−
→a R2 là bao đóng của Cc∞ R2 theo chuẩn
kuk−→a =
kuk2 + kΠ1uk2 +kΠ2uk21/2,
trong đó Πj = −i∂j −aj với j=1,2.
Trên H1−→a R2, ta định nghĩa toán tử đóng Q± = Π1 ±iΠ2.
Lấy H± là toán tử tự liên hợp liên kết với dạng bậc hai kQ±uk2. Chính xác, ta viết
H± = (−i∇ − −→a )2 ∓B.
Vectơ thế không được xác định duy nhất bằng từ trường. Lấy −→a và −→a0
sao cho d−→a = d−→a0 , tồn tại hàm g ∈ C2 R2 thỏa mãn −→a −−→a0 = ∇g (xem ở [4]). Vì e−ig(−i∇ − −→a)eig = −i∇ − − → a0 nên (−i∇ − −→a)2 ∓B và −i∇ − −→a0 2 ∓B là tương đương. Một tính chất thú vị của Toán tử Pauli là siêu đối xứng, H = Q∗
±Q± =
Q∓Q∗∓. Kết luận từ tính siêu đối xứng (xem ở [4]), ta có
σ(H+)\ {0}= σ(H−)\ {0}.
Chú ý rằng, chúng không siêu đối xứng trong ba chiều hoặc nếu một điện trường bổ sung được xem xét. Khi muốn sử dụng tính chất này, ta hạn chế với trường hợp trong R2.
Ta cũng cần toán tử Dirichlet Pauli trên một tập mở bị chặn Ω ⊂ R2. Xét các toán tử đóng Q±(Ω) = Π1 ±iΠ2.
Trên
◦
H1 (Ω), toán tử Dirichlet H±(Ω) xác định ở trên thông qua các dạng bậc hai kQ±(Ω)uk2. Sử dụng định lý Rellich, ta dễ dàng có được tính chất của H±(Ω) . Do đó, phổ của H±(Ω) gồm các giá trị với số bội hữu hạn.
Chương 3
Giá trị riêng trong các bước phổ của toán tử Pauli hai chiều
Trong chương hai, ta đã nghiên cứu về toán tử Pauli hai chiều và có được một số kết quả về phổ của chúng, đặc biệt là tính chất siêu đối xứng của chúng. Những kiến thức này sẽ hỗ trợ cho việc nghiên cứu giá trị riêng trong các bước phổ của toán tử Pauli hai chiều.
Trong chương này, ta tìm hiểu vấn đề khi toán tử có sự xuất hiện của một từ tính cho bởi λBs = λd−→a
s, λ ≥ 0. Vấn đề đầu tiên ta nghiên cứu là: “Nếu cả từ trường và trường thế triệt tiêu ở vô cùng thì có giá trị riêng nào của toán tử Pauli trong các bước phổ không?”. Tiếp theo, ta chỉ ra một ví dụ về một toán tử Pauli hai chiều như trên để việc nghiên cứu vấn đề đặt ra ở trên có ý nghĩa.
Những nội dung trình bày trong chương này được tham khảo từ [4] và những tài liệu trích dẫn trong đó.