2 Phép biến đổi Radon và ứng dụng
2.1.2 Trường hợp nhiều chiều
Trước khi tổng quát hóa tới trường hợp nhiều chiều ta đưa ra một định nghĩa khác của biến đổi Radon trong không gian hai chiều. Trước hết, kí hiệu các vector đơn vị
u = (cosφ,sinφ), và u⊥ = (−sinφ,cosφ)
Khi đó ta có thể viết
x= (x, y) = (r, φ) = pu + tu⊥
với t là tham số nào đó, r và θ là các tọa độ cực thông thường. Phương trình của L có thể viết dưới dạng của vector đơn vị u như sau
p= x.u = xcosφ+ ysinφ
Sử dụng định nghĩa của hàm Delta Dirac, chúng ta có thể biểu diễn công thức xác định của phép biến đổi (2.1) như sau
ˆ f(p, φ) = ∞ Z −∞ f(pu +tu⊥)dt = ∞ Z −∞ ∞ Z −∞ f(x)δ(p−x.u)dx (2.3)
Từ định nghĩa của phép biến đổi Radon, ta có thể nhận xét rằng nếu
ˆ
f được biết với −∞ < p < ∞ thì các giá trị của φ chỉ cần lấy trong miền 0≤ π. Để thấy được điều đó, hàm delta là hàm chẵn và phép đổi biến φ = π + φ tương ứng với u → −u. Do đó các tọa độ (−p, φ) và
(p, φ +π) xác định cùng một điểm trong không gian Radon. Cũng vậy, hàm fˆhoàn toàn được xác định với 0≤ p < ∞ và 0≤ φ < 2π.
Định nghĩa 2.1.2. Trong không gian EuclideRnkí hiệux = (x1, x2, ..., xn)
và f(x) = f(x1, x2, ..., xn). Giả sử vector đơn vị u = (u1, u2, ..., un) xác định hướng một siêu phẳng có phương trình
Biến đổi Radon của hàm f(x) được xác định bởi ˆ f(p,u) =< {f(x)}(p,u) = ∞ Z −∞ f(x)δ(p−x.u)dx (2.5)
ở đó tích phân lấy trên dx = dx1dx2...dxn.
Như vậy biến đổi Radon của một hàm n biến là toàn bộ các tích phân của hàm f lấy trên tất cả các siêu phẳng trong Rn. Nói cách khác, biến đổi Radon fˆ(p,u) của hàm f(x) là một hàm xác định trên tất cả các siêu phẳng trong Rn và giá trị của hàm đó tại bất kỳ các siêu phẳng là tích phân của f(x) trên siêu phẳng đó. Biến đổi Radon ngược là việc tìm hàm f(x) từ giá trị của các tích phân của nó trên tất cả các siêu phẳng. [Lθf](x) = ∞ Z −∞ f(x+tθ)dt, (2.6) ở đó x∈ θ⊥ là mặt phẳng trực giao với θ.
Định nghĩa 2.1.3. Nếu Π là một không gian con k - chiều của Rn xác định bởi hướng θ thì biến đổi k - phẳng của f(x) với x ∈ Rn theo hướng θ tại điểm ξ ∈ Π⊥ được xác định bởi
Pkf(Π,ξ) =
Z
Π
f (ξ,η)dη; (2.7)
ở đó x= (ξ,η), η ∈ Π và ξ ∈ Π⊥. Hay tương đương
(Pkf)(θ,ξ) =
Z
f(ξ+u.θ)du; (2.8) với u.θ = (u1θ1 +u2θ2 +...+unθn), và ξ ∈ θ⊥
Biến đổi của 1 - phẳng (P1f) được gọi là biến đổi X - quang và biến đổi (n−1) - phẳng được gọi là biến đổi Radon. Biến đổi k - phẳng là biến đổi tuyến tính.