Một số bài tập tích phân

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TÍCH PHÂN KHÁC 1. Cho hai hàm số f(x) = 4cosx + 3sinx, g(x) = cosx + 2sinx. a. Tìm số A , B cho : g(x) = A.f(x) + B.f ’(x)  /4  b. Tính g ( x) dx f ( x) 2. Tìm số A,B để hàm số f(x) = Asinx + B thỏa mãn đồng thời điều kiện f ’(1) = 2  f ( x)dx   /2 3. Cho hai tích phân: I   cos  /2 x.cos x dx ; J   sin x.cos 2 x dx a. Tính I + J I – J b. Tính I , J 4. Giả sử f(x) hàm số liên tục [0;] . CMR :   /2   x. f (sin x)dx   f (sin x)dx    f (sin x)dx  x.sin x dx  cos x Áp dụng : J   5. Cho hàm số f(x) liên tục R với x thuộc R ta có : f(x) + f(–x) =  2cos 2x 3 /2 . Tính  f ( x)dx 3 /2 a x  bx . e . Tìm a. b biết f '(0)  22  f ( x)dx  . ( x  1)3 7. Cho f(x)  sin x.sin2x.cos5x . Tìm hàm nguyên hàm đa thức f(x). Tính tích phân: 6. Cho hàm số : f ( x)  I  f(x)  x dx  e  x 8. Giải phương trình :  (u  x )du  sin x 9. Tính I  /6  /6 sin x cos2 x dx; J   dx .Từ tính tích phân sau : sin x  cosx sin x  cosx 5 / cos2x  cosx  sin x dx 3 / a x 10. Cho hàm số: f(x)   bxe , tìm a, b biết rằng: f '(0)  22  f(x)dx  . (x  1)3 11. Cho f(x) liên tục R : f (x)  f (x)   2cos2x x  R . Tính 3 /  f (x)dx 3 / Hoàng Ngọc Phú Page 12. Cho T13 =  x2  x  m dx a. Tính T13 với m = 1. b. Tính T13 theo m với m < -3. 13. Cho In =  x (1  x )n dx Jn =  x(1  x )n dx . Với n nguyên dương a. Tính Jn chứng minh bất đẳng thức In  2(n  1) I n1 n I n b. Tính In+1 theo In tìm lim 14. Cho hai hàm số f(x), g(x) xác định, liên tục nhận giá trị đoạn [0 ; 1]. 1  Chứng minh:   f ( x) g ( x)dx    f ( x)dx. g ( x)dx 0  15. Cho số nguyên dương m, n với m số lẻ. Tính theo m, n tích phân:  T83 =  sin n x.cos m xdx 16. a. Cho f(x) hàm liên tục đoạn [0 ; 1]. CMR:    f (sin x)dx   f (cos x)dx  b. Bằng cách đặt x   sin 2003 xdx sin 2003 x  cos 2003 x  t , tính tích phân: I    cos 2003 xdx J   sin 2003 x  cos 2003 x  17. Bằng cách đặt x    t , tích tích phân: T88 = sin x  sin x  cos x dx  e 18. a. Tính tích phân: T89=  cos(ln x)dx t b. Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số F(t) định bởi:F(t) =   19. Chứng minh nếu: y  ln x  x  t hì đạo hàm: y '   x cos x dx x2  Sử dụng kết này, tính tích phân: T91   x  4dx Hoàng Ngọc Phú Page 20. Tìm họ nguyên hàm hàm số: a. T92  x2    x2  5x  1 x2  3x  1 dx   )cot( x  )dx    c. f ( x)  cot  x   4  x x e. f ( x)  sin x sin sin g. f ( x)  tgx  2x   2x 1 cos x i. f ( x)  sin x  cos x dx l.  x e  4e x b. T93  tan( x   sin x  cos x x3 f. f ( x)  x 2 sin x  cos x h. f ( x)  sin x  cos x d. g ( x)  sin x k. f ( x)  3sin x  sin x  3sin x 21. Cho hàm số f(x) liên tục thỏa f( x) 2f(x) cos x . Tính tích phân I f(x)dx . 22. Tính I=  1  x 10 dx Áp dụng kết tính tổng sau: S   C101  C102  .  10 C10 11 n 1 Chứng minh rằng:  Cn1  Cn2  .  Cnn   n 1 e2 nx 23. Cho: Tn   dx với n = 0, 1, 2, . 2x  e n 1 b. Tính Tn  Tn1 . a. Tính Tn .   24. Cho tích phân: Tn  cos n xdx . Với n số nguyên dương. a. Tính T3 T4 . b. Thiết lập hệ thức Tn Tn2 với n > 2. Từ đó, tính T11 T12 .   sin xdx cos xdx 25. Đặt I   J   sin x  cos x sin x  cos x 0 a. Tính I  3J I  J . b. Từ kết trên. tính giá trị I, J và: T = 5 cos xdx sin x  3 cos x  Hoàng Ngọc Phú Page 26. A C  dx  B       dx   ( x  1)( x  2) x2  x 1 x   b. Tính diện tích S(t) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  ( x  1)( x  2)2 a. Xác định số A, B, C cho: đoạn [0;t] (t > 0) trục hoành. c. Tính lim S (t ) . t  27. Cho hàm số f ( x)  ax  b với a  b2  . CMR:      f ( x)sin xdx    f ( x) cos xdx    0   0      28. Cho n số nguyên dương. a. Tính: T141   1  x  n dx S  Cn  b. Tính tổng số:  29. Cho tích phân: Tn    x  n 1 n   .  C C C n n n 1 n dx , n   a.Tìm hệ thức Tn Tn1  n  1 b. Tính Tn theo n.  30. Cho I n   x  x  n  dx . Và J n   x  x  n dx , n = 0, 1, 2, a. Tính J n chứng minh bất đẳng thức I n  với n= 0, 1, . 2(n  1) I n1 n I n b. Tính I n1 theo I n tìm lim x 31. Cho I (t )   e  t dx, t  R a. Tính I (t ) . b. Tìm giá trị nhỏ I (t ) với t  R . 32.Tính I   max[ f ( x), g ( x)]dx f ( x)  x g ( x)  3x  . 33. Cho f ( x)  Asin x  B . Tìm A, B để: f '(0)  4, 2  f ( x)dx  Hoàng Ngọc Phú Page 34. Tính: I   x 1  x  dx . AD kết tính : S  C190  C191  C192  .  19 18 19 C19  C19 . 20 21 35. Tìm hệ số A, B để hàm số f ( x)  A cos  x  B thoả mãn f (1)   f ( x)dx  36.   n dx (n  * ) . Từ CMR: C 0n  C1n  C n2  C 3n  .  (1) C nn  2(n  1) 2(n  1) x3 38. Cho hàm số y  có tập xác định D. x  3x  a b  , x  D a. Tìm a, b  R cho: y  x 1 x  ln e2 x  3e x dx b. Tính:  x x e  e  c. Cho n số tự nhiên khác 0. đặt f ( x)  tính đạo hàm cấp n f(x). Từ suy x 1 37. Tính:  x 1 x n đạo hàm cấp n y 39. Cho hàm số: g ( x)  sin x sin x cos5x a. Tìm họ nguyên hàm hàm số g(x).  b. Tính tích phân:    g ( x) dx ex  40. Tìm hai số A, B để hàm số: h( x)  h( x )  A.cos x   sin x   sin x   sin x  biểu diễn dạng: B.cos x , từ tính tích phân:  sin x  h( x)dx .   41. a. Cho hàm số f liên tục (0 ; 1). Chứng minh rằng:   f (sin x)dx   f (cos x)dx   cos3 xdx sin xdx b. Sử dụng kết để tính: I   J   sin x  cos x 0 sin x  cos x 42.     a. (CPB) Cho f(x) hàm số thực, xác định, liên tục đoạn 0;  , có f(0) >     f ( x)dx  1. CMR: phương trình f(x) = sinx có nghiệm đoạn 0;  . Hoàng Ngọc Phú Page 43. 2ln x dt x dt b. (CB) Giải bất phương trình:    t ln x t 3 e cos xdx a. (CPB) Tìm họ nguyên hàm:  sin x  cos x b. Tính: x  (a  1) x  a dx , a số cho trước. 1 45. 2n1  n *  1  x  dx (n   ) . Từ CMR:  C n  C n  .  n  C n  n  44. Tính: n a. Cho hai số nguyên dương p q. Tính I  2  cos px cos qxdx hai trường hợp p = q p  q. b. Cho số thực a1, a2 , a3 , ., an . Giả sử: a1 cos x  a2 cos2 x  .  an cos nx  với x  0;2  . Hãy sử dụng kết để tính a1, a2 , a3 , ., an . 2 x  (C ) . Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số x 1 x (C) đường thẳng y    1. 46. Cho hàm số y  x 47. Cho hàm số f ( x)  48. Biết: x2   . Tính:   dx  1 f   dx x  ln x  x   C . Tìm nguyên hàm: F ( x)   x  3dx x 3 49. Xét hàm số y  x [0; 1]. Giả sử m giá trị thuộc [0; 1]. Gọi S1 diện tích giới hạn đường x = 0; y = m2; y = x2. S2 diện tích giới hạn đường y = x2; y = m2; x = 1. CMR với m thuộc [0; 1] ta có  S1  S2  50. Giải phương trình sau : x x a.  e t  1dt  b.  e x d.  2t e 2t dt  1  t  dt  tan x c.  ln  2t  dt  x x  x x x h.  f.  cost  x dt  sin x 3  e.   sin t  dt  2 0 t 1 x g.  t 1 ln 7dt  log 6 x  5 ; x   2 x t 1 t . 1 1 t    2x 1  x 2  51. Tìm x > cho Hoàng Ngọc Phú t 2e x 0 (t  1)2 dx  Page 52. Giải biện luận phương trình sau: x a.  t 1 m  1t  2mt  1  x  2t t  2mt  2m  b. 3 t dt  33 3x   dt   x  c. x   m x   m  1    1 t   x dt d. x    t 1 t  2t  m dt 53. Tìm m để bất phương trình 2 3t  1dt  6m tdt  3m  m  x nghiệm với x  0,1 x x  t m  54. Tìm m để bất phương trình  mt  t  m dt  x nghiệm với x   1,1 55. Tìm m để bất phương trình ln 3 32t  3t dt  2m3 x  1  nghiệm với x. x Hoàng Ngọc Phú Page . Hoàng Ngọc Phú Page 1 MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TÍCH PHÂN KHÁC 1. Cho hai hàm số f(x) = 4cosx + 3sinx, g(x) = cosx + 2sinx. a. Tìm các số A , B sao cho : g(x) = A.f(x) + B.f ’(x). của y 39. Cho hàm số: ( ) sin sin2 cos5g x x x x a. Tìm họ nguyên hàm của hàm số g(x). b. Tính tích phân: 2 2 () 1 x gx dx e      40. Tìm hai số A, B để hàm số:   2 sin2 () 2. 2 xt   , hãy tính các tích phân: 2003 2 2003 2003 0 sin sin cos xdx I xx     và 2003 2 2003 2003 0 cos sin cos xdx J xx     17. Bằng cách đặt 2 xt   , hãy tích tích phân: T 88 =