b) Tfnh ehdf ella phuÓYlg sa
3.3.4.Phlln ph6i chuin
F(x)
Binb nghia 3.13. D\li lUQ1lgng~u Mien lien tvc xnn~cac gla tr! trong KIiOang(-00, +cO) duQ'cgQi la co phan ph6i chudn vm cac tham s6a va (i,kYhĩu X - N(a, (2) neu ham m~t d{\cua no co d\lDg:
1 _(x-at
{{x)=--e 20 ,V'xE IR
a,fiil
Suy ra ham phan ph6i xac suAtcua X - N(a, ~) la: ,
1 x _en-a)
F(x) = [f(u)du=-. - Ie 20' du
a,fiil_~
D6 thi ham m~t d{\va ham philn ph6i cua philn ph6i chudn duQ'Ccho b6'i cac hinh sau:
y
1
crJ2n
o x=a o x
Hinh 3.3. Hinh 3.4.
D6 thi ham m~t d{\f(x) co d\lng hinh chu(\ng nen philn ph6i chuAncon duQ'cgQi la philn ph6i hinh chuímg.
b) Cae iJi;ietrung s6ella phon phdi ehudn
Neu X - N(a, (2) thi
- KyVQng:E(X) = a - Phuong sai: D(X) = a2
Th~t v~y:
+a:> +<0 (x_a)2
Ta co: E(X) = Ixf(x)dx = I ~ e-IT dx ~ -ooÓ....;2rr
x-a dx
D(it t =--~dt =- va x =crt+a
a a
Khi x ~ :too ~ t ~ :too
+<0 12 +<0 12 +00 t2
~E(X)= I(&)e-'dt= ~ Ite-'dt+ ~ F'dt
~ 21t v21t ~ v21t _~
+00.2 +a:> 12
M(it khac: Ite-, dt = 0 va Ie-, dt =,fiil (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
--- ~-- ----~---.--- TaO--- --~--2----(-x-a-)2~----~---.---.-
Ta co: E(X') = fx'f(x)dx = f X,;;-e-2Tdx --<X) -«lOV 21t
Tuang tI!nhu phep d6i bien tren:
+aJ t2 2 +aJ t2 +00 t2 2 +co t2
=>E(X')= f(~)e-'dt= ~fe-'dt+ 2~ fte-'dt+ ~ ft'e-'dt
~ 21t v21t _~ v21t ~ v21t ~
2 +<Xl t2
= á + ~ ft'e -, dt v21t ~
2 +co t2
D(it I=~ ft'e-'dt
.fin _~
[2 ,2
D~t t = u => dt = du va t'e -, dt = dv => v = -e-'
u2 +«l u2
I = lim (-ue-')H_ I:'+ fe-' du =Ợfin =.fin
=>E(X') =á +cr'
O(X) =á +cr' _á =cr'
c) Phiin pht5i chudn tdc
Binh nghia 3.14. D(li lugng ngau nhien X co phan ph6i chuan vai ky vQng bAng I va phuang sai bAng 0duqc gQi la co phan ph6i chudn t~c, kyhĩu X - N(O, I).
Ham m~t d(>cua philn ph6i chuan t~c co d(IDg:
" I --
<p(x)= ~e ' v21t
Ham philn ph6i cua philn ph6i chuan t~c, kyhĩu la <1l(x) luc nay duqc xac djnh bai:
ú
I x --
<1l(x) = r;;- f e 2du ; vai x E lR
v21t -00
Gia trj cua ham <1l(x) duqc cho sfinabang 2 philn Ph\ll\lc.
d) each tinh cae xac sudi lien quan t&iphiin pht5i chudn
Neu X - N(a, cr2)thi (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
X-a
(i) Y= -- -N(O, I)
<J
(ii) P(X < a) = <1l( a: a )
(iii) Pea sX s(3) = Pea sX < (3) = Pea < X s(3) = Pea < X < (3) = <1l(13:a )-<1l( a:a) (iv) P(lX-al<E)=2<1l(;)-1
-Vfib .•3.29.gla sir X:;-l'I(O;J).myfiiili:u a) P(X <2,9) b) P(2<X<3) e) P(X> 1,5) a) P(X<2,9)=et>(2,9)=0,99813 b) P(2 < X < 3) = et>(3)-et>(2) = 0,99865 -0,97725 = 0,0214 e) P(X >1,5) = 1-P(X < 1,5) = 1-et>(1,5) = 1-0,93319 =0,06681 Vi d", 3.30. Cho X - N(3, 4). Tinh P(X < 2), P(2" X < 4), P(X>3) Giill: Ta eo: a = 3, a = 2 . Do do:
P(X < 2) = et>(2;3) = et>(-0,5)= 1-et>(0,5) = 1-0,69146 = 0,30854
P(2" X < 4) = et>(4;3 )-et>( 2;3) = 2et>(0,5)-1 = 0,38292
P(X >3) = 1_et>(3;3) = 1-et>(O)= 1-0,5 = 0,5
Vi d", 3.31. Dĩm thi tuỹn sinh D\li hQe mon tmin eua toiln bQ hQe sinh trong ea nuae Iii d\li IUQ11gngiiu nhil~nX - N(4; 2,25). Tinh ti Ĩthi sinh eo dĩm thi Ian han 5,5 dĩm.
Giai: Ta eo: a = 4, a = 1,5 . Do do:
P(X >5,5) = I-et>( 5,~-a) = I-et>( 5,~~4) = 1-et>(1)= 1-0.84134 = 0,15866
Til do suy ra ti l~ thi sinh co dĩm thi 16'11han 5,5 dĩm Iii 15,87%.
Vi d", 3.32. Nang sũt Ilia cua mQtvimg Iii d\li IUQ11gngiiu nhien co d\lng phiin ph<3ichũ v6i ky vQng bdng 50 t{l!havii dQ Ĩch chũn 3,6 t{l!hạTim xac suM d~ g(it ngiiu nhien 3 thila ruQng co nang sũt sai Ĩch so vai nang sũt trung blnh khong qua 0,5 t{l!hạ
Giai: Ta co: a = 50 t{l!ha,cr= 3,6 t(l!hạ
GQi X Iii nang sũt lua cua vimg dọ
Xac sũt d~ g(it ngliu nhien I thira ruQng co nang sũt sal Ĩch so vai nang sũt trung binh khong qua 0,5 t{l!haIii:
p(IX -al < 0,5) = 2et>(0~5) -1 = 2et>(~:~ )-1 = 2et>(0,14) -1 = 0,11134
Luc do xae sũt d~ g(it ngliu nhien 3 thira ruQng co nang sũt sai l~ch so v6i nang sũt trung blnh khong qua 0,5 t{l!haIii:
P,(2) = Ci(0,11134)' (1-0,11134t' '" 0,033
Hau h€t cac d\li IUQ11gngiiu nhien lien t\lCta g(ip trong th\lc t€ d~u tuan theo quy lũt phiin ph<3ichuiin. Chiing h\ln:
~---~----'- TJvngh19J1gsan-phfuncungĨ---~~----~---~--- -~ ~---
o Nang suAtcUa ciiy trang tren nhfrng thira rui,\ng kMc nhaụ
o Mirc liii suAtcUami,\tc6ng tỵ
o Chieu cao cua mi,\tnMm nguóị
deu ilicac d\li hrgng ng&unhien c6 d\lng phan phili chuful. 3.3.5. Phan ph6i khi 0 binh phllÓl1g
a) Dinh nghia
Bjnb ngbia 3.15. D\li lugng ng&u nhien lien !\Ic X dugc gQi la c6 phan phili khi blnh phuong vm n b~c til do, ky hĩu X - x'(n) neu ham m~t di,\cUa n6 c6 d\IDg:
10 vm x";O
f(x)= "1 x~-lẽ vm x>O i;:r(~) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
2
...,
Vm r(x) = Jt'-le-tdt ; x > 0 la ham Gammạ o
b) Tinh eMt ella phtin pMi khi binh phuung
Neu day cac d\li lugng ng&unhien XIo X2, ... , Xn di,\c Ĩp va cung c6 d\IDgphan phili "
chudn tAcN(O, 1) thl Z=LX; c6 d\lng phiin phili khi blnh phuong vm n b~c t\l' dọ
i-I
Gia tri cua Z dugc cho trong bimg 3 phdn Ph\ll\lc.
c) Cae d(lc tnmg s6
Neu X - x'(n) thl
- Ky vQng: E(X)=n - Phuong sai: D(X) = 2n 3.3.6. Phan ph6i Student
a) Dinh nghia
Bjnb ngbia 3.16. D\li lugng ng&unhien lien Wc X dugc gQi la c6 phan phili Student vm n b~c til do, kYhĩu X - T(n), neu ham m~t di,\dugc xac dinh bm:
f(x)- ( )(I+~J-";l
Jll" l !.1 n
f-' 2'2
1
Vm ~(a,b)=fx'-l(1- X)b-l dx, a> 0, b > 0, dugc gQi IHam Betạ
o
b) Tinh eMt ella phtin ph6i Student
Cho hai d\li lugng ng&unhienUva V dQc l~p,U - N(O, I) va V - x2(n) thi X= ~ c6
phiin phili Student v6'i n b~c til dọ
Gia trj cua X dugc cha abang 4 phdn Ph\l I\lC.