Bài tập diện tích và thể tích tích phân

Tài liệu bao gồm những bài tập chương tích phân phần tính diện tích và thể tích của vật thể.

DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẰNG THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRÒN XOAY 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường : a. y = x4 – x2 trục Ox b. y = x(x - 3)2 trục Ox x ; y = – x trục Ox d. y = f. y = (e + 1)x y = e  1x x c. y = x3 – 3x + y = e. y = x  x  y = 4x + x2 x2 g. y   y  4 1 ln x ; y = hai đường thẳng x = 1, x = e. x h. y  x  6x  i. y  trục Ox 2x 1  k. Trục Ox hai đường x – y3 +1 = ; x + y – =  x ln x  l. ; trục tung; trục hoành đường thẳng x  e  x2 1 m. y2 = 4x y = 2x – n. y = x2 – 4x + 5(P) hai tiếp tuyến (P) A(1;2), B(4 ;5) o. y    x  x  (P) hai tiếp tuyến (P) xuất phát từ M(3;-2) p. y  e x  ; trục hoành hai đường thẳng x = ln3, x = ln8 q. y  x  2x  ; đường tiệm cận xiên ; trục hoành đường thẳng x = e – 1. x 1 r. y = x3 -3x2 +4x tiếp tuyến gốc tọa độ. 2. Cho Parabol (P) : y = x2 - 6x +5 a. Viết phương trình đường tiếp tuyến (P) giao điểm (P) với trục Ox. b. Tính diện tích hình phẳng giới hạn (P) tiếp tuyến câu a. 3. Cho Parabol (P) : y2 = 4x a. Viết phương trình đường tiếp tuyến (P) điểm có tung độ 4. b. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: (P); trục Ox tiếp tuyến câu a 4. Cho đường cong (C) : y  2x 1 . Gọi (H) hình phẳng giới hạn đường : (C) ; Ox ;Oy. x 1 Tính thể tích hình tròn xoay sinh quay (H) xung quanh trục Ox. 5. Cho đường cong (C) : y = x4 – x2 . Gọi (H) hình phẳng giới hạn (C) trục Ox. Tính thể tích hình tròn xoay sinh quay (H) xung quanh trục Ox. Hoàng Ngọc Phú Page 6. Cho hình (H) giới hạn đường y = 2x – x y = 0. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay (H) quanh : a. Trục Ox b. Trục Oy 7. Cho hình (H) giới hạn đường y = xex ; x =2 y = 0. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay (H) quanh trục Ox. 8. Cho hình (H) giới hạn đường y = lnx ; x = e y = 0. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay (H) quanh trục Ox. 9. Cho hình (H) giới hạn đường x2 + y – = 0; x + y – = 0. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay (H) quanh trục Ox. 10. Cho hình (H) giới hạn đường y = – x2 ; trục tung đường thẳng y = 1. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay (H) quanh trục Oy. 11. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình tròn tâm I(2 ;0) bán kính R = quanh trục Oy. 12. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường : y  x  4x  y = x+3. x2 x2 y  . 4 3x  14. Tìm diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (C): y  hai trục toạ độ . x 1 13. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường : y   15. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y   e  1 x, y  1  ex  x . 16. Cho hình phẳng H giới hạn đường y  x ln x , y  0, y  e . Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình H quanh trục Ox. 17. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y  y  x 1  x  x2  . 18. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x2 y   x2 . 19. Tính diện tích hình phẳng gh đường có phương trình: y  x2  ; y  x, x  1, x  . 20. a. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường có phương trình y    x x  y  b. Tính diện tích hình phẳng hữu hạn giới hạn đường y  xe x , y  0, x  1, x  c. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường Parabol y  x  x đường tiếp 5  2  d. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y   sin x y   cos x với x  0 ;   . tuyến với Parabol này, biết tiếp tuyến qua điểm M  ;6  . e. Cho a > 0, tính diện tích hình phẳng giới hạn đường có phương trình: Hoàng Ngọc Phú Page x  2ax  3a a  ax y  . Tìm giá trị a để diện tích đạt giá trị lớn nhất. y  a4  a4 x2 27 f. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y  x , y  y  . x g. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y  5x2 , y  0, x  y   x . h. Gọi (D) miền giới hạn đường: y  3x  10; y  1; y  x ( x  0) Và (D) nằm parabol y  x . Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo nên (D) quay xung quanh trục Ox. i. Tính thể tích vật thể sinh phép quay quanh trục Ox hình giới hạn đường: y  e x ; y  e x2 ; x  0; x  2. k. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y  x  x ; y  x  . l. Cho D miền kín giới hạn đường y  x , y   x, y  0. Tính diện tích miền D thể tích vật thể tròn xoay tạo thành ta quay (D) quanh trục Oy. m. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x  y  x  mặt phẳng toạ độ Oxy. n. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x  x  y = mặt phẳng toạ độ Oxy. o. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: x = 1, x = e, y = y   ln x . x p. Parabol y  x chia hình phẳng giới hạn đường tròn x  y  thành hai phần. Tính diện tích phần. q. Cho Parabol y  ax  bx  c với a  . Gọi (d) tiếp tuyến với parabol điểm có hoành độ x0  . Chứng minh diện tích hình phẳng giới hạn parabol, đường thẳng (d) trục Oy có diện tích là: S  ax0 . r. Trong mặt phẳng Oxy, tính diện tích S miền giới hạn đường: y  e , y  ln x, x  0, x  1, y  a x với a < 0. s. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x , y  x y = 4. t. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y  x  x  ; y  mặt phẳng toạ độ Oxy. u. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y  e x ; y  e x ; x  21. 1   ;y  ;x  ;x  2 sin x cos x b. Cho hình phẳng (D) giới hạn đường y   x   y = 4. Tính thể tích vật a. Tính diện tích hình phẳng gh đường: y  thể tròn xoay sinh hình phẳng (D) quay quanh: trục Ox trục Oy. c. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường Hoàng Ngọc Phú Page y   2sin 3x 12 x  ; y 1 ;x   d. Tính diện tích hình phẳng gh đường có pt: x  y ; x  y   0; y  e. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (C), trục hoành Ox đường thẳng x  1, x  . f. (CPB) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y  x2  x  2; y  x  x  5; y  g. Cho hình phẳng (G) giới hạn đường y   x ; y   x . Quay hình phẳng (G) quanh trục Ox ta vật thể. Tính thể tích vật thể này. h. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y   x ; y  . i. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau y  x x  y k. Trong mặt phẳng xOy, tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: trục Ox, x= -2, x= 2,y = x(x + 1)(x - 2). l. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y   x  1 ; x  sin  y y = 0, với   y  1 . m. Tính thể tích khối tròn xoay quay quanh trục Oy phần mạt phẳng hữu hạn giới hạn hai trục toạ độ, đường thẳng x=1 đường cong y  .  x2 n. Tính thể tích khối tròn xoay quay quanh trục Ox phần mạt phẳng hữu hạn giới hạn hai trục toạ độ, đường thẳng x = đường cong y = + x3 . o. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường: x3 y  ; y  x hình phẳng quay quanh trục Ox. x2 p. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y  x ; y  y  . x 22. a. Tính diện tích miền kín giới hạn đường cong (C): y  x  x , trục Ox đường thẳng x = 1. b. Cho (H) miền kín giới hạn đường cong (L): y  x ln(1  x3 ) , trục Ox đường thẳng x = 1. Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo cho (H) quay quanh trục Ox. c. Tính diện tích tam giác cong giới hạn đường: y   x  1 ; y  e x ; x  d. Tính diện tích tam giác cong giới hạn đường: x  1; x  e; y  0; y  e. Cho D miền phẳng bị giới hạn đường cong: y  ln x x x2 y  . Tính diện  x2 tích miền D thể tích vật thể tròn xoay tạo thành cho D quay quanh trục Ox. f. Cho miền phẳng D bị giới hạn đường: y  tan x; y  0; x    ; x  . Tính diện tích miền D thể tích vật thể tròn xoay tạo thành cho D quay quanh trục Ox. g. Tính diện tích hình phẳng gh đường: y  f ( x); y  0; x  0; x  2. Hoàng Ngọc Phú Page x h. Cho hình D giới hạn đường: y  sin cos x; y  0; x  0; x   . Hãy tính thể tích vật thể tròn xoay tạo nên cho D quay quanh trục Ox. i. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ trực chuẩn Oxy, cho hình phẳng (D) giới hạn đường: y  x ; y  x; x  . k. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay quanh trục Ox hình phẳng hữu hạn parabol: y  x  x  6; y   x  x  . 3 x  y  x . 2 m. Tính diện tích hình phẳng D giới hạn đường: y  x  y  x . l. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y  x  x2 y o. Tính thể tích hình elipxôit tròn xoay sinh hình elíp   quay b a quanh trục Ox. 23. Tính diện tích hình phẳng giới hạn y x2 4x 3, x 0, x Ox. 24. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y x3 11x 6, y 6x2 , x 25. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y x3 11x 6, y 6x2 . 26. Tính diện tích hình phẳng giới hạn y x3 , y 27. Tính diện tích hình phẳng giới hạn y x2 x 28. Tính diện tích hình phẳng giới hạn y x2 4x 29. Tính diện tích hình phẳng giới hạn y x2 1, y 30. Tính thể tích hình cầu hình tròn (C) : x2 31. Tính thể tích hình khối ellipse (E) : x2 a2 0, x 2. 4x . y2 y2 b2 trục hoành. y x x 3. 5. R2 quay quanh Ox. quay quanh Oy. 32. Tính thể tích hình khối hình phẳng giới hạn đường y x2 , y2 x quay quanh Ox. 33. Tính thể tích hình khối hình phẳng giới hạn đường x y2 , x y quay quanh Oy. 34. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: a. x=1; x=e; y=0 y=  ln x b. y=2x; y=3x x=0 x c. y=sin2xcos3x, trục Ox x=0, x=  . 35. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y=0, y=x32x2+4x3 (C) tiếp tuyến với đường cong (C) điểm có hoành độ 2. 36. Cho hình phẳng D giới hạn đường y=tanx, x=0, x=/3, y=0. a. Tính diện tích hình phẳng D. b. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng D quay quanh trục Ox. 37. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường cong y2=x3 y=0, x=1 quay quanh: a. Trục Ox. b. Trục Oy. Hoàng Ngọc Phú Page 38. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (C): f x    3x  hai trục tọa độ x 1 39. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường (C1): f x   e  1x , (C2): g x   e x  1x 40. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (C): y  x  x  d: y = 41. Tính diện tích hình phẳng giới hạn (P): y2 = 4x d: y = 2x – 4. 42. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh quay miền (D) giới hạn (C): y = lnx, y = 0, y = quay quanh trục Ox. 43. Tính S: P1  : x  ay; P2  : y  ax 44. Tính S: C1  : y  y  x  0; D : x  y  0 45. Tính S: P : y  x; D : x  y   0; Ox : y  0   46. Tính S: P  : y   x x  x  ; H  : y   x  3   47. Cho P : y  x; C  : x  y  8. (P) chia (C) thành phần. Tìm tỉ số diện tích phần đó.   48. Tính S: P  : y  x  x  ; D : y  x   49. Tính S: C1  : y   sin   3x 12 x  ; C2  : y   ; ( D) : x    2 50. Tính S: P1  : y  x ; P2  : y   x2 27  ; (H ) : y   27 x  x2 8 51. Tính S: P1  : y  x ; P2  : y  ; ( H1 ) : y  ; ( H ) : y   x x   53. Tính S: P  : y 52. Tính S: P : y  x; C  : y  4  x 3   x; C  : 27 y  8x  1  54. Tính diện tích hình elip giới hạn (E) :  x2 y2  1 a2 b2  55. Tính S:  y  1; y  x  12 ; x  sin y 56. Tìm Vx sinh S: C  : y  ln x; Ox : y  0;  : x  2 quay quanh Ox   57. Tìm Vx sinh S: L : y  x ln 1  x ; y  0; x  quay quanh Ox   58. Cho S: C  : y   ; ( D) : x  1; y  0; x  0 . Tính Vy S quay quanh Oy. 1 x  59. Cho S: x   y  b2  a ;  a  b . Hoàng Ngọc Phú Page a. Tìm Vx S quay quanh Ox 60. Cho S diện tích (E) : b. Tìm Vy S quay quanh Oy x  42  y 16 1 a. Tìm Vx S quay quanh Ox b. Tìm Vy S quay quanh Oy ( P) : y  x  x . a. Tìm Vx S quay quanh Ox Ox : y   b. Tìm Vy S quay quanh Oy 61. Cho S:    62. Tìm Vx S quay quanh S:  y  sin x  cos x ; y  0; x  0; x   quanh Ox.  2 ( P) : y  x x  0  63. Cho S:  ( D1 ) : y  3x  10 . a. Tìm Vx S quay quanh Ox (D ) : y   b. Tìm Vy S quay quanh Oy 64. Cho S diện tích (E) : x2 y2   0  b  a  a2 b2 a. Tìm Vx S quay quanh Ox b. Tìm Vy S quay quanh Oy 65. Cho S: P1  : y   x ; ( P2 ) : y  x  2. Tính Vy S quay quanh Ox. 66. Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên cho hình tròn tâm I(2,0) bán kính R = quay quanh trục Oy. 67. Cho S: P : y  x ; ( D) : y  x  4. Tìm Vx S quay quanh Ox.  68. Cho S: P1  : y  x ; P2  : y   x2 27  ; ( H ) : y   . Tìm Vx S quay quanh Ox. 27 x   69. Cho S: C  : y  x ; ( D) : y   x; y  . Tìm Vy S quay quanh Oy. 70. Cho ( H ) : x2 y2   (D) tiếp tuyến (H) qua A(2,-1) với hệ số góc dương. Tính 16 thể tích khối tròn xoay tạo miền phẳng giới hạn (H), (D) trục Ox quay quanh trục Oy.   71. Cho S: C  : y  x  22 ; ( D) : y  . a. Tìm Vx S quay quanh Ox  72. Cho S: P1  : x   a. Tính S  73. Cho S: C  : y   Hoàng Ngọc Phú b. Tìm Vy S quay quanh Oy  y2  y  0; P2  : x   y  y  y  2; ( D) : x  4 .  b. Tìm Vx S quay quanh Ox  x3 ; ( P) : y  x  . Tìm Vx S quay quanh Ox  Page   74. Cho S: C  : y  4  x 3 ; ( P) : y  x . a. Tìm Vx S quay quanh Ox b. Tìm Vy S quay quanh Oy 75. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn (P): y = x2 – 2x + tiếp tuyến (P) qua A(2,-2) Hoàng Ngọc Phú Page . Phú Page 1 DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẰNG THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRÒN XOAY 1. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường : a. y = x 4 – x 2 và trục Ox b. y = x(x - 3) 2 và trục Ox. y    Tính diện tích của miền D và thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi ta quay (D) quanh trục Oy. m. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 1yx và 5yx trong. được một vật thể. Tính thể tích vật thể này. h. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 1 ; 0y x y   . i. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau 2 2yx và 2 xy