vai xi!O(0; 1) Giili: - II 5 I(X' 5X2JI 13 E(X) = f xf(x)dx =- fX(x2 +-)dx =- -+- = ~ 20 3 2 4 6 0 24
b) Tinh eMt cua kY v(Jng
(i) E(C) = C (C Iii h~g s6)
Th~t v~Y:Co th~ coi h6ng s6 C Iii blBn ngdu nhlen rbi rilc chi nh~n gia trj Iii C vai xac sudt wong (mg Iii Ị Do do E(C) = ỊC = C.
(ii) E(kX) = kE(X) (k Iii h6ng s6) Th~tv~y:
+ NBu X Iii dill lugng ngdu nhien rai rilCval P[X = Xi]= Pi(i = 1,n). D\lt Y = kX. Khl do:
pry = kX] = Pi, (I = I,n) " "
V~yE(Y)= LPi(kx,)=k~>iXi =kE(X)
i::l j",l
+NBu X Iii dill lugng ngdu nhien lien t\lCco ham m!it de)f(x). D\lt Y = kX.
- -
E(Y) = E(kX) = fkf(x)dx = k f f(x)dx = kE(X) (iii) E(X + Y ) = E(X) + E(Y)
Th~t v~y: Glil su clic dili lugng ngdu nhien X vii Y Iii cac dili lugng ngdu nhien rbi rilc co bang phan ph61 xac sudt sau:
.. '1
...
xn
Pn
Khi do ta co bang phan ph61 xac suM cua X + Y Iii:
X I XI + YI 1 X2+ Y2 1 1 Xn+ Yn
P PII PI2 Pnrn
Ta ky hl~u pij Iii xac sudt d~ t6ng X + Y nh!in gla tri Iii Xi+ Yj
-~---~---n-m--- ---
E(X + Y)=LL(x,+y)p'j
j=l j=l
m
Ta chUng minh LPi;= P,
pi
Bĩn cd X = Xisl!xAyra khi tdng X + Y nh~n gia trj Xi+ YI hõ Xi+ Y2 ..• hoiic Xi+ Ym. Do do theo cong thirc cQng xac sudt ta co:
P(X = xJ =P[(X+Y)=(x, +y,)J+ ...+P[(X+Y)=(xi + Ym)]
m
Hay Pi = Pi!+Pi2 + ...+Pim= LPij = P,
j=1
n
TU01lgl\lta chUng minh LP'j = qj
j=}
n m
Do v~y: E(X + Y) = Lx,P, + Ly,qj = E(X) + E(Y)
i=1 j",l
Bay gia ta chUng minh tinh chdt nay cho truUng hgp X va Y la d\li Im;mgng&unhien lien !lIc co ham m~t d(l IAnlugtla f(x) va f(y).
Taco:
...,...,
E(X + Y) = J J(x + y)f(x, y)dxdy
+to +00 +co +00
= J Jxf(x, y)dxdy + J Jyf(x, y)dxdy
..., ...,
= Jxf(x)dx+ Jyf(y)dy =E(X)+E(Y)
n n
M(5t cach tJng quat taco: E(LXi)=LE(Xi)
i=! i=!
Trucrc khi pMt bĩu tinh chdt tĩp theo cua ky vQng ta tim hi€u khai nĩm hai d\li lugng ng&unhien dQc Ĩp.
Hai d\li lugng ng&unhien gQi la dQc Ĩp v6i nhau n~u quy lũt philn phdi xac sudt cua d\li lugng ng&unhien nay khong ph\! thuQc vao t~p gia trj cua d\li lugng ng&unhien kia va nguqc I\lLTil do cac d\li lugng ng&unhien gQi la d(lc Ĩp l&nnhau n~u quy lũt philn phdi xac sudt cua mQttbhgp d\li lugng ng&unhien khong ph\! thuQc vao t~p gia tri cua cae d\li lugng ng&unhien con I\lL
(iv) N~u X, Y d(lc l~p thi E(X.Y)=E(X).E(Y)
---mm-Sall:--- ---.--~---
Y y, ~ h X x, ~ ~
ql ~ ~ P PI ~ ~
Khi d6: XY h\ d{liIm;mgngdu nhien c6 bang phiin ph5i xac suftt sau:
XY
P
n n n m
Tac6: E(XY) = L~>iYjPiqj = LXiPiLY;Qj =E(X)E(Y)
i=l j=l j=! j:l
n n
Mrtcach t6ng quat taco: E(TIXj) =TIE(Xj)
i=! i=!
c)Y ngh'ia cuaIcYV(lng
Gia su voi dili hrc;mgngdu nhien X, ta til!n hanh n phep tM va nh~n dugc: nl IAnxudt hĩn gia trj Xl
n2 IAnxudt hĩn gia tri X2
nk IAnxudt hĩn gia tri Xk (nl + n2 + ... +nk = n)
GQiX la gia trj trung binh cua dili lugng ngdu nhien X trong n phep thu naỵ Taco: _ nix} +n2x2 + ...+nkxk _ 01 02 nk
X---.- -X, +-X, +"'+-Xk
n n n n
h< n! n2 n k Í " < ;. h" . b'< < (X) h' th. Ta t ay: -,-, ...,- a c"c tan suat xu"t u;n cac len co = Xi trong n p "p u
n n n
tren.
Theo dinh nghia xae suat theo 15ith5ng ke vo; n du IOnta c6: x'" PIX,+ p,x, + ...+ PkXk= E(X)
Tit d6 ta thay ky vQng cua dili luc;mgngdu nhien X la s5 d(1ctrung v8 gia tri trung binh (theo xac suat) cUa dili lugng ngdu nhien X. N6 la gia trj trung tiim cUa phiin ph5i rna cac gia trjC\l thl! cua X se t~p trung quanh d6.
Vidy 3.15. Mi;\tcong vĩc xiiy d\ffig d\l tinh se dugc hoan thllnh trong khoang thai gian tit
15 dl!n 20 ngaỵ Gia su X 1a s5 ngay cong d8 hoan thllnh cong vĩc d6, bil!t X c6 bang phiin ph5i xac suat d\l tinh la:
X 15 16 17 18 19 20
P 0,05 0,15 0,25 0,2 0,25 0,1S5 ngay clIng trung binh dl! hoan thanh cong vĩc do la: S5 ngay clIng trung binh dl! hoan thanh cong vĩc do la:
E(X) = 15.0, 05 + 16.0, 15+ 17.0,25 + 18.0,2 + 19.0,25 + 20.0,1 = 17,75
Nha thfru d\l tinh chi phi toan bi;\cho cong trinh gam 119 trĩu ti8n v~t lĩu va 1,8 trĩu dang mi;\tngay congoKhi d6 chi phi toan bi;\cong trinh la:
Y=119+1,8X
---~E-~("t~.)~- É(H9~'FI;8X-)=It9T1,8E(X)-=1-19ct-4;8:1i;15=1-50;95~u d6ng. 3.2.2. Phmmg sal
aJ lJinh nghia
Binh nghia3.9. Phuong sai eUa d\li IUI;mgng~u nhien X Iii d\li lugng khong am, ky hĩu O(X) vii duge xae djnh: O(X) = E [X - E(X)]' .
+N~u X Iii d\li lugng ng~u nhien rai r"e co Mng phiin ph6i xae sudt:
~ Xl I Xl I I Xi I_I Xn
~ PI P2 Pi pn
n 2
Khi do: O(X) = L[Xi - E(X) 1 Pi
i=\
+N~u X Iii d"i lugng ng~u nhien lien tile co hilm m~t dQ[(X).
...,
Khi do: O(X) = J[ X - E(X) J'f(x)dx Vi dy3.16.
a) Cho X Iii d"i lugng ng~u nhien rai r<ICco bang phiin ph6i xae sudt:
X P 1 0,3 3 0,4 5 0,3 b) Cho X Iii d"i lugng ng~u nhien lien tile co ham philn ph6i:
o vo; x:O;-1 f(x)= -x1 , 3 o vo; -1<x:O;2 vo; x> 2 Tinh O(X) trong m6i truang hgp tren.
a) E(X) =1.0,3 +3.0,4 +5.0,3 =3 O(X) =(I - 3ịo,3 +(3 - 3)2.0,4 +(5 - 3)2.0,3 =2,4 ..., , Í ,'5 b) E(X) = f xf(x)dx = fxf(x)dx = - fx'dx = ~ =- _ _, 3_1 12_1 4 ..., , Í 5
O(X)= J[x-E(X)]'f(x)dx= nx-E(X)]'f(x)dx=- f(x--)'x'dx
_ -I 3 _, 4
=H~'-5;\ 2:;'J:,= ~~
Trong th\fe t~, nguai ta thuang dung eong thue sau d~ tinh phuong sai ella mQt d"i lugng ng~u nhien:
"
Trong do: E(X2) =~>~Pi (tfuemg hqp X IIId\li hrgng ngiu nhien rm r\lc) i=!
+00
E(X2) = Jx2f(x)dx (truemg hqp X IIId\li lugng ngiu nhien lien l\ic)
-00
ChUngminh:
D(X) =E[X-E(X)]'
=E[ X' -2XE(X) + (E(X»']
=E(X') + E[ -2XE(X)]+ E[E(X)]'
=E(X')- 2E(X).E(X) + E[E(X)]'
=E(X') -[E(X)]' Vi dy3.17.
a) Cho X IIId\li lugng ngiu nhien rm r\lCchi 56 thiet bi hong trong mQth~ th6ng g6m 3 thiet bi duqc ki8m tra cua mQtchiec maỵ X co bang phan ph6i xac sudt:
+1 0~1 0~7 I 0~2
b) Nhu cdu hang tudn d6i vai mQt 10\lihang bOa IIId\li lugng ngdu nhien lien t\lCX co ham m~t dQnhu sau:
10 v6i x,,; 0 f(x)= 40X3 v6i 0<x ,,;1
v6i x> 1 Tinh D(X) trong mili truemg hgp.
a) Truac het ta tinh ky v<;mgE(X): E(X) =0,0,1 + 1.0,7 + 2.0,2=1,1 E(X2) =02.0,1 -+ 12.0,7 + 22.0,2=1,5 D(X) =E(X') -[E(X)]'= 1,5 - (1,Ii= 0,29 ..., I I 4 'II 4 b) E(X) = ~!xf(x)dx = JXf(X)dX = J4x4dX = ; 0= 5 ..., I I 2 6 I 2 E(X2)= Jx'f(x)dx= Jx'f(x)dx= J4x'dx=~ =- ~ 0 0 3 0 3 D(X) = E(X')-[E(X)]' =3._(i)' =23 5 75