Về bao đóng nguyên của iđêan

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH HUỲNH THỊ TUYẾT PHƢỞNG VỀ BAO ĐÓNG NGUYÊN CỦA IĐÊAN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 Ngƣời hƣớng dẫn khoa học TS. NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN Nghệ An - 2014 2 MỤC LỤC Trang Mục lục 2 Mở đầu 3 Chƣơng 1. Định nghĩa và một số tính chất cơ bản của bao đóng nguyên của iđêan 6 1.1 Iđêan nguyên tố và iđêan cực đại………………………………… . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Các phép toán trên iđêan…………………………………………… . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Căn lũy linh………………………………………………………… . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Vành và môđun địa phương hóa….…………………………………. 9 1.5 Bao đóng nguyên của iđêan….……………………………………… 12 Chƣơng 2. Bao đóng nguyên với một số iđêan đặc biệt 22 2.1 Bao đóng nguyên thông qua iđêan rút gọn………………………… . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 Bao đóng nguyên của một iđêan là một iđêan ………………………. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 Bao đóng nguyên của iđêan đơn thức……………………………… . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 3 MỞ ĐẦU Bao đóng nguyên đóng một vai trò quan trọng trong Lý thuyết số và Hình học đại số. Khái niệm này được bắt đầu nghiên cứu từ những năm 1930 bởi Krull và Zariski. Rất nhiều vấn đề của Đại số giao hoán phụ thuộc vào sự phát triển của lý thuyết iđêan. Một trong những ví dụ điển hình là khái niệm đa thức Hilbelt- Samuel. Cho (R, m) là một vành giao hoán địa phương Noether với iđêan cực đại duy nhất m và I là một iđêan m-nguyên sơ của R. Ta biết rằng hàm độ dài ( / ) n RI theo biến n luôn nhận giá trị nguyên không âm và nó là một đa thức khi n đủ lớn. Đa thức này được gọi là đa thức Hilbelt-Samuel của I đối với vành R, ký hiệu là , () IR pn . Các hệ số của đa thức , () IR pn là những số hữu tỷ và chúng là những bất biến quan trọng trong việc nghiên cứu cặp (R, I). Chẳng hạn, bậc của , () IR pn là d = dim R (chiều Krull của vành R). Hệ số cao nhất của , () IR pn nhân với d! là một bất biến quan trọng mang nhiều thông tin về iđêan I, thậm chí cho cả vành R, gọi là số bội của I đối với vành R, kí hiệu là ( ; )e I R (khi I = m thì gọi là số bội của vành R và ký hiệu là e(R)). Một câu hỏi quan trọng được đặt ra ở đây là: liệu có tồn tại phần tử rR sao cho khi ghép thêm r vào I thì cả hai iđêan I và I rR có cùng tốc độ tăng (the same power-growth), đặc biệt là, chúng có cùng số bội? Ở đây thuật ngữ “powers of r grow as powers of I ” có nghĩa là tồn tại một số nguyên n sao cho nn rI . Điều này là có thể xảy ra, tuy nhiên có rất ít phần tử r thỏa mãn. Trong những năm 1950, D. Rees đã tiếp cận với câu hỏi trên bằng cách ông gọi () n vr là số nguyên nhỏ nhất sao cho () n vr n rI . Nếu giới hạn () n vr n là tồn tại và ít nhất bằng 1 thì một cách trực giác chúng ta có thể nghĩ rằng r 4 “tăng” (“grows”) ít nhất cũng bằng I. Với cách tiếp cận này D. Rees đã thành công trong việc chọn phần tử r. Một cách tiếp cận khác là sử dụng giá trị độ đo để xét mối quan hệ giữa r và I. Thông thường người ta đòi hỏi ( ) ( )v r v I với mọi độ đo v . Phương pháp này cũng rất gần với phương pháp của D. Rees đã nói ở trên. Có nhiều cách tiếp cận rất tự nhiên. Một trong những cách tiếp cận rất quan trọng liên quan đến vấn đề bao đóng chặt (tight closure) là hỏi xem có tồn tại phần tử c sao cho với n đủ lớn thì nn cr I . Tất cả các cách tiếp cận khác nhau nói trên dẫn đến một khái niệm, đó là, bao đóng nguyên của iđêan I. Một phần tử rR được gọi là nguyên trên I nếu tồn tại số nguyên n và các hệ tử , 1, , i i a I i n sao cho        1 11 0 nn nn a a ar r r . Phương trình này được gọi là phương trình phụ thuộc nguyên của r trên I. Tập tất cả các phần tử của vành R nguyên trên I được gọi là bao đóng nguyên của I, ký hiệu là I . Nếu I = I thì I được gọi là iđêan đóng nguyên. Nội dung chính của luận văn là trình bày về khái niệm và một số tính chất cơ bản của bao đóng nguyên dựa theo [5]. Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành hai chương. Chương 1: Định nghĩa và một số tính chất cơ bản của bao đóng nguyên của iđêan. Phần đầu chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ sở của vành và môđun có liên quan đến nội dung chính của luận văn nhằm giúp người đọc dễ theo dõi luận văn. Phần tiếp theo chúng tôi trình bày định nghĩa khái niệm bao đóng nguyên của iđêan và một số tính chất cơ bản của nó. Chương 2: Bao đóng nguyên với một số iđêan đặc biệt. Trong chương này chúng ta sẽ thấy rằng bao đóng nguyên của một iđêan là một iđêan. Mối quan hệ giữa bao đóng nguyên và iđêan rút gọn; đặc biệt là bao đóng nguyên của iđêan đơn thức cũng được trình bày trong chương này. Từ đó ta có được nhiều ví dụ về bao đóng nguyên của iđêan. 5 Luận văn được hoàn thành vào tháng 9 năm 2014 tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của cô giáo TS. Nguyễn Thị Hồng Loan. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô, người đã hướng dẫn tận tình, chu đáo, cùng với những lời động viên khích lệ tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán, Phòng Đào tạo Sau đại học Trường Đại học Vinh và Trường Đại học Đồng Tháp đã giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và hoàn thành Luận văn. Mặc dù đã hết sức cố gắng, nhưng Luận văn không tránh khỏi hạn hết, thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của Quý thầy, cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn. Nghệ An, tháng 9 năm 2014 Tác giả 6 CHƢƠNG 1 ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA BAO ĐÓNG NGUYÊN CỦA IĐÊAN 1.1 Iđêan nguyên tố và iđêan cực đại 1.1.1 Định nghĩa. Cho I là một iđêan của vành R, IR . Khi đó (i) I được gọi là iđêan nguyên tố nếu ,x y R mà xy I và xI thì yI . (ii) I được gọi là iđêan nguyên sơ nếu ,x y R mà xy I và xI thì tồn tại số tự nhiên n sao cho  n yI . (iii) I được gọi là iđêan cực đại nếu không tồn tại iđêan JR sao cho JI và I J R . 1.1.2 Ví dụ. Xét vành các số nguyên và cho Im là một iđêan của . Khi đó: I là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi m là số nguyên tố hoặc 0m  ; I là iđêan nguyên sơ 0m hoặc k mp với p một số nguyên tố và * k  ; I là iđêan cực đại m là một số nguyên tố. Từ ví dụ trên ta thấy trong một vành có thể có nhiều iđêan cực đại. Về sự tồn tại của iđêan cực đại ta có mệnh đề sau: 1.1.3 Mệnh đề. Cho R là vành có đơn vị. Khi đó trong R có ít nhất một iđêan cực đại. 1.1.4 Hệ quả. Cho R là vành có đơn vị. (i) Giả sử IR là một iđêan của R. Khi đó I được chứa trong một iđêan cực đại nào đó của R. (ii) Giả sử x là một phần tử không khả nghịch của vành R. Khi đó tồn tại một iđêan cực đại của R chứa x. 1.1.5 Mệnh đề. Cho R là vành giao hoán có đơn vị và I là một iđêan của vành R. Khi đó: 7 (i) I là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi vành thương R I là miền nguyên. (ii) I là iđêan cực đại khi và chỉ khi vành thương R I là trường. Từ mệnh đề trên ta suy ra: m là iđêan cực đại  m là iđêan nguyên tố  m là iđêan nguyên sơ; R là miền nguyên  0 là iđêan nguyên tố. 1.2 Các phép toán trên các iđêan 1.2.1 Định nghĩa. (i) Cho I, J là các iđêan của vành R. Khi đó   |,I J a b a I b J     là một iđêan của R và được gọi là tổng của hai iđêan I và J. ii) Cho   j jS I  là họ tùy ý các iđêan của R. Khi đó { j jS I    | , 0 j j j j jS a a I a    hầu hết chỉ trừ hữu hạn 0} j a  là một iđêan của R và được gọi là tổng của họ iđêan   j jS I  . 1.2.2 Định nghĩa. Cho   j jS I  là họ tùy ý các iđêan của R. Khi đó j jS I  là một iđêan của R và được gọi là giao của họ iđêan   j jS I  . Chú ý rằng hợp của hai iđêan của R có thể không phải là iđêan của R. 1.2.3 Định nghĩa. Cho ,IJ là các iđêan của vành R. Kí hiệu IJ là iđêan của R sinh bởi tất cả các phần tử dạng ab, với aI và bJ . Iđêan IJ được gọi là tích của các iđêan I và J. Vậy từ định nghĩa, ta có n 0 { | , , } i i i i i IJ a b a I b J n       . Tương tự, định nghĩa cho tích hữu hạn iđêan 12 , , , n I I I . 1 2 1 2 0 { | , 0, , 1, , } m n i i ni ji j i I I I a a a a I i m j n m          . 8 Đặc biệt, 12 0 . { | , 0, , 1, , } m n i i ni ji i I I I I a a a a I i m j n m           . Quy ước 0 1IR   . 1.2.4 Mệnh đề. Cho vành R và I, J, K là các iđêan của R. (i) Tính chất giao hoán: I J J I   ; I J J I   ; IJ JI . (ii) Luật modular: Nếu JI hoặc KI thì ()I J K I J I K      . (iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng: ()I J K IJ IK   . 1.2.5 Định nghĩa. Cho I, J là các iđêan của vành R. Khi đó tập hợp : { | } { | , }I J a R aJ I a R ab I b J        là một iđêan của vành R và được gọi là iđêan thương của I và J. 1.2.6 Mệnh đề. Cho vành R và   , , , j jS I J K I  là các iđêan của R. Khi đó: (i) :I J I ; (ii) ( : )I J J I ; (iii) ( : ): ( : ) ( : ):I J K I JK I K J ; (iv)   :: jj j S j S I J I J      ; (v)   :: jj jS jS I I I I        . 1.2.7 Định nghĩa. Cho I là một iđêan của vành R. Tập hợp   |: n I a R n a I     là một iđêan của R và được gọi là căn của iđêan I. I còn được kí hiệu là Rad(I). Chú ý rằng II và nếu II thì I được gọi là iđêan căn. 1.2.8 Mệnh đề. Cho I, J là các iđêan của vành R. Khi đó: 9 (i) II ; (ii) IJ I J ; (iii) I R I R   ; (iv) I J I J   ; (v) Nếu p là iđêan nguyên tố thì n pp , * n . 1.3 Căn lũy linh 1.3.1 Định nghĩa. Cho vành R và xR . Khi đó phần tử x được gọi là lũy linh nếu n sao cho 0 n x  . 1.3.2 Định nghĩa. Cho vành R. Kí hiệu   RN là tập tất cả các phần tử lũy linh của vành R, khi đó   RN được gọi là căn lũy linh của vành R. Như vậy   RN là một iđêan của vành R và vành thương   R RN không có phần tử lũy linh khác không. Ta còn viết red R :=   /RRN . 1.3.3 Nhận xét. Từ định nghĩa ta có:   0R N . 1.4 Vành và môđun địa phƣơng hóa Cho S là tập nhân đóng của vành R. Trên tích Đề-các     , | ,R S r s r R s S    Xét quan hệ hai ngôi  như sau:       , , : 0r s r s t S t rs sr          . Dễ thấy  là quan hệ tương đương trên RS . Khi đó RS được chia thành các lớp tương đương           , , | , ,r s r s R S r s r s        Ký hiệu /rs thay cho   ,rs và 10   / | , S R r s r R s S   là tập thương của RS theo quan hệ tương đương . Trên S R trang bị hai phép toán cộng (+) và nhân (.) như sau:     / / /r s r s rs sr ss         và     / . / /r s r s rr ss      với mọi / , /r s r s R S   ; chú ý rằng hai phép toán này không phụ thuộc vào việc chọn phần tử đại diện. Khi đó S R trở thành một vành và gọi là vành các thương của R theo tập nhân đóng S. Chú ý vành các thương S R cũng thường được ký hiệu là 1 SR  . Mỗi iđêan của vành các thương 1 SR  đều có dạng 1 SI  , trong đó I là iđêan của vành R. Ta có 11 S I S R I S       . Do đó 1 SI  là iđêan thực sự của 1 SR  khi và chỉ khi IS   . Cho p Spec R . Khi đó \SR p là một tập nhân đóng của vành R. Vành S R trong trường hợp này là vành địa phương, ký hiệu là R p , với iđêan cực đại duy nhất là   / | , \R a s a s R p p p p nên được gọi là vành địa phương hóa của vành R tại iđêan nguyên tố p. Giả sử S là tập tất cả các phần tử không là ước của không của vành R. Khi đó S là tập nhân đóng của vành R. Trong trường hợp này vành các thương S R được gọi là vành thương toàn thể của R (total quotient ring of R) và ký hiệu là   TR . Nếu R là miền nguyên thì vành thương toàn thể của R là một trường và được gọi là trường các thương của R. Chú ý rằng, do S không chứa ước của không nên ánh xạ tự nhiên   R T R là đơn cấu. Vì thế vành thương toàn thể   TR là một mở rộng của vành R. [...]... bày được một một số vấn đề về bao đóng nguyên của iđêan Cụ thể là trong luận văn này chúng tôi đã trình bày những vấn đề sau đây: 1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản về bao đóng nguyên của iđêan (Mục 1.5, Chương 1); 2 Mối quan hệ giữa bao đóng nguyên và iđêan rút gọn (Mục 2.1, Chương 2); 3 Bao đóng nguyên của một iđêan là một iđêan (Mục 2.2, Chương 2); 4 Bao đóng nguyên của iđêan đơn thức (Mục 2.3,... một iđêan của chính nó Theo Mệnh đề 1.5.3 thì R được chứa trong bao đóng nguyên R Tuy nhiên bao đóng nguyên của bất kỳ iđêan nào của R đều được chứa trong R Do vậy ta có R  R Như vậy bao đóng nguyên của R xem như một iđêan luôn bằng chính vành R; tuy nhiên bao đóng nguyên của R xem như một vành có thể chứa thực sự R Trong luận văn này chúng tôi không đi sâu tìm hiểu về mối liên hệ giữa bao đóng nguyên. .. thuộc nguyên của xy trên ( x 2 , y 2 ) Tương tự, với bất kì số nguyên không âm i  d , ta có xi y d i  ( xd , y d ) Sau đây là một số tính chất cơ bản của bao đóng nguyên của iđêan 12 1.5.3 Mệnh đề Cho vành R và I, J là iđêan của R Khi đó: (i) I  I  I và 0  I (ii) Nếu I  J là các iđêan thì I  J (iii) Iđêan căn, iđêan nguyên tố là những iđêan đóng nguyên (iv) Giao của các iđêan đóng nguyên là đóng. .. Mệnh đề 2.1.4, K là rút gọn của I 2.2 Bao đóng nguyên của một iđêan là một iđêan 2.2.1 Định lí Bao đóng nguyên của một iđêan là một iđêan đóng nguyên (trong cùng một vành) Chứng minh Giả sử K là iđêan của vành R Hiển nhiên K đóng kín với phép nhân bởi các phần tử của R Ta cần chứng minh K đóng kín với phép cộng Thật vậy, giả sử r , s  K và phương trình phụ thuộc nguyên của r trên K là r n  k1r n1... hóa của M tại iđêan nguyên tố p 1.5 Bao đóng nguyên của iđêan 1.5.1 Định nghĩa Cho I là một iđêan của vành R Một phần tử r  R được gọi là nguyên trên I nếu tồn tại số nguyên n và các hệ tử ai  I i , i  1, , n sao cho r n  a1r n1   an1r  an  0 Phương trình này được gọi là phương trình phụ thuộc nguyên của r trên I Tập tất cả các phần tử của vành R nguyên trên I được gọi là bao đóng nguyên của. .. trình phụ thuộc nguyên của x trên A Tập con C của B gồm những phần tử nguyên trên A là một vành con của B chứa A Vành con C được gọi là bao đóng nguyên của A trong B Nếu C=A thì vành A được gọi là đóng nguyên trong B Nếu C = B thì vành B được gọi là nguyên trên A (như vậy B là nguyên trên A nếu mọi phần tử của B đều nguyên trên A) Vành A được gọi là vành đóng nguyên nếu nó đóng nguyên trong vành các... nguyên của iđêan và bao đóng nguyên của vành Mệnh đề sau đây chỉ ra rằng trong vành đóng nguyên mọi iđêan chính là iđêan đóng nguyên 1.5.11 Mệnh đề Cho R là một vành không nhất thiết là vành Noether Giả sử R đóng nguyên trong vành các thương toàn thể T(R) Khi đó với mọi iđêan I và với mọi phần tử f  R không là ước của không ta có fI  f I Đặc biệt, mọi iđêan chính sinh bởi một phần tử không là ước của. ..  s nguyên trên K  và do đó nguyên trên K Hay nói cách khác r  s  K Như vậy K là iđêan Để chứng minh bao đóng nguyên của iđêan là một iđêan đóng nguyên, ta cho I là một iđêan của R và r  I Khi đó tồn tại iđêan hữu hạn sinh J chứa trong I sao cho r  J Giả sử J  ( j1 , , jk ) Tương tự tồn tại iđêan hữu hạn sinh K  I sao cho mỗi ji là nguyên trên K Từ Mệnh đề 2.1.4 suy ra K là rút gọn của K... I Tổng của các iđêan đóng nguyên không nhất thiết đóng nguyên Ví dụ sau chỉ ra điều này 2.2.7 Ví dụ Cho R  K  X , Y  là vành đa thức hai biến X , Y trên trường K Cho m  (X,Y )R Theo ví dụ trên iđêan I  (X 2  Y 3 )  m4 là đóng nguyên Mặt khác, ta cũng dễ chứng minh được iđêan J  (Y 3 )  m 4 là đóng nguyên Tuy nhiên tổng của hai iđêan này lại không đóng nguyên Thật vậy, phần tử XY 2 nguyên trên... các phương trình phụ thuộc nguyên là đơn giản và có mối liên quan đến khía cạnh tổ hợp, hình học Tuy nhiên, lý thuyết bao đóng nguyên là 32 đủ thú vị cho các iđêan đơn thức Chẳng hạn, lũy thừa của một iđêan đơn thức đóng nguyên không nhất thiết đóng nguyên Tuy nhiên, nếu một vài lũy thừa đầu tiên của một iđêan đơn thức là đóng nguyên thì tất cả các lũy thừa khác là đóng nguyên Điều đó được thể hiện . khái niệm bao đóng nguyên của iđêan và một số tính chất cơ bản của nó. Chương 2: Bao đóng nguyên với một số iđêan đặc biệt. Trong chương này chúng ta sẽ thấy rằng bao đóng nguyên của một iđêan. tìm hiểu về mối liên hệ giữa bao đóng nguyên của iđêan và bao đóng nguyên của vành. Mệnh đề sau đây chỉ ra rằng trong vành đóng nguyên mọi iđêan chính là iđêan đóng nguyên. 1.5.11 Mệnh đề. Cho. một iđêan. Mối quan hệ giữa bao đóng nguyên và iđêan rút gọn; đặc biệt là bao đóng nguyên của iđêan đơn thức cũng được trình bày trong chương này. Từ đó ta có được nhiều ví dụ về bao đóng nguyên