Như đề cập bên trên, phổ của toán tử Pauli hai chiều với điện trường 0 và từ trường đều khác 0 bao gồm các cấp Landau và do đó có vô số những bước phổ. Trong phần này, ta đưa thêm những ví dụ về toán tử Pauli với các bước phổ. Lấy
H±(λ) = (−i∇ − λ−→a)2
trong đó từ trường B = d−→a được giả thiết là tuần hoàn với sự chú ý tới
mạng Z2. Lấy Q = [0,1)2 và ∂Q là biên của Q.
Nếu B ≥ 0 và M = x ∈ R2;B(x) = 0 là hợp của những tập rời nhau, ta sử dụng kỹ thuật của Hempel và Herbst để chứng minh
(H−(λ) + 1)−1 −(−∆M + 1)−1 → 0, λ→ ∞.
Trong đó, −∆M là Dirichlet Laplacian trên M. Theo ([6], Prposition 3.10), nó chỉ ra rằng phổ của H−(λ) có những bước khi λ lớn và bằng tính siêu đối xứng ta được những bước của H+(λ).
Nếu RQB = 0 thì cả H−(λ) và H+(λ) đều không hội tụ trong phép chiếu tới toán tử Dirichlet. Do đó, trong trường hợp này có một trường tuần hoàn vectơ trường thế −→a liên kết với B. Do đó, ta có thể sử dụng
lý thuyết Floquet. Với θ ∈ [0,2π)2, kí hiệu H±θ (λ) là các toán tử H±(λ)
trên L2(Q) với những điều kiện biên
u(x+lj) = eiθju(x), ∂
∂xju(x+lj) = e iθj ∂
∂xju(x), j = 1,2, (3.8)
trong đó l1 = (1,0), l2 = (0,1). Như trong [4], ta có
H±(λ) ∼= Z ⊕ [0,2π)2
H±θ (λ) d
2θ
(2π)2.
Giả thiết xa hơn rằng B là dương trong một lân cận mở của biên của
Q. Lấy b > 0, khi λ tăng, hai điều sau sẽ xảy ra
(1) Lấy θ ∈ [0,2π)2. Những hàm riêng của H−θ (λ) với giá trị riêng trong [0, b) sẽ vô cùng bé trong lân cận của ∂Q. Do đó, giá trị riêng của H−θ (λ) nhỏ hơn b là đóng tới những giá trị riêng của toán tử Dirichlet H−(λ, Q) khi λ → ∞,
(2) Số các giá trị riêng của H−(λ, Q) trong [0, b) tăng lên khi λ → ∞.
Ta thấy rằng, kết quả thứ nhất có trước kết quả thứ hai. Do đó, những bước mở nằm trong phổ của H−(λ) với λ lớn. Bằng siêu đối xứng, điều này sẽ vẫn đúng với H+(λ).
Định lý 3.4.1. Cho từ trường B trong (3.7) liên tục Lipschitz và tuần hoàn với sự chú ý tới Z2. Lấy RQB = 0 và giả sử rằng B dương trong một lân cận mở của ∂Q. Cho 0 < a < b. Khi đó có ít nhất một bước phổ của H+(λ) và H−(λ) bên trong khoảng (a, b) khi λ lớn. Hơn thế nữa, ta có
σessH±(λ)∩[0, a) 6= ∅. (3.9)
Ngoài ra, ta có thể giả sử rằng tồn tại δ > 0 sao cho B(x) > 1 với
disk{x, ∂Q} ≤ δ. Lấy Ωj := x ∈ R2; disk{x, ∂Q} < j 4δ , j = 1, ....,4.
Trong chứng minh Định lý 3.4.1, ta cần đến bổ đề sau
Bổ đề 3.4.2. Lấy H±θ (λ) và b như trên. Khi đó tồn tại hằng số c, α > 0
sao cho với mọi θ ∈ [0,2π)2 và λ lớn điều sau vẫn đúng:
Lấy uλ là một hàm riêng thông thường của H−θ (λ) với giá trị riêng Eλ ∈
(0, b). Khi đó Z Ω1∩Q |uλ|2 ≤cλe−α √ λ .
Chứng minh. Giả sử không hạn chế rằng λ > b. Lấy Qe = [−1,2)2. Với ex ∈ Qe xác định duy nhất x ∈ Q và ε1, ε2 ∈ {−1,0,1}, sao cho
e
x = x+ε1l1 + ε2l2. Ta định nghĩa với xe∈ Qe
e
Từ (3.8) mà ψeuλ ∈ D(H−(λ)) với mọi ψ ∈ Cc∞Qe. Với x ∈ R2 lấy b B(x) := B(x), B(x) ≥1 1, B(x) < 1 .
Lấy ψ ∈ Cc∞(Ω4) sao cho ψ|Ω
3 = 1. Khi đó (−i∇ −λ−→a)2 + λBb −Eλ ψueλ = (−i∇ −λ−→a)2 +λB −Eλ ψueλ = (H (λ)−Eλ)ψueλ = −2i(∇ψ) (−i∇ −λ−→a ) e uλ −ueλ∆ψ =: Fuλ.e Bằng công thức Feynman–Kac–Ito, ta có |ψueλ|= (−i∇ −λ−→a)2 +λBb −Eλ −1 Fueλ ≤ (−∆ +λ−Eλ)−1|Fuλe |.
Lấy η ∈ Cc∞(Ω2) sao cho η|Ω
1 = 1. Khi đó
η|ueλ| = η|ψueλ| ≤ η(−∆ +λ−Eλ)−1|Feuλ|.
Với E > 0 lấy G(x, y, E) là hạt nhân tích phân của (−∆ +E)−1 (xem ở [4]). Ta kết luận
G(x, y, λ−Eλ) ≤ C1e−
√
λ−Eλ|x−y|/8 ,
với mọi λ, x, y thỏa mãn (λ−Eλ)|x−y|2 ≥ 2. Do đó,
kηueλk ≤ C1e− √ λ−Eλδ/32 kFeuλk. Khi kFueλk ≤ C2 √ λ+ 1 với C2 > 0 ta được Z Ω1∩Q |uλ|2 ≤cλe−α √ λ,
với c, α > 0 thích hợp.
Hệ quả 3.4.3. Lấy Eλ ∈ (0, b) là một giá trị riêng của H−θ (λ) với λ >0
và θ ∈ [0,2π)2. Khi đó
disk{Eλ, σ(H−(λ; Q))} ≤ c0λe−α
0√
λ,
trong đó c0, α0 > 0 phụ thuộc vào θ và Eλ.
Chứng minh. Lấy c, α > 0 như Bổ đề 3.4.2. Lấy ψ ∈ Cc∞(Q) trong đó
ψ(x) = 1 với x ∈ Q\Ω1. Khi đó
k(H−(λ;Q)−Eλ)ψuλkQ ≤ Cλe−α/2
√
λ
với C > 0 không đổi. Chẳng hạn
kψuλkQ ≥ 1−cλe−α √ λ1/2 , ta được k(H−(λ;Q)−Eλ)ψuλkQ ≤c0λe−α 0√ λkψuλkQ.
Bây giờ, ta chứng minh Định lý 3.4.1. Theo ([10], Proposition 2.3), ta có
N ((a, b), H−(λ;Q)) ≤ C(λ + 1) với C > 0 thích hợp.
Do đó, các bước mở trong phổ của H−(λ) và H+(λ) nằm trong khoảng
(a, b) khi λ tăng.
Có các hình cầu KR(x+k) với R > 0, x ∈ Q và k ∈ Z2, sao cho B là dương trên KR(x+k) và những giả thiết của Bổ đề 3.1.2 thỏa mãn. Ta thu được (3.9) với H+(λ) bằng việc lập luận tương tự với H−(λ).
Kết luận
Luận văn “Giá trị riêng trong các bước phổ của toán tử Pauli hai chiều” đã trình bày các kiến thức liên quan đến giá trị riêng trong các bước phổ của toán tử Pauli hai chiều được trình bày qua ba chương như sau:
• Chương 1: Hệ thống lại các khái niệm và tính chất về một số không gian vectơ, toán tử tuyến tính bị chặn, phổ của toán tử bị chặn, toán tử tuyến tính không bị chặn, phổ của toán tử tuyến tính không bị chặn.
• Chương 2: Trình bày hệ thống về định nghĩa và tính chất toán tử Schrodinger cùng một số tính chất liên quan đến phổ của chúng; Định nghĩa toán tử Pauli hai chiều và một số tính chất liên quan đến phổ của chúng.
• Chương 3: Trình bày các vần đề sau: Thứ nhất, ta xét toán tử Pauli trên một hình cầu nhỏ. Hai mục tiếp theo là những trường hợp khác nhau mà ở đó những giá trị riêng xuất hiện trong các bước phổ. Ta đưa ra kết quả như sau: khi toán tử Pauli hai chiều xuất hiện một từ tính cho bởi λBs = λd−→a
s, λ ≥ 0. Trong trường hợp, cả từ trường và trường thế triệt tiêu ở vô cùng thì vẫn tồn tại giá trị riêng trong các bước phổ của toán tử Pauli hai chiều. Hơn thế nữa, ta chứng minh được rằng: nếu một từ trường với giá compact với thông lượng không ổn định làm xuất hiện ít nhất một giá trị riêng nằm trong
bước này. Sử dụng một kĩ thuật khác, ta giải quyết trường hợp đối xứng xuyên tâm trong mục tiếp theo. Cuối cùng, ta đưa ra một ví dụ về toán tử Pauli với những bước phổ. Từ tính trong trường hợp này được giả thiết là tuần hoàn với thông lượng không ổn định.
Tài liệu tham khảo
[A] Tài liệu tiếng Việt
[1] Nguyễn Phụ Hy (2005),Giải tích hàm, NXB Khoa học và kỹ thuật. [2] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực và giải tích hàm, NXB Đại học Quốc
gia Hà Nội.
[B] Tài liệu tiếng Anh
[3] W. Arveson (2001), A Short Course on Spectral Theory, Springer. [4] Alexander Besch (2000), "Eigenvalues in spectral gaps of the two-
dimentional Pauli operator", J. Math. Phys. 41, 7918 - 7931. [5] B. A. Dubrovin and S. P. Novikov(1980), “Ground states in a pe-
riodic field, Magnetic Bloch functions and vector bundles”, Soviet Math. Dokl. 22, 240–244.
[6] R. Hempel and I. Herbst (1995), “Strong magnetic fields, Dirichlet boundaries, and spectral gaps”, Commun. Math. Phys. 169, 237- 259.
[7] R. Hempel and S. Z. Levendorskil (1988), "On eigenvalues in gaps for pertubed magnetic Schr¨odinger operators”, J. Marth. Phys. 39, 63-78.
[8] L. D. Landau and E. M. Lifschitz (1965), Quantum Mechanics- Nonrelativistic Theory, 2nd ed., Pergamon, New York.
[9] M. Reed and B. Simon (1972), Methods of Modern Mathematical Physics,I Functional Analysis, Academic Press, New York.
[10] A. V. Sobolev (1998), “Quasi-classical asymptotics for the Pauli- operator”, Commun. Math. Phys. 194, 109–134.
[11] Gerald J. Tesch (2000), Mathematical Methods in Quantum Me- chanics With Applications to Schr¨odinger Operators, Academic Press, New York.
[12] Tạ Ngọc Trí (2009), Results on the number of zero modes of the Weyl-Dirac operator, PhD Thesis, Lancaster University, England.