Giá trị riêng trong các bước phổ của toán tử pauli hai chiều

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI TRN TH HNG GI TR RIấNG TRONG CC BC PH CA TON T PAULI HAI CHIU Chuyờn ngnh: Toỏn Gii tớch Mó s: 60 46 01 02 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: TS. T NGC TR H NI, 2014 Li cm n Lun c hon thnh ti Trng i hc S phm H Ni di s hng dn ca TS. T Ngc Trớ. Tỏc gi xin gi li cm n chõn thnh, sõu sc ti TS. T Ngc Trớ, ngi ó luụn quan tõm, ng viờn v tn tỡnh hng dn tỏc gi quỏ trỡnh thc hin lun vn. Tỏc gi cng xin c gi li cm n chõn thnh ti Ban Giỏm hiu Trng i hc S phm H Ni 2, Phũng Sau i hc, cỏc thy cụ giỏo nh trng v cỏc thy cụ giỏo dy cao hc chuyờn ngnh Toỏn gii tớch ó to iu kin thun li quỏ trỡnh tỏc gi hc v nghiờn cu. Tỏc gi xin by t lũng bit n ti gia ỡnh, ngi thõn ó ng viờn v to mi iu kin tỏc gi cú th hon thnh bn lun ny. H Ni, thỏng nm 2014 Trn Th Hng Li cam oan Tụi xin cam oan Lun l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi di s hng dn trc tip ca TS. T Ngc Trớ. Trong quỏ trỡnh nghiờn cu, tụi ó k tha thnh qu khoa hc ca cỏc nh khoa hc vi s trõn trng v bit n. H Ni, thỏng nm 2014 Trn Th Hng Mc lc M u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chng 1. Kin thc chun b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Mt s khụng gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Khụng gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Khụng gian Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3. Khụng gian cỏc hm th (Khụng gian cỏc hm kim tra). 1.1.4. Khụng gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5. Khụng gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Toỏn t tuyn tớnh b chn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3. Ph ca toỏn t tuyn tớnh b chn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4. Toỏn t tuyn tớnh khụng b chn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.5. Ph ca toỏn t tuyn tớnh khụng b chn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Chng 2. Toỏn t Schră odinger v toỏn t Pauli hai chiu . . . 28 2.1. Toỏn t Schrăodinger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1.1. Cỏc nh ngha v tớnh cht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1.2. Mt s kt qu liờn quan n ph ca toỏn t Schrăodinger . . 35 2.2. Toỏn t Pauli hai chiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.2.1. nh ngha toỏn t Pauli hai chiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.2.2. Tớnh cht ca toỏn t Pauli hai chiu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Chng 3. Giỏ tr riờng cỏc bc ph ca toỏn t Pauli hai chiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.1. Toỏn t Pauli trờn mt hỡnh cu nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.2. Giỏ tr riờng cỏc bc ph. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.3. Trng hp i xng xuyờn tõm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.4. Toỏn t Pauli vi cỏc bc ph. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Kt lun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Ti liu tham kho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 M u 1. Lý chn ti Nghiờn cu v ph ca toỏn t Pauli ó v ang thu hỳt c s quan tõm ca nhiu nh toỏn hc. nghiờn cu ny, ta phi s dng cỏc kt qu ca gii tớch hm, phng trỡnh o hm riờng v lý thuyt ph. Nghiờn cu v ph ca toỏn t Pauli cú vai trũ quan trng Vt lý. Trong lun ny, ta i tỡm hiu v toỏn t Pauli hai chiu vi bc ph. Toỏn t c nghiờn cu õy cú s xut hin ca mt t tớnh cho bi B = d a , 0. Vn u tiờn ta nghiờn cu l: Nu c s s t trng v trng th trit tiờu vụ cựng thỡ cú giỏ tr riờng no ca toỏn t Pauli cỏc bc ph khụng?. Vn tip theo v cng l rt t nhiờn c sinh l: Liu cú th ch mt toỏn t Pauli hai chiu nh trờn vic nghiờn cu t u tiờn cú ý ngha?. C hai trờn s c tỡm hiu sõu lun v l cỏc kt qu ca bi bỏo [4]. Vi mong mun tỡm hiu sõu hn v ny, cựng vi s giỳp tn tỡnh ca TS. T Ngc Trớ, tụi ó chn nghiờn cu ti: Giỏ tr riờng cỏc bc ph ca toỏn t Pauli hai chiu hon thnh lun tt nghip khúa o to Thc s chuyờn ngnh Toỏn gii tớch. 2. Mc ớch nghiờn cu Nghiờn cu giỏ tr riờng cỏc bc ph ca toỏn t Pauli hai chiu M rng cỏc kt qu ca bi bỏo [4] 3. Nhim v nghiờn cu a mt s kt qu liờn quan n giỏ tr riờng cỏc bc ph ca toỏn t Pauli a vớ d minh cho kt qu va thu c 4. i tng v phm vi nghiờn cu i tng nghiờn cu: toỏn t Pauli, ph ca toỏn t Pauli, giỏ tr riờng cỏc bc ph ca toỏn t Pauli hai chiu Phm vi nghiờn cu: cỏc ti liu, cỏc bi bỏo liờn quan n toỏn t Pauli, ph ca toỏn t Pauli hai chiu 5. Phng phỏp nghiờn cu S dng cỏc kin thc lý thuyt ph, lý thuyt toỏn t, toỏn t tuyn tớnh b chn, toỏn t khụng gian Hilbert, i s Banach Thu thp cỏc ti liu, cỏc bi bỏo liờn quan n giỏ tr riờng cỏc bc ph ca toỏn t Pauli hai chiu Tham kho ý kin ca giỏo viờn hng dn 6. Nhng úng gúp ca lun Lun s giỳp tụi v nhng ngi quan tõm hiu sõu hn cỏc tớnh cht v ph ca toỏn t Pauli hai chiu. Chng Kin thc chun b Chng ny s h thng li mt s khỏi nim v kt qu v mt s khụng gian, toỏn t, ph ca toỏn t lm c s cho vic tip cn cỏc kin thc chng tip theo. Ni dung ca chng ny c tham kho cỏc ti liu [1], [2], [3], [9], [11], [12]. 1.1. Mt s khụng gian 1.1.1. Khụng gian Banach nh ngha 1.1.1. Cho X l mt khụng gian vect trờn trng s K (K = R hoc K = C). Mt ỏnh x p : X R c gi l mt chun trờn X nu nú tha ba iu kin sau (i) p(x) vi mi x X; p(x) = x = ( l kớ hiu phn t khụng X); (ii) p(x) = || p(x) vi mi s K v mi x X; (iii) p(x + y) p(x) + p(y) vi mi x, y X. S p(x) cũn c gi l di ca vect x, thụng thng ta kớ hiu chun ca x l x . Khụng gian vect X cựng vi chun ã nú c gi l mt khụng gian nh chun, kớ hiu (X, ã ). Mnh 1.1.2. Gi s X l khụng gian nh chun. Vi mi x, y X, t d(x, y) = x y . Khi ú, d l mt metric trờn X. nh ngha 1.1.3. Dóy (xn ) khụng gian nh chun X c gi l hi t n x0 X nu lim xn x0 = 0. n Khi ú, ta kớ hiu lim xn = x0 hoc xn x0 , n . n nh ngha 1.1.4. Dóy (xn ) khụng gian nh chun X c gi l mt dóy c bn (hay dóy Cauchy) nu lim m,n xm xn = 0. nh ngha 1.1.5. Khụng gian nh chun c gi la khụng gian Banach nu mi dóy c bn u hi t. Khụng gian Banach cũn c gi l khụng gian nh chun y . 1.1.2. Khụng gian Lp nh ngha 1.1.6. Cho (X, S, à) l mt khụng gian o c, ú X l mt v (i) S l mt i s X, ngha l S l mt h nhng ca X cho 60 tiờn t di ! Trc a kt lun chớnh xỏc ca kt qu khụng mong i ny, ta c gng gii thớch nú. Gi thit rng Bs l i xng xuyờn tõm. Bõy gi coi nh, ta cú th bit rừ rng khụng gian rng ca H+ (). Nhng hm riờng ta cc r, . u,m (r, ) = rm e r t t (B+Bs ( )) d dt ã eim , m N0 (xem [4]). Nghiờn cu cỏc hm ny tng, ta s thy rng chỳng trn s nhiu lon, chỳng chuyn u t giỏ ca Bs . Nhng giỏ tr riờng tng ng u cp 0. Khỏc bit trng hp ny ch bc ph ca toỏn t u tiờn c a bi tớnh tun hon ca mt hiu in th, nhng hm riờng ny khụng b hn ch ti cu trỳc tun hon. S phng oỏn ca ta l chuyn ng u t giỏ ca Bs nhng hm riờng ú to v trớ cho cỏc hm riờng ca nng lng cao hn. Ta c nhng giỏ tr riờng nm bc ph t di. Ta s chng minh rng s tn ti ca loi ny ca nhng giỏ tr riờng ph u tiờn trng hp tng quỏt hn. nh lý 3.2.2. Ly H b chn di bi mt hng s b > 0. Gi s a s v gi s rng khụng gian rng ca H+ l vụ hn chiu. Ly Bs = d |B (x)| , | a (x)| |x| . Ly B (x) < vi x nm s s s m khỏc rng ca R2 . Gi s xa hn rng Bs v B l liờn tc Lipschitz trờn . Khi ú ta cú (i) Toỏn t H+ cú bc ph (0, b) v ú toỏn t Pauli H cú bc ph thit yu (0, b); 61 (ii) Vi mi < < b cú vụ s nhng giỏ tr riờng ca H () trờn nm bc ph (, b) . Chng minh. Phn (i) cú c bi tớnh siờu i xng v nhng gi thit trờn H+ v H . Ta chng minh(ii). Ly m N. Nh chng minh B 3.1.4, ta tỡm m hỡnh cu nh ri KRj (xj ) , j = 1, , m vi tớnh cht sau: Cú mt hng s (m) > v hng s Bj1 , Bj2 > vi j = 1, . . . , m cho vi mi > (m), Bj1 B (x) + Bs (x) Bj2 , x KRj (xj ) v ln Rj Bj2 < . Bj1 (7/16 ) ln R j Bõy gi, ỏp dng B 3.1.2 ti mi hỡnh cu ú, ta c N (, H ()) m vi ln. Ta a mt vớ d ca toỏn t Pauli cho nhng giỏ thit ca nh lý 3.2.2 trờn H+ v H c tha món. Vớ d 3.2.3. Ly B l mt chu k. Gi s, t thụng thụng qua mt chu k l dng. Khi ú vi H = (i a ) B, ta cú (i) Cú mt hng s b > cho H b; (ii) Toỏn t H+ cú mt vụ hn khụng gian rng. Chng minh. Ly B l t thụng ca B thụng qua mt chu k khi. Vi B1 := B B l tun hon v cú thụng lng khụng, ta cú th tỡm mt 62 hm tun hon cho = B1 . t a = 21 B (x2 , x1 ) v chn a = (a1 + , a2 1 ) . Vi Q = (i1 a1 )i (i2 a2 ) v Q = (i1 a1 )i (i2 a2 ), ta kt lun Q e1 = e1 Q . Nh Q Q = H v Q Q = i a + B 2B (toỏn t vi t trng B dng), ta tỡm mt hng s b > cho vi mi u D (H ) (H u, u) = Q u = e1 Q e1 u b u 2. Phn (ii) c chng minh [5]. S dng k thut ca Hempel v Levendorski, ta cú th chng minh nh lý. Mt ln na, ta cn B 3.1.2. Ta khụng mun lp li tt c cỏc chi tit ca k thut ú m õy, ta ch a phỏc tho ca chng minh. nh lý 3.2.4. Gi s rng toỏn t Pauli H cú bc ph (thit yu) (a, b), a < b. Ly B = d a b chn vi giỏ compact cho s s < := x R2 , Bs (x) < v > := x R2 , Bs (x) > cha nhng rng m ca R2 v ly B v Bs liờn tc Lipschitz trờn nhng ú. Hn na, gi s Bs = 0. Ly H () = (i a a s ) B Bs , 0. Khi ú vi mi E (a, b), tn ti mt E > cho E l giỏ tr riờng ca H+ (E ) v H (E ). 63 Chng minh. Ta ch xột H+ v H+ (). Chng hn Bs = 0, chn as vi giỏ compact. Bc u tiờn l gii quyt giỏ tr riờng trờn mt hỡnh cu ln Kn , n N. Ly H+ (Kn ) v H+ (, Kn ) tng ng l nhng toỏn t H+ v H+ () trờn Kn vi nhng iu kin biờn Dirichlet. Cú th l nhng iu kin biờn a cho cỏc giỏ tr riờng ca H+ (Kn ) trờn bc (a, b). trỏnh iu ny, ta gii thiu cỏc toỏn t H+ (Kn ) v H+ (, Kn ) ú H+ (Kn ) = H+ (Kn ) + (b a) n Pn n v H+ (; Kn ) = H+ (; Kn ) + n Pn n . ú, Pn = P(a,b) (H+ (Kn )) v n C tha n (x) = vi |x| n/2 v n (x) = vi |x| n. Chng minh rng vi E a , b (a, b), H+ (Kn ) a , b = , n > n1 . Nh chng minh ca ([7], Theorem 1.1), ta ch rng tn ti hng s C, R, n2 > khụng i cho vi n > n2 N E, H+ (; Kn ) N E, H+ (Kn ) N (E, H+ (; KR )) C. Chỳ ý quan trng l v phi khụng ph thuc vo n vi n > n2 . Ta li s dng B 3.1.2 chng minh rng cú mt hng s > cho N (E, H+ (; KR )) C + vi > . Do ú, N E, H+ (; Kn ) N E, H+ (Kn ) 1vi > , n > n2 . 64 Ngha l vi n > n2 , tn ti nhng n (0, ] v nhng hm un D H+ (n ; Kn ) cho H+ (n ; Kn ) un = Eun . Bc tip theo chng minh (un ) l mt dóy hi t yu H1 R2 ti hm u D (H+ (E )), ú n E vi n . Cui cựng ta ch H+ (E ) u = Eu. Trong nh lý 3.2.4 quan trng nht l thụng lng ca Bs b trit tiờu. Trong trng hp ny, ta cú th chn mt vect t th bng ngoi giỏ ca B . Nu B = thỡ khụng cú vect t th a ca giỏ compact. s s s 3.3. Trng hp i xng xuyờn tõm Trong mc ny, ta chn B v Bs i xng xuyờn tõm cú kt qu chi tit hn v dỏng iu ca cỏc nhỏnh giỏ tr riờng. Trng hp n gin nht l ly B khụng i. nh lý 3.3.1. Ly B > khụng i. Ly Bs l i xng xuyờn tõm vi giỏ compact v H () = (i a a s ) B Bs , 0. Khi ú: (i) Vi Bs < cú vụ s nhng giỏ tr riờng ca H () nm mi bc [2Bk, 2B (k + 1)] , k N0 bc cao hn. Mi giỏ tr riờng hi t mnh ti cp Landau 2Bk, k N0 ; 65 (ii) Vi Bs cú vụ s nhng giỏ tr riờng ca H () nm mi bc [2Bk, 2B (k + 1)] , k N0 bc thp hn . Vi a = B (x2 , x1 ) , a s = fs (r) (x2 , x1 ) , (3.6) ú r fs (r) = Bs ( ) d. r Ly Km l phn khụng gian riờng th m ca momen ng lng toỏn t L2 = i (x2 x1 ). Phõn tớch H () ta cc theo cỏch thụng thng ti n v tng ng H () = h (, m) I, 0. mZ õy, cỏc toỏn t h (, m) I L2 R2 , dr Km v h (, m) c xỏc nh bi 1 d2 B + fs (r) m + h (, m) = + m2 dr 4r r d2 =: + V (, m) . dr 4r B + fs (r) Cỏc toỏn t h (, m) c gii thớch mt cỏch ngn gn (xem chi tit [7]). u tiờn, ta xột phn (i) ca nh lý 3.3.1 v bt u vi h+ ( = 0, m). Chng hn (H ()) = (h+ (, m)), 0. Ph ca h+ (0, m) bao gm nhng bc Landau u tiờn 2nB, n N0 . Nhng nú l mt phn quan trng khỏc gia m v m < 0. Ta cú {2nB; n N0 } , m (h+ (0, m)) = , {2nB; n N , n m} , m < 0 r2 B 66 ú mi giỏ tr l mt giỏ tr riờng mt chiu. Gi s rng giỏ ca Bs nm trờn hỡnh cu KR ú R > 0. Ly Bs < v m < 0. Vi m (s /2 ) Z, ta tớnh c V+ (, m; r) = V+ (0, m (s /2 ) ; r) , r > R. Do ú, ngoi giỏ ca toỏn t h+ (, m) "xem nh" khụng cho bi h+ (0, m (s /2 )). Vi ln ph th hai bt u vi cp Landau u tiờn. Do ú ta cú th hi vng rng h+ (, m) cú ph úng ti cỏc giỏ tr 0, 2B, 4B, . . . Vỡ h+ (, m) 2mB ta thy rng cỏc giỏ tr riờng nm bc gia v m2B ph ca h+ (, m) tng. Chỳng hi t ti cp Landau . Chng minh. (i) Khụng mt tớnh tng quỏt, ta gi s giỏ ca Bs nm trờn K1 . Ly m Z . Ta nh ngha m := m s , > 0. Vi ln ta cú m > 0. Ly n [0, m] N0 . Ta s ch rng cú cỏc hm thụng thng v,n D (h+ (, m)) cho (h+ (, m) 2nB) v,n 0, . iu ny chng minh phn (i) ca nh lý vi H+ () (h+ (0, m) m2B) . Bi tớnh siờu i xng iu ny ỳng vi H (). Ly n n1 nj n B 2 r2j v,n (r) := à,n rm +1/2 (m + + l) e r B j j=0 l=j 67 ú à,n = B m +2n+1 (m + n + 1) n!2m +2n l h s thụng thng, ta tớnh c v,n = 1. D dng thy rng d2 + V+ (0, m ) 2nB v,n (r) = 0. dr 4r Do ú (h+ (, m) 2nB) v,n = (V+ (, m) V+ (0, m )) v,n . Khi V+ (, m) V+ (0, m ) trit tiờu ngoi K1 , ta thy rng (h+ (, m) 2nB) v,n C2 (m )n (m + n + 1) (2/B )m , ú C > 0. V trỏi hi t ti . (ii) Xột h (, m) vi m Z. Theo ([7], Lemma 3.4), ta ch rng inf (h (, m)) , . 3.4. Toỏn t Pauli vi cỏc bc ph Nh cp bờn trờn, ph ca toỏn t Pauli hai chiu vi in trng v t trng u khỏc bao gm cỏc cp Landau v ú cú vụ s nhng bc ph. Trong phn ny, ta a thờm nhng vớ d v toỏn t Pauli vi cỏc bc ph. Ly H () = (i a ) B, > 0, (3.7) 68 ú t trng B = d a c gi thit l tun hon vi s chỳ ý ti mng Z2 . Ly Q = [0, 1)2 v Q l biờn ca Q. Nu B v M = x R2 ; B (x) = l hp ca nhng ri nhau, ta s dng k thut ca Hempel v Herbst chng minh (H () + 1)1 (M + 1)1 0, . Trong ú, M l Dirichlet Laplacian trờn M . Theo ([6], Prposition 3.10), nú ch rng ph ca H () cú nhng bc ln v bng tớnh siờu i xng ta c nhng bc ca H+ (). Nu QB = thỡ c H () v H+ () u khụng hi t phộp chiu ti toỏn t Dirichlet. Do ú, trng hp ny cú mt trng tun hon vect trng th a liờn kt vi B. Do ú, ta cú th s dng lý thuyt Floquet. Vi [0, 2)2 , kớ hiu H () l cỏc toỏn t H () trờn L2 (Q) vi nhng iu kin biờn u (x + lj ) = eij u (x) , u (x + lj ) = eij u (x) , j = 1, 2, xj xj (3.8) ú l1 = (1, 0) , l2 = (0, 1). Nh [4], ta cú H () = [0,2) H () d2 . (2)2 Gi thit xa hn rng B l dng mt lõn cn m ca biờn ca Q. Ly b > 0, tng, hai iu sau s xy (1) Ly [0, 2)2 . Nhng hm riờng ca H () vi giỏ tr riờng [0, b) s vụ cựng lõn cn ca Q. Do ú, giỏ tr riờng ca H () nh hn b l úng ti nhng giỏ tr riờng ca toỏn t Dirichlet H (, Q) , 69 (2) S cỏc giỏ tr riờng ca H (, Q) [0, b) tng lờn . Ta thy rng, kt qu th nht cú trc kt qu th hai. Do ú, nhng bc m nm ph ca H () vi ln. Bng siờu i xng, iu ny s ỳng vi H+ (). nh lý 3.4.1. Cho t trng B (3.7) liờn tc Lipschitz v tun hon vi s chỳ ý ti Z2 . Ly QB = v gi s rng B dng mt lõn cn m ca Q. Cho < a < b. Khi ú cú ớt nht mt bc ph ca H+ () v H () bờn khong (a, b) ln. Hn th na, ta cú ess H () [0, a) = . (3.9) Ngoi ra, ta cú th gi s rng tn ti > cho B(x) > vi disk {x, Q} . Ly j := j x R2 ; disk {x, Q} < , j = 1, , 4. Trong chng minh nh lý 3.4.1, ta cn n b sau B 3.4.2. Ly H () v b nh trờn. Khi ú tn ti hng s c, > cho vi mi [0, 2)2 v ln iu sau ỳng: Ly u l mt hm riờng thụng thng ca H () vi giỏ tr riờng E (0, b). Khi ú |u | ce . Q Chng minh. Gi s khụng hn ch rng > b. Ly Q = [1, 2)2 . Vi x Q xỏc nh nht x Q v , {1, 0, 1}, cho x = x + l1 + l2 . Ta nh ngha vi x Q u (x) = ei(1 +2 ) u (x) . 70 T (3.8) m u D (H ()) vi mi Cc Q . Vi x R2 ly B (x) , B (x) B (x) := . 1, B (x) < Ly Cc (4 ) cho |3 = 1. Khi ú 2 (i a ) + B E u = (i a ) + B E u = (H () E ) u = 2i () (i a ) u u =: F u . Bng cụng thc FeynmanKacIto, ta cú |u | = (i a ) + B E F u ( + E )1 |F u | . Ly Cc (2 ) cho |1 = 1. Khi ú |u | = |u | ( + E )1 |F u | . Vi E > ly G(x, y, E) l ht nhõn tớch phõn ca ( + E)1 (xem [4]). Ta kt lun G (x, y, E ) C1 e E |xy|/8 , vi mi , x, y tha ( E ) |x y|2 2. Do ú, u C1 e Khi F u C2 E /32 F u . + vi C2 > ta c |u | ce Q , 71 vi c, > thớch hp. H qu 3.4.3. Ly E (0, b) l mt giỏ tr riờng ca H () vi > v [0, 2)2 . Khi ú disk {E , (H (; Q))} c e , ú c , > ph thuc vo v E . Chng minh. Ly c, > nh B 3.4.2. Ly Cc (Q) ú (x) = vi x Q\1 . Khi ú (H (; Q) E ) u /2 Q Ce vi C > khụng i. Chng hn u 1/2 Q ce , ta c (H (; Q) E ) u Q c e u Q. Bõy gi, ta chng minh nh lý 3.4.1. Theo ([10], Proposition 2.3), ta cú N ((a, b) , H (; Q)) C ( + 1) vi C > thớch hp. Do ú, cỏc bc m ph ca H () v H+ () nm khong (a, b) tng. Cú cỏc hỡnh cu KR (x + k) vi R > 0, x Q v k Z2 , cho B l dng trờn KR (x + k) v nhng gi thit ca B 3.1.2 tha món. Ta thu c (3.9) vi H+ () bng vic lp lun tng t vi H (). 72 Kt lun Lun Giỏ tr riờng cỏc bc ph ca toỏn t Pauli hai chiu ó trỡnh by cỏc kin thc liờn quan n giỏ tr riờng cỏc bc ph ca toỏn t Pauli hai chiu c trỡnh by qua ba chng nh sau: Chng 1: H thng li cỏc khỏi nim v tớnh cht v mt s khụng gian vect, toỏn t tuyn tớnh b chn, ph ca toỏn t b chn, toỏn t tuyn tớnh khụng b chn, ph ca toỏn t tuyn tớnh khụng b chn. Chng 2: Trỡnh by h thng v nh ngha v tớnh cht toỏn t Schrodinger cựng mt s tớnh cht liờn quan n ph ca chỳng; nh ngha toỏn t Pauli hai chiu v mt s tớnh cht liờn quan n ph ca chỳng. Chng 3: Trỡnh by cỏc sau: Th nht, ta xột toỏn t Pauli trờn mt hỡnh cu nh. Hai mc tip theo l nhng trng hp khỏc m ú nhng giỏ tr riờng xut hin cỏc bc ph. Ta a kt qu nh sau: toỏn t Pauli hai chiu xut hin mt t tớnh cho bi B = d a , 0. Trong trng hp, c t trng s s v trng th trit tiờu vụ cựng thỡ tn ti giỏ tr riờng cỏc bc ph ca toỏn t Pauli hai chiu. Hn th na, ta chng minh c rng: nu mt t trng vi giỏ compact vi thụng lng khụng n nh lm xut hin ớt nht mt giỏ tr riờng nm 73 bc ny. S dng mt k thut khỏc, ta gii quyt trng hp i xng xuyờn tõm mc tip theo. Cui cựng, ta a mt vớ d v toỏn t Pauli vi nhng bc ph. T tớnh trng hp ny c gi thit l tun hon vi thụng lng khụng n nh. 74 Ti liu tham kho [A] Ti liu ting Vit [1] Nguyn Ph Hy (2005), Gii tớch hm, NXB Khoa hc v k thut. [2] Hong Ty (2003), Hm thc v gii tớch hm, NXB i hc Quc gia H Ni. [B] Ti liu ting Anh [3] W. Arveson (2001), A Short Course on Spectral Theory, Springer. [4] Alexander Besch (2000), "Eigenvalues in spectral gaps of the twodimentional Pauli operator", J. Math. Phys. 41, 7918 - 7931. [5] B. A. Dubrovin and S. P. Novikov(1980), Ground states in a periodic field, Magnetic Bloch functions and vector bundles, Soviet Math. Dokl. 22, 240244. [6] R. Hempel and I. Herbst (1995), Strong magnetic fields, Dirichlet boundaries, and spectral gaps, Commun. Math. Phys. 169, 237259. [7] R. Hempel and S. Z. Levendorskil (1988), "On eigenvalues in gaps for pertubed magnetic Schrăodinger operators, J. Marth. Phys. 39, 63-78. [8] L. D. Landau and E. M. Lifschitz (1965), Quantum MechanicsNonrelativistic Theory, 2nd ed., Pergamon, New York. 75 [9] M. Reed and B. Simon (1972), Methods of Modern Mathematical Physics,I Functional Analysis, Academic Press, New York. [10] A. V. Sobolev (1998), Quasi-classical asymptotics for the Paulioperator, Commun. Math. Phys. 194, 109134. [11] Gerald J. Tesch (2000), Mathematical Methods in Quantum Mechanics With Applications to Schrăodinger Operators, Academic Press, New York. [12] T Ngc Trớ (2009), Results on the number of zero modes of the Weyl-Dirac operator, PhD Thesis, Lancaster University, England. [...]... chuẩn của H Toán tử Hilbert–Schmidt không chỉ là toán tử bị chặn mà còn compact 17 1.3 Phổ của toán tử tuyến tính bị chặn Định nghĩa 1.3.1 Cho X là không gian Banach trên trường số C, B(X) là tập các toán tử tuyến tính bị chặn trên X, toán tử T ∈ B(X) Phổ của toán tử T kí hiệu là σ(T ) là tập tất cả các số phức λ sao cho (T − λ1) ∈ B(X)−1 ( B(X)−1 là tập tất cả các toán tử khả nghịch của / B(X)) trong. .. ứng được gọi là giá trị riêng Nếu λ là một giá trị riêng thì (T − λ1) không là đơn ánh do đó λ thuộc phổ của T Tập các giá trị riêng của T được gọi là phổ điểm (point spectrum) của T , kí hiệu là σp (T ); (b) Nếu λ không là giá trị riêng và nếu Ran(T − λ1) không trù mật thì λ thuộc phổ dư (residual spectrum); (c) Phổ rời rạc (discrete spectrum), kí hiệu σd (T ) là tập các giá trị riêng bị cô lập với... đổi ngược bị chặn, 1 là toán tử đơn vị Định nghĩa 1.5.2 Phổ của toán tử T , kí hiệu bởi σ(T ) chính là phần bù của tập giải được trong C Mỗi giá trị riêng của T đều thuộc σ(T ) Phổ rời rạc của T , kí hiệu bởi σd (T ) là tập các giá trị riêng bị cô lập với số bội hữu hạn Phổ thiết yếu của T , kí hiệu bởi σess (T ) là tập σ(T )\σd (T ) 24 Như chúng ta đã biết, tập phổ của một toán tử bị chặn là bị chặn... X → [0, 1] sao cho hj có giá compact chứa trong Oj và 27 n hj (x) ≤ 1 j=1 dấu bằng xảy ra khi x ∈ K 28 Chương 2 Toán tử Schr¨dinger và toán tử o Pauli hai chiều Toán tử Pauli hai chiều có sự biểu diễn tương tự như toán tử Schr¨dinger o Để nghiên cứu toán tử này, trước hết ta tìm hiểu về toán tử Schr¨dinger o Trong chương này, tôi xin đề cập đến ba dạng toán tử Schr¨dinger, đó o là H = H0 + V H = −∆... Banach, B(X) tà tập các toán tử tuyến tính bị chặn trên X Toán tử A ∈ B(X) được gọi là khả 16 nghịch nếu tồn tại toán tử B ∈ B(X) sao cho AB = BA = 1 (1 là toán tử đơn vị trong X) Khi đó, toán tử B được gọi là toán tử ngược của A và kí hiệu là B = A−1 Định lý 1.2.12 Nếu A ∈ B(X) là một toán tử tuyến tính thỏa mãn A < 1, thì toán tử (1 − A) là khả nghịch Định lý 1.2.13 Nếu toán tử A, B ∈ B(X) là khả... T là toán tử tự liên hợp Khi đó inf σ(T ) = inf ψ, T ψ ψ∈D(T ), ψ =1 và sup σ(T ) = sup ψ, T ψ ψ∈D(T ), ψ =1 Định lý 1.3.9 ([11], Theorem 2.19, tr 72) Cho T là toán tử đối xứng Khi đó, tất cả các giá trị riêng nhận giá trị thực và các vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêng này trực giao Định lý 1.3.10 ([11], Theorem 2.20, tr 72) Giả sử T là toán tử đối xứng có cơ sở trực chuẩn của các hàm riêng. .. T2 x ≤ a T1 x + b x với mọi x ∈ D(T1 ) Khi đó, toán tử T1 + T2 tự liên hợp trên D(T1 ) và tự liên hợp thiết yếu trên miền lõi bất kỳ của T1 Toán tử T2 trong định lý Kato–Rellich có thể được coi như toán tử nhiễu của T1 1.5 Phổ của toán tử tuyến tính không bị chặn Định nghĩa 1.5.1 Cho T là toán tử không bị chặn trong H Tập giải được của T bao gồm tất cả các số phức ρ sao cho T − ρ1 là song ánh từ D(T... Sau khi nghiên cứu toán tử Schr¨dinger, ta sẽ đưa ra định nghĩa về o toán tử Pauli hai chiều và nghiên cứu tính chất liên quan đến phổ của 29 chúng, đặc biệt là tính chất siêu đối xứng Những nội dung trình bày trong chương này chủ yếu được lấy từ [4] và [11] 2.1 Toán tử Schr¨dinger o 2.1.1 Các định nghĩa và tính chất Cho C ∞ (Rn ) là tập tất cả các hàm số giá trị phức có đạo hàm riêng bậc bất kì Với... chuẩn X và Y Ta kí hiệu B(X, Y ) là tập tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian X vào không gian Y Ta đưa vào B(X, Y ) hai phép toán sau • Tổng của hai toán tử A, B ∈ B(X, Y ) là một toán tử, kí hiệu là A + B và được xác định bởi biểu thức (A + B)(x) = Ax + Bx với mọi x ∈ X; • Tích vô hướng của α ∈ C với toán tử A ∈ B(X, Y ) là một toán tử, kí hiệu là αA và được xác định bởi biểu thức... là trù mật trong H Nếu T đối xứng, T ∗ mở rộng đóng của T thì toán tử nhỏ nhất mở rộng đóng T ∗∗ của T phải chứa trong T ∗ Do đó, với toán tử đối xứng, ta có T ⊂ T ∗∗ ⊂ T ∗ với toán tử đóng đối xứng T = T ∗∗ ⊂ T ∗ và với toán tử tự liên hợp T = T ∗∗ = T ∗ Từ đó, ta có thể dễ dàng thấy được một toán tử đối xứng đóng T là tự liên hợp khi và chỉ khi T ∗ đối xứng Định nghĩa 1.4.7 Một toán tử đối xứng . cứu: toán tử Pauli, phổ của toán tử Pauli, giá trị riêng trong các bước phổ của toán tử Pauli hai chiều • Phạm vi nghiên cứu: các tài liệu, các bài báo liên quan đến toán tử Pauli, phổ của toán tử. trong các bước phổ của toán tử Pauli hai chiều • Mở rộng các kết quả của bài báo [4] 3. Nhiệm vụ nghiên cứu • Đưa ra một số kết quả liên quan đến giá trị riêng trong các bước phổ của toán tử Pauli •. . . . . . . 49 2.2.2. Tính chất của toán tử Pauli hai chiều . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Chương 3. Giá trị riêng trong các bước phổ của toán tử Pauli hai chiều . . . . . . . . . . . . .