2.4.2.5. 2.5. I I c) P(A)=-, P(B)=- 2 10 I 3 c) - 8 7! 2.7. a --) C~a C:oo 2.8. -31 66 2.9. 0,875 2.10. a) 45 112 b) ciạcia C:oo b) 23 112 C' c) I-~ C:oo d)~ 56
2.12. ---~2~5J---~---.--- 2.11. 7! 3!C~C~C~ "" 0,32 C~C~C~ 1t b) 0,15 5 5 10 b) C15.O,002 .0,998 2.13. 2.14. 2.15. 2.16. 2.17. 2.18. 2.19. 2.20. 2.21. 2.22. 16 1 1 a) - b)- 21t 16
Sir dVng dinh nghia xac sullt hinh hQc p '" 0,206 a) 0,009 a) 0,97 0,5 0,4 10 9 8 3 -.-.-=- 40 39 38 247 9 8 7 1 P=-'_'-.-=O 1 10 9 8 7 ' c) 0,03 2.23 .. -1 3 2.24. 0,576 2.25. a) 0,38 b) 0,06 c) 0,94 2.26. 0,00567 2.27. a) ~ b) 43 c) 45 88 88 88 2.28. a) 0,38 b) 0,12 c) 0,88 d) 0,38 2.29. 0,965 2.30. -19 70 2.31. a) 0,825 b) ~ 11
2.32. Sir dVng cong thirc xac sullttolm phdn. 2.33. -8
17 2.34. 0,6
1': ::l' Ạ. A Á ..•
---~---tC'-"h ••.•Ú-O-'Dg ill. B.;.ILU QNGNGAUNIHEN VA PBAN PHul XAC-stJAT---~
3.1. B,i hrqng ngAn nhih
3.1.1. KhAi nĩm (ltd hrQ'Dg ngAn nhĩn
MQt trong nhitng kMi nĩ quan tr(;mg cua Iy thuyet xac suAt IA kbai nĩri1 d(li IUQ'Ilg ngAu nhien hay bien ngAu nhien. Truoc khi di den khai nĩ d(li IUQ'IlgngAu nhien ta hay xet cae vi d\l sau:
Vi dV3.1. Gieo mQt d6ng xu can d6i vA d6ng chAt hai IAn lien tiep.
Khong gian mAu Clia phep tht'r tren IA!l =ISS, SN, NS, NN} .GQiX IA s6 IAn xuAt hĩn m\it sAp khi th1,fchĩn phep tht'r tren.
Ta thAyxc6 the nh~n cac gia trj IA0, I, ho\ic 2.
X = 0 neu trong 2 IAn gieo d6ng xu xuAt hĩn m\it NN. Dĩu nAy c6 nghia IAt'rng v6i bien c6 A = {NN} cho s6 0 E IR.
X = I neu trong 2 ldn gieo d6ng xu xuAt hĩn m(lt SN ho(lcNS. Dĩu nAy c6 nghia IAt'rng v6i bien cf>B = {SN} ho\ic bien cf>C = {NS} cho sf> 1 E IR.
X = 2 neu trong 2 IAn gieo d6ng xu xuA! hĩn m\it NN. Dĩu nAy c6 nghia IAt'rng voi bien cf>D= ISS} chosf>2EIR.
Qua vi d\l tren ta thAy r~g d(li IUQ'IlgX lien quan den phep tht'r rnA t'rng v6i m6i bien cf> sa cAp cua phep tht'r cho mQt gia trj nAo d6 thuQc t~p sf>th1,fCIR. D(li IUQ'Ilgnhu v~y dUQ"c gQi IAd(li lUQ'IlgngAu nhien (hay bien ngAu nhien).
Tild6 ta c6 khai nĩm d(li lUQ'IlgngAu nhien nhu sau: Binh nghia 3.1. cr - d(li sf>
Cho t~p n~0 .LOp IF cac t~p con cua nduQ"CgQi IAmQt cr - d(li sf>neu: -nElF
- A E IF thi ACE IF
- {An} ElF, n Erf thi UAn ElF
n=1
Tren IR, cr - d(li sf>nh6 nhAt cht'ra lOp cac t~p c6 d(lng [a;b) dUQ"cgQi IA cr - d(li sf>Borel cua IR vAky hĩu 9l(IR).
Binb nghia 3.2. MQt anh X(lXtil khong gian mAu !l vAo t~p sf>th1,fc IR:
x: n~IR
(ÕX«(O)
duqc gQi IA d(li IUQ'IlgngAu nhien (hay bien ngAu nhien) neu voi mQi A E 9l(1R) thi
X-I(A) ElF. Trong d6 IF IA cr- d(li sf>cac t~p con cua n.
Hay n6i cach khac: D(li IUQ'IlgngAu nhien IA mQt quy tAc cho luang t'rng m6i phdn til
trong khong gian mAu voi duy nhA! mQt sf>th\lc.
D(li IUQ'IlgngAu nhien thuOng dUQ"cky hĩu IA X, Y, X, ... ; XI, X2, ... , Xn; VI, Y2, ... ,
Yn; ,;, TJ, ••• con gia trj cua chUng thi dUQ"cky hĩu IAx" X2, ... , xn; y" Y2, ... , Yn; ... T~p tAt ca cac gia trj rna d(li lUQ'IlgngAu nhien c6 the nh~n dUQ"CgQi la t~p gia trj cua d(li IUQ'Ilg ngAu nhien.
GQi-X1asa-)j\lCgi6ng nay mam KIllgleo 3 h\ll g16ng.lG11db X la mQrd(ll hIQ11gng!u nhien va X co ~p giatrj la {0,1,.2,3}.
- GQi Y la s6 be trai dugc sinh ra trong 50 be s&pdugc chao dm crmQt ~nh vĩn. Y ciing la mQt d\li IUQ11gngdu nhien, ~p gia trj CllaY la {O, 1,2, ... , 50}.
- MQt binh chUa 5 qua Mng do va 3 qua Mng xanh. Lay lfulluQ'! khang hOM I\li 2 qua bong til binh. N~u gQi Z la s6 bong do lay dugc thi Z la mQt d\li IUQ11gngdu nhien vm t~p gia trj la {O, 1, 2}.
• GQi Xl la "sai s6 khi do luang mQtdIIi lUQ11gv~yIy" thi XI la mQtd\li IUQ11gng!u nhien.
- GQi X2 la tu6i thQcua mQtthĩt bi dang hO\ltdQngthi X2 la mQtdIIi IUQ11gngdu nhien. Tir tfnh chat cua t~p gia tri cua d\li IUQ11gng~u nhien ngm'yita chia d\li IUQ11gngdu nhien thanh hai 10\li:B\li IUQ11gngdu nhien rm fIICva d\li lUQ11gngdu nhien lien t\lC.
Be xac dinh mQtd\li IUQ11gng~u nhien Wac h~t ta cful xac djnh t~p gia trj cua nọ Song tren th\l"Ct~ dieu d6 la chua du, vi c6 nhUng d\li IUQ11gngdu nhien khac nhau rat nhieu nhung t~p gia tri cua no I\li gi6ng nhaụ Vi v~y dieu quan trQng la ta cful phfli xac dinh dugc xac suat de dIIi IUQ11gngdu nhien d6 nh~ cac gia trj trong t~p gia tri Clla no la bao nhieụ Cach rna ta bieu dĩn m6i lien h~ giua cac gia trj trong ~p gia trj cua d\li IUQ11gngdu nhien va cac xac suat Wong iing vm cac gia trj do dugc gQi la quy lu,t phlln ph6i xac suit cua d,i hrQ1lgngAu nbien.
Nguai ta thuang dUng ba pbuong phap derna til quy lũt phan ph6i xac suat cua mQt dIIi IUQ11gngll.unhien la: Bang phan ph6i xac suat, ham m~t dQxac suat va ham phan ph6i xac suat. Ta se IAnluQ'!tim hieu cac phuong phap dọ
3.1.2.Ham pblln pb6i xac suit
a) Khtii nĩm ham phon ph6i xae sudt
Ham phan ph6i xac suat dugc ap d\lng cho cft hai 10\lidIIi IUQ11gngll.unhien rm r\lCva d\li IUQ11gngdu nhien lien tl,lc.Cho X 1ftd\li lUQ11gngdu nhien bat IcY va xE IR. Xet bien c6 " d\li lUQ11gngdu nhien X nh~n gia tri nho hon x",IcYhĩu 1ft(X<x).R5 rang khi x thay d6i thi (X <x) ding thay d6i, cho nen P(X <x) cling thay d6i theọ Nhu v~y P(X <x) la mQt ham s6 cua x.
Dinb ngbia 3.3. Hftm phan ph6i xac suat (hay ham phan ph6i) cua d\li lUQ11gngll.unhien X,
IcYhĩu 1ftF(x) vft dugc xac dinh nhu sau:
F(x) = P(X <x); x E JR
b) Tinh eMt ella ham phOnph6i
(i) 0 :::::F(x) :::::1
(ii) Hftm phan ph6i F(x) 1fthftm don dĩu tang va lien tl,lcben trAl,nghia la: N~u XI< X2thi F(xt}:::::F(X2)
(iii) N~u a<b thi P(a<X<b) = F(b) - F(a) (iv) lim F(x) = 0 lim F(x) = 1
(v) N~u f(x) lien t\lCt\li x E JR thi F.(x) = f(x).
(vi) N~u ham phan ph6i cua X lien tl,lc!\IiXo thi P(X =Xo) =Ọ Do do P(a ~ X ~b)=P(a ~X <b) =P(a <X~ b) =P(a< X <b)
Chu"gminh:
x.Ax
f f(u)du
lim P(x < X < X+ I1x) _ lim x = f(x)
dx-+O L\x dx--+O L\x
---~(.11)--1;7\l{ITXy€~XT<-1{'
Xem nhu bien c5 x < X2 duqc phiin tich thanh ding cua hai bien c5 xung khl1c (X < Xl)
va (XI :<;X<X)tac6:
P(X < X,) = p[(X <x,)u(x,:<; X < x,)]= P(X < x,)+P(x,:<; X < X,) Suy ra: F(x,) = F(x,) + P(x, :<;X < x,);::: F(x,)
(iii) Tbay b vao X2,a vao X, trong chUng minh tinh chAt (ii) ta c6: F(b) = F(a)+ P(a :<;X < b)
Til d6: P(a:<; X < b) = F(b) - F(a)
(iv) Ta c6: lim F(x) = F( -00) = P(X < -00) = P(0) =0 X->~
va lim F(x) =F(+oo) = P(X < +00) = P(Q) = 1x~_
(v) F'(x) = lim F(x + I1x) - F(x)
~-+O Ax
(theo djnh Iygia trj trung binh) (vi) Neu ~t a = X va b = X + I1x ta c6:
P(x:<; X < X+ I1x) = F(x +!1x) - F(x) LAy giai h(III hai ve khi I1x ~ 0
lim P(x:<; X < X+!1x) = lim F(x +!1x) - F(x)
~-+O ~-+~
Vi X la d(li luqng ngdu nhien lien tllc, do d6 !(Ii diSm X ham phan ph5i ding lien !\lc. Vi v~y lim F(x + I1x) = F(x)
Ax~_
Til d6: P(X = x) = F(x)- F(x) =0
3.1.3. D(li hlQ11g nglu nbien roo r(lc va bang pban pb5i xac suAt
a) Khtii nĩm Q(li lUfJ7lgngdu nhien ríti r(lC
Dinb ngbia 3.4.
n
Hilm dan gian la ham c6 d(lng: f(x) =La,XA, (x), n< 00
j:=l
{I nEu XEA
trongd6 X (x)= . ' .
A, OnEuxl"A,
Truang hqp n= +00 ta gQi ham f la ham roo r(lc. Dinb ngbia 3.5.
MQt d(li luqng ngdu nhien duqc gQi Iii d(li luqng ngdu nhien riri r(lC neu ham phan ph5i xac suAt cua n6 la ham dan gianhay roo f(lC.
Vi dy3.2.
- S5 chAm xuAt hĩn tren m(it con xuc sl1ckhi tung mQt con XltCsl1ccan d5i va d6ng chAt. - S5 tai n(ln giao thong xily ra trong mQt ngay amQt vimg.
- S5 sinh vien vl1ng hQc trong mQt bubi hQc.
- S5 vien d(ln trung bia khi mQt nguiri bl1n lien !\lc vilo mQt tAm bia cho den khi trung bia thi dirng.
laeac dlli1u\Yllg ng~onIrieJrym'-r-\lC-.---'---'--- ..---
b) Bang phiin pMi xacsudt
Gia su X la dlli IUQ1lgng~u nhien rm flICnh~ cac gia trj XI, X2, X3, .•• XnVOOcac xac sudt tu<Yl1gling la PI, P2, ... , Pn' Khi d6 bang phan ph6i xlic sudt cua dlli IUQ1lgng~u nhien rai rliC X c6 c!lIng: ~ XI I X2 I W I Xn Pl PI P2 ~ pn n trong d6: 0 ~ Pi ~ I (i =I,n) va IPi = I i=1
Bang phan ph6i xac sudt chi ap d\lng cho dlli IUQ1lgng~u nhien rai rllc.
Vi dy 3.3. Gieo mQt Idn con xuc sAc can d6i va d6ng chAt. GQi X la ~i IUQ1lgng~u nhien chi s6 chdm xudt hĩn 6 mlit tren con xuc sll.c. L~p bang phan ph6i xac sudt clla X.
Gilii:
Ta thdy X la dlli IUQ1lgng~u nhien rm flICc6 ~p gia trj cua la {I, 2, 3, 4, 5, 6}. Do con
. . . . I
xuc sac can doi va dong chat nen P(X =1) = P(X = 2) = ... = P(X = 6) = -. Do d6 bang 6
phan ph6i xac sudt cua X la:
:1; I: 1;1:1:1:
Vi dy 3.4. HQp c6 8 bi trong d6 c6 5 bi Wng va 3 bi d6. Lily ng~u nhien mQt luc 2 bi ill hQp. GQi X la s6 bi trll.ng lily dUQ"c.L~p bimg phan ph6i xac suM clla X. .
Gilii:
X la dlli IUQ1lgng~u nhien rai rliC c6 t~p gia trj {O, I, 2}.
C' 3 Ta c6: P(X = 0)= _3 =- C'8 28 P(X= 1)= C:C: =~ C'8 28 P(X =2) = C; =!Q. =2. C; 28 14 Bang phan ph6i xac suilt clla X:
: I ~ I ~~ IĨ
Vi dy 3.5. MQt nguai chai tro an tien biing cach tung d6ng thm hai d6ng xu can d6i va d6ng chilt. N~u ca hai d6ng xu deu xudt hĩn m(it ngua thi nguai d6 dUQ"cI 0$, n~u ca hai d6ng xu deu xuilt hĩn m(it silp thi nguai d6 milt 5$ va hai d6ng xu xuilt hĩn mQt ngua mQt silp thi nguai d6 milt 2$. GQi X la s6 tien nguai d6 nMn dUQ"csau mQt van chaị L~p biIng phan ph6i xac suilt clla X.
-~-- ---X-la-d\li-Iuqng-ngAu-Ahien-r0'i-r\le-c1l~p-giHr1-{-~,-~,w}-tooIĨ~ffi-~-ngum---- d6 mat 2$, mat 5$ va duqc 10$.
Tac6: P(x=-5)=i; P(X=-2)=~; P(X=IO)=i
m"gpMn~';:rr I r I :
3.1.4. Blli hrqng ngliu nbien lien tyc va bam mtt dQ xac suit
a) Khtii niijm agi lU(T11gngJu nhien lien tllC
Binb ngbia 3.6.
MQt d\li luqng ngdu nhien .; duqc gQi la d\li luqng ngdu nhien lien 1\Jcnl!u tAn tIIi ham
x
f(x) ~ 0,'\Ix sao cho philn ph3i xac suit cua .; c6 d<lng:F,(x) = f f(t)dt
Vi dy 3.6.
- Nhĩt dQkh6ng khiam~i thOi dii!m nao d6. - TrQng hrqng cua dira tre sasinh.
- ThOi gian s3ng cua mQt IO<licay trAng.
- Khoang thai gian giita hai ca cap ciruamQt b~nh vĩn. la nhihJg vi d\l v~ d<liluqng ngdu nhien lien 1\Jc.
b)Ham mt;it ăj xac sudt
D3i vai d<liluqng ngdu nhien lien 1\Jcta kh6ng thi! bii!u di€n quy lũt philn ph3i xac suat cua n6 duai d<lngbang phiin ph3i xac suat vi t~p gia trj cua n6 kh6ng thi! vil!t duai d<lng Iĩt ke rna la mQtkhoang (d6ng hayrna)tren tf\lc s3 th\lC 1R. Do d6 d3i vai d<liluqng ngAu nhien lien t\lc ta quan tam too xac suat di! d<li luqng ngdu nhien nh~n gia trj trong mQt khoang han la nh~n gia trj xac djnh.
Di! trinh bay quy lũt phan ph3i xac suat cua d<liluqng ngdu nhien lien 1\Jcnguai ta thuirng dung khai nĩm ham m~t dQxac suk
Binb ngbia 3.7. Ham f(t) duqc gQi la ham m~t dQxac suat cua d<liluqng ngdu nhien .; . Ham m~t dQxac suat c6 cac Hnh chat:
ịf(x) ~0,'\Ix ...• iị f f(x)dx =1 -~ b iiị p( a ~.; <b) = ff(x)dx Q iv. F~(x) =f(x), '\Ix
vii mgt hinh hpc, Hnh chat tren c6 thi! minh hQa nhu sau: Xac suAt cua d<liluqng ngdu nhien lien Wc X nh~n gia trj trong khoang (a, b) b&ngdĩn Hch cua hinh giai h<IDbai tf\lC hoanh Ox, duirng cong qx) va cac duirng thdng x = a va x = b. Nhu v~y ham m~t dQ cua d\li luqng ngdu nhien lien Wc X thi! hĩn xac suAt mirc dQ t~p trung xac suit tren khoang cho truac.
---y y o x=a x.=b x Hinh 3.1.Dbthj hiim m~t dQf(x) Vi d\l3.7. Xac djnh a d~ ham 10 v6i x ~ 0 f(x) = axo4 v6i 0 < x ~ 1 v6i x> 1
Iii ham m~t dQcua d(li luqng ngllu nhien lien t\Ic X. P ( -I < X < ~ ) . Giili:
...,
Tren khollDg(0, I) co ax' 2 0 suy ra a 20 vii ff(x)dx = 1
+a:> 0 1 +aJ I I Sl Taco: 1= ff(x)dx= ff(x)dx+ ff(x)dx+ ff(x)dx= ff(x)dx= fax' = ax -~ -Ó;l --a:> 0 I 0 0 505 I 1 1 ( I) 0 ., ., 5x' ., 5 P -I<X<- = ff(x)dx+ff(x)dx=afx'dx=- =- 2 -I 0 0 6 0 384
Vi d\l 3.8. Cho X Iiid(li luqng ngllu nhien lien t\ICco hiim m~t dQ:
10 néu x~o
f(x) = oax(X- 2) néu 0 < x ~ 1 néu x> 1 Xac dinh ạ
_____________ +o:l __ ~_~__ _ _ ff(x)dx = I o 1 +«> <::) ff(x)dx +ff(X)dx + ff(x)dx = I ~ 0 I 1 <::) 0+ff(x)dx +0 = I o 1 <::) fax(x-2)=1 o <::) ă~3 -x'J: =I <::) a=-%
Vi dy3.9. Cho X hi d(li lugng ngdu nhien lien tl,lcco ham philn ph6i:
o vm x::;2
I
vm 2<x::;3
vm x >3 a) Tim ham m~t dQf(x). Tfnh P(I < X < %).
b) Thl!Chĩn phep 5 IAnphep thir dQc Ĩp. Tfnh xac sudt de trong 5 phep thir dQc Ĩp do co 2 liin xay ra bi€n c6 (..!-<X <2.).
2 3 Giai: 0 v6i x::;2 a) Ta co: [(x) = F'(x) = 2x vm 2<x::;3 5 0 vm x>3 555 5 2 "2 "22x x2"2 9 P(1<X<-)= ff(x)dx+ ff(x)dx= f-dx=- =- 2 1 2 2 5 5 2 20 777 I 7 2 , , 2x x21' 13
Khi do: peA) = P(- <X< -) = ff(x)dx +ff(x)dx = f-dx = - =-
2 3! 2 2 5 5 2 45
2
V~y xae ;udt de trong 5 phep thir de}cĨp bien cflA=-~~ x<f) xay ra dUng 2 ldn ill P (2)=c'(Q)' (1-Q)' ,,0 422
S S 45 45 '
Vi dy 3.10. Cho x la dili hrgng ngdu nhien c6 ham phan phfli