[r]
(1)Câu1: Tính tích phân sau: a/
2
x 2x
I dx;
x
b/
x
4
J(3x e )dx.
Giaûi:
a/ Ta coù:
2
2
1
1 2
I dx ln | x | (ln2 1) (ln1 2) ln2
x x x
b/ Ta coù:
4 x
2 4
0
J x 4e (24 4e) (0 4) 28 4e
2
Câu2: Tính tích phân:
1
2
x
I dx
x
Giaûi:
Từ x5 x (x3 1) x(x 21) x.
Ta được:
1
3 2
2
0
x 1 1
I x x dx x x ln(x 1)] ln2
4 2
x
Câu3: Tính
/
sin x dx. cosx sin x
Giải:
Ta có:
sinx A B cosx sinx (A B)cosx (A B)sin x
cosx sinx cosx sinx cosx sinx
Đồng đẳng thức, ta được:
A B A B 1.
A B
Vaäy:
/
/ /
0
0
sinx dx cosx sinx dx 1x 1ln(cosx sinx) .
cosx sinx 2(cosx sinx 2
(2)Câu4: Tính tích phân :
2
2
0
x
I dx
1 x
Giaûi:
Đặt x = sint, đó: dx = costdt Đổi cận: với
x= t =
x= t
2
Lại có:
2 2
2
x dx sin t.costdt sin t.costdt sin t costdt (1 cos2t)dt.
cost cost
1 x sin t
Khi đó:
/ /
0
1 1
I (1 cos2t)dt t sin2t
2 2
Câu5: Tính tích phân :
2 / 2
dx I
x x
Giải:
Đặt
1 cost
x , : dx dt
sin t sin t
Đổi cận:
x= t = 2
x= t
3
Khi đó:
/ 2 /
/ /
/ /
2 costdt
sin t dt t
1 6
1
sint
sin t
Câu6: Tính tích phân :
0 a
a x
I dx, (a 0)
a x
(3)Đặt x a.cos2t, đó: dx 2a.sin2tdt
Đổi cận:
x= -a t =
x=0 t
4
Lại có:
a xdx a a.cos2t( 2a.sin2tdt) cot t ( 2a.sin2tdt)
a x a a.cos2t
2
4a.cos t.dt 2a(1 cos2t)dt
Do đó:
/ /
/ / 4
1
I 2a (1 cos2t)dt 2a t sin2t a
2
.
Câu7: Tính tích phaân :
/ /
cosdx I
sin x 5sinx
Giaûi:
Đặt x = sint, đó: dt = cosxdx
Đổi cận:
1 x= t =
6
3
x= t
3
Ta coù: 2
cosdx dt dt
(t 2)(t 3) sin x 5sinx t 5t 6
A B dt [(A B)t 2A 3B]dt
t t (t 2)(t 3)
Từ đó:
A B A
2A 3B B
Suy ra:
cosxdx 1 dt.
t t sin x 5sinx
Khi đó:
3 / /
1/ 1/
1 t 3(6 3)
I dt ln ln
t t t 5(4 3)
Câu8:: Tính tích phân :
7
3
0
x dx I
1 x
(4)Giaûi:
Đặt t 3 x2 1 t3 x2 1, đó:
2
2 3t dt
3t dt 2xdx dx
2x
Đổi cận:
x= t =
x= t
Ta coù:
3
3
3
x dx x 3t dt 3t(t 1)dt 3(t t)dt. 2xt
1 x
Khi đó:
2
2
4
1
t t 141
I (t t)dt
5 10
Câu9:: Tính tích phaân :
1 2008
I x sin xdx
Giaûi:
Viết lại I dạng:
0
2008 2008
1
I x sin xdx x sin xdx
(1) Xét tích phân
0 2008
J x sinxdx
Đặt x t dxdt đó:
2
2 3t dt
3t dt 2xdx dx
2x
Đổi cận:
x= -1 t = x=0t 0
Khi đó:
0
2008 2008
1
I( t) sin( t)dt x sin xdx
(2) Thay (2) vào (1) ta I = 0.
Câu10:: Tính tích phân :
/
4
0
cos x
I dx
cos x sin x
(5)Đặt t x dx dt
Đổi cận:
x= t =
x= t
2
Khi đó:
4
0 / /
4 4
4
/ 0
cos ( t)( dt) sin tdt sin x
2
I dx
cos t sin t cos x sin x cos ( t) sin ( t)
2
Do đó:
/ 4 /
4
0
cos x sin x
2I dx dx I
2
cos x sin x
Câu11:: Tính tích phân:
1/ 1/
1 x
I cosx.ln dx
1 x
Giaûi:
0 1/
1/
1 x x
I cosx.ln dx cosx.ln dx
1 x x
. (1)
Xeùt tính chất
0 1/
1 x
J cosx.ln dx
1 x
Đặt x t dxdt
Đổi cận:
1
x= - t =
2
x=0 t
Khi đó:
0 1/ 1/
1/ 0
1 t t x
I cos( t).ln dt cost.ln dt cosx.ln dx
1 t t x
(2) Thay (2) vào (1) ta I = 0.
Câu12:: Tính tích phân:
1 x
x dx I
2
(6)Giaûi:
Biến đổi I dạng:
0 4
x x
1
x dx x dx
I
2
(1) Xét tích phân
0 x
x dx J
2
Đặt x = –t dx = –dt
Đổi cận:
x= -1 t =
x=0t 0 Khi đó:
0 4 t x
t t x
1 0
( t) dt t dt x dx J
2 2
(2)
Thay (2) vào (1) ta được:
1 x 4 x
4
x x x
0 0
x dx x dx x (2 1)dx
I x dx
5
2 2
Câu13: Tính tích phân:
/ n
n n
0
cos xdx I
cos x sin x
Giải:
Đặt t x dx dt
Đổi cận:
x= t =
x= t
2
Khi đó:
n
0 / n / n
n n n n
n n
/ 0
cos t ( dt) sin tdt sin x
2
I dx
cos t sin t cos x sin x
cos t sin t
2
Do đó:
/ n n /
n n
0
cos x sin x
2I dx dx I
2
cos x sin x
Câu14:: Tính tích phân: xsin xdx
I
4 cos x
(7)Giaûi:
Biến đổi I dạng: 2 xsin xdx xsinxdx
I xf(sinx)dx
4 (1 sin x) sin x
Đặt x t dxdt
Đổi cận:
x= t = x=0 t
Khi đó:
0
2 2
0 0
( t)sin( t)dt ( t)sintdt sintdt tsintdt I
4 cos ( t) cos t cos t cos t
2 2
0 0
d(cost) I 2I d(cost) d(cost)
4 cos t cos t cos t
2
0
d(cost) cost ln9
I ln
2 cos t 4 cost
Câu15:: Tính tích phân:
2
3
Ix.cos xdx
Giải:
Đặt x 2 t dxdt
Đổi cận:
x= t =
x=0 t 2 Khi đó:
0
3
2
I (2 t).cos (2 t)( dt) (2 t).cos tdt
2 2
3
0 0
2 cos tdt t cos tdt (cos3t 3cost)dt I
2
2I sin3t 3sin t I
2
Câu16: Tính tích phân:
/
1 sin x
I ln dx
1 cosx
(8)Đặt t x dx dt
Đổi cận:
x= t =
x= t
2
Khi đó:
0 /
/ 0
1 sin t 1 cost 1 sint
2
I ln ( dt) ln dt ln dt
1 sint cost
1 cos t
2
/
1 sinx
ln dx I 2I I
1 cosx
Câu17:: Tính tích phân:
/
Iln(1 tgx)dx.
Giải:
Đặt t x dx dt
Đổi cận:
x= t =
x= t
4
Khi đó:
0 / /
/ 0
1 tgt
I ln[1 tg( t)dt ln(1 )dt ln dt
4 tgt tgt
/ / /
/
0 0
[ln2 ln(1 tgt)]dt ln2 dt ln(1 tgt)dt ln2.t I
ln2 ln2
2I I
4
Câu 18:Tính tích phân:
2
ln(1 x)
I dx
x
(9)Đặt:
2
1
u ln(1 x) du dx
1 x
dx 1
dv v
x x
Khi đó:
2 2
1 1 1
1 1 1
I ln(x 1) dx ln3 ln2 dx
x x(x 1) x x
2
1ln3 ln2 (ln | x | ln(x 1)) 3ln3 3ln2.
2
Câu 19:Tính tích phân: 01 2(x x)e dx2x
Giải:
1 2x
0(x x)e dx
Đặt
2 2x
u x x dv e dx
2x
du 2x dx
v e
I =
1 1
2x 2x
1
0
1e (x x) (2x 1)e dx e I 2
I1 =
1 2x
0(2x 1)e dx
, Đặt 2x
u 2x dv e dx
2x
du 2x 1dx
v e
I1 =
1 1
2x 2x 2x
0
0
1e (2x 1) e dx 1(3e 1) 1e 2
= 2
1 3e 1 1(e 1) e
2 Vaäy I =
2 2 e
e e 2
Câu 20:Tính tích phaân:
3
0 x 1x e dx
Giaûi: I =
3
0 x 1x e dx
Đặt t = –x3
(10) x = t = , x = –1 t = 1 I =
0 t t
1
1
1 1
( t).e dt t.e dt I
3 3
Với I
1 = t 0te dt
Đặt t
u t dv e dt
t du dt v e
I1 =
1 1
t t t
0
0
e t e dt e e 1
Vaäy I =
1I 3
Câu 21:Tính tích phân:
/ 2
I(x 1)sinxdx.
Giải:
Đặt:
2 du 2xdx
u (x 1)
v cosx
dv sinxdx
Khi đó:
/ /
/ 2
0
0
I (x 1)cosx xcosxdx xcosxdx
(1) Xét tích phân
/
Jxcosxdx
Đặt:
u x du dx
dv cosxdx v sinx
Khi đó:
/
/ /
0
0
J xsinx sinxdx cosx
2
(2) Thay (2) vào (1) ta được: I 2 1
Câu 22:Tính tích phân: 01xe dxx
Giải:
1 x 0xe dx
Đặt t = x t2 = x
(11) I =
12 t 13 t 0t e 2tdt t e dt 2I
Đặt
3 t
u t dv e dt
2 t
du 3t dt v e
I1 =
1 1
t t
2
0
e t e t dt e 3I
Với I2 = t 0e t dt
Đặt
t
u t dv e dt
t du 2tdt v e
I2 =
1 1
t t
3
0
e t e tdt e 2I
1 với I
3 = t 0e tdt
Đặt t
u t dv e dt
t du dt v e
I3 =
1 1
t t t
0
0
e t e dt e e e (e 1) 1
Vaäy I = 2I1 = 2(e – 3I2) = 2e – 6I2 = 2e – 6(e – 2I3) = 12I3 – 4e = 12 – 4e
Câu 23:Tính tích phân:
2x
Ie sin xdx
Giaûi:
Biến đổi I dạng:
2x 2x
0
1
I e sin xdx e (1 cos2x)dx
2
(1)
Xét tích phân:
2
2x 2x
1
0
1 e
I e dx e
2 2
(2)
Xét tích phân:
2x
0
I e cos2xdx
Đặt:
2x 2x
du 2sin2xdx u cos2x
1
v e
dv e dx
2
Khi đó:
2
2x 2x 2x
2
0 0 0
1 e
I e cos2x e sin2xdx e sin2xdx
2 2
(3)
Xét tích phân:
2x 2,
0
(12)Đặt:
2x 2x
du 2cos2xdx u sin2x
1
v e
dv e dx
2
Khi đó:
2x 2x
2,
0 0 I
I e sin e cos2xdx I
2
(4) Thay (4) vào (3), ta được:
2
2 e 2 e
I I I
2 4
(5) Thay (2), (5) vào (1), ta được:
2
2
1 e e 1
I [ ( )] (e 1)
2 2 4
I1 =
1 1
t t t
0
0
e t e dt e e 1
Vaäy I = 2
Câu 24:Lập cơng thức truy hồi tính:
/ n n
0
I sin x.dx (n N)
Giaûi:
Đặt:
n n
u sin x du (n 1)).sin x.dx
dv sinx.dx v cosx
n /
n n n n n
n
I sin x.cosx] (n 1).(I I ) I I
n
Câu 25:Lập công thức truy hồi tính:
/ n n
0
I cos x.dx (n N)
Giaûi:
Ñaët:
n n
u cos x du (n 1).cos x.dx
dv cosx.dx v sinx.
n /
n n n n n
n
I cos x.sinx] (n 1).(I I ) I I
n
(13)Câu 26:Lập cơng thức truy hồi tính:
/ /
n n
n n
0
I x cosx.dx J x sinx.dx
Giải:
Đặt:
n n
u x du n.x dx.
dv cosx.dx v sin x n n
n n n
I x sin x nJ 2 nJ (1)
0
Tương tự: Jn 0 nIn 1 (2) Từ (1) (2)
n n
n n n n
I n(n 1)I I n(1 n)I
2
Tương tự có :
n
n n
J n(1 n)J n
2
Câu 27:Lập cơng thức truy hồi tính:
1 n x n
0
I x e dx
Giải:
Đặt:
n n
u x du nx dx
x x
dv e dx v e n x
n n n
I [x e ] nI e nI
Câu 28:Lập công thức truy hồi tính:
1 n
n x
n x n
0
x
I dx hay I x e dx
e
Giải:
Đặt:
n n
u x du nx dx
(14)n x
n n 1 n
I [ x e ] nI nI
e
Câu 29:Lập cơng thức truy hồi tính: e
n *
n
I ln x.dx (n Z )
Giải:
Đặt:
n n 1
u ln x du n.ln x, dx
x
dv dx v x. n e
n n n n
I [x.ln x] n.I I e nI
Câu 30:Chứng minh rằng:Nếu f(x) liên tục hàm chẵn đoạn [–a ; a] thì:
a a
a
I f(x)dx f(x)dx
Giaûi:
Biến đổi I dạng:
a a
a a
I f(x)dx f(x)dx f(x)dx
(1) Xét tính phân
0 a
J f(x)dx
Đặt x t dxdt
Đổi cận:
x= -a t = a
x=0t 0 Mặt khác f(x) hàm chẵn
f(–t) = f(t)
Khi đó:
0 a a a
a 0
Jf( t)dt f(t)dt f(t)dtf(x)dx
(2) Thay (2) vào (1) ta
a
I f(x)dx
Câu 31:Chứng minh rằng Nếu f(x) liên tục chẵn R :
x
0 f(x)dx
I f(x)dx với R a
a
(15)Biến đổi I dạng:
0
x x x
0
f(x)dx f(x)dx f(x)dx I
a a a
Xét tính phân
0
1 x
f(x)dx I
a
Đặt x t dxdt
Đổi cận:
x= t =
x=- t Mặt khác f(x) hàm chẵn
f(–t) = f(t).
Khi đó:
0 t t
1 t t t
0
f( t)dt a f(t)dt a f(t)dt I
a a a
Vaäy:
t x
t x x
0 0
a f(t)dt f(x)dx (a 1)f(x)dx
I f(x)dx
a a a
Câu 32:Chứng minh rằng Nếu f(x) liên tục 0;
thì:
/ /
0
f(sinx)dx f(cosx)dx
Giải:
Đặt t x dx dt
Đổi cận:
x= t =
x= t
2
Khi đó:
/ / /
0 / 0
f(sin x)dx f(sin( t)dt f(cost)dt f(cosx)dx
Câu 33:Chứng minh rằng Nếu f(x) liên tục f(a + b – x) = f(x) thì
b b
a a
a b
I xf(x)dx f(x)dx
2
Giaûi:
Đặt x a b t dxdt
Đổi cận:
x= a t = b
x=bt a Khi đó:
a b
b a
(16)b b b b b
a a a a a
(a b)f(t)dt tf(t)dt (a b) f(t)dt xf(x)dx (a b) f(t)dt I
b b
a a
a b
2I (a b) f(t)dt I f(x)dx
2
Câu 34:Chứng minh rằng Nếu f(x) liên tục f(a + b – x) = –f(x) thì
b a
If(x)dx 0.
Giải:
Đặt x a b t dxdt
Đổi cận:
x= a t = b x=bt a
Khi đó:
a b b
b a a
If(a b t)( dt) f(t)dt f(x)dx I 2I 0 I
Câu 35: Tính tích phân sau:
1 x
J e dx
Giaûi:
Xét dấu hàm số y = ex – 1
Ta coù: y = e 0x x 0
Nhận xét rằng: x 0 ex 1 y 0 ; x 0 ex 1 y 0 Do đó:
0 1
0
x x x
1
1
1
J (1 e )dx (e 1)dx (x e) (e x) e
2
Câu 36: Tính tích phân:
4
I x 3x 2dx
Giải:
Ta xét dấu hàm số f(x) x 2 3x 2 treân [–1, 4],
ta được:
f(x) neáu x 1,1 2,4 f(x) neáu x 1,2
Khi đó:
1
2 2
1
I (x 3x 2)dx (x 3x 2)dx (x 3x 2)dx
(17)1
3 3
1
1x 3x 2x 1x 3x 2x 1x 3x 2x 19.
3 3 2
Câu 37: Tính : 02sinx xsinx x cosx dx
Giaûi:
2 2
2
2
0
xsinx
sinx xsinx x cosx dx= xsinxd xsinx 2=
2 0
Câu 38: Tính :
2
2 2
x 3x dx x 3x
Giaûi:
2
2 2
x 3x dx x 3x
=
2
dx x 3x 2
+
2
0
dx (x 3x 2)
1.
2
dx x 3x 2
=
1
0
0
dx ln x (x 1)(x 2) x
=
4 ln ln ln
3
2 I =
2
0
dx (x 3x 2)
Ta coù :
2
2
1 1
(x 1)(x 2) x x (x 3x 2)
= 2
1
(x 1)(x 2) (x 1) (x 2)
I =
1 1
2
0 0
dx dx dx
(x 1)(x 2) (x 1) (x 2)
=
1 1
0 0
1 2ln x x x x
=
1 1 1 2 ln2 ln1 3
ĐS:
1 1 1 2 ln2 ln1 3
+
4 ln
3
Câu 39: Tính :I=
2
0 x cos x xsinxcosx dx
(18)
2
2
0
xcosx
xcosx cosx xsinx dx= xcosxd xcosx 2=0
2 0
Caâu 40: Tính :
01 2x
5x 13 (x x)e dx
x 5x
Giaûi:
01 2x
5x 13 (x x)e dx
x 5x =1 2 2x
0(x x)e dx
01x25x 13 dx5x 6
1.
1 2x
0(x x)e dx
Đặt
2 2x
u x x dv e dx
2x
du 2x dx
v e
I =
1 1
2x 2x
1
0
1e (x x) (2x 1)e dx e I 2
I1 =
1 2x
0(2x 1)e dx
, Đặt 2x
u 2x dv e dx
2x
du 2x 1dx
v e
I1 =
1 1
2x 2x 2x
0
0
1e (2x 1) e dx 1(3e 1) 1e 2
=
2 2
1 3e 1 1(e 1) e
2 Vaäy I =
2 2 e
e e 2
2.
2
0x5x 13 dx5x 6
Ta coù :
5x 13 A B A(x 3) B(x 2) (x 3)(x 2) x x (x 3)(x 2)
5x – 13 = (A + B)x – 3A – 2B A + B = vaø –3A – 2B = –13 A = , B = 2
Vaäy I =
3 dx x x
=
1
3ln x 2ln x
= –(ln2 + 2ln3) = –(ln2 + ln32) = –ln(2 32) = –ln18
ĐS:
2 2 e
e e 2
–ln18
Câu 41: Tính :
e 2
1
Ix ln x lnx dx
Giaûi:
2 2
e e
1
xlnx e e
I x lnx lnx dx= xlnxd xln x dx= 1
2
(19)Câu 42: Tính :
01 x
x xe dx x 4x
Giaûi:
01 x
x xe dx
x 4x =01xe dxx +
2
x dx x 4x
=I+J 1 I= x 0xe dx
Đặt t = x t2 = x
2tdt = dx x = t = , x = t = 0
I =
12 t 13 t 0t e 2tdt t e dt 2I
Đặt
3 t
u t dv e dt t
du 3t dt v e
I1 =
1 1
t t
2
0
e t e t dt e 3I
Với I2 =
1 t 0e t dt
Đặt
t
u t dv e dt
t du 2tdt v e
I2 =
1 1
t t
3
0
e t e tdt e 2I
1 với I
3 =
1 t 0e tdt
Đặt t
u t dv e dt
t du dt v e
I3 =
1 1
t t t
0
0
e t e dt e e e (e 1) 1
Vaäy I = 2I1 = 2(e – 3I2) = 2e – 6I2 = 2e – 6(e – 2I3) = 12I3 – 4e = 12 – 4e
2 J =
2
x x dx x 4x
= 5x dx
x 4x
2 2
5x 5x A B x
x 4x (x 2) (x 2)
= 2
A(x 2) B Ax 2A B (x 2) (x 2)
Đồng vế :
A 2A B
A B 1 2 0
5x dx dx x
x 4x (x 2)
= 1 0 1
5ln x 5ln x 2
Vaäy J = 5
1 ln
2
ĐS: 5
1 ln
2 +12 – 4e=5 ln 17
(20)Câu 43: Tính :I1e 3x ln x 2ln x dx
Giaûi:
2
2 4
e 2 e 2 2
1
x ln x e e I x lnx 2x ln x x dx= x lnx.d x lnx dx= 1=
2
Caâu 44: Tính :
02 cosx sinxcosx e sin2x dx2 sinx sinx
Giaûi:
02 cosx sinxcosx e sin2x dx2 sinx sinx =
02 cosx sinxcosx dx2 sinx +
02 esinxsin2x dx
1.
2
0
cosx sinxcosxdx sinx
= 02 02
(1 sinx)cosxdx (2 sinx 1)cosxdx sinx sinx
=
2
0
1
1 cosxdx sinx
=
2
0
cosx cosx dx
2 sinx
=
2 /
0
(sinx 2) cosxdx dx
2 sinx
=
3 sinx 2 ln sinx 2=1-ln3 ln2=1 ln
2
0
2 sinx
0e sin2xdx
= 2 02esinxsinxcosxdx
Đặt t = sinx dt = cosx dx
x = 2
t = , x = t =
I = 2
1 t
1 0e t dt 2I
Đặt t
u t dv e dt
t du dt v e
I1 =
1 1
t t t
0
0
e t e dt e e 1
Vaäy sinx
0e sin2xdx
= 2
ĐS:
3 ln
2
Câu 45: Tính :I 02x cosx 3cosx xsinx dx5
(21)
3
3 3
2
0
x cosx
I x cosx 3x cosx x sinx dx= x cosxd x cosx dx= 2=0
2 0
Câu 46: Tính :
02 sinx
sinx cosx
I e sin2x dx
sinx cosx
Giaûi:
02 sinx
sinx cosx
I e sin2x dx
sinx cosx = 02esinxsin2xdx
+ 02sinx cosx 2sinx cosx dx
2 sinx
0e sin2xdx
= 2 02esinxsinxcosxdx
Đặt t = sinx dt = cosx dx
x = 2
t = , x = t =
I = 2
1 t
1 0e t dt 2I
Đặt t
u t dv e dt
t du dt v e
I1 =
1 1
t t t
0
0
e t e dt e e 1
Vaäy sinx
0e sin2xdx
= 2
2
0
sinx cosx dx sinx cosx
=
/
(sinx cosx 2) dx sinx cosx
=
2
0
ln(sinx cosx 2)
ĐS:I=2
Caâu 47: Tính tích phân
e 3
1
Ix ln x ln x dx
Giaûi:
2
2 2
e 2 2 e 2 2
1
xln x e e
I xln x ln x 2lnx dx= xln xd xln x dx= 1=
2
Câu 48: Tính tích phân
2
3 sinx
0
sinx sin x e sin2x dx
cos2x
Giaûi:
2
3 sinx
0
sinx sin x e sin2x dx
cos2x = sinx
0e sin2xdx
+
3
0
sinx sin xdx cos2x
(22)I = 02esinxsin2xdx
= 2 02esinxsinxcosxdx
Đặt t = sinx dt = cosx dx
x = 2
t = , x = t = I = 2
1 t
1 0e tdt 2I
Ñaët t
u t dv e dt
t du dt v e
I1 =
1 1
t t t
0
0
e t e dt e e 1
Vaäy I = 2
J=
3
0
sinx sin xdx cos2x
=
2
2
2
0
sinx(1 sin x) dx cos xsinxdx
(2cos x 1) cos x
Đặt t = cosx dt = –sinx dx x = t = , x = 2
t = 0 J =
2
1 1
2 2
0 0
1 t dt 1 dt 1dt 2 dt
1 t t t
Xeùt K =
2 01 t1 dt
Đặt t = tgu
dt =
2
1 du (1 tg u)du cos u
t = u = , t = u = 4
K =
4
0
2u
J = – + 2
ĐS:
2
3 sinx
0
sinx sin x e sin2x dx
cos2x =1 2
Câu 49: Tính tích phân I1e 3x ln x 3ln x dx
Giaûi:
2
3 6
e 3 2 2 2 2 e 3 2 3 2
1
x ln x e e I x ln x 3x ln x 2x ln x dx= x ln x.d x ln x dx= 1=
2
Caâu 50: Tính tích phân
02
cosx dx cosx cos x
Giaûi:
02
cosx dx cosx cos x =
2
0
cosx dx cos x
+ 02
dx cosx
(23)I =
2
0
cosx dx cos x
=
2
0
cosx dx sin x
Đặt t = sinx dt = cosx dx x =2
, t = , x = 0, t =
I =
1
0 2
1 dt 2 2 t
Đặt t = 2sinu dt = 2cosu du , t = 2sinu = u = 0
t = 2sinu = sinu =
1
2 u = 6
I =
6
0 2
1 2cosu du 2cosudu 2cosu 2 2 sin u
=
6
0
1 u
2
J= 02
dx cosx
Đặt t = tgx2
dt =
2
1 dx tg x 1 dx x 2 2cos
2
= 21(t 1)dx2 dx = 2dt t 1
x = 2
t = , x = t = 0
J =
2
1
2
0
2
2dt
dt t 2
1 t 2 t t
=
1
2
dt
t
Đặt t = tgu dt =
3 du cos u
t u t u
6
Vaäy J = 2
6
2 2
0
3du
3 du cos u 2
3tg u 3cos u(tg u 1)
=
6
0 2
0
1 du
2 1 u
3 cos u 3 cos u
ĐS:
02
cosx dx cosx cos x =
3
Caâu 51: Tính tích phân I 02x sin x 5sin x xsin2x dx9
(24)
2
5 10
5 5
2
11
0
x sin x I x sin x 5x sin x x sin2x dx= x sin x x sin x dx= 2=
2 0
Câu 52: Tính tích phân
01 3
1 x x dx x x
Giaûi:
01 3
1 x x dx
x x =
1
4
0
dx x x 1
+ 01 3x (1 x ) dx =I+J
I=
4
0
dx x x 1
Đặt u = x2 du = 2x dx x = u = , x = u = 1
I =
1
2
0
1 du du u u u
2
Đặt u +
1
2 tgt du =
3 1 dt cos t
u = tgt =
1
3 t = 6
, u = tgt = 3 t = 3
2
2
2
1 3
u (tg t 1)
2 4 cos t
I =
3
6
2
2
3 dt
1 2cos t dt
2
4cos t
J= 01 3x (1 x ) dx Đặt t = – x2 dt = –2xdx
x = 1, t = , x = 0, t =
J =
4
0 3 3 4
1
1
1 1 t t
(1 t).t dt (t t )dt
2 2 40
ĐS:
01 3
1 x x dx
x x =
1 40
(25)Câu 53: Tính tích phân I 02x cos x 9cosx 2xsinx dx17
Giaûi:
2
9
9 9
2
0
x cos x
I x cos x 9x cos x x sin2x dx= x cos xd x cos x dx= 2=0
2 0
Câu 54: Tính tích phân
02 sinx
1
e cosx dx
3cosx 4sinx
Giaûi:
02 sinx
1
e cosx dx
3cosx 4sinx = 02esinxcosxdx
+ 02
dx
3cosx 4sinx
=I+J
I= 02esinxcosxdx
=
02esinxd sinx =esinx 2=e-1
0
J= 02
dx
3cosx 4sinx
Đặt t = tgx2
sinx =
2t
1 t , cosx =
2
1 t t
dt =
2
2
dx 1 tg x dx 1(1 t )dx
x 2
2cos
dx =
2
x t 2dt
x t 1 t 2
J =
2
2
1
2
0
2
2dt
dt
1 t 2
1 t 2t 3t 8t 5t
3
1 t t
=
1
1
2
0
0
dt dt 1
t 2 t 4t (t 2)
ĐS:
02 sinx
1
e cosx dx
3cosx 4sinx =e-1
Caâu 55: Tính tích phân I x sin3x sin3x xcos3x dx02
(26)Giaûi:
2
3 6
3 3
2
7
0
x sin3x
I x sin3x 3x sin3x 3x cos3x dx= x sin3x.d x sin3x dx= 2=
2 0
Caâu 56: Tính tích phân
01
x dx
4 x x 4x
Giaûi:
01
x dx
4 x x 4x =
1 04 xx dx
+ 01
dx x 4x 3
=I+J
I=
2
x dx x
= 01
1 x dx x =
1 3ln
J=
4
0
dx x 4x 3
=
1
2
0
dx (x 1)(x 3)
=
2
0
1 1 dx x x
* I1 =
2
dx x 1
Đặt x = tgt
dx =
1 dt cos t
x = tgt = t = 4
, x = tgt = t =
2
2
1 x tg t
cos t
I1 =
4
0
2
dt
cos t dt
1
cos t
* I2 =
2
dx x 3
Đặt x = 3tgt
dx =
1 dt
cos t
x = 3tgt 1 t = 6
, x = 3tgt 0
t = 0
I2 =
6
2
0
1 3 dt cos t tg t
=
6
0
1 t
=
1
3
ĐS:
01
x dx
4 x x 4x = 32 4ln +
2
(27)Câu 57: Tính tích phân :
02sin xcosx 3sin xcos x sin x dx3 2
Giaûi:
02sin xcosx 3sin xcos x sin x dx= sin xcosxdx3 2 02 02sin xcosx.d sin xcosx dx3 =I+J
I= 02sin xcosxdx3
=
2
2 /
0
0
sin x sin x(sinx) dx
4
J=
2
2
3
0
sin xcosx sin xcosx.d sin xcosx dx= 2 2=0
0
ĐS:
1
Câu 58: Tính tích phân
2
e
2
(lnx 1) 1 ln x dx
x x
Giaûi:
2 2 2
e e e
2
1 1
(lnx 1) 1 ln x dx= (lnx 1) dx (lnx 1) .d (lnx 1)
x x x x x =I+J
I=
2 e
1(lnx 1) dxx
=
3 e
e 2 /
1
1
(lnx 1) (lnx 1) (lnx 1) dx
3
J=
2
e
2
1
e
(lnx 1) .d (lnx 1) =(lnx 1) = 16 1
x x 2x 2e
ĐS: 2
16 11 2e
Caâu 59: Tính tích phân
37
3
0 3
x 5x
x dx dx
1 x x
(28)
37
3
0 3 2
x 5x
x dx dx
1 x x
37 37 2
2
0 3
3x x 2x
x dx x dx
x
1 x x =I+J
I=
37
0 3
x dx x
=
3
3 3 /
7 2 3 3
0
(1 x ) x (1 x ) dx (1 x ) dx
3
=
1 3 3
3
3 3
3
0
1 (1 x ) 1 x
3 1 2
3
J=
37 2 37 3
2 2 2
0 2 2 3
3x x 2x
x dx= x .d x dx= x 7= 49
x x 1 x x 2 x 1 2 49 1
ĐS:
3
49 2 49
Câu 60: Tính tích phân
01e x2x 1 2x e x2 dx
Giaûi:
01e x2x 1 2x e x2 dx=
2
1 x x
0 x
1 2x e xdx e x dx
e =I+J
I=
2
1 x 0e xdx
Đặt t = ex2
dt = –2x
2
x
e dx ,
x = t = e–1 =
1
e x = t = 1
I =
1
e e
2
1 x
dt dt
t t
2t 2e
=
1
1 e
e
1
1
1 dt 1t 1 1
2 2 e
J=
2
2
1 x x
2
0 2x
1
x
e x.d e x = = 2e 2e
ĐS:
2
1 1 1 e 2e
Câu 61: Tính tích phân
x
3
lnx lnx
e dx
(29)Giaûi:
x
4
2
1
e dx lnx lnx dx x
x x =I+J
I = x e dxx
, Đặt t = e x
dt =
x
e dx x
x = t = e2 , x = t = e
I =
2
2 e
e 2
e
e
2tdt 2t 2(e e)
J=
2
4
2
1
4 lnx lnx dx= lnx d lnx =ln x =ln
1
x x x x 2x
ĐS:
2
2 ln
2(e e)
Câu 62: Tính tích phân 01 5x (1 x ) dx
Giaûi:
I = 01 5x (1 x ) dx Ñaët t = – x3 dt = –3x2 dx
x = 1, t = , x = 0, t =
I =
7
0 6 6 7
1
0
1 1 t t
(1 t).t dt (t t )dt
3 3 168
Câu 63: Tính tích phân 01(2x x 1) x dx
Giải:
1 6
0(2x x 1) x dx
.
(30) dt = 2.
1
3x
2 dx = 3 xdx
x = 1, t = , x = 0, t = –1
I =
7
1 6 6
1
1
1 1 t
t dt t dt
3 3 21
Câu 64: Tính tích phân
02 sin x sin2x 2sin x dx2 2
Giaûi:
02 sin x sin2x 2sin x dx2 2 =
02 sin x sin2xdx2 02 sin x sin x sin2xdx2 2 =I+J
I =
02 sin x sin2xdx2 Đặt t = + sin2x dt = 2sinxcosx dx
x =2
, t = , x = 0, t =
I =
3 2
1
1
t t dt
3
4
2
2
2
1 sin x 16 J sin x d sin x = 2= =8
2 0
ĐS:
31
Câu 65: Tính tích phân
3
2
4
1 4
x 3x
x dx
x x 1
Giaûi:
3
2
4
1 4
x 3x
x dx
x x 1
=
2
2
4
1 4
x 1dx x .x 4x dx x x x 1
=I+J I=
2
4
x 1dx x
(31)I=
/
2
2
1 2
2
1
1 x
1
x
x dx dx
1 1
x x 2
x x
t =
1 x
x
dt =
/
1 x
x
dx
x = t = , x = t =
5 2
Vaäy: I =
5
2
5 5 2 2 2 dt = lnt = ln
2 2 t 2
t 2 2 2
4
2
4 4
1 4 4
2
x x 4x x x x
J dx= d = =
-1 289 x x 1 x x 2 x 1
ĐS:
5 2 2
1 ln