eJllJ ((x-a)Jll J
Taco P Ix-al<e =p s' <7 =p s' <to =I-a
Trongdo t. = 7eJll .D .1 (x-a)Jll. h' h" S d 6i I b' d'
(11 uqng S' co p an p 01 tu ent v n - (lCtv ọ ((x-a)Jll J
p S' <to =2cp(t,n-I)-1=I-a
V~y cp(t,n -I) = 1- ~ vil t. co the tra abang phan ph5i Student vai n - I b~c tv do vil
(X-a)Jll
muc y nghia ạ Theo djnh If giai h(ln trung tam * co phan ph5i tĩm c~n lil phan
S
ạ N(O, 1) sao cho <I>(ta)= 1-"2'
((x-a)~ J (- s' - S']
Nhuv~y: P S' <to =p X-t.~<a<X+t.~ =1-0.
Til do ta tim duqc khoang uac lugng clla ky VQng a vm dQ tin c~y 1- ạ la:
- S' - S'
X-t.~ <a<X+t.~
- 1 n
Khi mau ngau nhien (XI, X" ... , Xn) nh~n mau CIIthe (XI, x" ... , xn) thi x = - LXi la n j=l
gia tri th\lC nghĩm clla trung binh mau X, s' ta gia tri th\lc nghĩm clla s'. Do do khoang uac IUQ11gclla ky vQng a vai dQ tin c~y 1 - ạ la:
Trong do:
• Neu n ~ 30 thi tatra (ybang phan ph3i chudn N(O, 1) sao cho <I>(ta)= 1- ~ .
• Neu n < 30 thi tra bang philn ph3i Student vm n - 1 b~c l\f do va mlrc y nghia ạ, ta dugc t =e-1
• •
Vi dV 5.6. Do du&ng kinh clla 100 tf\lC may do mQt nM may san xũt thi dugc bang s3 lĩu sau: Du&ng kinh (cm) 8,7 So tf\lc may 5 8,9 27 9 32 9,1 18 9,2 15 9,5 3 Biet du&ng kfnh clla tT\Ic may co d,mg philn ph3i chũn N(a, (J').
Hay uac lugng du&ng kinh trung blnh clla tf\lc may vai dQ tin c~y 95%? Giai:
GQi a la du&ng kinh trung binh clla tf\lc maỵ
- 1 x = 100 (8, 7.5 +8,9.27 +9.32 + 9, 1.18 + 9,2.15 +9,5.3) = 9,021 s' = 1~0 (8, 7'.5+8,9'.27+9'.32+9,1'.18+9,2'.15+9,5'.3)-(9,021)' =0,0221 " 100 , s =-.0,0221=0,0223~s ",0,15 99 Ta co: 1 - ạ = 95% ~ ạ = 0,05
Vi n = 100> 30 nen ta tra (ybang philn ph3i chũn N(O, 1) sao cho <I>(t ) = 1- ạ = 1- 0,05 =°975
• 2 2 '
Suy ra: ta= 1,96.
• • --5---5--- X - ta In < a <X+ta In <=>9,021-1,96 Õ < a < 9,021+1,96 Õ vlOO vlOO <=> 8,9916 < a < 9,0504
V~y duemg kinh trung blnh cila tl'\lc may nfun trong khoang 9,017cm d~n 9,025cm. Vi dy5.7. Mlrc hao phi nhien lĩu cho mQt dÓll vi san phfun la d!li lugng ng!u nhien x c6 d(lng philn ph6i chuAn N(a, (12). Nguai ta theo dol 25 san phfun va thu dUQ"ck~t qua sau:
Mlrc hao phi nhien lĩu 19 19,15 20 20,5
S6 san phiim 5 11 3 6
Hay uac lugng mlrc hao phi nhien lĩu trung blnh cho mQt dÓll vi san phdm vm dQ tin c~y96%?
Glai:
GQi a la mlrc hao phi nhlen IĨu trung blnh cho mQt dÓllvi san phdm.
- I X = -(19.5 + 19,15.1 I + 20.3 + 20,5.6) = 19,546 25 . s' =J...(I 9'.5 + 19,15'.11 + 20'.3 + 20,5'.6) - (19, 546)' '" 0,37 25 '*2 25 . s =-.0,37",0,39=:>s ",0,62 24 Ta c6: I - ex= 96% =:>ex= 0,04
VI n = 25 < 30 nen 10 tra a bimg Student vm n - I = 24 b~c t\l do va mlrC y nghIa ex= 0,04 ta dUQ"C: t~~ = 2,172
Khoang uac lugng clla mlrc hao phi nhien lĩu trung blnh cho mQt dÓll vi san phdm la:
• • s 5 x-t -<a<x+t - aJn aJn <=>19,546-2,172 õ < a <19,546+2,172 õ v25 v25 <=> 19,28 < a < 19,82
5.2.3. Khoang lf6'ehrQ'Dgeua phu01Ig sal tAng thi
Gla SITX la d!li lugng ngl1u nhien g6c clla t6ng th~ tuan theo quy lũt philn ph6i chudn N(a, (12) nhung tham 56 (12= D(X) chua bĩt. D~ uac lugng tham 56 nay ta chQn ra mQt m!u ng!u nhien (XI, X2, ... , Xn).
Truac h~t d~ xay d\lDg khoang uac lugng cho phuÓllg sal t6ng th~ (12ta d\la vao dinh Iy sau:
Binh Iy 5.2. Gia SITX - N(a,(1') la d!li lugng ng!u nhlen g6c clla t6ng th~ va (X" X2, ... , Xn) la mQt ml1u ng!u nhien clla X. Khi d6:
I " ,
-, ~)Xi-a) - x'(n)
, n 1S'2 2( 1) va -- -X n-
C;2
D\ra vao dinh Iy tren ta xay d\ffig khoanguae luqng eua if.
aJ Tntcmg h(TJJE(X) =a iJd bitt
Xet th6ng ke: X2 =J, ~:<X, _a)2
0' j",l
Khi d6 X2 - x2(n) nen tra bang phan ph6i khi binh phuemg ta tim duge hai s6 t} va h sao eho:
hay
( Í 2)
P t2 < C;2~(X, -a) <t, =I-a,
[ ,L:(X, -a)2 L:(X,' -a)2]
P ,"I <C;2 < ,"I =I-a,
t2 t,
" 2 • 2
Val t, =X a va t2 =X a
n;I-"2 n;"2
Tild6 suy ra kholmguae luqng ella c;2vai dQtin ẽy 1 - a, la:
, 2 L:(x,-a) j=l , 2 L:(X, -a) <0'2 <_1"'_' _ t, t,
Khi mfru ngfru nhien (XI, X2, .,,' X,) nh~n mfru e\l th~ (x}, X2, ... , xn) thl khoang uae
luqng eua phuemg sal C;2vai dQtin ẽy 1 - a, la:
, , L:(x, -a) j=l , 2 L:(x, -a) <02 <_1=_' _ t2 t,
Vi dy 5.8. Do ehĩu dal eua 10 chi tillt may (dem vi: m) ta thu duge ket qua sau: 0,55 0,56 0,59 0,59 0,60 0,61 0,63 0,56 0,59 0,60
Gia Slrehi€u dIli eua cae chi tiet may e6 d\lng phan ph6i ehudn N(a,C;2)vm a=0,56 m. Tim khoang uae luqng C;2vai dQtin ẽy 95%?
Giai: Tae6: t, =X2 a =xió0975=3,247 n;I-"2 " va t2 = X2a = xiọo025= 20,483 n"- ' , '2 10 L:(x, _a)2 =(0,55-0,56)2 +(0,56-0,56)2 + ... +(0,60-0,56)2 =0,0134 ,=)
---~.:tlxi -a)->--L~"'(~X~i-~ã)'---i=l <0'2 <_i=_I _ i=l <0'2 <_i=_I _ t, tl 0,0134 , 0,0134 <::>---< a <--- 20,483 3,247 <::> 0,00065 <á <0,00413
b) Tnrimg h(TJJE(X) =a chua bilt
Xet th6ng ke: X' = n ~ 1 S., . V6'i S'2 Iiiphuang sai mdu hĩu chinh.
a
V6'i dQ tin c~y 1 - a cho tru6'c, ta co thB tra bang phan phBi khi binh phuang vii tim
duqc hai s6 tlot2 sao cho:
.. ,VÓl tl =X " VÓl tl =X " n-l;l-z ( n-l., ) P tl <7S <t, =I-a vii t, =X' " n-I;"2 Khi do: p((n -1)S" , (n -1)S") 1 ---<a <--- = -u t, tl
Khoiing u6'c luqng cua phuang sai0'2trong mdu tir phan phBi chudn N(a, 0'2) v6'i dQ tin c~y 1- a Iii:
(n-1)S" ,(n-I)S"
---<a <---
t, tl
Khi mdu ngdu nhien (Xl, X2, ... , Xn) nh~n mdu C\l thB (Xl, X2,... , Xn)thi S'2 Iii gia tri th\fc nghĩm cua S'2.
Khoang u6'c luqng cua phuang sai0'2 Iii:
(n-l)s" , (n-l)s"
---<a <---
t, tl
Vidy 5.9. Tr9ng luqng cua mQt IO!lisan phdm Iii d!li luqng ngdu nhien co philn phBi chudn N(a, 0'2).Can 28 siin phdm ta co ket qua:
Tr9nghiqng(kg) 0,9 0,92 I 1,1 1,3
Sosiinpham 4 5 10 6 3
V6'i dQtin c~y 0,95 hay u6'c luqng phuang sai (}'2cua tr9ng luqng san phdm. Giiii: Taco: - I x= 28 (0,9.4+0.92.5 + 1.10+ 1,1.6+ 1,3.3)=1,025 , I (0 9' 0 " , 6 ' s =28 ' .4+ ,92.5+1.10+1,1. +1,3.3",0,014
s" = 28 ,0,014,., 0,015
27 .
Vm dQ tin c~y I - ex = 0,95, tra bang khi binh phuong X' ta dugc: t, =X;7;O,97S=14,573 va t, =X;7;O,02S=43,195
Khoang uac lugng clla phuong sai 02Clla trQng lugng san phfun la:
(n-l)S" ,(n -l)S" ---<(J <--- I, II (28-1)0,015 , (28-1).0,015 <::>---< (J <--- 43,195 14,573 <::> 0,0094 <(J' <0,0278 5.2.4. Khoiing Ú6'chrQ11geva Ii Ĩ tAng the
Gia sir ta co mQt tAng th~ bao g6m N phfuJ tir trong do co M phfuJ tic mang Iinh ehdt A
nao dọ GQi p= ~ la ti Ĩ cae phfuJ ttl co tlnh chdl A lrong tAng th~. Nhung do khong dĩu tra loan bQ nen p chua xae dinh duge, ta se uae lugng p vm dQ tin ẽy 1- ex eho wac.
Ldy mQt mdu ngdu nhien e6 kleh Ihuae n lil lAng th~ trong do co k phfuJ tic e6 tlnh chdt
A•G .,QI P= -k Í . ('a11 l!cue P an tu mang tl< h" 'nh h<e atA trong maụ•
n
Khi n kha 16'nIhi (p - p) -.In ~ N(O, I) . Do do la co: ~p(l-p)
p[ (p-p)-.In < x ] = I-a ~p(l-p) "
hay p[p_x"~p(l:P) <p<p+x"~P(I:P) J=I-a Vai klch Ihuae mdu rilt 16'nIhi P "" p .
Vi v~y: p[p-xul(l:p) <p<p+x"~p(l:P) J=I-a
Tildo ta co khoang uae lugng ella Ii Ĩ p vai dQ lin ẽy 1- ex la: p-xũp(l:P) <P<P+Xũp(l:P)
Trong doXa tra abang philn phAi ehudn t~e N(O, I) sao eho <t>(Xa) = 1- a . 2
Vi dl.l 5.1 Ọ Kĩm tra ngdu nhien 900 san phdm do rnQI eong ty san sudl ra Ihdy co 810 san phdm tAt. Hay uae lugng ti l~ san phdm tAt vai dQ tin ẽy 95%.
Giai:
Ta co: 1- a = 95% =:>a = 0,05 =:> <t>(Xa)= 1- ex = 0,975 =:> Xu = 1,96 2
la ti Ĩ s6 ca duQ'cdanh ÃW=09
P 900 '
KhOlinguac lugng ti Ie san phfun t5t do cong ty san xudt ra Ia:
p-x ~p(1-P) <p<p+x l(l-p)
0. n 0: n
09-196 0,9(1-0,9) < <09+196 0,9(1-0,9)
" 900 p" 900
hay 0,8804 <p<0,9196
Nhu v~y: Ti Ĩ san phdm t5t do cong ty nay san xudt niim trong khoang tic88,04% den 91,96%.
Vi dy 5.11. Khao sat nang sudt lila (tdnlha) cua 100ha cua vimgA, ta co bang s5 Iĩu sau:
Nang sudt X 3 3, I 3,3 3,5 4 4,5
Dien tich (ha) 8 22 31 18 12 9
Nhiing !hira co nang sudt tr€n 3,5 tdnlha duQ'cgQi la nhiing !hira co nang sudt caọ Vai miu khao sat {ytr€n, de uac lugng ti Ie dien tfch lila co nang sudt cao (y vimg A vm dQ chfnh xac E= 8,5% thi darn bao dQtin c~y biing bao nhi€ủ
Giaf: Ta co: p =21-= 0,21
100
Mat khlic: E= x ~ p(l- p) <::>x = ẸJn - 0,085JIOO '" 2,09
• a n a ~p(l-p) ~0,21(l-0,21)
Tra bang philn ph5i chudn N(O, I) suy ra: <1>(xa) = 1- ạ= 0, 98169 ~ ạ= 0, 03662 2
V~y dQtin c~y cdn tim la I - ạ= 0,96338 = 96,338 %
Vi dy 5.12. De uac lugng s6 ca co trong mQt h6 nuoi cạ NguiYita tien hanh b~t 500 con cli, danh đu cho chUng, r6i tM l(ii vao h6. Sau do b~t 500 con ca thdy co 50 con duQ'cdanh đụ Hay uac lugng s6 ca co trong h6 vm dQtin c~y 95%?
Giai: GQiN la s6 ell co trong h6.
Kh' d'lOtI . IAf;SOC< ad uqc da hn d<au a: P=Nr 500. va "'=500=~ 50 0 I, đu(yIdn b~t !hll hal.
Ta co: I-ạ = 95% ~ ạ= 0,05 ~ <1>(Xa) = 1- ạ = 0,975 ~ Xa = 1,96 2
A ~fi(l-pJ 500 A + ~Ptl-P)p-x ();~--<-<Pn N x0. --- n p-x ();~--<-<Pn N x0. --- n O I 196 0,1(1-0,1) < 500 < 01+196 <=> , - , 500 N" 0,074 < 500 < 0,126 N <=> 3968< N < 6757
V~y s6 ell.e6 trong h6 trong kholing tir 3968dSn 6757con.
Bili ~pchÚ01lgV
0,1(1-0,1) 500
5.1. KiSm tra 50 sinh vien bAng mQt bai kĩm tra mon Toan thi thu duqe kSt qua sau:
Dĩm I 5 6 7 8 9 10
s6 sinh vien 8 12 17 6 5 2
Gia sir dĩm mon Toan eila cae sinh vien e6 d~g philn ph6i ehuftn N(a, (}"2). Tim uoe luqng dĩm ky v(.mg a va phucrng sai (}"2.
5.2. Do dQ ehiu I\le X (kg/em2) eila 25 mau betong ta thu duqe kSt qua sau:
X 180 -190 190 - 200 200 - 210 210 - 220
So mau betong 6 6 8 5
Gia sir dQ ehiu l\le eila betong la d\li luqng ngau nhien tuan theo quy lũt phan ph6i euftn N(a, (}"2). Tim uoe luqng dĩm eila a va (}"2.
5.3. Can thir trQng luqng 15 con lqn (tinh b~ng kg) amQt tr\li ehlln nuoi khi xullt ehu6ng, ta duqe cae kSt qua sau:
55 55, I 55,4 60 55 60,2 51, I 65 65 70 60,2 70 70 65 75Gia sir trQng Iuqng cae con gia sue tuan theo lũt phan ph6i ehuan voi phucrng sai 0,01. Gia sir trQng Iuqng cae con gia sue tuan theo lũt phan ph6i ehuan voi phucrng sai 0,01. Hay uoe IuqngtrQng luqng trung binh eila mQt con lqn voi dQ tin ẽy 99%.
5.4. ChQn ngdu nhien 25 lOp eila cae tfuemg trung hQeamQt thanh ph6 ta tinh duqe s6 hQe sinh trung binh trong mQt lOp la 32hQe sinh voi dQ l~eh ehuan la3.Tim khoang uoe luqng s6 hQe sinh trung binh trong mQt lOp eila thlinh ph6 d6 voi dQ tin ẽy 99%?
5.5. MQt eong ty IOn mu6n uoe luqng trung binh mQt ngay mQt thu ki dlinh may bao nhieu trang gilly, nguai ta ehQn ngdu nhien 50 thu ki va tinh duqe s6 trang gilly trung binh rna hQ danh duqe la 32 vo; dQ Ĩeh ehuan la 6. Hay uOc luqng s6 trang giay trung binh rna mQt thu ki eila eong ty danh may trong mQt ngay voi dQ tin ẽy 99%?
5.6. TrQng luqng X eila cae g6i duang la d<liluqng ngdu nhien c6 d<lOgphiln ph6i ehuan. Can thir 20 g6i duemg eila mQt sieu thi thu duqe kSt qua sau:
X (kg) I 0,9 S6 g6i I 2 0,95 5 1,0 7 1,1 3 1,2 3
---,~Ị6i_d(i-tin4y-94%-hiiy-\le-G_lIrqng_phoong_saĩ-. ---
5.7. Nling sudt d~u wong (don vi: ~a) CUllm(it vimg hi d(li IUQ1lgng~u nhien c6 d(lng phlin ph6i chudn N(a, (2). Dĩu tra nling sudt clla 140 thfra clia m(it vimg ta thu duQ'c k~t qua sau:
Nlingsudt 13 14 15 16 16,5 17
Sothira 15 25 45 37 10 8
Hiiy u6'c IUQ1lgnling suM trung binh clia d~u Wong 6' vllng tren v6i d(i tin c~y 90%. 5.8. Quan sat nling sudt clia 400 cong nhlin trong mQt xi nghĩp nguai ta tinh duQ'c nling