1. Trang chủ
  2. » Vật lí lớp 12

mot so bai tap tich phan

30 16 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 30
Dung lượng 2,48 MB

Nội dung

[r]

(1)

Câu1: Tính tích phân sau: a/

2

x 2x

I dx;

x  

b/

x

4

J(3x e )dx.

Giaûi:

a/ Ta coù:

2

2

1

1 2

I dx ln | x | (ln2 1) (ln1 2) ln2

x x x

   

            

 

 

b/ Ta coù:

4 x

2 4

0

J x 4e (24 4e) (0 4) 28 4e

2

 

        

 

Câu2: Tính tích phân:

1

2

x

I dx

x 

Giaûi:

Từ x5 x (x3 1) x(x 21) x.

Ta được:

1

3 2

2

0

x 1 1

I x x dx x x ln(x 1)] ln2

4 2

x

   

           

 

 

Câu3: Tính

/

sin x dx. cosx sin x

Giải:

Ta có:

sinx A B cosx sinx (A B)cosx (A B)sin x

cosx sinx cosx sinx cosx sinx

   

 

   

    

Đồng đẳng thức, ta được:

A B A B 1.

A B

  

   

  

Vaäy:

/

/ /

0

0

sinx dx cosx sinx dx 1x 1ln(cosx sinx) .

cosx sinx 2(cosx sinx 2

 

 

   

         

     

(2)

Câu4: Tính tích phân :

2

2

0

x

I dx

1 x

Giaûi:

Đặt x = sint, đó: dx = costdt Đổi cận: với

x= t =

x= t

2

 

 

  

Lại có:

2 2

2

x dx sin t.costdt sin t.costdt sin t costdt (1 cos2t)dt.

cost cost

1 x  sin t    

Khi đó:

/ /

0

1 1

I (1 cos2t)dt t sin2t

2 2

 

 

       

 

Câu5: Tính tích phân :

2 / 2

dx I

x x 

Giải:

Đặt

1 cost

x , : dx dt

sin t sin t

 

Đổi cận:

x= t = 2

x= t

3

 

 

 

  

 

Khi đó:

/ 2 /

/ /

/ /

2 costdt

sin t dt t

1 6

1

sint

sin t

 

 

 

  

 

Câu6: Tính tích phân :

0 a

a x

I dx, (a 0)

a x 

 

(3)

Đặt x a.cos2t, đó: dx 2a.sin2tdt

Đổi cận:

x= -a t =

x=0 t

4  

 

 

  

Lại có:

a xdx a a.cos2t( 2a.sin2tdt) cot t ( 2a.sin2tdt)

a x a a.cos2t

 

   

 

2

4a.cos t.dt 2a(1 cos2t)dt

  

Do đó:

/ /

/ / 4

1

I 2a (1 cos2t)dt 2a t sin2t a

2

 

 

   

         

   

.

Câu7: Tính tích phaân :

/ /

cosdx I

sin x 5sinx

 

Giaûi:

Đặt x = sint, đó: dt = cosxdx

Đổi cận:

1 x= t =

6

3

x= t

3

 

 

 

  

 

Ta coù: 2

cosdx dt dt

(t 2)(t 3) sin x 5sinx t    5t 6   

A B dt [(A B)t 2A 3B]dt

t t (t 2)(t 3)

  

 

   

   

 

Từ đó:

A B A

2A 3B B

  

 

 

   

 

Suy ra:

cosxdx 1 dt.

t t sin x 5sinx

 

  

 

   

Khi đó:

3 / /

1/ 1/

1 t 3(6 3)

I dt ln ln

t t t 5(4 3)

 

 

     

  

  

Câu8:: Tính tích phân :

7

3

0

x dx I

1 x 

(4)

Giaûi:

Đặt t 3 x2 1 t3 x2 1, đó:

2

2 3t dt

3t dt 2xdx dx

2x

  

Đổi cận:

x= t =

x= t

 

  

Ta coù:

3

3

3

x dx x 3t dt 3t(t 1)dt 3(t t)dt. 2xt

1 x     

Khi đó:

2

2

4

1

t t 141

I (t t)dt

5 10

 

      

 

Câu9:: Tính tích phaân :

1 2008

I x sin xdx



Giaûi:

Viết lại I dạng:

0

2008 2008

1

I x sin xdx x sin xdx

 

(1) Xét tích phân

0 2008

J x sinxdx



Đặt x t dxdt đó:

2

2 3t dt

3t dt 2xdx dx

2x

  

Đổi cận:

x= -1 t = x=0t 0

Khi đó:

0

2008 2008

1

I( t) sin( t)dt x sin xdx

(2) Thay (2) vào (1) ta I = 0.

Câu10:: Tính tích phân :

/

4

0

cos x

I dx

cos x sin x

(5)

Đặt t x dx dt

   

Đổi cận:

x= t =

x= t

2

 

 

 

  

Khi đó:

4

0 / /

4 4

4

/ 0

cos ( t)( dt) sin tdt sin x

2

I dx

cos t sin t cos x sin x cos ( t) sin ( t)

2

 

  

  

   

  

  

Do đó:

/ 4 /

4

0

cos x sin x

2I dx dx I

2

cos x sin x

 

  

    

 

Câu11:: Tính tích phân:

1/ 1/

1 x

I cosx.ln dx

1 x

 

  

 

Giaûi:

0 1/

1/

1 x x

I cosx.ln dx cosx.ln dx

1 x x

 

   

     

 

   

 

. (1)

Xeùt tính chất

0 1/

1 x

J cosx.ln dx

1 x

 

  

 

Đặt x t dxdt

Đổi cận:

1

x= - t =

2

x=0 t

 

  

Khi đó:

0 1/ 1/

1/ 0

1 t t x

I cos( t).ln dt cost.ln dt cosx.ln dx

1 t t x

  

     

         

    

   

  

(2) Thay (2) vào (1) ta I = 0.

Câu12:: Tính tích phân:

1 x

x dx I

2

 

(6)

Giaûi:

Biến đổi I dạng:

0 4

x x

1

x dx x dx

I

2

 

 

 

(1) Xét tích phân

0 x

x dx J

2

 

Đặt x = –t dx = –dt

Đổi cận:

x= -1 t =

x=0t 0 Khi đó:

0 4 t x

t t x

1 0

( t) dt t dt x dx J

2 2

  

  

  

(2)

Thay (2) vào (1) ta được:

1 x 4 x

4

x x x

0 0

x dx x dx x (2 1)dx

I x dx

5

2 2

    

  

   

Câu13: Tính tích phân:

/ n

n n

0

cos xdx I

cos x sin x

Giải:

Đặt t x dx dt

   

Đổi cận:

x= t =

x= t

2

 

 

 

  

Khi đó:

n

0 / n / n

n n n n

n n

/ 0

cos t ( dt) sin tdt sin x

2

I dx

cos t sin t cos x sin x

cos t sin t

2

 

 

 

 

 

  

 

     

  

   

   

  

Do đó:

/ n n /

n n

0

cos x sin x

2I dx dx I

2

cos x sin x

 

  

    

 

Câu14:: Tính tích phân: xsin xdx

I

4 cos x

 

(7)

Giaûi:

Biến đổi I dạng: 2 xsin xdx xsinxdx

I xf(sinx)dx

4 (1 sin x) sin x

  

  

  

  

Đặt x  t  dxdt

Đổi cận:

x= t = x=0  t 

Khi đó:

0

2 2

0 0

( t)sin( t)dt ( t)sintdt sintdt tsintdt I

4 cos ( t) cos t cos t cos t

  

      

   

     

   

2 2

0 0

d(cost) I 2I d(cost) d(cost)

4 cos t cos t cos t

  

      

  

  

2

0

d(cost) cost ln9

I ln

2 cos t 4 cost

 

   

   

 

Câu15:: Tính tích phân:

2

3

Ix.cos xdx

Giải:

Đặt x 2   t dxdt

Đổi cận:

x= t =

x=0 t 2  Khi đó:

0

3

2

I (2 t).cos (2 t)( dt) (2 t).cos tdt

        

2 2

3

0 0

2 cos tdt t cos tdt (cos3t 3cost)dt I

  

       

2

2I sin3t 3sin t I

2

  

       

 

Câu16: Tính tích phân:

/

1 sin x

I ln dx

1 cosx

 

  

 

(8)

Đặt t x dx dt

   

Đổi cận:

x= t =

x= t

2

 

 

 

  

Khi đó:

0 /

/ 0

1 sin t 1 cost 1 sint

2

I ln ( dt) ln dt ln dt

1 sint cost

1 cos t

2

 

       

         

         

  

     

    

 

 

 

  

/

1 sinx

ln dx I 2I I

1 cosx

 

       

 

Câu17:: Tính tích phân:

/

Iln(1 tgx)dx.

Giải:

Đặt t x dx dt

   

Đổi cận:

x= t =

x= t

4

 

 

 

  

Khi đó:

0 / /

/ 0

1 tgt

I ln[1 tg( t)dt ln(1 )dt ln dt

4 tgt tgt

 

 

     

 

  

/ / /

/

0 0

[ln2 ln(1 tgt)]dt ln2 dt ln(1 tgt)dt ln2.t I

  

          

ln2 ln2

2I I

4

 

   

Câu 18:Tính tích phân:

2

ln(1 x)

I dx

x  

(9)

Đặt:

2

1

u ln(1 x) du dx

1 x

dx 1

dv v

x x

  

 

  

 

  

 

Khi đó:

2 2

1 1 1

1 1 1

I ln(x 1) dx ln3 ln2 dx

x x(x 1) x x

 

        

   

 

2

1ln3 ln2 (ln | x | ln(x 1)) 3ln3 3ln2.

2

      

Câu 19:Tính tích phân: 01 2(x x)e dx2x

Giải:

1 2x

0(x x)e dx

Đặt

2 2x

u x x dv e dx    

  

 

2x

du 2x dx

v e    

   

I =

1 1

2x 2x

1

0

1e (x x) (2x 1)e dx e I   2   

I1 =

1 2x

0(2x 1)e dx

, Đặt 2x

u 2x dv e dx

  

 

 

2x

du 2x 1dx

v e   

 

  

  I1 =

1 1

2x 2x 2x

0

0

1e (2x 1) e dx 1(3e 1) 1e    2  

=   2

1 3e 1 1(e 1) e

2     Vaäy I =

2 2 e

e e 2

 

Câu 20:Tính tích phaân:

3

0 x 1x e dx

 

Giaûi: I =

3

0 x 1x e dx

 

Đặt t = –x3

(10)

x = t = , x = –1 t = 1I =

0 t t

1

1

1 1

( t).e dt t.e dt I

3 3

 

      

  Với I

1 = t 0te dt

Đặt t

u t dv e dt

   

 

t du dt v e

   

  

I1 =

1 1

t t t

0

0

e t  e dt e e  1

Vaäy I =

1I 3  

Câu 21:Tính tích phân:

/ 2

I(x 1)sinxdx.

Giải:

Đặt:

2 du 2xdx

u (x 1)

v cosx

dv sinxdx

    

 



 

Khi đó:

/ /

/ 2

0

0

I (x 1)cosx xcosxdx xcosxdx 

      

(1) Xét tích phân

/

Jxcosxdx

Đặt:

u x du dx

dv cosxdx v sinx

 

 

 

 

 

Khi đó:

/

/ /

0

0

J xsinx sinxdx cosx

2

   

      

(2) Thay (2) vào (1) ta được: I 2 1

 

     

 

Câu 22:Tính tích phân: 01xe dxx

Giải:

1 x 0xe dx

Đặt t = x t2 = x

(11)

I =

12 t 13 t 0t e 2tdt t e dt 2I 

  Đặt

3 t

u t dv e dt    

 

2 t

du 3t dt v e    

  

I1 =

1 1

t t

2

0

e t  e t dt e 3I  

Với I2 = t 0e t dt

Đặt

t

u t dv e dt    

 

t du 2tdt v e

   

  

I2 =

1 1

t t

3

0

e t e tdt e 2I

1    với I

3 = t 0e tdt

Đặt t

u t dv e dt

   

 

t du dt v e

   

  

I3 =

1 1

t t t

0

0

e t  e dt e e   e (e 1) 1 

Vaäy I = 2I1 = 2(e – 3I2) = 2e – 6I2 = 2e – 6(e – 2I3) = 12I3 – 4e = 12 – 4e

Câu 23:Tính tích phân:

2x

Ie sin xdx

Giaûi:

Biến đổi I dạng:

2x 2x

0

1

I e sin xdx e (1 cos2x)dx

2

 

   

(1)

Xét tích phân:

2

2x 2x

1

0

1 e

I e dx e

2 2

 

   

(2)

Xét tích phân:

2x

0

I e cos2xdx

Đặt:

2x 2x

du 2sin2xdx u cos2x

1

v e

dv e dx

2   

 

 

 

 

Khi đó:

2

2x 2x 2x

2

0 0 0

1 e

I e cos2x e sin2xdx e sin2xdx

2 2

   

    

(3)

Xét tích phân:

2x 2,

0

(12)

Đặt:

2x 2x

du 2cos2xdx u sin2x

1

v e

dv e dx

2   

 

 

 

 

Khi đó:

2x 2x

2,

0 0 I

I e sin e cos2xdx I

2

 

   

     

(4) Thay (4) vào (3), ta được:

2

2 e 2 e

I I I

2 4

 

     

(5) Thay (2), (5) vào (1), ta được:

2

2

1 e e 1

I [ ( )] (e 1)

2 2 4

 

     

I1 =

1 1

t t t

0

0

e t  e dt e e  1

Vaäy I = 2

Câu 24:Lập cơng thức truy hồi tính:

/ n n

0

I sin x.dx (n N)

Giaûi:

Đặt:

n n

u sin x du (n 1)).sin x.dx

   

dv sinx.dx  v cosx

n /

n n n n n

n

I sin x.cosx] (n 1).(I I ) I I

n

 

 

 

       

Câu 25:Lập công thức truy hồi tính:

/ n n

0

I cos x.dx (n N)

Giaûi:

Ñaët:

n n

u cos x du (n 1).cos x.dx

   

dv cosx.dx  v sinx.

n /

n n n n n

n

I cos x.sinx] (n 1).(I I ) I I

n

 

 

 

(13)

Câu 26:Lập cơng thức truy hồi tính:

/ /

n n

n n

0

I x cosx.dx J x sinx.dx

Giải:

Đặt:

n n

u x du n.x dx.

  

dv cosx.dx  v sin x n n

n n n

I x sin x nJ 2 nJ (1)

0 

  

     

 

Tương tự: Jn  0 nIn 1 (2)  Từ (1) (2)

n n

n n n n

I n(n 1)I I n(1 n)I

2

 

 

   

         

   

Tương tự có :

n

n n

J n(1 n)J n

2

 

  

    

  Câu 27:Lập cơng thức truy hồi tính:

1 n x n

0

I x e dx

Giải:

Đặt:

n n

u x du nx dx

  

x x

dv e dx  v e  n x

n n n

I [x e ]  nI   e nI 

Câu 28:Lập công thức truy hồi tính:

1 n

n x

n x n

0

x

I dx hay I x e dx

e

 

Giải:

Đặt:

n n

u x du nx dx

  

(14)

n x

n n 1 n

I [ x e ] nI nI

e

 

     

Câu 29:Lập cơng thức truy hồi tính: e

n *

n

I ln x.dx (n Z )

Giải:

Đặt:

n n 1

u ln x du n.ln x, dx

x

  

dv dx  v x. n e

n n n n

I [x.ln x] n.I  I e nI 

     

Câu 30:Chứng minh rằng:Nếu f(x) liên tục hàm chẵn đoạn [–a ; a] thì:

a a

a

I f(x)dx f(x)dx

  

Giaûi:

Biến đổi I dạng:

a a

a a

I f(x)dx f(x)dx f(x)dx

 

  

(1) Xét tính phân

0 a

J f(x)dx



Đặt x t dxdt

Đổi cận:

x= -a t = a

x=0t 0 Mặt khác f(x) hàm chẵn

f(–t) = f(t)

Khi đó:

0 a a a

a 0

Jf( t)dt f(t)dt f(t)dtf(x)dx

(2) Thay (2) vào (1) ta

a

I f(x)dx 

Câu 31:Chứng minh rằng Nếu f(x) liên tục chẵn R :

x

0 f(x)dx

I f(x)dx với R a

a

 

  

    

 

(15)

Biến đổi I dạng:

0

x x x

0

f(x)dx f(x)dx f(x)dx I

a a a

 

   

  

  

  

Xét tính phân

0

1 x

f(x)dx I

a

 

Đặt x t dxdt

Đổi cận:

x= t =

x=-  t  Mặt khác f(x) hàm chẵn

f(–t) = f(t).

Khi đó:

0 t t

1 t t t

0

f( t)dt a f(t)dt a f(t)dt I

a a a

 

  

  

  

  

Vaäy:

t x

t x x

0 0

a f(t)dt f(x)dx (a 1)f(x)dx

I f(x)dx

a a a

   

   

  

   

Câu 32:Chứng minh rằng Nếu f(x) liên tục 0;

       thì:

/ /

0

f(sinx)dx f(cosx)dx

 

 

Giải:

Đặt t x dx dt

   

Đổi cận:

x= t =

x= t

2

 

 

 

  

Khi đó:

/ / /

0 / 0

f(sin x)dx f(sin( t)dt f(cost)dt f(cosx)dx

  

   

   

Câu 33:Chứng minh rằng Nếu f(x) liên tục f(a + b – x) = f(x) thì

b b

a a

a b

I xf(x)dx f(x)dx

2 

  

Giaûi:

Đặt x a b t    dxdt

Đổi cận:

x= a t = b

x=bt a Khi đó:

a b

b a

(16)

b b b b b

a a a a a

(a b)f(t)dt tf(t)dt (a b) f(t)dt xf(x)dx (a b) f(t)dt I

            

b b

a a

a b

2I (a b) f(t)dt I f(x)dx

2 

      

Câu 34:Chứng minh rằng Nếu f(x) liên tục f(a + b – x) = –f(x) thì

b a

If(x)dx 0.

Giải:

Đặt x a b t    dxdt

Đổi cận:

x= a t = b x=bt a

Khi đó:

a b b

b a a

If(a b t)( dt)   f(t)dt f(x)dx I 2I 0  I

Câu 35: Tính tích phân sau:

1 x

J e dx

 

Giaûi:

Xét dấu hàm số y = ex – 1

Ta coù: y = e 0x    x 0

Nhận xét rằng: x 0  ex  1 y 0 ; x 0  ex  1 y 0 Do đó:

0 1

0

x x x

1

1

1

J (1 e )dx (e 1)dx (x e) (e x) e

2

 

          

Câu 36: Tính tích phân:

4

I x 3x 2dx

  

Giải:

Ta xét dấu hàm số f(x) x 2 3x 2 treân [–1, 4],

ta được:

   

 

f(x) neáu x 1,1 2,4 f(x) neáu x 1,2

    

 

Khi đó:

1

2 2

1

I (x 3x 2)dx (x 3x 2)dx (x 3x 2)dx

(17)

1

3 3

1

1x 3x 2x 1x 3x 2x 1x 3x 2x 19.

3  3 2

     

             

     

Câu 37: Tính : 02sinx xsinx x cosx dx 

Giaûi:

     

2 2

2

2

0

xsinx

sinx xsinx x cosx dx= xsinxd xsinx 2=

2 0

  

 

 

Câu 38: Tính :

 

 

   

2

2 2

x 3x dx x 3x

Giaûi:

 

 

   

2

2 2

x 3x dx x 3x

=

2

dx x 3x 2

+

2

0

dx (x 3x 2)

1.

2

dx x 3x 2

=

1

0

0

dx ln x (x 1)(x 2) x  

  

=

4 ln ln ln

3

 

 

 

 

2 I =

2

0

dx (x 3x 2)

Ta coù :

2

2

1 1

(x 1)(x 2) x x (x 3x 2)

   

    

     

   

= 2

1

(x 1)(x 2) (x 1) (x 2)   

I =

1 1

2

0 0

dx dx dx

(x 1)(x 2) (x 1)  (x 2)   

  

=

1 1

0 0

1 2ln x x x x

  

 

   =

1 1 1 2 ln2 ln1 3

  

      

 

ĐS:

1 1 1 2 ln2 ln1 3

  

        +

4 ln

3

Câu 39: Tính :I=  

2

0 x cos x xsinxcosx dx

(18)

     

2

2

0

xcosx

xcosx cosx xsinx dx= xcosxd xcosx 2=0

2 0

  

 

 

Caâu 40: Tính :

 

 

 

 

 

01 2x

5x 13 (x x)e dx

x 5x

Giaûi:

 

 

 

 

 

01 2x

5x 13 (x x)e dx

x 5x =1 2 2x 

0(x x)e dx

  

01x25x 13 dx5x 6

1.

1 2x

0(x x)e dx

Đặt

2 2x

u x x dv e dx    

  

 

2x

du 2x dx

v e    

   

I =

1 1

2x 2x

1

0

1e (x x) (2x 1)e dx e I   2   

I1 =

1 2x

0(2x 1)e dx

, Đặt 2x

u 2x dv e dx

  

 

 

2x

du 2x 1dx

v e   

 

  

  I1 =

1 1

2x 2x 2x

0

0

1e (2x 1) e dx 1(3e 1) 1e    2  

=  

2 2

1 3e 1 1(e 1) e

2     Vaäy I =

2 2 e

e e 2

 

2.

2

0x5x 13 dx5x 6

  

Ta coù :

5x 13 A B A(x 3) B(x 2) (x 3)(x 2) x x (x 3)(x 2)

   

  

     

5x – 13 = (A + B)x – 3A – 2B A + B = vaø –3A – 2B = –13 A = , B = 2

Vaäy I =

3 dx x x

 

    

 

=

1

3ln x 2ln x

    

 

= –(ln2 + 2ln3) = –(ln2 + ln32) = –ln(2 32) = –ln18

ĐS:

2 2 e

e e 2

 

–ln18

Câu 41: Tính :  

e 2

1

Ix ln x lnx dx

Giaûi:

     

2 2

e e

1

xlnx e e

I x lnx lnx dx= xlnxd xln x dx= 1

2

(19)

Câu 42: Tính :          

01 x

x xe dx x 4x

Giaûi:          

01 x

x xe dx

x 4x =01xe dxx +

2

x dx x 4x

    =I+J 1 I= x 0xe dx

Đặt t = x t2 = x

2tdt = dxx = t = , x = t = 0

I =

12 t 13 t 0t e 2tdt t e dt 2I 

  Đặt

3 t

u t dv e dt        t

du 3t dt v e       

I1 =

1 1

t t

2

0

e t  e t dt e 3I  

Với I2 =

1 t 0e t dt

Đặt

t

u t dv e dt    

 

t du 2tdt v e       

I2 =

1 1

t t

3

0

e t e tdt e 2I

1    với I

3 =

1 t 0e tdt

Đặt t

u t dv e dt

     

t du dt v e       

I3 =

1 1

t t t

0

0

e t  e dt e e   e (e 1) 1 

Vaäy I = 2I1 = 2(e – 3I2) = 2e – 6I2 = 2e – 6(e – 2I3) = 12I3 – 4e = 12 – 4e

2 J =

2

x x dx x 4x

     = 5x dx

x 4x            

2 2

5x 5x A B x

x 4x (x 2) (x 2)

 

  

    = 2

A(x 2) B Ax 2A B (x 2) (x 2)

   

 

Đồng vế :

A 2A B

       A B       1 2 0

5x dx dx x

x 4x (x 2)

               = 1 0 1

5ln x 5ln x 2

   

Vaäy J = 5

1 ln

2

ĐS: 5

1 ln

2 +12 – 4e=5  ln 17

(20)

Câu 43: Tính :I1e 3x ln x 2ln x dx  

Giaûi:

     

2

2 4

e 2 e 2 2

1

x ln x e e I x lnx 2x ln x x dx= x lnx.d x lnx dx= 1=

2

  

Caâu 44: Tính :

 

 

  

 

02 cosx sinxcosx e sin2x dx2 sinx sinx

Giaûi:

 

 

  

 

02 cosx sinxcosx e sin2x dx2 sinx sinx =

 

 

  

 

02 cosx sinxcosx dx2 sinx +  

02 esinxsin2x dx

1.

2

0

cosx sinxcosxdx sinx

 

= 02 02

(1 sinx)cosxdx (2 sinx 1)cosxdx sinx sinx

    

 

 

=

2

0

1

1 cosxdx sinx

 

 

 

=

2

0

cosx cosx dx

2 sinx 

 

 

 

=

2 /

0

(sinx 2) cosxdx dx

2 sinx

  

  =  

3 sinx 2 ln sinx 2=1-ln3 ln2=1 ln

2

0

 

   

2 sinx

0e sin2xdx

= 2 02esinxsinxcosxdx

Đặt t = sinx dt = cosx dx

x = 2

t = , x = t =

I = 2

1 t

1 0e t dt 2I

Đặt t

u t dv e dt

   

 

t du dt v e

   

  

I1 =

1 1

t t t

0

0

e t  e dt e e  1

Vaäy sinx

0e sin2xdx

= 2

ĐS:

3 ln

2 

Câu 45: Tính :I 02x cosx 3cosx xsinx dx5  

 

(21)

     

3

3 3

2

0

x cosx

I x cosx 3x cosx x sinx dx= x cosxd x cosx dx= 2=0

2 0

  

  

Câu 46: Tính :

 

   

 

 

02 sinx

sinx cosx

I e sin2x dx

sinx cosx

Giaûi:

 

   

 

 

02 sinx

sinx cosx

I e sin2x dx

sinx cosx = 02esinxsin2xdx

+ 02sinx cosx 2sinx cosx dx

 

 

2 sinx

0e sin2xdx

= 2 02esinxsinxcosxdx

Đặt t = sinx dt = cosx dx

x = 2

t = , x = t =

I = 2

1 t

1 0e t dt 2I

Đặt t

u t dv e dt

   

 

t du dt v e

   

  

I1 =

1 1

t t t

0

0

e t  e dt e e  1

Vaäy sinx

0e sin2xdx

= 2

2

0

sinx cosx dx sinx cosx

 

 

=

/

(sinx cosx 2) dx sinx cosx

  

 

=

2

0

ln(sinx cosx 2) 

  

ĐS:I=2

Caâu 47: Tính tích phân  

e 3

1

Ix ln x ln x dx

Giaûi:

     

2

2 2

e 2 2 e 2 2

1

xln x e e

I xln x ln x 2lnx dx= xln xd xln x dx= 1=

2

  

Câu 48: Tính tích phân

  

 

  

 

2

3 sinx

0

sinx sin x e sin2x dx

cos2x

Giaûi:

 

 

 

  

 

2

3 sinx

0

sinx sin x e sin2x dx

cos2x = sinx

0e sin2xdx

+

3

0

sinx sin xdx cos2x

 

(22)

I = 02esinxsin2xdx

= 2 02esinxsinxcosxdx

Đặt t = sinx dt = cosx dx

x = 2

t = , x = t = I = 2

1 t

1 0e tdt 2I

Ñaët t

u t dv e dt

   

 

t du dt v e

   

  

I1 =

1 1

t t t

0

0

e t  e dt e e  1

Vaäy I = 2

J=

3

0

sinx sin xdx cos2x

 

=

2

2

2

0

sinx(1 sin x) dx cos xsinxdx

(2cos x 1) cos x 

  

 

Đặt t = cosx dt = –sinx dx x = t = , x = 2

t = 0J =

2

1 1

2 2

0 0

1 t dt 1 dt 1dt 2 dt

1 t t t

  

      

    

   

Xeùt K =

2 01 t1 dt

Đặt t = tgu

dt =

2

1 du (1 tg u)du cos u  

t = u = , t = u = 4

K =

4

0

2u 

 

J = – + 2

ĐS:

 

 

 

  

 

2

3 sinx

0

sinx sin x e sin2x dx

cos2x =1 2  

Câu 49: Tính tích phân I1e 3x ln x 3ln x dx  

Giaûi:

     

2

3 6

e 3 2 2 2 2 e 3 2 3 2

1

x ln x e e I x ln x 3x ln x 2x ln x dx= x ln x.d x ln x dx= 1=

2

  

Caâu 50: Tính tích phân

 

  

  

 

02

cosx dx cosx cos x

Giaûi:

 

  

   

 

02

cosx dx cosx cos x =

2

0

cosx dx cos x 

+ 02

dx cosx 

(23)

I =

2

0

cosx dx cos x 

=

2

0

cosx dx sin x 

 

Đặt t = sinx dt = cosx dx x =2

, t = , x = 0, t =

I =

1

0 2

1 dt 2 2  t

Đặt t = 2sinu dt = 2cosu du , t = 2sinu = u = 0

t = 2sinu = sinu =

1

2  u = 6 

I =

6

0 2

1 2cosu du 2cosudu 2cosu 2 2 sin u

 

 

 

=

6

0

1 u

2 

 

J= 02

dx cosx 

Đặt t = tgx2

  dt =

2

1 dx tg x 1 dx x 2 2cos

2

 

   

 

= 21(t 1)dx2  dx = 2dt t 1

x = 2

t = , x = t = 0

J =

2

1

2

0

2

2dt

dt t 2

1 t 2 t t

 

 

 

 

=  

1

2

dt

t 

Đặt t = tgu dt =

3 du cos u

t u t u

6    

 

   

Vaäy J = 2

6

2 2

0

3du

3 du cos u 2

3tg u 3cos u(tg u 1)

 

 

 

=

6

0 2

0

1 du

2 1 u

3 cos u 3 cos u

 

 

ĐS:

 

  

  

 

02

cosx dx cosx cos x =

 

 3

Caâu 51: Tính tích phân I 02x sin x 5sin x xsin2x dx9  

 

(24)

     

2

5 10

5 5

2

11

0

x sin x I x sin x 5x sin x x sin2x dx= x sin x x sin x dx= 2=

2 0

  

  

Câu 52: Tính tích phân  

 

 

 

 

 

01 3

1 x x dx x x

Giaûi:

 

 

 

 

 

 

01 3

1 x x dx

x x =

1

4

0

dx x x 1

+ 01 3x (1 x ) dx =I+J

I=

4

0

dx x x 1

Đặt u = x2 du = 2x dx x = u = , x = u = 1

I =

1

2

0

1 du du u u u

2 

   

     

 

Đặt u +

1

2 tgt du =

3 1 dt cos t

u = tgt =

1

3 t = 6 

, u = tgt = 3 t = 3

2

2

2

1 3

u (tg t 1)

2 4 cos t  

    

 

 

I =

3

6

2

2

3 dt

1 2cos t dt

2

4cos t

 

 

 

 

J= 01 3x (1 x ) dx Đặt t = – x2 dt = –2xdx

x = 1, t = , x = 0, t =

J =

4

0 3 3 4

1

1

1 1 t t

(1 t).t dt (t t )dt

2 2 40

 

 

         

   

 

ĐS:  

 

 

 

 

 

01 3

1 x x dx

x x =

1 40

(25)

Câu 53: Tính tích phân I 02x cos x 9cosx 2xsinx dx17  

 

Giaûi:

     

2

9

9 9

2

0

x cos x

I x cos x 9x cos x x sin2x dx= x cos xd x cos x dx= 2=0

2 0

  

  

Câu 54: Tính tích phân

 

 

 

 

02 sinx

1

e cosx dx

3cosx 4sinx

Giaûi:

 

   

 

02 sinx

1

e cosx dx

3cosx 4sinx = 02esinxcosxdx

+ 02

dx

3cosx 4sinx 

 

=I+J

I= 02esinxcosxdx

=

 

 

02esinxd sinx =esinx 2=e-1

0

J= 02

dx

3cosx 4sinx 

 

Đặt t = tgx2

sinx =

2t

1 t , cosx =

2

1 t t  

dt =

2

2

dx 1 tg x dx 1(1 t )dx

x 2

2cos

 

     

 

dx =

2

x t 2dt

x t 1 t 2

   

  

    

J =

2

2

1

2

0

2

2dt

dt

1 t 2

1 t 2t 3t 8t 5t

3

1 t t

 

      

 

       

 

=

1

1

2

0

0

dt dt 1

t 2 t 4t (t 2)

  

  

 

ĐS:

 

   

 

02 sinx

1

e cosx dx

3cosx 4sinx =e-1

Caâu 55: Tính tích phân I x sin3x sin3x xcos3x dx02  

(26)

Giaûi:

     

2

3 6

3 3

2

7

0

x sin3x

I x sin3x 3x sin3x 3x cos3x dx= x sin3x.d x sin3x dx= 2=

2 0

  

  

Caâu 56: Tính tích phân

 

 

  

 

01

x dx

4 x x 4x

Giaûi:

 

 

  

 

01

x dx

4 x x 4x =

1 04 xx dx

+ 01

dx x 4x 3

=I+J

I=

2

x dx x

= 01

1 x dx x  =

1 3ln 

J=

4

0

dx x 4x 3

=

1

2

0

dx (x 1)(x 3)

=

2

0

1 1 dx x x

 

 

 

 

* I1 =

2

dx x 1

Đặt x = tgt

dx =

1 dt cos t

x = tgt = t = 4

, x = tgt = t =

2

2

1 x tg t

cos t    

I1 =

4

0

2

dt

cos t dt

1

cos t

  

 

 

* I2 =

2

dx x 3

Đặt x = 3tgt

dx =

1 dt

cos t

x = 3tgt 1 t = 6

, x = 3tgt 0

t = 0

I2 =  

6

2

0

1 3 dt cos t tg t

 

=

6

0

1 t

=

1

3

 

      

ĐS:

 

 

  

 

01

x dx

4 x x 4x = 32 4ln +

2  

 

 

(27)

Câu 57: Tính tích phân :  

 

02sin xcosx 3sin xcos x sin x dx3 2

Giaûi:

   

  

  

02sin xcosx 3sin xcos x sin x dx= sin xcosxdx3 2 02 02sin xcosx.d sin xcosx dx3 =I+J

I= 02sin xcosxdx3

=

2

2 /

0

0

sin x sin x(sinx) dx

4  

 

J=  

 

 

2

2

3

0

sin xcosx sin xcosx.d sin xcosx dx= 2 2=0

0

ĐS:

1

Câu 58: Tính tích phân

 

 

 

 

 

2

e

2

(lnx 1) 1 ln x dx

x x

Giaûi:

   

    

 

   

   

   

  

2 2 2

e e e

2

1 1

(lnx 1) 1 ln x dx= (lnx 1) dx (lnx 1) .d (lnx 1)

x x x x x =I+J

I=

2 e

1(lnx 1) dxx

=

3 e

e 2 /

1

1

(lnx 1) (lnx 1) (lnx 1) dx

3

   

J=

 

  

 

 

 

2

e

2

1

e

(lnx 1) .d (lnx 1) =(lnx 1) = 16 1

x x 2x 2e

ĐS: 2

16 11 2e

Caâu 59: Tính tích phân

 

 

 

 

 

  

 

37

3

0 3

x 5x

x dx dx

1 x x

(28)

 

 

 

 

 

  

 

37

3

0 3 2

x 5x

x dx dx

1 x x

 

 

 

 

 

   

   

 

 

37 37 2

2

0 3

3x x 2x

x dx x dx

x

1 x x =I+J

I=

37

0 3

x dx x

=

3

3 3 /

7 2 3 3

0

(1 x ) x (1 x ) dx (1 x ) dx

3

  

  

 

=

 

1 3 3

3

3 3

3

0

1 (1 x ) 1 x

3 1 2

3

 

  

 

J=

 

     

 

   

 

    

         

 

 

37 2 37 3

2 2 2

0 2 2 3

3x x 2x

x dx= x .d x dx= x 7= 49

x x 1 x x 2 x 1 2 49 1

ĐS:  

3

49 2 49

Câu 60: Tính tích phân    

 

 

01e x2x 1 2x e x2 dx

Giaûi:

 

 

 

 

01e x2x 1 2x e x2 dx=

  

  2

1 x x

0 x

1 2x e xdx e x dx

e =I+J

I=

2

1 x 0e xdx

Đặt t = ex2

dt = –2x

2

x

e dx ,

x = t = e–1 =

1

e x = t = 1

I =

1

e e

2

1 x

dt dt

t t

2t 2e

   

  

   

   

 

 

=

1

1 e

e

1

1

1 dt 1t 1 1

2 2 e

         

J=  

 

 2

2

1 x x

2

0 2x

1

x

e x.d e x = = 2e 2e

ĐS:

       

2

1 1 1 e 2e

Câu 61: Tính tích phân

 

  

  

 

 

x

3

lnx lnx

e dx

(29)

Giaûi:

    

    

   

 

 

x

4

2

1

e dx lnx lnx dx x

x x =I+J

I = x e dxx

, Đặt t = e x

dt =

x

e dx x

x = t = e2 , x = t = e

I =

2

2 e

e 2

e

e

2tdt 2t 2(e  e)

J=

     

   

 

   

 

 

2

4

2

1

4 lnx lnx dx= lnx d lnx =ln x =ln

1

x x x x 2x

ĐS:  

2

2 ln

2(e e)

Câu 62: Tính tích phân 01 5x (1 x ) dx

Giaûi:

I = 01 5x (1 x ) dx Ñaët t = – x3 dt = –3x2 dx

x = 1, t = , x = 0, t =

I =

7

0 6 6 7

1

0

1 1 t t

(1 t).t dt (t t )dt

3 3 168

 

 

         

 

   

 

Câu 63: Tính tích phân 01(2x x 1) x dx

Giải:

1 6

0(2x x 1) x dx

.

(30)

dt = 2.

1

3x

2 dx = 3 xdx

x = 1, t = , x = 0, t = –1

I =

7

1 6 6

1

1

1 1 t

t dt t dt

3 3 21

 

 

  

   

 

Câu 64: Tính tích phân    

 

02 sin x sin2x 2sin x dx2 2

Giaûi:

   

 

02 sin x sin2x 2sin x dx2 2 =      

 

   

02 sin x sin2xdx2 02 sin x sin x sin2xdx2 2 =I+J

I =  

02 sin x sin2xdx2 Đặt t = + sin2x dt = 2sinxcosx dx

x =2

, t = , x = 0, t =

I =

3 2

1

1

t t dt

3

 

     

  

  

4

2

2

2

1 sin x 16 J sin x d sin x = 2= =8

2 0

ĐS:

31

Câu 65: Tính tích phân

 

 

 

 

 

 

  

 

3

2

4

1 4

x 3x

x dx

x x 1

Giaûi:

 

 

 

 

 

 

  

 

3

2

4

1 4

x 3x

x dx

x x 1

=  

 

 

    

  

    

 

 

2

2

4

1 4

x 1dx x .x 4x dx x x x 1

=I+J I=

2

4

x 1dx x

 

(31)

I=

/

2

2

1 2

2

1

1 x

1

x

x dx dx

1 1

x x 2

x x

  

  

  

 

  

   

 

t =

1 x

x 

dt =

/

1 x

x  

     dx

x = t = , x = t =

5 2

Vaäy: I =

   

   

 

 

  

5

2

5 5 2 2 2 dt = lnt = ln

2 2 t 2

t 2 2 2

   

 

 

 

     

       

 

    

   

 

 

4

2

4 4

1 4 4

2

x x 4x x x x

J dx= d = =

-1 289 x x 1 x x 2 x 1

ĐS:

   

   

   

   

 

 

5 2 2

1 ln

Ngày đăng: 04/03/2021, 13:36

w