Phép biến đổi Radon

LèI CÁM ƠN Trong q trình hoc t¾p nghiên cúu khoa hoc tác giá nh¾n đưoc sn giúp đõ nhi¾t tâm cna TS Tran Văn Vng, đưoc sn đ%nh hưóng cna thay mà tác giá có đưoc lòng say mê Tốn hoc thnc hi¾n nghiên cúu đe tài "Phép bien đoi Radon" Nhân d%p lu¾n văn đưoc hồn thành tác giá xin kính t¾ng thay bán lu¾n văn bày tó lòng biet ơn sâu sac nhat vói ngưòi thay q co cna Tác giá chân thành cám ơn đen TS Nguyen Văn Hào ngưòi giúp tác giá hồn thành lu¾n văn Tác giá xin trân cám ơn phòng Sau đai hoc, thay giáo, giáo trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i tao đieu ki¾n cho tác giá thòi gian hoc t¾p tai trưòng Tác giá rat biet ơn BGH trưàng Cao Kinh te - Ky thu¾t Đi¾n Biên đong nghi¾p tao đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá thnc hi¾n ke hoach hoc t¾p cna Tác giá xin cám ơn ngưòi thân, ban bè co vũ đ®ng viên tác giá trình làm lu¾n văn Do thòi gian kien thúc có han nên Lu¾n văn khơng tránh khói nhung han che van thieu sót nhat đ%nh Tác giá xin chân thành cám ơn nh¾n đưoc nhung ý kien đóng góp cna thay giáo, giáo ban hoc viên Hà N®i, tháng năm 2011 Tác giá Hồng Th% Hoa i LèI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan Lu¾n văn cơng trình nghiên cúu cna riêng tơi dưói sn đ%nh hưóng cna Tien sĩ Tran Văn Vng đưoc hồn thành dưói sn hưóng dan cna Tien sĩ Nguyen Văn Hào Trong trình nghiên cúu, ke thùa thành khoa hoc cna nhà khoa hoc vói sn trân biet ơn Hà N®i, tháng năm 2011 Tác giá Hoàng Th% Hoa ii Mnc lnc Má đau v M®t so kien thNc chuan b% 1.1 Khơng gian đ%nh chuan 1.1.1 Mđt so khỏi niắm v tớnh chat bán 1.1.2 Ánh xa tuyen tính liên tuc khơng gian đ%nh chuan 1.1.3 1.2 M®t so nguyên lý bán không gian đ%nh chuan Không gian Hilbert 12 1.2.1 1.3 Mđt so khỏi niắm bán .12 Không gian Lp 14 1.3.1 Các đ%nh lý quan cna lý thuyet tích phân 14 1.3.2 Khơng gian Lp 1.4 16 Tích ch¾p .19 1.4.1 Khái ni¾m ve tích ch¾p 19 1.4.2 M®t so tính chat bán cna tích ch¾p 19 1.5 Chuoi Fourier 21 1.6 Bien đoi Fourier 24 1.6.1 Phép bien đoi Fourier không gian L1(R) 24 1.6.2 Phép bien đoi Fourier không gian L2 (R) 27 Hàm Delta Dirac 28 1.7 1.7.1 Hàm tiêu chuan 28 1.7.2 Hàm phân bo .29 1.7.3 Hàm Delta 32 Phép bien đoi Radon Nng dnng 2.1 34 Đ%nh nghĩa bien đoi Radon 34 2.1.1 Trưòng hop hai chieu 34 2.1.2 Trưòng hop nhieu chieu .36 2.2 M®t so ví du 38 2.3 Các tính chat bán cna bien đoi Radon 39 2.4 2.3.1 Moi liên h¾ giua bien đoi Fourier bien đoi Radon 39 2.3.2 Tính chat tuyen tính 40 2.3.3 Tính chat chuyen d%ch .41 2.3.4 Tính chat thuan nhat 42 2.3.5 Tính chat đoi xúng .42 Bien đoi Radon cna đao hàm .46 2.4.1 Bien đoi Radon cna đao hàm b¾c nhat 46 2.4.2 Bien đoi Radon cna đao hàm b¾c hai 47 2.5 Đao hàm cna bien đoi Radon 48 2.6 Bien đoi Radon cna tích ch¾p 50 2.7 Bien đoi Radon ngưoc .52 2.8 Áp dung cna bien đoi Radon đe giái tốn Cauchy đoi vói phương trình đao hàm riêng Hyperbolic 58 Ket lu¾n 62 Phn lnc 65 Má đau Lý chon đe tài Nguon goc cna phép bien đoi Radon đưoc đánh dau bói cơng trình noi tieng năm 1917 cna nhà tốn hoc Johan Radon [11] "Ve van đe xác đ%nh hàm tù tích phân doc theo đa tap đó" Trong cơng trình phơi thai đó, Radon giái thích đe xây dnng đưoc m®t hàm hai bien tù tích phân đưòng cna tat cá đưòng thang m¾t phang Ơng thiet l¾p sn tong quát khác cna bien đoi liờn quan en viắc xõy dnng lai mđt hm tự tích phân cna đưòng cong trơn, cng nh viắc xõy dnng lai mđt hm n bien tù tích phân cna tat cá siêu phang M¾c dù, phép bien đoi Radon ó cú mđt so hắ quỏ trnc tiep en bi tốn tìm nghi¾m cna phương trình vi phân đao hàm riêng hyperbolic vói h¾ so hang so, khơng nh¾n đưoc sn quan tâm cna nhà Tốn hoc giói khoa hoc thòi bay giò Đen năm 1960, phép bien đoi Radon mói thu hút đưoc sn ý cna nhà khoa hoc nhieu lĩnh vnc Điem nhan quan nhat cna vi¾c nghiên cúu sú dung phép bien đoi Radon đe xây dnng lai m¾t cat cna cau trúc bên cna mđt vắt the m khụng can phỏi cat hay lm hư hai đen đoi tưong Thơng qua sn tương tỏc cna cỏc bđ phắn cna mđt vắt the hoắc "thăm dò" đoi tưong bang loai tia X, tia gamma, ánh sáng nhìn thay, đi¾n tú, ho¾c notron vói sóng siêu âm, ngưòi ta thưòng thu đưoc tích phân đưòng ho¾c tích phân siêu phang nhò phép bien đoi Radon mà ngưòi ta xây dnng lai oc cau trỳc nđi tai bờn cna vắt the Cú mđt moi quan hắ mắt thiet giua phộp bien đoi Radon vói sn phát trien cna ky thu¾t quét X-quang hình ánh y te Trong thnc te, qt X-quang cung cap hình ánh cna quan n®i bđ cna mđt c the ngũi hoắc đng vắt giúp ta phát hi¾n, đ%nh v% nhung bat thưòng ú bờn Mđt nhung vớ du noi bắt nhat ve úng dung cna phép bien đoi Radon sn đòi cna máy tính ho tro chup cat lóp y hoc chuan đốn, phương pháp đưoc sú dung đe tao hình ánh bên cna quan cna ngưòi Trong nhieu năm sau vói sn đòi phát trien manh me cna ky thu¾t tin hoc nhà khoa hoc liên tiep giói thi¾u nhung thu¾t tốn mói vúi toc đ nhanh hn trờn mỏy tớnh iắn tỳ đem lai sn phát trien nhanh chóng cna ky thu¾t chup cat lóp vi tính Hơn năm mươi năm sau ke tù phát hi¾n phép bien đoi Radon, nhà v¾t lý tré ngưòi Nam Phi Allan Cormack quan tõm en viắc tỡm kiem mđt bđ bỏn o cna cỏc hắ so hap thu cho cỏc bđ phắn khác cna the ngưòi Đe làm cho vi¾c sú dung chup X-quang xa tr% đat hi¾u hơn, ơng nhanh chóng nh¾n thay tam quan cna bien đoi Radon, tương tn phép đo cna sn hap thu tia X-quang doc theo m¾t cat cna chúng the ngưòi Bói logarit cna tí so cna sn co đưoc phán ánh cưòng đ® X-quang doc theo m®t đưòng thang cho tích phân đưòng cna h¾ so hap thu doc theo đưòng đó, nên van đe tốn hoc tương đương vúi viắc tỡm kiem mđt hm tự cỏc giỏ tr% cna tích phân cna doc theo tat cá ho¾c mđt so ũng mắt phang Vo au nm 1963, Cormack thu đưoc ba lòi giái thay cho van đe cot lõi [2], [3], [4] Cùng thòi gian kĩ sư y - sinh hoc tré ngưòi Anh Godfrey Hounsfield nh¾n tam quan đ¾c bi¾t vii nhung ý tưóng lón cna Radon Cormack sú dung chúng đe phát trien m®t loai máy X-quang mói đem lai m®t cu®c cách mang hóa tồn b® lĩnh vnc hình ánh y te Ngay sau Cormack v Hounsfield cđng tỏc cựng thnc hiắn nhieu phương pháp tinh te vi¾c giái quyet van đe ve hình ánh y te Sn c®ng tác cna ho đem lai m®t khám phá quan cna ky thu¾t quét CT giành giái Nobel năm 1979 lĩnh vnc v¾t lý y khoa [11] Phép bien đoi Radon đem lai rat nhieu huu ích đoi vói lĩnh vnc đa dang cna khoa hoc ky thu¾t bao gom: hình ánh y te, thiên văn hoc, tinh the, hien vi đi¾n tú, đ%a v¾t lý, khoa hoc vắt liắu v quang hoc Mđt van e quan đáng phái đe c¾p tói phép bien đoi Radon đưoc sú dung vi¾c chup cat lóp ho tro máy tính phuc vu huu hi¾u y hoc đem lai ket q chuan đốn b¾nh xác ngày cao Ý nghĩa quan cna van đe chớnh l viắc xỏc %nh cau trỳc nđi tai cna mđt vắt the bang sn quan sỏt hoắc hỡnh ỏnh cna liên quan m¾t thiet vói phép bien đoi Radon Đưoc sn đ%nh hưóng cna ngưòi hưóng dan, em chon đe tài "Phép bien đoi Radon" đe hoàn thành khóa đào tao thac sy chun ngành Tốn giái tích Bo cuc cna lu¾n văn ngồi phan mó đau, ket lu¾n tài li¾u tham kháo đưoc trình bày hai chương Chương Chương dành cho vi¾c trình bày m®t so kien thúc chuan b% bao gom: Khơng gian đ%nh chuan nguyên lý bán cna ánh xa tuyen tính liên tuc lóp khơng gian ny; Mđt so khỏi niắm v ket quỏ quan trong không gian Hilbert không gian Lp; Bien đoi Fourier; cuoi khái ni¾m tính chat cna hàm Delta-Dirac phuc vu trnc tiep cho vi¾c xác đ%nh tính tốn bien đoi Radon Chương Đây chương cna lu¾n văn, chúng tơi trình by viii mđt cỏch hắ thong ve bien oi Radon bao gom: Khái ni¾m ve bien đoi Radon khơng gian hai chieu khơng gian n chieu; Tính chat cna bien đoi Radon; Đao hàm cna bien đoi Radon bien đoi Radon cna đao hàm; Bien đoi Radon cna tích ch¾p; Moi liên h¾ giua bien đoi Fourier bien đoi Radon; Cuoi chương chúng tơi trình bày mđt ỏp dung cna phộp bien oi Radon viắc giái tốn Cauchy đoi vói phương trình đao hàm riêng Hyperbolic Đoi tưang, mnc đích, nhi¾m pham vi nghiên cNu Nghiên cúu ve bien đoi Radon moi quan h¾ cna bien đoi vói bien đoi Fourier Bien đoi Radon có nhieu úng dung r®ng rãi lĩnh vnc khác cna ngành khoa hoc đòi song thnc tien Tuy nhiên lu¾n văn chúng tơi chí đe c¾p đen m®t úng dung cna đoi vói tốn Cauchy vi¾c giái phương trình vi phân đao hàm riêng loai hyperbolic Phương pháp nghiên cNu Đoc sách, tra cúu tài li¾u, tong hop kien thúc phuc vu cho muc đích nghiên cúu DN kien đóng góp cỳa e ti Hắ thong mđt cỏch cn bỏn mđt so kien thúc bán nhat ve bien đoi Radon Minh hoa ý nghĩa cna bien đoi Radon đoi vói cách lĩnh vnc khoa hoc đòi song thnc tien thơng qua vi¾c giái quyet tốn Cauchy vi¾c giái phương trình vi phân đao hàm riêng loai hyperbolic Chương M®t so kien thNc chuan b% 1.1 1.1.1 Khụng gian %nh chuan Mđt so khỏi niắm tính chat bán Đ%nh nghĩa 1.1.1 Giá sú E m®t khơng gian vector M®t giá tr% hàm thnc "·" : E → R đưoc goi m®t chuan E neu thóa mãn đieu ki¾n (N1) "x" “ 0; vói moi x ∈ E "x" = neu x = (N2) "λx" = |λ| "x" ; vói moi x ∈ E moi λ ∈ R (N3) "x + y" ™ "x" + "y" ; vói moi x, y ∈ E Khơng gian vector E vói "·" đưoc goi m®t khơng gian tuyen tính đ%nh chuan hay nói gon khơng gian đ%nh chuan M¾nh đe 1.1.1 Giá sú E khơng gian đ%nh chuan "·" Vói moi x, y ∈ E ta đ¾t ρ (x, y) = "x − y" Khi ρ m®t khống cách E goi khống cách sinh bói chuan Chúng minh + Hien nhiên ρ (x, y) = "x − y" “ vói moi phan tú x, y ∈ E Thêm nua neu ρ (x, y) = "x − y" = Tù tiên đe (N1) ta suy x − y = hay x = y + Ta nh¾n thay rang ρ (x, y) = "x − y" = "y − x" = ρ (y, x) ; vói moi x, y ∈ E + Cuoi vói moi x, y, z ∈ E, bói tiên đe (N3) ta có ρ (x, z) = "x − z" ™ "x − y" + "y − z" = ρ (x, y) + ρ (y, z) Như v¾y, moi khơng gian đ%nh chuan khơng gian metric vói khống cách đưoc sinh bói chuan Đ%nh nghĩa 1.1.2 Khơng gian đ%nh chuan E goi không gian Banach neu E khống cách sinh bói chuan m®t khơng gian metric đay M¾nh đe 1.1.2 Khơng gian đ%nh chuan E khơng gian Banach neu chs neu vói moi dãy {xn} ⊂ E mà "xn − xm" → n, m → ∞ dãy h®i tn Chúng minh Th¾t v¾y, giá sú {xn} ⊂ E mà "xn − xm" → n, m → ∞ Đieu tương đương vói ρ (xn, xm) → 0; n, m → ∞ Đieu chúng tó rang {xn} m®t dãy Cauchy khơng gian metric E Tù suy đieu nh¾n xét ∞ Đ%nh lí 1.1.1 Dãy {xk}k= ⊂ Rn h®i tn chs dãy Cauchy Như v¾y Rn l mđt khụng gian Banach Chỳng minh ieu kiắn can Giá sú {xk} ∞ dãy h®i tu tói phan tú x Rn Khi k= theo đ%nh nghĩa vói moi ε > ton tai N0 cho vói moi k “ N0 có "xk − x" < ε/2 hay theo bien đoi Fourier cna đao hàm thú hai ¸ ,fˆpq (p, =− u) du |u|=1 p=x· , u Đây m®t cơng thúc bien đoi ngưoc cho bien đoi Radon - chieu Thnc te, vói f (x,u) bat kì, ∇2f (x,u) = | [fpp(p)]p=x·u = [fpp(p)]p=x·u, u| thu đưoc dang khác cna công thúc bien đoi ngưoc cho bien đoi Radon f (x) = ¸ fˆ(x.u, u)du |u|=1 − ∇ Tiep theo giói thi¾u bien đoi Radon liên hop tù đ%nh nghĩa cna tích bên ¸ ¸∞ (φ, R [f ]) = φ(p, u)(Rf )(p, u)du dp −∞ |u|=1 ¸∞ = ¸ dp −∞ = ¸ |u |=1 ∞ −∞ ¸∞ = φ(p, u)du  ¸ f¯ (x) dx     |u|=1 ¸ ¸∞ f¯(x)δ(p − x.u)dx −∞ du ¸   φ(x.u, u)du  ∞ −∞   φ (p, u) δ (p x.u) dp  − f¯(x)dx −∞ ¸∞ = −∞ |u|=1 (R∗ [φ])f¯(x)dx = (R∗ [φ] , f) liên hop R∗ đưoc xác đ%nh bói ¸ ∗ R [φ] (x) = |u|=1 φ(x.u, u)du (2.76) Đieu nghĩa chuyen đ®ng cna liên hop R∗ φ tương úng vói phép lay tích phân theo φ tat cá không gian qua m®t điem cho Chúng ta sú dung (2.69) đe giói thi¾u tốn tú K sau  vói n n−1 φ(p, u),  ∂ lé ∂pn−1 an Kφ(p, u) = n−1  ∂ , vói n chan anH φ(p, ∂pn−1 u) (2.77) an đưoc xác đ%nh bói (2.70) H thay the cho bien đoi Hilbert Rõ ràng ta suy tù công thúc (2.69) rang Kfˆ(x · u, u) = h(x.u, u) (2.78) theo (2.76) ta có R∗ Kfˆ(x.u, u) = R∗ [h(x.u, u)] = h(x.u, u)du =f (x).(2.79) ¸ |u|=1 Đieu có nghĩa cơng thúc (2.68) có the đưoc viet f = R∗ K fˆ (2.80) Đ%nh lí 2.7.4 (Đ%nh lý Parseval) Neu R {f (x)} = fˆ(p, u) R {g(x)} = gˆ(p, u) (a) Vói n chan ¸∞ f (x)g¯(x)dx (f, g) = −∞ ¸ = an ¸∞ ¸∞ du |u|=1 fˆ(p, u)gˆ (q, u) (p − q) −n dpdq, −∞ −∞ n an = (−1) (2π)−n(n − 1)! (b) Vói n lé ¸ f (x)g¯(x)dx ∞ (f, g) = −∞ = (−1) n−12 ¸ |u| n−1 2(2π) =1 ¸ ¸∞ ˆ ¯ (n−1) du f (p, u)ˆg (p, p u)dp −∞ du = ∞ ¸ fˆ(m) (p, u)¯ˆg (m−1) (p, u)dp, n 2(2π) −1 m = (2.81) p |u|=1 p −∞ n− Tiep theo chỳng ta giúi thiắu mđt toỏn tỳ H oc đưa bói Ludwig [8 ] n−1 m = H [f ] (p) = √ m ∂ m f (p) ∂pm , (2.82) (2π) Tù đó, cơng thúc cna Parseval (2.81) quy ve dang (f, g) = Hfˆ, ˆ (2.83) Hg Năm 1966 Ludwig [8] chúng minh rang HR m®t sn bien đoi đong nhat tù L2(Rn) vào L2(R × Sn−1) 2.8 Áp dnng cúa bien đoi Radon đe giái tốn Cauchy đoi vái phương trình đao hm riờng Hyperbolic Chỳng ta chỳng minh mđt quan hắ đáng ý giua bien đoi Radon nghi¾m cna tốn Cauchy liên quan đen nghi¾m cna phương trình sóng utt = c2 ∇2 u; x ∈ R3 , t > u(x, 0) = f (x), ut(x, 0) = g(x) (2.84) (2.85) c hang so ∇2 toán tú Laplace - chieu Chúng ta áp dung bien đoi Radon cna hàm u(x, t) ¸∞ uˆ(p, ξ, t) = R {u(x, u(x, t)δ(p − x · ξ)dξ, (2.86) t)} = −∞ ξ = (ξ1, ξ2, ξ3) vector đơn v% - chieu R3 cho |ξ| = ξ2 + ξ2 + ξ2 = 1 Áp dung (2.86) vào (2.84) - (2.85) ta đưoc 2 uˆtt = c ξ + ξ + ξ uˆpp = c2 uˆpp , uˆ(p, ξ, 0) = fˆ(p, ξ), duˆ(p, ξ, t) = gˆ(p, ξ) (2.87) (2.88) t= dt Do đó, bien đoi Radon uˆ(p, ξ, t) thóa mãn tốn Cauchy (2.87) (2.88) Chúng ta giái toán bang cách áp dung bien đoi Fourier cna uˆ(p, ξ, t) cho d2 Uˆ dt2 2 ˆ = −c k U , Uˆ (k, ξ, 0) = Fˆ (k, ξ); dU ˆ dt ¸∞ t= (2.89) = Gˆ (k, ξ) (2.90) −ikp uˆ(p, ξ, t)dp Uˆ (k, ξ, t) = F {uˆ(p, ξ,√t)} = e π −∞ Nghi¾m cna (2.89) - (2.90) đưoc cho bói Uˆ (k, ξ, t) = Fˆ (k, ξ) cos(ckt) + Gˆ (k, sin(ckt) ξ) 2ick (2.91) Nghi¾m D’ Alembert thu đưoc có dang p+ct ˆ ˆ ¸ uˆ(p, ξ, t)1 f (p − ct) + f (p + gˆ(α, ξ)dα 2c = p−c + ct) (2.92) t Bien đoi Radon ngưoc cho ta nghi¾m cna tốn Cauchy dưói dang ¸ −1 uˆ(x.ξ, ξ, t)dξ (2.93) u(x, t) = R {uˆ(p, ξ, t)} = |ξ|=1 −∇ Chú ý rang bien đoi Radon bien đoi phương trình sóng (1 + 3) chieu (2.84) thành phương trình sóng (1 + 1) - chieu (2.87), phương trình đưoc giái bang cách sú dung phương pháp tac Nói chung bien đoi Radon quy tốn (n + 1) - bien đc lắp ve cỏc bi toỏn vúi hai bien đc lắp Núi cỏch khỏc, nh trình bày phương trình (2.37), neu L m®t tốn tú vi phân cna (n + 1) - chieu vói h¾ so hang so, bien đoi Radon cna ∂ ∂ ∂ ∂ , f (x, R L ∂x , , ; ∂x ∂xn ∂t t) ∂ ∂ = L u1 ; ∂p , u2 ∂ ∂p ∂ ˆ f (p, ξ, t) (2.94) , , un ∂p ∂t Tính chat bán giúp giái phương trình vi phân đao hàm riêng hyperbolic có h¾ so hang so Ví dn 2.8.1 Xét phương trình truyen sóng (vói toc đ® truyen sóng c) ∂2 ∂ ∂2 ∂2 + + − ∂x2 ∂y ∂z c u (X; t) = ∂t đieu ki¾n ban đau 2 u (X; 0) = 0, ut (X; 0) = e−x −y −z Áp dung bien đoi Radon vào toán, ta đưoc ∂ ∂ 2− R [u] (p, ξ; t) = 0, ∂p c ∂t ∂ R [u] (p, ξ; 0) , p2 R [u] (p, ξ; 0) = πe− ∂t Bang phương pháp thông thũng, ta cú nghiắm bi toỏn trờn l p+ct π ds R [u] (p, ξ; −s e 2c t) = p−ct Ngồi ra, ta có ∂ R [u] ∂ R [u] π (p − ct) (p, ξ; t) ∂t2 c c ∂p2 = = e− (p ct) − − (p + ct) e− (p+ct) , suy u (X; t) = − ¸ , (ξ.X − ct) |ξ|=1 8πc e− (ξ.X−ct) , dξ − (ξ.X + ct) e −(ξ.X+ct) Ket lu¾n Phép bien đoi Radon có nhieu úng dung r®ng rãi lĩnh vnc khác cna ngành khoa hoc đòi song thnc tien Qua thòi gian tìm hieu lu¾n văn giái quyet đưoc nhung van đe sau đây: • Trình bày có h¾ thong ve kien thúc chuan b% cho lu¾n văn như: Khơng gian đ%nh chuan nguyên lý bán cna ánh xa tuyen tính liên tuc lóp khơng gian này; M®t so khái ni¾m ket q quan trong khơng gian Hilbert không gian Lp; Bien đoi Fourier; cuoi khái ni¾m tính chat cna hàm Delta-Dirac Luắn ó trỡnh by cú hắ thong phù hop vói n®i dung nghiên cúu ve phép bien đoi Radon: đ%nh nghĩa phép bien đoi trưòng hop hai chieu nhieu chieu, tính chat cna bien đoi Radon, đao hàm cna bien đoi Radon, moi liên h¾ giua bien đoi Radon bien đoi Fourier, bien đoi Radon cna tích ch¾p bien đoi Radon ngoc Cuoi cựng luắn ó trỡnh by m®t úng dung mang tính thuan túy Tốn hoc giái phương trình đao hàm riêng Hyperbolic Vói thòi gian ngan lưong kien thúc lu¾n văn rat lón nên lu¾n văn khơng the tránh đưoc nhung thieu sót M®t so van đe đưa chưa đưoc giỏi quyet mđt cỏch triắt e Tỏc giỏ rat cỏm ơn nh¾n đưoc sn đóng góp cna q Thay ban hoc viên đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Tài li¾u tham kháo [1] N L Carothers (2000), Real analysis, Cambrigde university Press [2] A M Cormak (1963), Representation of a function by its line integrals with some radiological applications, J Appl Phys, 34, pp 2722-2727 [3] A M Cormak (1964), Representation of a function by its line integrals with some radiological applications, J Appl Phys, 35, pp 2908-2913 [4] A M Cormak (1973), Reconstruction of densities from their projections with applications in radiological physics, Phys, Med Biol, 18, pp 195-207 [5] A M Cormak (1980), Nobel Prize address, Dec 8, 1979, Early twodimention reconstruction and recent topics stemming from it ,Med Phys., 7, pp 277-282 [6] S R Deans (1983), The Radon transform and some of its applications, J Wiley - Sons, USA [7] S Helgason (1980), The Radon transform, Birkhauser, Boston Basel Stuttgard [8] D Ludwig (1966), The Radon transform on Euclidean, Comm Pure Appl Math, 19, pp 49-81 [9] F Natterer (1986), The mathematics of computerized tomography , J Wiley - Sons, Stuttgard [10] Poularikas (2000), The transforms and Applications Handbook: Second Edition, CRC Press LLC, Florida [11] J Radon (1917), Berichte Sachsische Akademie der Wissenchaften, Leipzig, Mathmatische-Physikalische Klasse, vol 69, pp 262 - 267 [12] W Rudin (1976), Principles of Mathematical Analysis, MC Gray Hill Inc, Newyork [13] I N Sneddon (1951), Fourier Transforms, MC Gray Hill, Newyork Phn lnc ... Radon; Đao hàm cna bien đoi Radon bien đoi Radon cna đao hàm; Bien đoi Radon cna tích ch¾p; Moi liên h¾ giua bien đoi Fourier bien đoi Radon; Cuoi chương chúng tơi trình bày m®t áp dung cna phép. .. Bien đoi Radon cna đao hàm .46 2.4.1 Bien đoi Radon cna đao hàm b¾c nhat 46 2.4.2 Bien đoi Radon cna đao hàm b¾c hai 47 2.5 Đao hàm cna bien đoi Radon 48 2.6 Bien đoi Radon cna... ho¾c tích phân siêu phang nhò phép bien đoi Radon mà ngưòi ta xây dnng lai đưoc cau trúc n®i tai bờn cna vắt the Cú mđt moi quan hắ m¾t thiet giua phép bien đoi Radon vói sn phát trien cna ky