Hai lớp toán tử đặc biệt trên L2(R) được sử dụng trong lí thuyết khung Gabor là:
Phép tịnh tiến với
a ∈ R, Ta : L2(R) → L2(R),(Taf)(x) = f(x−a). Phép biến điệu
b ∈ R, Eb : L2(R) → L2(R),(Ebf)(x) = e2πibxf(x).
Ý tưởng cơ bản thuộc về Gabor, người xét dãy các hàm có dạng
{EmbTnag}m,n∈Z, trong đó ab = 1 và g là hàm Gauss, g(x) = e−x2/2. Khá lâu sau này, David và Heller [8] quan sát rằng hệ Gabor đặc biệt này
dẫn đến khai triển không ổn định và không phù hợp cho hầu hết các ứng dụng về sau. David và Heller đề nghị khắc phục khó khăn này bằng cách lựa chọn a, b sao cho ab < 1.
Giải tích Gabor đi theo hướng mới hoàn toàn sau với bài báo của Dauebchiecs, Grossmann và Meyer [7] từ năm 1986. Đây là lần đầu tiên xuất hiện ý tưởng kết hợp giải tích Gabor với lý thuyết khung.
Định nghĩa 1.5.1. Một khung Gabor là khung trong L2(R) có dạng
{EmbTnag}m,n∈Z, khi a, b >0 và g ∈ L2(R) là một hàm cố định.
Khung có dạng này còn được gọi là khung Weyl-Heisenberg. Hàm g được gọi là hàm cửa sổ hay là phần tử sinh. Với các kí hiệu của các phép tịnh tiến và biến điệu như ở bên trên, ta có thể viết lại như sau:
EmbTnag(x) = e2πimbxg(x−na).
Hệ Gabor {EmbTnag}m,n∈Z chỉ bao gồm các tịnh tiến với tham số na, n ∈
Z và biến điệu với tham số mb, m ∈ Z. Điểm {(na, mb)}m,n∈Z tạo thành một dàn trong R2 và vì lí do này ta thường gọi {EmbTnag}m,n∈Z là khung Gabor đều.
Bây giờ ta tìm hiểu các điều kiện để có được khung Gabor{EmbTnag}m,n∈Z
trong L2(R). Một trong những kết quả quan trọng nhất nói rằng tích số ab quyết định liệu {EmbTnag}m,n∈Z có thể là một khung trong L2(R) hay không.
Định lí 1.5.2. Giả sử g ∈ L2(R) và cho a, b >0. Khi đó, ta có: (i) Nếu ab > 1 thì {EmbTnag}m,n∈Z không là khung trong L2(R). (ii) Nếu {EmbTnag}m,n∈Z là khung thì
là cơ sở Riesz.
Do đó, {EmbTnag}m,n∈Z chỉ có thể là khung nếu ab ≤ 1, và khung là khung thừa nếu ab < 1. Ta lưu ý là có thể chứng minh kết quả mạnh hơn (i): Khi ab > 1, họ {EmbTnag}m,n∈Z không thể đầy đủ trong L2(R). Giả thiết ab ≤ 1 không đủ để {EmbTnag}m,n∈Z là một khung, cho dù g 6= 0. Ví dụ, nếu a ∈ (1
2,1), các hàm {EmTnaχ[0,1
2]}m,n∈Z không đầy đủ trong L2(R) và không thể tạo thành khung.
Thật vậy, cố định a ∈ (12,1) và đặt g = χ(a+1 2,2a). Ta sẽ chứng minh rằng g ∈ L2(R) và D g, EmTnaχ[0,1 2] E = 0 với mọi m, n ∈ Z. Z R |g(x)|2dx = Z R |χ(a+1 2,2a)(x)|2dx = Z 2a a+12 1dx = a− 1 2 Do đó g ∈ L2(R). Ta quan sát (a + 12,2a) ∩
na, na+ 12 = ∅ với mọi n ∈ Z. Cố định n bất kì, ta có: D g, EmTnaχ[0,1 2] E = Z R χ(a+1 2,2a)(x)e−2πimxχ[0,1 2](x−na)dx = Z R e−2πimxχ(a+1 2,2a)∩[na,na+12]dx = 0
Mệnh đề sau cho một điều kiện cần để {EmbTnag}m,n∈Z là một khung trong L2(R). Điều này phụ thuộc vào ảnh hưởng lẫn nhau giữa hàm g và tham số tịnh tiến a và được mô tả qua hàm G
G(x) =X
n∈Z
Mệnh đề 1.5.3. Giả sử g ∈ L2(R) và cho a, b > 0. Giả sử rằng
{EmbTnag}m,n∈Z là khung với các cận khung A, B. Khi đó, bA ≤ X
n∈Z
|g(x−na)|2 ≤bB hầu khắp nơi. (1.22) Chính xác hơn, nếu cận trên trong (1.22)không xảy ra thì{EmbTnag}m,n∈Z
không phải là dãy Bessel; nếu cận dưới không xảy ra thì {EmbTnag}m,n∈Z
không thỏa mãn điều kiện khung dưới.
Điều kiện đủ để {EmbTnag}m,n∈Z là khung trong L2(R) được biết đến từ năm 1988 do Daubechies đưa ra.
Định lí 1.5.4. Giả sử g ∈ L2(R) và cho a, b >0. Giả sử
∃A, B > 0 : bA ≤ X n∈Z |g(x−na)|2 ≤bB hầu khắp x ∈ R và X k6=0 X n∈Z TnagTna+k/bg ∞ < A.
Khi đó {EmbTnag}m,n∈Z là một khung Gabor trong L2(R). Định lí sau cho ta một ví dụ cụ thể về khung Gabor.
Định lí 1.5.5. Cho a, b > 0 và hàm g(x) = e−x2. Khi đó hệ Gabor
{EmbTnag}m,n∈Z là một khung trong L2(R) khi và chỉ khi ab < 1. Ta kí hiệu Dc :L2(R) →L2(R) xác định bởi Dcg(x) = p1 |c|g x c .
Mệnh đề 1.5.6. Cho g ∈ L2(R);a, b, c > 0 cho trước; giả sử rằng
{EmbTnag}m,n∈Z là một khung Gabor. Khi đó với gc := Dcg, hệ Gabor
{Emb/cTnacgc}m,n∈Z là một khung với các cận khung giống như cận khung của {EmbTnag}m,n∈Z.
Chứng minh. Ta có thể kiểm tra rằng toán tử Dc là unita. Do đó
{DcEmbTnag}m,n∈Z là một khung với các cận khung giống như{EmbTnag}m,n∈Z. Sử dụng quan hệ hoán tử
DcEmbTna = Emb/cDcTna = Emb/cTnacDc,
ta được điều phải chứng minh.
Ví dụ 5. Cho hàm đặc trưng sau:
g := χ[0,c], c >0.
Câu hỏi đặt ra là với giá trị nào củacvà tham sốa, b > 0để{EmbTnag}m,n∈Z
là một khung. Thực hiện giãn nở hàm đặc trưng ta lại được một hàm đặc trưng. Do đó theo Mệnh đề 1.5.6 ta có thể giả sử rằng b = 1. Jassen đã chỉ ra rằng:
(i) {EmbTnag}m,n∈Z không phải là một khung nếu c < a hoặc a > 1. (ii) {EmbTnag}m,n∈Z là khung nếu 1≥ c ≥ a.
Xấp xỉ toán tử khung nghịch đảo
Ta xét một khung {fk}∞k=1 trong một không gian Hilbert H và toán tử khung tương ứng: f : H → H, Sf := ∞ X k=1 hf, fkifk.
Một trong những kết quả chính của lí thuyết khung là khai triển khung f = Xhf, S−1fkifk, f ∈ H.
Trong thực hành, sẽ rất khó khăn (hoặc thậm chí không thể) ứng dụng khai triển khung một cách trực tiếp do H thường là một không gian Hilbert vô hạn chiều sẽ khó để tìm toán tử nghịch đảo S−1 một cách cụ thể. Do đó ta cần xấp xỉ S−1 (hoặc ít ra là xấp xỉ các hệ số khung
f, S−1fk ∞k=1).
Trong chương này chúng tôi trình bày một số phương pháp xấp xỉ chỉ sử dụng các véctơ trong các không gian véctơ hữu hạn chiều, vì vậy các tính toán có thể thực hiện nhờ đại số tuyến tính.
Các kết quả của chương này được trình bày dựa trên các tài liệu tham khảo [1], [2], [4], [5], [6].