Bài tập diện tích và thể tích tích phân

Tài liệu bao gồm những bài tập chương tích phân phần tính diện tích và thể tích của vật thể.

DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẰNG THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRÒN XOAY

1 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường :

a y = x4 – x2 và trục Ox b y = x(x - 3)2 và trục Ox c y = x3 – 3x + 1 và y = 3

d y = x ; y = 2 – x và trục Ox e y = x24x3 và y = 4x + 3

f y = (e + 1)x và y = e x1x g

4 4

2

x

y  và

2 4

2

x

y

h

x

x

y 1ln

; y = 0 và hai đường thẳng x = 1, x = e

i

1 2

5 6 2









x

x x

y và trục Ox k Trục Ox và hai đường x – y3 +1 = 0 ; x + y – 1 = 0

1

1 ln

2

2 2





x

x x

; trục tung; trục hoành và đường thẳng x e1

m y2 = 4x và y = 2x – 4

n y = x2 – 4x + 5(P) và hai tiếp tuyến của (P) tại A(1;2), B(4 ;5)

2

1 2  

y (P) và hai tiếp tuyến của (P) xuất phát từ M(3;-2)

p  x1

e

y ; trục hoành và hai đường thẳng x = ln3, x = ln8

q

1

2 2 2









x

x x

y ; đường tiệm cận xiên của nó ; trục hoành và đường thẳng x = e – 1

r y = x3 -3x2 +4x và tiếp tuyến của nó tại gốc tọa độ

2 Cho Parabol (P) : y = x2 - 6x +5

a Viết phương trình các đường tiếp tuyến của (P) tại các giao điểm của (P) với trục Ox

b Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (P) và các tiếp tuyến ở câu a

3 Cho Parabol (P) : y2 = 4x

a Viết phương trình đường tiếp tuyến của (P) tại điểm có tung độ bằng 4

b Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: (P); trục Ox và tiếp tuyến ở câu a

4 Cho đường cong (C) :

1

1 2







x

x

y Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường : (C) ; Ox ;Oy Tính thể tích của hình tròn xoay được sinh ra khi quay (H) xung quanh trục Ox

5 Cho đường cong (C) : y = x4 – x2 Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục Ox Tính thể tích hình tròn xoay được sinh ra khi quay (H) xung quanh trục Ox

6 Cho hình (H) được giới hạn bởi các đường y = 2x – x và y = 0 Tính thể tích khối tròn xoay tạo

thành khi quay (H) quanh :

7 Cho hình (H) được giới hạn bởi các đường y = xex ; x =2 và y = 0 Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox

8 Cho hình (H) được giới hạn bởi các đường y = lnx; x = e và y = 0 Tính thể tích khối tròn xoay

tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox

9 Cho hình (H) được giới hạn bởi các đường x2 + y – 5 = 0; x + y – 3 = 0 Tính thể tích khối tròn

xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox

10 Cho hình (H) được giới hạn bởi các đường y = 3 – x2 ; trục tung và đường thẳng y = 1 Tính

thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục Oy

11 Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình tròn tâm I(2 ;0) bán kính R = 1 quanh

trục Oy

12 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y x24x 3 và y = x+3

13 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :

2 x

4

  và

2 x y

4 2



14 Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C): 3 1

1

x y x

 



 và hai trục toạ độ

15 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y e 1 x, y 1 e x     x

16 Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y xlnx  , y 0, y e   Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox

17 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường  

2

1

0 à

1





x x

y v y

x

18 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 2

y x v y x

19 Tính diện tích hình phẳng gh bởi các đường có phương trình: yx22 ; yx x,  1,x0

20 a Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương trình y  4x2

và 2

x  y 

b Tính diện tích hình phẳng hữu hạn giới hạn bởi các đườngy  xex, y  0, x   1, x  2

c Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường Parabol y  4 x  x2 và các đường tiếp tuyến với Parabol này, biết rằng các tiếp tuyến đó đi qua điểm 5 ;6

2

M  

 

 

d Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y   2 sin x và y   1 cos2x

với x   0 ;  

e Cho a > 0, tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương trình:

2 2

4

1

y

a



 và

2 4

1

a ax y

a





 Tìm giá trị của a để diện tích trên đạt giá trị lớn nhất

f Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

2

2,

8

x

y  x y  và 27

y x



g Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y  5x2, y  0, x  0 và y   3 x

h Gọi (D) là miền được giới hạn bởi các đường: 2

y    x y  y  x x 

Và (D) nằm ngoài parabol y  x2 Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo nên khi (D) quay xung quanh trục Ox

i Tính thể tích của vật thể sinh ra bởi phép quay quanh trục Ox của hình giới hạn bởi các

y  e y  e  x  x 

k Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 2

y  x  x y   x

l Cho D là miền kín giới hạn bởi các đường y  x y ,   2 x y ,  0. Tính diện tích của miền D và thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi ta quay (D) quanh trục Oy

m Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x2 1 và y x 5 trong mặt phẳng toạ độ Oxy

n Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2

y x  x và y = 3 trong mặt phẳng toạ độ Oxy

o Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: x = 1, x = e, y = 0 vày 1 ln x

x



p Parabol y2  2 x chia hình phẳng giới hạn bởi đường tròn x2  y2  8 thành hai phần Tính diện tích mỗi phần

q Cho Parabol y  ax2  bx  c với a  0 Gọi (d) là tiếp tuyến với parabol tại điểm có hoành độ x0  0 Chứng minh rằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol, đường thẳng (d)

và trục Oy có diện tích là: 3

0

1 3

S  ax

r Trong mặt phẳng Oxy, hãy tính diện tích S của miền giới hạn bởi các đường:

, ln , 0, 1,

x

y  e y  x x  x  y  a

với a < 0

s Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x y2,  4 x2 và y = 4

t Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 2

4 3 ; 3

y x  x y trong mặt phẳng toạ độ Oxy

u Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y  ex; y  ex; x  1

21 a Tính diện tích hình phẳng gh bởi các đường: 12 ; 12 ; ;

b Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi các đường  2

2

y x và y = 4 Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng (D) khi nó quay quanh: trục Ox và trục Oy

c Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

23 12



d Tính diện tích hình phẳng gh bởi các đường có pt:x  y x ;    y 2 0; y  0

e Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C), trục hoành Ox và các đường

thẳng x   1, x  1

f (CPB) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

y  x  x  y  x  x  y 

g Cho hình phẳng (G) giới hạn bởi các đường 2 2

y   x y   x Quay hình phẳng (G) quanh trục Ox ta được một vật thể Tính thể tích vật thể này

h Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2

y   x y 

i Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau y  2 x2 và x  y2

k Trong mặt phẳng xOy, hãy tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: trục

Ox, x= -2, x= 2,y = x(x + 1)(x - 2)

l Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường:  2

y x x y và y =

0, với  0   y 1 

m Tính thể tích khối tròn xoay do quay quanh trục Oy phần mạt phẳng hữu hạn được giới hạn bởi hai trục toạ độ, đường thẳng x=1 và đường cong 1 2

1

y

x





n Tính thể tích khối tròn xoay do quay quanh trục Ox phần mạt phẳng hữu hạn được giới hạn bởi hai trục toạ độ, đường thẳng x = 1 và đường cong y = 1 + x3

o Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường:

3

2

;

3

x

y  y  x khi hình phẳng đó quay quanh trục Ox

p Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

2 2

; 8

x

y  x y  và 8

y x



22 a Tính diện tích của miền kín giới hạn bởi đường cong (C): 2

1

y x x , trục Ox và đường thẳng x = 1

b Cho (H) là miền kín giới hạn bởi đường cong (L): 3

ln(1 )

y  x  x , trục Ox và đường thẳng x = 1 Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo ra khi cho (H) quay quanh trục Ox

c Tính diện tích tam giác cong giới hạn bởi các đường:  5

1 ; x; 1

y x ye x

d Tính diện tích tam giác cong giới hạn bởi các đường: ln

1; ; 0;

2

x

x

e Cho D là miền phẳng bị giới hạn bởi các đường cong: 1 2

1

y

x



 và

2

2

x

y  Tính diện tích miền D và thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi cho D quay quanh trục Ox

f Cho miền phẳng D bị giới hạn bởi các đường: 3

y x y x  x

Tính diện tích miền D và thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi cho D quay quanh trục Ox

g Tính diện tích của hình phẳng gh bởi các đường: y  f x ( ); y  0; x  0; x  2.

h Cho hình D giới hạn bởi các đường: sin cos ; 0; 0;

x

y x y x x

Hãy tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo nên khi cho D quay quanh trục Ox

i Trong mặt phẳng với hệ toạ độ trực chuẩn Oxy, cho hình phẳng (D) giới hạn bởi các đường: y  x y ;  x x ;  5

k Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành do quay quanh trục Ox hình phẳng hữu hạn

y  x  x  y    x x 

l Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 2 3 3

yx  x và y  x

m Tính diện tích hình phẳng D giới hạn bởi các đường: 2

2

y  x  và y  x

o Tính thể tích hình elipxôit tròn xoay sinh ra bởi hình elíp

x y

b  a  khi nó quay quanh trục Ox

23.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y x2 4x 3, x 0, x 3 và Ox

24.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x3 11x 6, y 6x , 2 x 0, x 2

25 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x3 11x 6, y 6x 2

26.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y x , y3 4x

27 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y x2 4 x 3 và trục hoành

28 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y x2 4x 3 và y x 3

29.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y x2 1 , y x 5

30 Tính thể tích hình cầu do hình tròn (C) : x2 y2 R2 quay quanh Ox

31 Tính thể tích hình khối do ellipse

a b quay quanh Oy

32. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường y x2, y2 x quay quanh

Ox

33 Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường x y2 5, x 3 y quay quanh Oy

34 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a x=1; x=e; y=0 và y= 1 ln x

x

 b y=2 x ; y=3x và x=0

c y=sin2xcos3x, trục Ox và x=0, x=

3



35 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y=0, y=x32x2+4x3 (C) và tiếp tuyến với đường cong (C) tại điểm có hoành độ bằng 2

36 Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y=tanx, x=0, x=/3, y=0

a Tính diện tích hình phẳng D

b Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng D quay quanh trục Ox

37 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi đường cong y2=x3 và y=0, x=1 khi nó quay quanh:

38 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C):  

1

1 3









x

x x

f và hai trục tọa độ

39. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường (C1): f  x  e1x, (C2): g x e x1x

40. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C):y x2 4x3 và d: y = 3

41. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y2 = 4x và d: y = 2x – 4

42. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay miền (D) giới hạn bởi (C): y = lnx, y = 0, y =

2 quay quanh trục Ox

43. Tính S:   P x ay  P y2ax

2 2

44 Tính S:   C1 :y22yx0; D :xy0

45. Tính S:   P :y2 2x; D :x2y20;Ox:y0

46. Tính S:      

























3

7 :

; 7 8 3

1

x

x y

H x

x y P

47. Cho   P :y22x; C :x2y28 (P) chia (C) thành 2 phần Tìm tỉ số diện tích của 2 phần

đó

48. Tính S:   P :y x2 4x3; D :yx3























2 : ) (

;

12 1 :

; 2

3 sin 2 1

1



x y

C

x y

C

50. Tính S:    



















x y H

x y P x y

27 :

; :

2 2

2 1

51. Tính S:    





















x y H x y H

x y P x y

4 :

;

2 2

2 1

52 Tính S:    2   2  3

4 :

; 4

53. Tính S:    2   2  3

1 8 27 :

; 2 :y  x C y  x

P

54 Tính diện tích hình elip giới hạn bởi (E) : 2 1

2 2

2





b

y a x

55. Tính S: 0  y 1 ; yx 12;x siny

56. Tìm Vx sinh bởi S:   C :ylnx;Ox:y0;   :x2quay quanh Ox

57. Tìm Vx sinh bởi S:   L :yx ln1x3; y0; x1 quay quanh Ox

58 Cho S:  













 ;( ): 1; 0; 0 1

1

x y

59. Cho S: x2 yb2 a2; 0 ab

a Tìm Vx khi S quay quanh Ox b Tìm Vy khi S quay quanh Oy

60. Cho S là diện tích của (E) :  

1 16 4

4 2 2





x

a Tìm Vx khi S quay quanh Ox b Tìm Vy khi S quay quanh Oy

61. Cho S:













0 :

2 : )

y Ox

x x y P

a Tìm Vx khi S quay quanh Ox b Tìm Vy khi S quay quanh Oy

62. Tìm Vx khi S quay quanh S:











2

; 0

; 0

; cos

x x y x x

63. Cho S:

















1 : ) (

10 3 :

) (

0 :

) (

2 1

2

y D

x y D

x x y P

a Tìm Vx khi S quay quanh Ox b Tìm Vy khi S quay quanh Oy

64 Cho S là diện tích của (E) :  b a

b

y a

x







 2 1 0 2

2 2

a Tìm Vx khi S quay quanh Ox b Tìm Vy khi S quay quanh Oy

65. Cho S:   P1 :y4x2;(P2):yx22 Tính Vy khi S quay quanh Ox

66. Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên khi cho hình tròn tâm I(2,0) bán kính R = 1 quay quanh trục Oy

67. Cho S:   P :y2x2;(D):y2x4 Tìm Vx khi S quay quanh Ox

68. Cho S:    



















x y H

x y P x y

27 :

; :

2 2

2

69. Cho S:   C :y x; (D) : y 2 x; y 0 Tìm Vy khi S quay quanh Oy

4 16 : )

(

2 2



 y

x

H và (D) là tiếp tuyến của (H) đi qua A(2,-1) với hệ số góc dương Tính

thể tích khối tròn xoay tạo bởi miền phẳng giới hạn bởi (H), (D) và trục Ox khi quay quanh trục

Oy

71. Cho S:   C :yx 22; (D) :y 4

a Tìm Vx khi S quay quanh Ox b Tìm Vy khi S quay quanh Oy

























2 :

; 0 4 :

2 2

2

73. Cho S:  















3 : ) (

; 3 :y x P y x

C Tìm Vx khi S quay quanh Ox

74. Cho S:   C :y2 4 x3; (P) : y2  4x

a Tìm Vx khi S quay quanh Ox b Tìm Vy khi S quay quanh Oy

75 Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi (P): y = x2

– 2x + 2 và các tiếp tuyến của (P) qua A(2,-2)