Xấp xỉ toán tử g khung nghịch đảo

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI −−−∗∗∗−−− TỐNG KHÁNH LINH XẤP XỈ TOÁN TỬ g - KHUNG NGHỊCH ĐẢO LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI-2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI −−−∗∗∗−−− TỐNG KHÁNH LINH XẤP XỈ TOÁN TỬ g - KHUNG NGHỊCH ĐẢO LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Quỳnh Nga HÀ NỘI-2018 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn tới Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi để em hồn thành khóa học Qua em xin bày tỏ lòng biết ơn tới tồn thể thầy cô nhà trường dạy dỗ, bảo tận tình trình em học tập trường Em xin gửi lời cảm ơn tới toàn thể thầy Bộ mơn Tốn Giải tích, Khoa Tốn - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành luận văn Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới giáo TS Nguyễn Quỳnh Nga, người trực tiếp bảo hướng dẫn tận tình em suốt trình thực luận văn Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp, người bên để giúp đỡ chia sẻ khó khăn với em suốt thời gian học tập hồn thành luận văn Hà Nội, tháng 10 năm 2018 Tác giả Tống Khánh Linh LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, hướng dẫn TS Nguyễn Quỳnh Nga, luận văn thạc sĩ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài "Xấp xỉ tốn tử g-khung nghịch đảo" hoàn thành nhận thức thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 10 năm 2018 Tác giả Tống Khánh Linh Mục lục Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số kiến thức giải tích hàm 3 1.1.1 Tốn tử tuyến tính 1.1.2 Khơng gian Hilbert 1.1.3 Tốn tử tuyến tính liên tục 1.2 Khung toán tử khung 1.2.1 Khung không gian Hilbert hữu hạn chiều 1.2.2 Khung khơng gian Hilbert tổng qt 1.2.3 Tốn tử khung 1.3 g-khung toán tử g-khung Chương Xấp xỉ toán tử g-khung nghịch đảo 2.1 Xấp xỉ toán tử khung nghịch đảo 13 16 22 22 2.1.1 Xấp xỉ toán tử khung nghịch đảo phương pháp chiếu 2.1.2 Phương pháp tổng quát để xấp xỉ toán tử khung 22 nghịch đảo 30 2.2 Xấp xỉ toán tử g-khung nghịch đảo phương pháp chiếu 33 2.3 Phương pháp tổng quát để xấp xỉ toán tử g-khung nghịch đảo 38 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Khái niệm khung đưa vào năm 1952 Duffin Schaeffer Họ sử dụng khung công cụ nghiên cứu chuỗi Fourier không điều hòa Khung có nhiều ứng dụng xử lý tín hiệu, lý thuyết mật mã, nén liệu Gần có số khái niệm tổng quát hóa khái niệm khung đưa khung không gian con, khung nghiêng, Tất khái niệm chứng minh hữu ích nhiều ứng dụng xem trường hợp đặc biệt g-khung, đưa Wenchang Sun [10] vào năm 2006 Các thành phần khung thông thường véc tơ không gian Hilbert thành phần g-khung tốn tử tuyến tính bị chặn Một kết lý thuyết khung công thức phục hồi, cho phép ta phục hồi véc tơ không gian tổ hợp tuyến tính (vơ hạn) thành phần khung với hệ số tính thơng qua nghịch đảo tốn tử khung Trong thực tế khó tìm nghịch đảo tốn tử khung cách xác mà phải tìm xấp xỉ [5] Kết vừa nêu lý thuyết khung mở rộng cho g-khung [1] Được hướng dẫn tận tình TS Nguyễn Quỳnh Nga, lựa chọn nghiên cứu đề tài "Xấp xỉ toán tử g-khung nghịch đảo" để thực luận văn tốt nghiệm chương trình đào tạo thạc sĩ chuyên ngành Tốn giải tích Mục đích nghiên cứu Đề tài nhằm nghiên cứu trình bày phương pháp xấp xỉ tốn tử g-khung nghịch đảo khơng gian Hilbert Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu phương pháp toán tử g-khung nghịch đảo không gian Hilbert Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức sở cần thiết, số khái niệm kết khung không gian Hilbert, xấp xỉ toán tử g-khung nghịch đảo, g-khung Riesz Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, báo nước liên quan đến xấp xỉ toán tử g-khung nghịch đảo Dự kiến đóng góp đề tài Luận văn trình bày tổng quan phương pháp xấp xỉ toán tử gkhung nghịch đảo Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng kiến thức phương pháp giải tích hàm để tiếp cận vấn đề - Tìm tài liệu báo liên quan đến xấp xỉ toán tử g-khung nghịch đảo - Tổng hợp, phân tích, hệ thống khái niệm, tính chất Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số kiến thức giải tích hàm Trong mục chúng tơi nhắc lại số khái niệm kết giải tích hàm sử dụng phần sau luận văn Nội dung mục trình bày dựa [8] 1.1.1 Tốn tử tuyến tính Cho hai khơng gian tuyến tính X Y trường K Ánh xạ A từ không gian X vào khơng gian Y gọi tuyến tính A thỏa mãn điều kiện (1) ∀x, y ∈ X : A(x + y) = Ax + Ay (2) ∀x ∈ X , ∀α ∈ K A(αx) = αAx Ta gọi ánh xạ tuyến tính tốn tử tuyến tính Khi A thỏa mãn điều kiện (1) A gọi ánh xạ cộng tính Khi A thỏa mãn điều kiện (2) A gọi ánh xạ Khi Y = K A gọi phiếm hàm tuyến tính 1.1.2 Khơng gian Hilbert Trước tiên ta định nghĩa tích vơ hướng Giả sử X khơng gian tuyến tính phức.Tích vơ hướng X ánh xạ (x, y) → x, y từ X × X vào C cho : (1) x, y = y, x (2) ax + by, z = a x, z + b y, z (3) x, x > x = 0; x, x = x = x, y, z ∈ X a, b ∈ C Nếu , tích vơ hướng khơng gian tuyến tính phức X phương trình x = x, x , (x ∈ X ) xác định chuẩn X Một không gian định chuẩn phức X gọi không gian tiền Hilbert chuẩn nhận từ tích vơ hướng X Nếu X đầy đủ chuẩn X gọi khơng gian Hilbert Cho , tích vơ hướng X , ta có bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: | x, y | ≤ x y với ∀x, y ∈ X Một không gian Hilbert X gọi khả ly có tập hữu hạn đếm trù mật X 1.1.3 Tốn tử tuyến tính liên tục Cho H K không gian Banach,T : H → K tốn tử tuyến tính Khi ta nói T tốn tử tuyến tính liên tục từ H vào K bị chặn, nghĩa là, tồn số c cho: T x ≤ c x , ∀x ∈ H (1.1) Ký hiệu B (H , K ) tập hợp tất tốn tử tuyến tính bị chặn từ H vào K Khi H = K B (H , K ) ký hiệu đơn giản B (H ) Chuẩn T ∈ B (H , K ) định nghĩa số c nhỏ thỏa mãn (1.1) Nói cách tương đương, T = sup { T x : x ∈ H , x ≤ 1} = sup { T x : x ∈ H , x = 1} Định lý 1.1.1 (Banach-Steinhaus) Nếu X không gian Banach,Y không gian định chuẩn họ tốn tử tuyến tính liên tục {At : X → Y }t∈T mà bị chặn điểm, tức sup At (x) < ∞ x ∈ X bị chặn đều, tức với t∈T t ∈ T , At ≤ K liên tục đồng bậc, tức với ε > có δ > (không phụ thuộc vào t) với t ∈ T ta có : x < δ ⇒ At (x) ≤ ε Mệnh đề 1.1.2 Giả sử H , L, K không gian Hilbert Nếu T ∈ B (H , K ) tồn toán tử T ∗ ∈ B (K , H ) cho: T ∗ x, y = x, T y , (x ∈ K , y ∈ H ) Hơn nữa, (1) (aS + bT )∗ = aS ∗ + bT ∗ 31   12 n+m(n)  k=1 k=1 ≥ A −  21 n+m(n) | gj , fk |2  − | f, fk |2  ≥    21  n+m(n) | gj − f, fk |2  k=1 ∞ | gj − f, fk |2 k=1 ≥ √ A − B gj − f ≥ √ A − B ε Bằng cách chọn ε đủ nhỏ, √ A − Bε ≥ A , từ ta có (2.7) Bổ đề với khung {fk }∞ k=1 xây dựng họ khung "xấp xỉ {fk }∞ k=1 " cho chúng có chung cận khung Chúng ta lưu ý (2.2) cho khung Riesz Bổ đề chìa khóa cho phương pháp cải tiến cho khung Bổ đề 2.1.8 Cho {fk }∞ k=1 khung với cận A, B Với n ∈ N n+m(n) chọn m(n) ≥ cho (2.7) thỏa mãn Khi {Pn fk }k=1 khung A Hn với cận , B Toán tử khung liên kết Pn S(n+m(n)) : Hn → Hn −1 Pn Sn+m(n) ≤ B , Pn Sn+m(n) ≤ A n+m(n) Ở Sn+m(n) ký hiệu toán tử khung cho khung {fk }k=1 Hn+m(n) Chứng minh Cố định n ∈ N lấy f ∈ Hn Khi Pn f = f Chọn m(n) cho (2.7) thỏa mãn n+m(n) n+m(n) | f, Pn fk |2 = k=1 Ta có n+m(n) | Pn f, fk |2 = k=1 | f, fk |2 ≥ k=1 A f 2 32 n+m(n) n+m(n) ∞ | f, fk | ≤ | f, Pn fk | = k=1 k=1 k=1 n+m(n) Do {Pn fk }k=1 | f, fk |2 ≤ B f 2 khung Hn với cận A , B Toán tử khung cho n+m(n) f→ n+m(n) f, fk fk = Pn Sn+m(n) f, f ∈ Hn f, Pn fk Pn fk = Pn k=1 k=1 n+m(n) Từ Pn Sn+m(n) toán tử khung cho khung {Pn fk }k=1 với cận A , B Ta có A , n+m(n) Aopt Bopt cận khung tối ưu khung {Pn fk }k=1 −1 Do Pn Sn+m(n) ≤ B Pn Sn+m(n) ≤ A −1 Bây chứng minh S xấp xỉ gần tùy ý Pn Sn+m(n) = Bopt ≤ B Pn Sn+m(n) −1 −1 = Aopt ≥ tơpơ tốn tử mạnh toán tử (Pn Sn+m(n) )−1 Pn : Hn → Hn , n ∈ N Ta ý (Pn Sn+m(n) )−1 Pn tìm nhờ sử dụng phương pháp hữu hạn chiều Định lý 2.1.9 Cho {fi }∞ i=1 khung với cận A, B Với n ∈ N, chọn m(n) Bổ đề 2.1.7 Khi (Pn Sn+m(n) )−1 Pn f → S −1 f n → ∞ với f ∈ H Chứng minh Cho f ∈ H định nghĩa φn : = S −1 f − (Pn Sn+m(n) )−1 Pn f = Pn S −1 f − (Pn Sn+m(n) )−1 Pn f + (I − Pn )S −1 f Do (I − Pn )S −1 f → n → ∞ nên ta cần ψn := Pn S −1 − (Pn Sn+m(n) )−1 Pn f → 33 Do ψn ∈ Hn ta tác động tốn tử Pn Sn+m(n) lên hai vế, từ ta có ψn = (Pn Sn+m(n) )−1 (Pn Sn+m(n) Pn S −1 f − Pn f ) Từ ψn ≤ (Pn Sn+m(n) )−1 Pn Sn+m(n) Pn S −1 f − Pn f ≤ Sn+m(n) Pn S −1 f − f → n → ∞ A Do φn → n → ∞ Bây chuyển sang xấp xỉ toán tử g-khung nghịch đảo Nội dung hai mục trích dẫn từ tài liệu tham khảo [1] 2.2 Xấp xỉ toán tử g-khung nghịch đảo phương pháp chiếu Trong mục này,{Hi }∞ i=1 dãy không gian Hilbert hữu hạn chiều Cho {Λi }∞ i=1 g-khung H với toán tử g-khung S n ∈ N Bổ đề 1.3.4 {Λi }ni=1 g-khung Kn = span {Λ∗i (Hi )}ni=1 {Hi }ni=1 Ký hiệu: n Λ∗i Λi f Sn : Kn → Kn , Sn f = i=1 toán tử g-khung {Λi }ni=1 Chúng ta muốn biết làm ta xấp xỉ S −1 tốn tử Sn−1 Vì Kn = span {Λ∗i (Hi )}ni=1 hữu hạn chiều, ta tìm Sn−1 cách sử dụng đại số tuyến tính Định lý 2.2.1 Cho {Λi }∞ i=1 g-khung H với cận A B Với n ∈ N, cho Sn toán tử g-khung {Λi }ni=1 Khi g, Sn−1 Λ∗i Λi f → g, S −1 Λ∗i Λi f , n → ∞ (2.8) với f, g ∈ H , ∀i ∈ N, ∀f ∈ H , ∃ci,f > : Sn−1 Λ∗i Λi f ≤ ci,f (2.9) với n ≥ i Chứng minh Giả sử (2.9) thỏa mãn Cho f ∈ H , cố định i ∈ N định nghĩa 34 Φn = Sn−1 Λ∗i Λi f − S −1 Λ∗i Λi f ,n ≥ i Khi S Φn = SSn−1 Λ∗i Λi f − Λ∗i Λi f (2.10) ∞ Λ∗k Λk h với h ∈ Kn , ta suy từ (2.10) Vì S h = Sn h + k=n+1 ∞ ∞ Λ∗k Λk Sn−1 Λ∗i Λi f −Λ∗i Λi f S Φn = Sn Sn−1 Λ∗i Λi f + Λ∗k Λk Sn−1 Λ∗i Λi f = k=n+1 k=n+1 ∞ S −1 Λ∗k Λk Sn−1 Λ∗i Λi f Do Φn = k=n+1 Với g ∈ H , ta có ∞ S −1 Λ∗k Λk Sn−1 Λ∗i Λi f | g, Φn | = | g, | k=n+1 ∞ Λk S −1 g, Λk Sn−1 Λ∗i Λi f | =| k=n+1 ∞ Λk S −1 g ≤ ∞ Λk Sn−1 Λ∗i Λi f k=n+1 k=n+1 ∞ Λk S −1 g ≤ B Sn−1 Λ∗i Λi f k=n+1 ∞ Λk S −1 g ≤ B ci,f k=n+1 ∞ Vì {Λi }∞ i=1 g-khung, Λk S −1 g → n → ∞.Vì k=n+1 | g, Φn | → n → ∞ Ngược lại, (2.8) thỏa mãn, ta cố định f ∈ H , i ∈ N định nghĩa ψn,f : H → C, ψn,f (g) = g, Sn−1 Λ∗i Λi f , n ≥ i Rõ ràng ψn,f tuyến tính bị chặn với n ≥ i Cũng theo (2.8) dãy {ψn,f }n≥i hội tụ điểm Từ định lý Banach-Steinhaus có số ci,f > cho ψn,f = Sn−1 Λ∗i Λi f ≤ ci,f , với n ≥ i Ta nói phương pháp chiếu dùng (2.8) thỏa mãn với 35 f, g ∈ H Hệ 2.2.2 Phương pháp chiếu sử dụng với g-khung Riesz điều kiện Nếu Sn : Kn → Kn tốn tử g-khung {Λi }ni=1 , Sn khả nghịch h ∈ Kn viết n n Sn−1 Λ∗i Λi h h= i=1 Λ∗i Λi Sn−1 h = i=1 Nếu Pn : H → Kn phép chiếu trực giao n Sn−1 Λ∗i Λi f với f ∈ H Pn f = i=1 Thật vậy, cho g phần tử Kn Khi đó: n n Sn−1 Λ∗i Λi Pn f, g Pn f, g = i=1 n n f, Pn Λ∗i Λi Sn−1 g = i=1 f, Λ∗i Λi Sn−1 g = i=1 Sn−1 Λ∗i Λi f, g = i=1 n Sn−1 Λ∗i Λi f với f ∈ H Vì Pn f = i=1 Chú ý 2.2.3 Cho {Λi ∈ B (H , Hi )}∞ i=1 g-khung H , Kn = span {Λ∗i (Hi )}ni=1 cho Pn : H → Kn phép chiếu trực giao Vì {Pn }∞ i=1 tăng ∪∞ n=1 Kn = H , ta có Pn f → f n → ∞ Ta nói phương pháp chiếu mạnh sử dụng n | f, Sn−1 Λ∗i Λi f − S −1 Λ∗i Λi f |2 → i=1 n → ∞ thỏa mãn với f ∈ H Rõ ràng phương pháp chiếu thực phương pháp chiếu mạnh thực 36 Định lý 2.2.4 Cho {Λi ∈ B (H , Hi )}i∈J g-khung H với cận B Các điều kiện sau tương đương: (a) Sn−1 Pn f → S −1 f, n → ∞ với f ∈ H (b) (S − Sn )Sn−1 Pn f → n → ∞ với f ∈ H ∞ Λi Sn−1 Pn f (c) → n → ∞ với f ∈ H i=n+1 Hơn nữa, phương pháp chiếu (mạnh) thực trường hợp điều kiện tương đương thỏa mãn Chứng minh (a) ⇔ (b) Cho f ∈ H Vì Pn f → f n → ∞, ta sử dụng Sn−1 Pn f − S −1 f = S −1 (Pn f − f ) + S −1 (S − Sn )Sn−1 Pn f , (S − Sn )Sn−1 Pn f = S (Sn−1 Pn f − S −1 f ) − (Pn f − f ), ta rút (a) (b) tương đương (a) ⇒ (c).Ta có: ∞ Λi Sn−1 Pn f i=n+1 ∞ Λi (Sn−1 Pn f − S −1 f ) + Λi S −1 f = i=n+1 ∞ Λi (Sn−1 Pn f − S −1 f ) ≤ i=n+1 ≤ √ ∞ Λi S −1 f + i=n+1 ∞ Λi S −1 f B Sn−1 Pn f − S −1 f + với f ∈ H i=n+1 ∞ Λi S −1 f Vì i=n+1 2 → n → ∞, ta có kết 37 (c) ⇒ (b).Với f ∈ H ta có: (S − Sn )Sn−1 Pn f = sup | (S − Sn )Sn−1 Pn f, g |2 g =1 ∞ Λ∗i Λi Sn−1 Pn f, g = sup | g =1 i=n+1 ∞ |2 ∞ Λi Sn−1 Pn f ≤ sup g =1 i=n+1 ∞ i=n+1 Λi Sn−1 Pn f ≤B Λi g → n → ∞ i=n+1 Hơn nữa, cho f ∈ H Θi = Λ∗i Λi với i Ta có: n n f, Sn−1 Θi f | −S −1 | Pn f, Sn−1 Θi f − f, S −1 Θi f |2 Θi f | = i=1 i=1 n | Sn−1 Pn f − S −1 f, Θi f |2 = i=1 n ≤ | Sn−1 Pn f −S −1 f, Θi f | i=1 n n Λi Sn−1 Pn f ≤ −S −1 f i=1 Λi f i=1 ≤ B Sn−1 Pn f − S −1 f f Vì (a) thỏa mãn phương pháp chiếu mạnh thực Định lý 2.2.5 Cho {Λi ∈ B (H , Hi )}∞ i=1 g-khung Riesz điều kiện Khi Sn−1 Pn f → S −1 f n → ∞ với f ∈ H Do đó, phép chiếu (mạnh) thực với g-khung Riesz điều kiện Chứng minh Cho A, B cận g-khung {Λi ∈ B (H , Hi )}∞ i=1 Theo giả thiết ta có : 38 Sn−1 ≤ Cho f ∈ H ta có A Sn−1 Pn f − S −1 f ≤ Pn S −1 f − S −1 f + Sn−1 Pn f − Pn S −1 f n = Pn S −1 f −S −1 Sn−1 Λ∗i Λi S −1 f − Sn−1 Pn f f + i=1 n ≤ Pn S −1 f −S −1 Λ∗i Λi S −1 f − Pn f Sn−1 f + i=1 ≤ Pn S −1 f − S −1 f + A n Λ∗i Λi S −1 f − Pn f i=1 n Λ∗i Λi S −1 f − Pn f → n → ∞, ta có: Vì Pn f → f i=1 Sn−1 Pn f → S −1 f n → ∞ 2.3 Phương pháp tổng quát để xấp xỉ toán tử g-khung nghịch đảo Ta nhắc lại, {Hi }∞ i=1 dãy không gian Hilbert hữu hạn chiều Trong mục này, ta đưa phương pháp xấp xỉ toán tử g-khung nghịch đảo hiệu với g-khung Ta bắt đầu với mệnh đề sau: Mệnh đề 2.3.1 Cho {Λi ∈ B (H , Hi )}∞ i=1 g-khung H với cận A, B Kn = span {Λ∗i (Hi )}ni=1 Với n ∈ N < α < 1, tồn số mn cho: (i) αA f n+mn ≤ Λi f với f ∈ Kn i=1 n (ii) Nếu Pn : H → Kn phép chiếu trực giao {Λi Pn }n+m g-khung i=1 Kn với cận αA B Hơn nữa, Pn Sn+mn : Kn → Kn toán tử n+mn g-khung {Λi Pn }i=1 với Pn Sn+mn ≤ B (Pn Sn+mn )−1 ≤ αA Chứng minh (i) Cho n ∈ N < α < β < Chọn ε > cho √ √ √ βA − B ε ≥ αA.Vì {f ∈ Kn : f = 1} compact, có tập hữu hạn {gj }kj=1 ⊆ Kn với gj = cho: 39 {f ∈ Kn : f = 1} ⊆ ∪kj=1 {f ∈ Kn : f − gj < ε} Vì {Λi ∈ B (H , Hi )}∞ i=1 g-khung H , ta có: ∞ Λi gj , j = 1, 2, , k A≤ i=1 Vì ta chọn mn cho: n+mn Λi gj , j = 1, 2, , k βA ≤ i=1 Cho f ∈ Kn với f = Khi f − gj < ε với j ∈ {1, 2, , k} n+mn Λi f Do ≥ Λi gj i=1 ≥ √ βA − √ n+mn − i=1 B f − gj ≥ √ βA − n+mn Λi (f − gj ) i=1 √ B ≥ √ αA (ii) Vì Pn f = f với f ∈ Kn , từ (i) ta có: n+mn αA f ≤ n+mn Λi f = i=1 Λi Pn f i=1 ∞ ≤ Λi Pn f ≤B f với f ∈ Kn i=1 n+mn Vì {Λi Pn }i=1 g-khung Kn với cận nói Hơn nữa: n+mn n+mn Λ∗i Λi f Pn Sn+mn f = Pn i=1 Pn Λ∗i Λi Pn f = i=1 n+mn (Λi Pn )∗ (Λi Pn )f với f ∈ Kn Vì Pn Sn+mn toán tử g- = i=1 n+mn khung {Λi Pn }i=1 Các đánh giá chuẩn suy từ Mệnh đề 1.2.21 40 Định lý 2.3.2 Cho {Λi }∞ i=1 g-khung với cận g-khung A, B toán tử g-khung n+mn A S Với n ∈ N, chọn mn cho: f ≤ Λi f , ∀f ∈ Kn i=1 Khi (Pn Sn+mn )−1 Pn f → S −1 f n → ∞ với f ∈ H Chứng minh Cho f ∈ H Vì S −1 f − (Pn Sn+mn )−1 Pn f = Pn S −1 f − (Pn Sn+mn )−1 Pn f + (I − Pn )S −1 f (I − Pn )S −1 f → n → ∞, ta cần chứng minh ψn = Pn S −1 f − (Pn Sn+mn )−1 Pn f → n → ∞ Từ Mệnh đề 2.3.1 ta có: ψn ≤ (Pn Sn+mn )−1 Sn+mn Pn S −1 f − f ≤ A Sn+mn Pn S −1 f − Sn+mn Pn+mn S −1 f + Sn+mn Pn+mn S −1 f − f ≤ A B Pn S −1 f − Pn+mn S −1 f + Λ∗i Λi S −1 f → 0, n+mn +1 n → ∞ Định lý 2.3.3 Cho {Λi }∞ i=1 g-khung H với toán tử g-khung S Khi điều kiện sau tương đương: Sn−1 Λ∗i gi (i) ∞ ∞ n i=1 → S −1 Λ∗i gi n → ∞ với {gi }∞ i=1 ∈ i=1 n → ∞ i=1 n ∞ ⊕Hi Λ∗i gi = Sn−1 với l2 ⊕Hi ∈ i=1 ∞ (ii) Nếu {gi }∞ i=1 i=1 (iii) {Λi }∞ i=1 g-khung Riesz điều kiện l2 Λ∗i gi → i=1 41 ∞ Chứng minh Giả sử ta có (i) n S −1 ∈ Sn−1 Λ∗i gi → i=1 Λ∗i gi = với i=1 ∞ = i=1 ∞ ⊕Hi n Λ∗i gi Khi Sn−1 {gi }∞ i=1 l2 S −1 Λ∗i gi = S i=1 ∞ −1 i=1 Λ∗i gi = i=1 (0) = n → ∞, tức ta có (ii) Ngược lại giả sử ta có (ii) Vì miền giá trị T ∗ đóng, ta có: ∞ ∞ ⊕Hi i=1 g ∈ H ∗ = Range(T ) ⊕ KerT Với l2 ∞ {fi }i=1 {gi }∞ i=1 ∈ ⊕Hi i=1 , tồn l2 ∈ KerT cho: ∞ ∞ {gi }∞ i=1 = {Λi g}i=1 + {fi }i=1 Khi n n Sn−1 Λ∗i gi = i=1 n Sn−1 Λ∗i Λi g i=1 n Sn−1 Λ∗i fi + =g+ Sn−1 i=1 Λ∗i fi (2.11) Λ∗i fi (2.12) i=1 Mặt khác, ∞ ∞ S −1 Λ∗i gi i=1 = ∞ S −1 Λ∗i Λi g +S ∞ −1 i=1 Λ∗i fi =g+S −1 i=1 i=1 ∞ Do {fi }∞ i=1 ∈ KerT nên n → ∞ n Λ∗i fi = Theo (ii) i=1 i=1 n n Sn−1 Λ∗i gi Theo (2.11) ta suy Λ∗i fi → Sn−1 =g+ Sn−1 Λ∗i fi → g n → ∞ i=1 i=1 ∞ S Mặt khác, lại theo (2.12) ta suy g+S −1 i=1 (0) = g n −1 Λ∗i gi = g+S −1 Λ∗i fi = i=1 42 ∞ n Sn−1 Λ∗i gi Vì S −1 Λ∗i gi n → ∞ → i=1 i=1 Do (i) (ii) tương đương (i) ⇒ (iii) Ta định nghĩa toán tử ∞ ∞ ⊕Hi Q: i=1 ∞ i=1 n l2 ⊕Hi Qn : S −1 Λ∗i gi → H , Qgi = Sn−1 Λ∗i gi → H , Qn gi = i=1 i=1 l2 Từ (i) dãy {Qn }∞ n=1 hội tụ theo điểm đến Q Do theo Định lý ∞ Banach-Steinhaus, supn Qn < ∞ Với f ∈ H gi ∈ ⊕Hi i=1 ta có: l2 n f, Sn−1 Λ∗i gi f, Qn gi = i=1 n n f, Pn Sn−1 Λ∗i gi = i=1 Vì Qn∗ f = Λi Sn−1 Pn f, gi = i=1 {hi }∞ i=1 , hi = Λi Sn−1 Pn f với ≤ i ≤ n n Sn−1 Λ∗i Λi Sn−1 Pn = Sn−1 Pn hi = với i > n Do Qn Qn∗ = Sn−1 Hn Do = Sn−1 Pn H = supn Sn−1 Hn < (iii) ⇒ (ii).Cho Qn Qn∗ i=1 ≤ Qn ∞ {Λi }∞ i=1 ∞ g-khung Riesz điều kiện {gi }∞ i=1 ∈ ⊕Hi i=1 ∞ Λ∗i gi = với i=1 n Vì dãy Sn−1 n bị chặn n Λ∗i gi Sn−1 ≤ i=1 ta có Λ∗i gi → n → ∞ i=1 Λ∗i gi , i=1 n Sn−1 Sn−1 l2 43 Kết luận Luận văn cố gắng trình bày cách hệ thống chứng minh chi tiết vấn đề sau: - Khung toán tử khung - g-khung toán tử g-khung - Xấp xỉ toán tử khung nghịch đảo - Xấp xỉ toán tử g-khung nghịch đảo phương pháp chiếu - Phương pháp tổng quát để xấp xỉ toán tử g-khung nghịch đảo 44 Tài liệu tham khảo [1] M Abdollahpour and A Najati (2011), "Approximation of the inverse g-frame operator", Proc Indian Acad Sci (Math Sci), Vol 121, No 2, 143-154 [2] P Casazza and O Christensen (1996), "Frames containing a Riesz basis and approximation of the coefficents using finite dimensional methods", J Math Anal Appl Vol 199, 256-270 [3] P Casazza and O Christensen (1997), "Approximation of the frame coefficents using finite-dimensional methods", J Electronic Imaging Vol 4, 479-483 [4] P Casazza and O Christensen (1998), "Riesz frames and approximation of the frame coefficients", Approx Theory & its Appls Vol.13, No.2, 1-11 [5] P Casazza and O Christensen (2000), "Approximation of the inverse frame operator and applications to Weyl-Heisenberg frame" J Approx Theory, Vol 103, No 2, 338-356 [6] O Christensen (1993), "Frames and the projection method", Appl Comput Harmon Anal Vol.1, 50-53 [7] O Christensen (2008), Frames and bases: An introductory course, Birkhauser, Boston 45 [8] R Kadison, J.R.Ringrose (1993), Fundamentals of the theory of operator algebras, Vol.1: Elementary theory, American Mathematical Society [9] A Najati, M Faroughi and A Rahimi (2008), "G-frames and stability of g-frames in Hilbert spaces", Math Func Anal Top., Vol 4, 271-286 [10] W Sun (2006), "G-frames and g-Riesz bases", J Math Anal Appl., Vol 322, 437-452 ... khung 1.2.1 Khung khơng gian Hilbert hữu hạn chiều 1.2.2 Khung không gian Hilbert tổng quát 1.2.3 Toán tử khung 1.3 g- khung toán tử g- khung Chương Xấp xỉ toán tử g- khung nghịch đảo 2.1 Xấp xỉ toán. .. toán tử khung nghịch đảo 13 16 22 22 2.1.1 Xấp xỉ toán tử khung nghịch đảo phương pháp chiếu 2.1.2 Phương pháp tổng quát để xấp xỉ toán tử khung 22 nghịch đảo 30 2.2 Xấp xỉ toán tử g- khung nghịch. .. niệm kết khung không gian Hilbert, xấp xỉ toán tử g- khung nghịch đảo, g- khung Riesz Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, báo nước liên quan đến xấp xỉ tốn tử g- khung nghịch đảo Dự kiến đóng g p đề