Xấp xỉ toán tử khung nghịch đảo

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN THỊ HẢI ĐƯỜNG XẤP XỈ TOÁN TỬ KHUNG NGHỊCH ĐẢO LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN THỊ HẢI ĐƯỜNG XẤP XỈ TOÁN TỬ KHUNG NGHỊCH ĐẢO LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học TS. Nguyễn Quỳnh Nga HÀ NỘI, 2014 Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Quỳnh Nga. Tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đối với cô, người đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này. Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới các Thầy, Cô trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Viện Toán học Hà Nội, đã trang bị kiến thức và phương pháp nghiên cứu để tôi hoàn thành khóa học. Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sao Đỏ, toàn thể cán bộ giảng viên khoa Khoa học cơ bản trường Đại học Sao Đỏ đã tạo điều kiện giúp tôi hoàn thành chương trình cao học. Và cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, tập thể lớp Toán giải tích K16 (đợt 2)-trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả Nguyễn Thị Hải Đường Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "Xấp xỉ toán tử khung nghịch đảo" được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Quỳnh Nga và bản thân tác giả. Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng nhất. Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả Nguyễn Thị Hải Đường Mục lục Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1. Khung trong không gian Hilbert hữu hạn chiều . . 5 1.2. Khung trong không gian Hilbert tổng quát . . . . . . . . . 7 1.3. Cơ sở Riesz và khung Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4. Toán tử khung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5. Khung Gabor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Chương 2. Xấp xỉ toán tử khung nghịch đảo . . . . . . . . . . . 30 2.1. Cách tiếp cận đầu tiên. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2. Phương pháp tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3. Ứng dụng vào khung Gabor. . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Khái niệm khung được đưa ra vào năm 1952 bởi Duffin và Schaeffer [9] khi họ nghiên cứu chuỗi Fourier không điều hòa. Tuy nhiên phải đến năm 1986, sau bài báo của Daubechies, Grossmann và Meyer [7] thì khung mới nhận được sự quan tâm rộng rãi. Khung thường được sử dụng trong xử lý tín hiệu, xử lý ảnh, nén dữ liệu và trong lý thuyết mật mã. Đặc trưng chính của một cơ sở {f k } ∞ k=1 trong không gian Hilbert H là mọi véctơ f ∈ H có thể biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính của các phần tử f k trong cơ sở : f = ∞  k=1 C k (f)f k (1) Các hệ số C k (f) là duy nhất. Một khung cũng là một dãy các phần tử trong H cho phép mỗi phần tử f ∈ H có các biểu diễn như trong (1). Tuy nhiên các hệ số tương ứng là không duy nhất. Ta xét một khung {f k } ∞ k=1 trong một không gian Hilbert H và toán tử khung tương ứng: S : H → H, Sf := ∞  k=1 f, f k f k . Một trong những kết quả chính của lí thuyết khung là khai triển khung f =  f, S −1 f k f k , f ∈ H. Trong thực hành, sẽ rất khó khăn (hoặc thậm chí không thể) ứng dụng khai triển khung một cách trực tiếp do H thường là một không gian Hilbert vô hạn chiều sẽ khó để tìm toán tử nghịch đảo S −1 một cách 1 2 cụ thể. Do đó ta cần xấp xỉ S −1 (hoặc ít ra là xấp xỉ các hệ số khung  f, S −1 f k  ∞ k=1 ). Với mong muốn hiểu biết sâu sắc hơn về lý thuyết khung trong không gian Hilbert, được sự đồng ý hướng dẫn của TS. Nguyễn Quỳnh Nga, tôi đã lựa chọn nghiên cứu đề tài "Xấp xỉ toán tử khung nghịch đảo" để thực hiện luận văn tốt nghiệp chương trình đào tạo thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích. 2. Mục đích nghiên cứu Đề tài này nhằm nghiên cứu, trình bày về các phương pháp xấp xỉ toán tử khung nghịch đảo và ứng dụng vào các khung Gabor. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu về khung trong không gian Hilbert, cơ sở Riesz và khung Riesz, toán tử khung, khung Gabor; - Nghiên cứu về các phương pháp xấp xỉ toán tử khung nghịch đảo, ứng dụng vào các khung Gabor. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, một số khái niệm và kết quả cơ bản trong lý thuyết khung, xấp xỉ toán tử khung nghịch đảo, khung Gabor; - Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước liên quan đến xấp xỉ toán tử khung nghịch đảo. 5. Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm để tiếp cận vấn đề; 3 - Thu thập tài liệu và các bài báo về xấp xỉ toán tử khung nghịch đảo; - Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất. 6. Đóng góp mới của luận văn Luận văn trình bày một cách tổng quan về các phương pháp xấp xỉ toán tử khung nghịch đảo và ứng dụng vào các khung Gabor. Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Khi nghiên cứu không gian véctơ một trong những khái niệm quan trọng nhất là cơ sở, nhờ đó mỗi phần tử trong không gian đều có thể viết như một tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong cơ sở. Tuy nhiên các điều kiện là cơ sở khá hạn chế, ta không cho phép sự phụ thuộc tuyến tính giữa các phần tử trong cơ sở. Đôi khi chúng ta thậm chí còn yêu cầu các phần tử trực giao với nhau đối với một tích vô hướng. Điều này làm cho việc tìm các cơ sở thỏa mãn thêm một số điều kiện mong muốn trở nên khó khăn hoặc thậm chí không thể tìm được. Đây chính là lí do để chúng ta tìm kiếm một công cụ linh hoạt hơn để giải quyết trong những trường hợp như vậy. Các khung chính là công cụ chúng ta quan tâm. Một khung trong không gian véctơ được trang bị một tích vô hướng cũng cho phép biểu diễn mỗi phần tử trong không gian như một tổ hợp tuyến tính vô hạn của các phần tử trong khung nhưng ta không đòi hỏi các phần tử trong khung phải độc lập tuyến tính với nhau. Khái niệm khung được đưa ra vào năm 1952 bởi Duffin và Schaeffer [9] khi họ nghiên cứu chuỗi Fourier không điều hòa. Tuy nhiên phải đến năm 1986, sau bài báo của Daubechies, Grossmann và Meyer [7] thì khung mới nhận được sự quan tâm rộng rãi. Khung thường được sử dụng trong xử lý tín hiệu, xử lý ảnh, nén dữ liệu và trong lý thuyết mật mã. Chương này sẽ trình bày một số kiến thức cơ sở cần thiết của lí thuyết khung trong không gian Hilbert sẽ dùng trong chương hai. Nội dung của chương này được tham khảo trong các tài liệu [3], [6], [7], [8], [9], [10]. 4 5 1.1. Khung trong không gian Hilbert hữu hạn chiều Cho H là không gian Hilbert hữu hạn chiều, được trang bị một tích vô hướng. Nhớ lại rằng một dãy {e j } m j=1 trong H là một cơ sở của H nếu hai điều kiện sau đây được thỏa mãn i) H = span {e j } m j=1 ; ii) {e j } m j=1 là độc lập tuyến tính, nghĩa là nếu  m j=1 c j e j = 0 với các hệ số vô hướng {c j } m j=1 thì c j = 0, (j = 1, , m). Như một hệ quả của định nghĩa này, mọi f ∈ H có một biểu diễn duy nhất theo các thành phần trong cơ sở, tức là, tồn tại bộ duy nhất các hệ số vô hướng {c j } m j=1 sao cho f = m  j=1 c j e j . (1.1) Nếu {e j } m j=1 là một cơ sở trực chuẩn, nghĩa là một cơ sở với e i , e j  = δ ij =      0 nếu i = j 1 nếu i = j thì các hệ số {c j } m j=1 rất dễ tìm, đó chính là tích vô hướng của f trong (1.1) với một e j tùy ý f, e j  =  m  i=1 c i e i , e j  = m  i=1 c i e i , e j  = c j vì vậy f = m  j=1 f, e j e j (1.2) Bây giờ ta sẽ chuyển sang khái niệm khung; ta sẽ chứng minh rằng một khung cũng cho ta một biểu diễn như (1.2) [...]... g}m,n∈Z không phải là một khung nếu c < a hoặc a > 1 (ii) {Emb Tna g}m,n∈Z là khung nếu 1 ≥ c ≥ a (iii) {Emb Tna g}m,n∈Z không là khung nếu a = 1 và c > 1 Chương 2 Xấp xỉ toán tử khung nghịch đảo Ta xét một khung {fk }∞ trong một không gian Hilbert H và toán k=1 tử khung tương ứng: ∞ f : H → H, Sf := f, fk fk k=1 Một trong những kết quả chính của lí thuyết khung là khai triển khung f= f, S −1 fk fk... khung với toán tử khung S và k=1 các cận khung A, B Khi đó ta có các khẳng định sau: (i) S bị chặn, khả nghịch, tự liên hợp và là toán tử dương; (ii) S −1 fk ∞ k=1 là một khung với các cận khung là B −1 , A−1 ; Nếu A, B là các cận tối ưu của {fk }∞ thì B −1 , A−1 là các cận tối ưu k=1 của S −1 fk ∞ k=1 Toán tử khung của S −1 fk ∞ k=1 là S −1 Chứng minh (i) S bị chặn như một sự hợp thành của hai toán. .. khung Theo Bổ đề 1.2.3 do khung {fk }∞ là dãy Bessel, toán tử k=1 ∞ 2 T : l (N) → H, T {ck }∞ k=1 = ck fk k=1 (1.18) 22 là toán tử bị chặn T được gọi là toán tử tổng hợp Theo Bổ đề 1.2.3, toán tử liên hợp được cho bởi T ∗ : H → l2 (N) , T ∗ f = { f, fk }∞ k=1 (1.19) T ∗ được gọi là toán tử phân tích Bằng cách lấy hợp T và T ∗ ta thu được toán tử khung ∞ S : H → H, ∗ f, fk fk Sf = T T f = (1.20) k=1... thể) ứng dụng khai triển khung một cách trực tiếp do H thường là một không gian Hilbert vô hạn chiều sẽ khó để tìm toán tử nghịch đảo S −1 một cách cụ thể Do đó ta cần xấp xỉ S −1 (hoặc ít ra là xấp xỉ các hệ số khung f, S −1 fk ∞ ) k=1 Trong chương này chúng tôi trình bày một số phương pháp xấp xỉ chỉ sử dụng các véctơ trong các không gian véctơ hữu hạn chiều, vì vậy các tính toán có thể thực hiện nhờ... vậy khung {fk }∞ không phải là khung Riesz Tuy nhiên khung k=1 Riesz tránh được tình huống trên 2) Ta cũng có thể định nghĩa khung Riesz như sau: Một khung {fk }∞ k=1 được gọi là một khung Riesz nếu tồn tại một hằng số A > 0 sao cho bất cứ họ con nào của {fk }∞ là một dãy khung với cùng cận khung dưới k=1 A Điều này có được là do mọi họ con của khung {fk }∞ tự động có cận k=1 khung trên bằng cận khung. .. : l (N) → H, T {ck }∞ k=1 ck fk := (1.5) k=1 xác định một toán tử tuyến tính bị chặn Toán tử liên hợp được cho bởi T ∗ f = { f, fk }∞ k=1 T ∗ : H → l2 (N) , Hơn nữa, (1.6) ∞ | f, fk |2 ≤ T 2 f 2 , ∀f ∈ H (1.7) k=1 Toán tử T được xác định bởi (1.5) thường được gọi là toán tử tổng hợp tương ứng với dãy {fk }∞ k=1 Chứng minh Xét dãy các toán tử tuyến tính n Tn {ck }∞ k=1 2 Tn : l (N) → H, := ck fk k=1... trong k=1 H có một biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính vô hạn của các phần tử khung Do đó ta có thể xem khung như là một "cơ sở suy rộng" Định lí 1.4.2 Giả sử {fk }∞ là một khung với toán tử khung S k=1 Khi đó ∞ f, S −1 fk fk , ∀f ∈ H f= k=1 Chuỗi hội tụ vô điều kiện ∀f ∈ H Chứng minh Giả sử f ∈ H Sử dụng các tính chất của toán tử khung trong Mệnh đề 25 1.4.1 ∞ ∞ −1 −1 S f, fk fk = f = SS f = f, S −1 fk... dựa trên các tài liệu tham khảo [1], [2], [4], [5], [6] 2.1 Cách tiếp cận đầu tiên Cho khung {fk }∞ với toán tử khung S, một cách tự nhiên ta thử k=1 xấp xỉ S −1 sử dụng tập con hữu hạn của {fk }∞ Cho n ∈ N, họ tập k=1 {fk }n theo Mệnh đề 1.1.2 là một khung của Hn := span {fk }n ; k=1 k=1 30 31 Kí hiệu toán tử khung của nó bởi n Sn : Hn → Hn , f, fk fk Sn f = (2.1) k=1 Nhớ rằng Hn là không gian hữu... {fk }m là một khung của H k=1 Hệ quả 1.1.3 Một họ các phần tử {fj }m trong H là một khung của j=1 H khi và chỉ khi span {fj }m = H j=1 Hệ quả 1.1.3 chỉ ra một khung có thể có số phần tử nhiều hơn số phần tử cần thiết để làm cơ sở Đặc biệt, nếu {fj }k là một khung của H và j=1 {gj }m là một tập hữu hạn tùy ý các véctơ trong H thì {fj }k ∪ {gj }m j=1 j=1 j=1 cũng là một khung của H 1.2 Khung trong không... 1.4.3 Các cận tối ưu của khung {fk }∞ là A, B được cho bởi k=1 A = S −1 −1 , B= S = T 2 Chứng minh Theo (1.4), ta có ∞ B = sup f =1 k=1 | f, fk |2 = sup | Sf, f | = S f =1 ∞ Sử dụng kết quả này cho khung đối ngẫu S −1 fk k=1 (có toán tử khung 1 1 S −1 và cận trên tối ưu theo Mệnh đề 1.4.1) ta thu được = S −1 A A ∗ ∗ 2 Từ S = T T kéo theo S = T T = T 1.5 Khung Gabor Hai lớp toán tử đặc biệt trên L2 (R) . trong lý thuyết khung, xấp xỉ toán tử khung nghịch đảo, khung Gabor; - Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước liên quan đến xấp xỉ toán tử khung nghịch đảo. 5. Phương. HẢI ĐƯỜNG XẤP XỈ TOÁN TỬ KHUNG NGHỊCH ĐẢO LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN THỊ HẢI ĐƯỜNG XẤP XỈ TOÁN TỬ KHUNG NGHỊCH ĐẢO LUẬN. phương pháp xấp xỉ toán tử khung nghịch đảo và ứng dụng vào các khung Gabor. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu về khung trong không gian Hilbert, cơ sở Riesz và khung Riesz, toán tử khung, khung Gabor; -