Phép biến đổi Radon

LỜI CẢM ƠN Trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học tác giả đã nhận được sự giúp đỡ nhiệt tâm của TS. Trần Văn Vuông, được sự định hướng của thầy mà tác giả có được lòng say mê Toán học và thực hiện nghiên cứu đề tài "Phép biến đổi Radon". Nhân dịp luận văn được hoàn thành tác giả xin kính tặng thầy bản luận văn và bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất với người thầy quá cố của mình. Tác giả chân thành cảm ơn đến TS. Nguyễn Văn Hào người đã giúp tác giả hoàn thành luận văn. Tác giả xin trân trọng cảm ơn phòng Sau đại học, các thầy giáo, cô giáo trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện cho tác giả trong thời gian học tập tại trường. Tác giả rất biết ơn BGH trường Cao đẳng Kinh tế - Kỹ thuật Điện Biên và các đồng nghiệp đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả thực hiện kế hoạch học tập của mình. Tác giả xin cảm ơn người thân, bạn bè đã cổ vũ động viên tác giả trong quá trình làm luận văn. Do thời gian và kiến thức có hạn nên Luận văn không tránh khỏi những hạn chế và vẫn còn thiếu sót nhất định. Tác giả xin chân thành cảm ơn đã nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn học viên. Hà Nội, tháng 6 năm 2011 Tác giả Hoàng Thị Hoa i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự định hướng của Tiến sĩ Trần Văn Vuông và được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Nguyễn Văn Hào. Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 6 năm 2011 Tác giả Hoàng Thị Hoa ii iii Mục lục Mở đầu v 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1 1.1 Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản . . . . . . . 1 1.1.2 Ánh xạ tuyến tính liên tục trên không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.3 Một số nguyên lý cơ bản trên không gian định chuẩn 8 1.2 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.1 Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Không gian L p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.1 Các định lý quan trọng của lý thuyết tích phân . 14 1.3.2 Không gian L p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4 Tích chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4.1 Khái niệm về tích chập . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4.2 Một số tính chất cơ bản của tích chập . . . . . . 19 1.5 Chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.6 Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.6.1 Phép biến đổi Fourier trong không gian L 1 (R) . . 24 1.6.2 Phép biến đổi Fourier trong không gian L 2 (R) . . 27 1.7 Hàm Delta Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 iv 1.7.1 Hàm tiêu chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.7.2 Hàm phân bố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.7.3 Hàm Delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2 Phép biến đổi Radon và ứng dụng 34 2.1 Định nghĩa biến đổi Radon . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.1.1 Trường hợp hai chiều . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.1.2 Trường hợp nhiều chiều . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3 Các tính chất cơ bản của biến đổi Radon . . . . . . . . . 39 2.3.1 Mối liên hệ giữa biến đổi Fourier và biến đổi Radon 39 2.3.2 Tính chất tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3.3 Tính chất chuyển dịch . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3.4 Tính chất thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3.5 Tính chất đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.4 Biến đổi Radon của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.4.1 Biến đổi Radon của đạo hàm bậc nhất . . . . . . 46 2.4.2 Biến đổi Radon của đạo hàm bậc hai . . . . . . . 47 2.5 Đạo hàm của biến đổi Radon . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.6 Biến đổi Radon của tích chập . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.7 Biến đổi Radon ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.8 Áp dụng của biến đổi Radon để giải bài toán Cauchy đối với phương trình đạo hàm riêng Hyperbolic . . . . . . . . 58 Kết luận 62 Phụ lục 65 v Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Nguồn gốc của phép biến đổi Radon được đánh dấu bởi công trình nổi tiếng năm 1917 của nhà toán học Johan Radon [11] "Về vấn đề xác định các hàm từ các tích phân dọc theo các đa tạp nào đó". Trong công trình phôi thai đó, Radon đã giải thích làm sao để xây dựng được một hàm hai biến từ các tích phân đường của nó trên tất cả các đường thẳng trong mặt phẳng. Ông cũng đã thiết lập sự tổng quát khác của biến đổi này liên quan đến việc xây dựng lại một hàm từ các tích phân của nó trên các đường cong trơn, cũng như việc xây dựng lại một hàm n biến từ các tích phân của nó trên tất cả các siêu phẳng. Mặc dù, khi đó phép biến đổi Radon đã có một số hệ quả trực tiếp đến bài toán tìm nghiệm của phương trình vi phân đạo hàm riêng hyperbolic với hệ số hằng số, nhưng nó không nhận được sự quan tâm của các nhà Toán học cũng như giới khoa học thời bấy giờ. Đến năm 1960, phép biến đổi Radon mới thu hút được sự chú ý của các nhà khoa học trên nhiều lĩnh vực. Điểm nhấn quan trọng nhất của nó là việc nghiên cứu sử dụng phép biến đổi Radon để xây dựng lại mặt cắt của cấu trúc bên trong của một vật thể mà không cần phải cắt hay làm hư hại gì đến đối tượng. Thông qua sự tương tác của các bộ phận của một vật thể hoặc "thăm dò" đối tượng bằng các loại tia X, tia gamma, ánh sáng nhìn thấy, điện tử, hoặc notron với sóng siêu âm, vi người ta thường thu được các tích phân đường hoặc tích phân trên các siêu phẳng và nhờ phép biến đổi Radon mà người ta xây dựng lại được cấu trúc nội tại bên trong của vật thể. Có một mối quan hệ mật thiết giữa phép biến đổi Radon với sự phát triển của kỹ thuật quét X-quang trong hình ảnh y tế. Trong thực tế, quét X-quang cung cấp hình ảnh của cơ quan nội bộ của một cơ thể con người hoặc động vật và giúp ta phát hiện, định vị những bất thường ở bên trong. Một trong những ví dụ nổi bật nhất về ứng dụng của phép biến đổi Radon là sự ra đời của máy tính hỗ trợ chụp cắt lớp trong y học chuẩn đoán, phương pháp này được sử dụng để tạo ra hình ảnh bên trong của các cơ quan của con người. Trong nhiều năm sau đó cùng với sự ra đời và phát triển mạnh mẽ của kỹ thuật tin học các nhà khoa học đã liên tiếp giới thiệu những thuật toán mới hơn với tốc độ nhanh hơn trên máy tính điện tử đem lại sự phát triển nhanh chóng của kỹ thuật chụp cắt lớp vi tính. Hơn năm mươi năm sau kể từ khi phát hiện ra phép biến đổi Radon, nhà vật lý trẻ người Nam Phi Allan Cormack đã quan tâm đến việc tìm kiếm một bộ bản đồ của các hệ số hấp thu cho các bộ phận khác nhau của cơ thể con người. Để làm cho việc sử dụng chụp X-quang xạ trị đạt hiệu quả hơn, ông đã nhanh chóng nhận thấy tầm quan trọng của biến đổi Radon, nó tương tự như phép đo của sự hấp thu tia X-quang dọc theo mặt cắt của chúng trong cơ thể con người. Bởi vì logarit của tỉ số của sự cố được phản ánh cường độ X-quang dọc theo một đường thẳng đã cho chính là tích phân đường của hệ số hấp thu dọc theo đường đó, nên vấn đề toán học tương đương với việc tìm kiếm một hàm từ các giá trị của tích phân của nó dọc theo tất cả hoặc một số đường trong mặt phẳng. Vào đầu năm 1963, Cormack cũng đã thu được ba lời giải thay cho vấn đề cốt lõi này [2], [3], [4]. Cùng thời gian đó kĩ sư y - sinh học trẻ người Anh Godfrey Hounsfield nhận ra tầm quan trọng đặc biệt trong vii những ý tưởng lớn của Radon và Cormack và sử dụng chúng để phát triển một loại máy X-quang mới đem lại một cuộc cách mạng hóa toàn bộ lĩnh vực hình ảnh y tế. Ngay sau đó Cormack và Hounsfield cộng tác cùng nhau thực hiện nhiều phương pháp tinh tế trong việc giải quyết các vấn đề về hình ảnh y tế. Sự cộng tác của họ đem lại một khám phá quan trọng của kỹ thuật quét CT và giành giải Nobel năm 1979 trong lĩnh vực vật lý và y khoa [11]. Phép biến đổi Radon đem lại rất nhiều hữu ích đối với các lĩnh vực đa dạng của khoa học và kỹ thuật bao gồm: hình ảnh y tế, thiên văn học, tinh thể, hiển vi điện tử, địa vật lý, khoa học vật liệu và quang học. Một vấn đề quan trọng đáng phải đề cập tới là phép biến đổi Radon được sử dụng trong việc chụp cắt lớp hỗ trợ máy tính phục vụ hữu hiệu trong y học đem lại kết quả chuẩn đoán bệnh chính xác ngày càng cao. Ý nghĩa quan trọng của vấn đề này chính là việc xác định cấu trúc nội tại của một vật thể bằng sự quan sát hoặc hình ảnh của nó liên quan mật thiết với phép biến đổi Radon. Được sự định hướng của người hướng dẫn, em chọn đề tài "Phép biến đổi Radon" để hoàn thành khóa đào tạo thạc sỹ chuyên ngành Toán giải tích. Bố cục của luận văn ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo được trình bày trong hai chương Chương 1. Chương này dành cho việc trình bày một số kiến thức chuẩn bị bao gồm: Không gian định chuẩn cùng các nguyên lý cơ bản của ánh xạ tuyến tính liên tục trên lớp không gian này; Một số khái niệm và kết quả quan trọng trong không gian Hilbert và không gian L p ; Biến đổi Fourier; và cuối cùng là các khái niệm cùng tính chất của các hàm Delta-Dirac phục vụ trực tiếp cho việc xác định tính toán biến đổi Radon. Chương 2. Đây là chương chính của luận văn, chúng tôi trình bày viii một cách hệ thống về biến đổi Radon bao gồm: Khái niệm về biến đổi Radon trong không gian hai chiều và không gian n chiều; Tính chất của biến đổi Radon; Đạo hàm của biến đổi Radon và biến đổi Radon của đạo hàm; Biến đổi Radon của tích chập; Mối liên hệ giữa biến đổi Fourier và biến đổi Radon; Cuối chương chúng tôi trình bày một áp dụng của phép biến đổi Radon trong việc giải bài toán Cauchy đối với phương trình đạo hàm riêng Hyperbolic. 2. Đối tượng, mục đích, nhiệm vụ và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu về biến đổi Radon và mối quan hệ của biến đổi này với biến đổi Fourier. Biến đổi Radon có nhiều ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khác nhau của các ngành khoa học cũng như trong đời sống thực tiễn. Tuy nhiên trong luận văn này chúng tôi chỉ đề cập đến một ứng dụng của nó đối với bài toán Cauchy trong việc giải phương trình vi phân đạo hàm riêng loại hyperbolic. 3. Phương pháp nghiên cứu Đọc sách, tra cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức phục vụ cho mục đích nghiên cứu. 4. Dự kiến đóng góp của đề tài Hệ thống một cách căn bản một số kiến thức cơ bản nhất về biến đổi Radon. Minh họa ý nghĩa của biến đổi Radon đối với cách lĩnh vực khoa học và đời sống thực tiễn thông qua việc giải quyết bài toán Cauchy trong việc giải phương trình vi phân đạo hàm riêng loại hyperbolic. 1 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian định chuẩn 1.1.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản Định nghĩa 1.1.1. Giả sử E là một không gian vector. Một giá trị hàm thực · : E → R được gọi là một chuẩn trên E nếu thỏa mãn các điều kiện (N 1 ) x  0; với mọi x ∈ E và x = 0 nếu x = 0. (N 2 ) λx = |λ|x; với mọi x ∈ E và mọi λ ∈ R. (N 3 ) x + y  x + y; với mọi x, y ∈ E. Không gian vector E cùng với · được gọi là một không gian tuyến tính định chuẩn hay nói gọn là không gian định chuẩn. Mệnh đề 1.1.1. Giả sử E là không gian định chuẩn ·. Với mỗi x, y ∈ E ta đặt ρ (x, y) = x − y. Khi đó ρ là một khoảng cách trên E và gọi là khoảng cách sinh bởi chuẩn. Chứng minh. + Hiển nhiên ρ (x, y) = x − y  0 với mọi phần tử x, y ∈ E. Thêm nữa nếu ρ (x, y) = 0 thì x − y = 0. Từ tiên đề (N 1 ) ta suy ra x −y = 0 hay x = y. 2 + Ta cũng nhận thấy rằng ρ (x, y) = x − y = y −x = ρ (y, x) ; với mọi x, y ∈ E. + Cuối cùng với mọi x, y, z ∈ E, bởi tiên đề (N 3 ) ta có ρ (x, z) = x − z  x −y + y −z = ρ (x, y) + ρ (y, z) Như vậy, mọi không gian định chuẩn là không gian metric với khoảng cách được sinh bởi chuẩn. Định nghĩa 1.1.2. Không gian định chuẩn E gọi là không gian Banach nếu E cùng khoảng cách sinh bởi chuẩn là một không gian metric đầy. Mệnh đề 1.1.2. Không gian định chuẩn E là không gian Banach nếu và chỉ nếu với mọi dãy {x n } ⊂ E mà x n − x m  → 0 khi n, m → ∞ thì dãy đó hội tụ. Chứng minh. Thật vậy, giả sử {x n } ⊂ E mà x n − x m  → 0 khi n, m → ∞. Điều đó tương đương với ρ (x n , x m ) → 0; khi n, m → ∞ Điều đó chứng tỏ rằng {x n } là một dãy Cauchy trong không gian metric E. Từ đó suy ra điều nhận xét trên đây. Định lí 1.1.1. Dãy {x k } ∞ k=1 ⊂ R n hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy. Như vậy R n là một không gian Banach. Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử {x k } ∞ k=1 là dãy hội tụ tới phần tử x trong R n . Khi đó theo định nghĩa với mọi ε > 0 tồn tại N 0 sao cho với mọi k  N 0 chúng ta có x k − x < ε/2. [...]... trong đó Tα là phép tịnh tiến cho bởi Tα f (t) = f (t − α), Dα là phép giãn 1 t f , α > 0, Mα là phép biến điệu cho bởi cho bởi Dα f (t) = α |α| Mα f (t) = eibt f (t) Định nghĩa 1.6.2 25 Cho f ∈ L1 (R) là phép biến đổi Fourier của f ∈ L1 (R) Khi đó phép biến đổi Fourier ngược của f được định nghĩa là ∞ 1 ˆ F−1 f (x) := 2π ˆ eibω f (ω) dω (1.25) −∞ Định lí 1.6.3 Cho f ∈ L1 (R) có phép biến đổi Fourier... 2π) với Φf L2 (0,2π) f 1 2π 24 1.6 1.6.1 Biến đổi Fourier Phép biến đổi Fourier trong không gian L1 (R) Định nghĩa 1.6.1 Phép biến đổi Fourier của một hàm f ∈ L1 (R) cho bởi công thức ∞ ˆ f (ω) = (Ff ) (ω) := e−iωx f (x) dx (1.24) −∞ Một số tính chất cơ bản của f (ω) với f ∈ L1 (R) được cho trong hai định lý sau Định lí 1.6.1 ([13]) Chof ∈ L1 (R) Khi đó phép biến đổi Fourier của f thỏa mãn (i) f ∈ L∞... Chú ý 1.6.1 √ ω2 2 - Phép biến đổi Fourier của hàm Gauss e−x là πe− 4 1 - Thay α = khi đó phép biến đổi Fourier của hàm Gauss 4 1 x2 2 gα (x) = √ e− 4α là gα (ω) = e−αω ˆ 2 πα Định lí 1.6.5 Cho f ∈ L1 (R) Khi đó lim (f ∗ gα ) (x) = f (x) α→0+ tại mọi điểm x mà tại đó f liên tục 27 1.6.2 Phép biến đổi Fourier trong không gian L2 (R) Định lí 1.6.6 Cho f ∈ L1 (R) ∩ L2 (R) Khi đó phép biểu diễn Fourier... của f Hơn nữa ∞ |ck |2 = f 2 L2 (0,2π) (1.21) k=−∞ Định lý trên khẳng định rằng phép biến đổi Fourier rời rạc F∗ là ánh xạ từ 2 vào L2 (0, 2π) và bất đẳng thức (1.21) đúng với mọi f ∈ F∗ 2 Đẳng thức (1.21) có thể mở rộng lên toàn bộ L2 (0, 2π) và được gọi là đẳng thức Parseval cho L2 (0, 2π) Định lí 1.5.3 Phép biến đổi Fourier rời rạc F∗ là một đẳng cự của lên L2 (0, 2π) Nói cách khác, F∗ là 1... các dãy - Khi p = 2 thì 2 = 2 (R) là không gian Hilbert với tích vô hướng {ak } , {bk } 2 ak b k := (1.17) k∈Z Định nghĩa 1.5.2 Phép biến đổi Fourier rời rạc F∗ của các dãy {ck } ∈ p được định nghĩa là (F∗ {ck }) (x) := ck eikx (1.18) k∈Z Điều đó có nghĩa là, phép biến đổi Fourier rời rạc của {ck } là "chuỗi Fourier" với các "hệ số Fourier" {ck } Đối với các dãy {ck } ∈ 1 , chuỗi ck eikx hội tụ... đề 1.6.2 Cho f ∈ L2 (R) Khi đó, ta có ˆ ˆ ˆ f (x) = f − (x) và f − (x) = f − (x) Định lí 1.6.8 Phép biến đổi Fourier F là ánh xạ 1 − 1 của L2 (R) lên chính nó Nói cách khác, cho bất kì g ∈ L2 (R) có tương ứng một và chỉ ∨ ˆ một hàm f ∈ L2 (R) sao cho f = g, tức là f (x) := F−1 g (x) = g (x) là phép biến đổi Fourier ngược của g 1.7 Hàm Delta Dirac Hàm Delta δ(t) thường được gọi là hàm xung hoặc hàm... ck eikx hội tụ tuyệt đối và đều với mọi x ∈ R Trong trường hợp tổng k∈Z quát, chuỗi hình thức trên có thể xem đơn giản như là một kí hiệu của dãy {ck } Định nghĩa 1.5.3 Cho f ∈ Lp (0, 2π) , 1 p ∞ Phép biến đổi Fourier ngược rời rạc F∗ −1 của f được định nghĩa bởi 2π 1 F∗ −1 f (k) = ck (f ) := 2π f (x) eikx dx (1.19) 0 Điều đó có nghĩa là, F∗ −1 đưa f ∈ Lp (0, 2π) thành một dãy {ck (f )} , k ∈ Z được... gian L2 (R) Định lí 1.6.6 Cho f ∈ L1 (R) ∩ L2 (R) Khi đó phép biểu diễn Fourier ˆ của f là f ∈ L2 (R) và thỏa mãn đồng nhất thức Parseval ˆ f 2 = 2π f 2 2 2 (1.27) Chứng minh Từ định lý ta thấy phép biến đổi Fourier F : L1 (R) ∩ L2 (R) → L2 (R) , √ là toán tử tuyến tính bị chặn với chuẩn F = 2π Do L1 (R) ∩ L2 (R) là trù mật trong L2 (R) , F có thể thác triển lên toàn bộ L2 (R) mà vẫn bảo toàn chuẩn... L2 (R) Do đó fN ∈ L2 (R) ˆ Có thể kiểm tra được rằng fN là dãy Cauchy trong L2 (R) Do tính ˆ đầy đủ của L2 (R) ta có thể tìm được f∞ ∈ L2 (R) sao cho ˆ ˆ lim fN − f∞ = 0 x→∞ ˆ Định nghĩa 1.6.5 Phép biến đổi Fourier f của hàm f ∈ L2 (R) được ˆ ˆ định nghĩa là giới hạn của f∞ của fN ˆ Chú ý 1.6.2 Định nghĩa f của hàm f ∈ L2 (R) là độc lập với sự lựa chọn của fN ∈ L1 (R) ∩ L2 (R) Nói cách khác, bất... ∀f, g, u ∈ L1 (R) Định lí 1.6.4 Cho f, g ∈ L1 (R) Khi đó f ∗ g (ω) = f (ω)g(ω) 1 −x2 √ e 4α , α > 0 được Định nghĩa 1.6.4 Hàm số có dạng gα (x) := 2 πα gọi là hàm Gauss Ví dụ 1.6.1 Cho α > 0 Khi đó phép biến đổi Fourier của hàm Gauss π −ω2 −αx2 e là e 4α , tức là α ∞ −iωx −αx2 e −∞ e dx = π −ω2 e 4α α 26 Chứng minh Xét hàm ∞ 2 e−αx f (y) = +xy dx; (y ∈ R) −∞ ∞ y y2 e−α(x− 2α )+ 4α dx = −∞ ∞ 1 y2 = √ . biến đổi Radon bao gồm: Khái niệm về biến đổi Radon trong không gian hai chiều và không gian n chiều; Tính chất của biến đổi Radon; Đạo hàm của biến đổi Radon và biến đổi Radon của đạo hàm; Biến. đổi Radon của đạo hàm; Biến đổi Radon của tích chập; Mối liên hệ giữa biến đổi Fourier và biến đổi Radon; Cuối chương chúng tôi trình bày một áp dụng của phép biến đổi Radon trong việc giải bài. tượng, mục đích, nhiệm vụ và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu về biến đổi Radon và mối quan hệ của biến đổi này với biến đổi Fourier. Biến đổi Radon có nhiều ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khác nhau